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第十五章虛位移原理§15-1約束、虛位移、虛功§15-2

虛位移原理§15.虛位移原理引言升降臺(tái)在圖示位置平衡，試求油壓舉升缸筒的拉力FJH。已知力：FP未知力：15個(gè)用矢量力學(xué)方法求解，需要列一系列方程，較復(fù)雜！利用標(biāo)量形式的廣義坐標(biāo)，通過對(duì)系統(tǒng)能量和功的分析，以普遍原理為基礎(chǔ)，利用純數(shù)學(xué)分析的方法導(dǎo)出基本的靜力學(xué)方程及動(dòng)力學(xué)普遍方程?！?5.虛位移原理引言具有高度的統(tǒng)一性和普遍性。本章重點(diǎn)介紹虛位移原理的工程應(yīng)用，即應(yīng)用虛位移原理求解系統(tǒng)的平衡問題。4

工程中大多數(shù)物體的運(yùn)動(dòng)都受到周圍物體的限制，不能任意運(yùn)動(dòng)，這種質(zhì)點(diǎn)系稱為非自由質(zhì)點(diǎn)系。約束：

對(duì)物體（質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系）自由運(yùn)動(dòng)預(yù)定的限制條件（即可以限制位置，也可以限制速度、加速度）。

約束方程：用數(shù)學(xué)方程描述約束條件的方程。為了研究方便，將常見約束進(jìn)行分類：§15.虛位移原理---基本概念?約束5、約束的分類（1）幾何約束-----限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間幾何位置的約束

；運(yùn)動(dòng)約束-----能限制質(zhì)點(diǎn)系中質(zhì)點(diǎn)速度的約束；（微分約束）例:曲柄連桿機(jī)構(gòu)的約束方程為

x12+y12=r2(x1-x2)2+y12=l2y2=0

yOA(x1,y1)B(x2,0)rxl?約束例如：球面擺中質(zhì)點(diǎn)M

的約束方程：

x2

＋y2

＋z2＝L2§15.虛位移原理---基本概念CyvcxOx例:沿直線軌道只滾不滑的車輪。約束方程為：

yc

=r

xc′

-r=0

運(yùn)動(dòng)約束（2）完整約束-----微分約束通過積分，全部化為幾何約束；非完整約束-----不可積分的運(yùn)動(dòng)約束；例:沿直線軌道只滾不滑的車輪。約束方程為：

yc

=r

xc′

-r=0

CyvcxOx經(jīng)過積分后變?yōu)椋?/p>

yc

=r

xc

-r=C

非完整約束一般形式為

因?yàn)橥暾s束方程中僅含坐標(biāo),它表現(xiàn)為對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的幾何位置起限制作用,所以這種約束又稱為幾何約束。

因?yàn)榉峭暾s束方程中包含有速度投影量,它僅表現(xiàn)為對(duì)質(zhì)點(diǎn)速度所加的限制,所以這種約束又稱為運(yùn)動(dòng)約束。?(x1,y1,z1,…,xn,yn,zn;t)=0(=1,2,…,s)（3）定常約束-----約束中不含時(shí)間t；非定常約束-----約束條件隨時(shí)間變化；圖示擺懸掛點(diǎn)O′沿鉛垂方向的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：

OO′lM（x，y）xx′yO′y（y′）yO′

=asin（t）質(zhì)點(diǎn)M的約束方程為：例如：如圖所示，擺長(zhǎng)隨時(shí)間而變化的單擺，約束方程:

屬于非定常約束。如果擺長(zhǎng)Lo

不變，約束方程:

x2

＋y2

＝Lo2

則為定常約束。（4）雙面約束與單面約束右圖中擺錘M的約束方程為

x2+y2=l2在約束方程中用嚴(yán)格的等號(hào)表示的約束為雙面約束。這種約束如能限制物體向某一方向運(yùn)動(dòng),則必能限制向相反方向運(yùn)動(dòng)。

在約束方程中用不等號(hào)表示的約束為單面約束。這種約束只能限制物體某個(gè)方向的運(yùn)動(dòng),而不能限制相反方向的運(yùn)動(dòng)。左圖中擺錘M的約束方程為x2+y2

l2OlM（x，y）xy(剛桿)OlM（x，y）xy（線繩）本單元內(nèi)容只涉及定常的,雙面的完整約束。即-----約束中不含時(shí)間t、在約束方程中用嚴(yán)格的等號(hào)表示、微分約束通過積分，全部化為幾何約束。

定義：

質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系（包括剛體），在給定的瞬時(shí)和位形上，為約束所容許的任何無限小的位移，稱為虛位移。

?虛位移

如圖，系統(tǒng)中質(zhì)點(diǎn)在平衡時(shí)本來是不動(dòng)的，但我們?cè)O(shè)想在約束允許條件下，在圖示瞬時(shí)和位形上，給某個(gè)質(zhì)點(diǎn)一個(gè)任意的、極其微小的位移。虛位移可以是線位移，也可以是角位移。通常用變分符號(hào)表示。通常，用δr

表示虛位移矢量，用δx、δy、δz

表示虛位移在

x、y、z

軸上的投影，或者表示x、y、z

的變分。說明：1、虛位移首先必須滿足約束方程；

2、虛位移可以有多個(gè)（只要是約束允許的）；

3、虛位移和實(shí)位移是不同的。

設(shè)有一個(gè)以x為基本變量的連續(xù)可微函數(shù)

y(x)，新函數(shù)y1(x)是一條無限靠近于原曲線的新曲線。令，稱為函數(shù)y的變分。

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)§15.虛位移原理引言變分§15.虛位移原理引言變分在本書所涉及的范圍內(nèi)，變分的運(yùn)算與微分的運(yùn)算規(guī)則一致?！?5.虛位移原理?虛位移---基本概念

實(shí)位移：是需要時(shí)間的真正位移,它除了與約束條件有關(guān)外,還與主動(dòng)力及運(yùn)動(dòng)初始條件有關(guān),是系統(tǒng)真實(shí)發(fā)生的位移，實(shí)位移只有一個(gè)。虛位移：是一個(gè)純粹的幾何概念,它僅涉及約束,不涉及主動(dòng)力和運(yùn)動(dòng)初始條件,也不需要經(jīng)歷時(shí)間，是假想的位移，或者稱可能的位移。例題14-4鉸接于光滑水平面上的直桿OA受力

如圖所示。畫出點(diǎn)A的實(shí)位移和虛位移。xyAMOdrdxyAMOr112r2

在定常的幾何約束的情形下,約束的性質(zhì)與時(shí)間無關(guān),微小的實(shí)位移是虛位移之一。BABAdrrr例題14-5物塊B擱置于三棱體A上,摩擦不計(jì)。畫出系統(tǒng)由靜止開始運(yùn)動(dòng)后物塊B的實(shí)位移和虛位移。

對(duì)于非定常約束,由于它的位置或形狀隨時(shí)間而改變,而虛位移與時(shí)間無關(guān),把時(shí)間t

看作常量；實(shí)位移卻與時(shí)間有關(guān),所以微小的實(shí)位移不再是虛位移之一?！?5.虛位移原理?廣義坐標(biāo)---基本概念

定義：

用來確定質(zhì)點(diǎn)系位置的一些“獨(dú)立的參變量”稱為該質(zhì)點(diǎn)系的廣義坐標(biāo)。（廣義坐標(biāo)是標(biāo)量）

曲柄滑塊機(jī)構(gòu)（一個(gè)廣義坐標(biāo)）雙擺桿機(jī)構(gòu)（兩個(gè)廣義坐標(biāo)）當(dāng)廣義坐標(biāo)確定后，質(zhì)點(diǎn)系中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置矢徑及坐標(biāo)都是廣義坐標(biāo)的函數(shù)?！?5.虛位移原理?廣義坐標(biāo)---基本概念質(zhì)點(diǎn)的虛位移與廣義坐標(biāo)變分的關(guān)系：定義：

對(duì)具有定常、雙面、幾何約束的質(zhì)點(diǎn)系，確定其位置的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目稱為該質(zhì)點(diǎn)系的自由度。

嚴(yán)格的說，應(yīng)把質(zhì)點(diǎn)系獨(dú)立的虛位移數(shù)目（或獨(dú)立的坐標(biāo)變分?jǐn)?shù)目）稱為質(zhì)點(diǎn)系的自由度。結(jié)合前面的例子說明系統(tǒng)的自由度數(shù)。在完整約束下：

獨(dú)立的坐標(biāo)數(shù)目=獨(dú)立的坐標(biāo)變分?jǐn)?shù)目§15.虛位移原理?自由度---基本概念§15.虛位移原理?自由度---基本概念例2.一帶孔的小球M可沿直桿自由滑動(dòng)。已知直桿在平面內(nèi)繞P

點(diǎn)以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)，P點(diǎn)相對(duì)于x1O1y1以初速度v0

作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為a0，試寫出小球M

的約束方程，并判斷其性質(zhì)，求其自由度。小球沿直桿自由滑動(dòng)，限制了小球的位置，即其中P點(diǎn)的位置坐標(biāo)：自由度：平面自由質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)為2，受到1個(gè)完整約束，得§15.虛位移原理?自由度---基本概念1)幾何法在定常約束條件下,微小的實(shí)位移是虛位移之一。用速度分析的方法來建立質(zhì)點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系。OABI1rBrA22例.求圖示機(jī)構(gòu)A點(diǎn)和B點(diǎn)的虛位移解:OA桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

rA=

1

(1)

AB桿作平面運(yùn)動(dòng),I為瞬心

rA

=

2

(2)虛位移計(jì)算OABI1rBrA22由(1)(2)式得:2

=

1rB

=2

=1也可取1的轉(zhuǎn)向?yàn)轫槙r(shí)針轉(zhuǎn)向,畫出虛位移圖得出rA和

rB的表達(dá)式與轉(zhuǎn)向?yàn)槟鏁r(shí)針是一致的。OABxy2)解析法

先寫出各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)于廣義坐標(biāo)的表達(dá)式,再將各式對(duì)廣義坐標(biāo)求變分（與求導(dǎo)方法相同）。廣義坐標(biāo)—獨(dú)立坐標(biāo)解:xA=lcos

yA=lsin

xB=2lcos

yB=0例題求圖示機(jī)構(gòu)A點(diǎn)和B點(diǎn)的虛位移，OA=AB=lxA=-l1sinyA=l1cosxB=-2l1sin

yB=0定義：

質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系所受的力在虛位移上所做的功稱為虛功。虛功有正功和負(fù)功，其計(jì)算與真實(shí)力在實(shí)位移上做功的計(jì)算方法一樣。但是：因?yàn)樘撐灰剖羌傧氲?，因而虛功也是假想的，它不涉及物理過程，也與能量的變化無關(guān)。3、虛功:1)力作虛功

W=Fr2)力矩或力偶矩作虛功

W=m定義：

如果在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移上，約束反力的虛功之和等于零，則這種約束稱為理想約束。

式中：FNi

表示第i

個(gè)質(zhì)點(diǎn)的約束反力；

δr

i表示第i

個(gè)質(zhì)點(diǎn)的虛位移。?理想約束工程中有許多約束在一定條件下可看成理想約束，例如：

(1)光滑支承面；

(2)光滑鉸鏈；

(3)不可伸長(zhǎng)的柔索；（4）剛體沿固定面純滾動(dòng)；等等。?理想約束(1)光滑接觸面Nr

光滑接觸面的約束反力恒垂直于接觸面的切面,而被約束質(zhì)點(diǎn)的虛位移總是沿著切面的,即N

rNr=0ABCNN

r(2)連接兩剛體的光滑鉸鏈

設(shè)AB桿與BC桿在B點(diǎn)用光滑鉸鏈連接。由N=N得

Nr+Nr=Nr-Nr=0(3)連接兩質(zhì)點(diǎn)的無重剛桿

連接兩質(zhì)點(diǎn)的剛桿由于不計(jì)自重,均為二力桿。設(shè)質(zhì)點(diǎn)M1和M2的虛位移分別為r1與r2則有:r1cos1

=r2cos2

N1r1

+

N2r2

=N1r1cos1-N2r2cos2=0M1M2

r1r2N1N21233如果質(zhì)點(diǎn)系受的是雙面、定常、理想約束，則靜止的質(zhì)點(diǎn)系在給定位置保持平衡的必要且充分條件是：所有作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力在該位置的任何虛位移上所作虛功之和等于零。......(a)用數(shù)學(xué)式表示為：§15.虛位移原理---虛位移原理虛位移原理又稱為虛功原理，(a)式又稱虛功方程。解析表達(dá)式：......

(b)(b)式也稱為“靜力學(xué)普遍方程”?！?5-2虛位移原理W(M)=200W(P)=-Psin(L-a)m,求固定端支座A的約束力。rA=l=1502yc=rxc′-r=0-60-160+200+8YA=0說明：1、虛位移首先必須滿足約束方程；1、求解復(fù)雜系統(tǒng)的平衡條件實(shí)位移卻與時(shí)間有關(guān),所以微小的實(shí)位移不令，稱為函數(shù)y的變分。（即可以限制位置，也可以限制速度、加速度）。AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心為B。虛位移原理的應(yīng)用1、求解復(fù)雜系統(tǒng)的平衡條件2)利用幾何法或解析法求各虛位移之間的關(guān)系3)計(jì)算各主動(dòng)力的虛功4)利用虛位移原理求解約束反力1)畫虛位移圖例題題：如圖所示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)中，連桿AB長(zhǎng)為l，滑塊A、B與桿重均不計(jì)，忽略各處摩擦，機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡。求：主動(dòng)力FA與FB之間的關(guān)系。ABO§15.虛位移原理---虛位移原理ABOP解：研究對(duì)象：整個(gè)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)。系統(tǒng)的約束為理想約束。用虛位移原理求解。法一根據(jù)虛速度法（速度投影定理或速度瞬心法）可求出虛位移之間的關(guān)系：代入虛功方程解出：§15.虛位移原理---虛位移原理法二解析法A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)：虛功方程坐標(biāo)變分代入虛功方程解出：§15.虛位移原理---虛位移原理ABOP取為廣義坐標(biāo)例一已知：圖示機(jī)構(gòu)，AC=BC=EC=FC=DE=DF=L，忽略摩擦和桿、

滑塊的自重，桿ACF及桿BCE

與水平線夾角φ=θ。

在D點(diǎn)作用鉛垂力P。

求：為保持機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡，作用于滑塊B上的水平力F

的大小。§15.虛位移原理---虛位移原理解:設(shè)手輪的虛位移為解:截?cái)郈D桿代之內(nèi)力SC和SD,且SC=SD=S

畫虛位移圖。1=2=虛位移原理提供了任意質(zhì)點(diǎn)系平衡的必要且充分條件，理想約束的約束反力在方程中不再出現(xiàn)，為解方程帶來了方便。AB桿作水平方向平動(dòng)。3、虛位移和實(shí)位移是不同的。Nr+Nr=Nr-Nr=0FB=（M+Psina）/L把上式代入虛位移原理的矢量表達(dá)式得:rB=200cos30o2W(P)=15013)計(jì)算各主動(dòng)力的虛功質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系所受的力在虛位移上所做的功稱為虛功。W(XB)=2aXB(i=1,2,…,n)因?yàn)榉峭暾s束方程中包含有速度投影量,它僅表現(xiàn)為=-1000cos30o2解：①研究對(duì)象：整個(gè)機(jī)構(gòu)。

②受主動(dòng)力：P，F(xiàn)

③取坐標(biāo)軸如圖，列虛功方程：

－PδyD－FδxB＝0...…*

（注：方程中各項(xiàng)正負(fù)號(hào)的含義要清楚！）

§15.虛位移原理---虛位移原理δyDδxB④求虛位移

δyD

、δxB

先寫出點(diǎn)D、B

的坐標(biāo)：再求變分得：注意：求變分與求微分方法相同?！?5.虛位移原理---虛位移原理δyDδxB⑤將δyD

、δxB

代入虛功方程*，并求解：

∵δθ≠0

（可任意取值）則有:

解出：§15.虛位移原理---虛位移原理思考：（1）如果計(jì)各桿自重，虛功方程如何寫？（2）如果C、D間連一彈簧，虛功方程如何寫？說明：本例虛功方程是用分析式寫出，虛位移是通過坐標(biāo)變分求得,這是求虛位移的方法之一。

除此之外，還可用“虛速度法”求虛位移。請(qǐng)看下例。

§15.虛位移原理---虛位移原理例題在螺旋壓榨機(jī)的手輪上作用一矩為M的力偶。在與手輪固接的螺桿兩端刻有螺距為h的相反螺紋，當(dāng)手輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩螺母A、B沿螺桿運(yùn)動(dòng)方向相反，從而可改變角的大小及物體所受的壓力。求當(dāng)邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD的頂角為2時(shí)，壓榨機(jī)對(duì)物體的壓力。ABCDaaaaMxAPyx解:設(shè)手輪的虛位移為由虛位移原理：M+Pyc=0

ABCDaaaaMxAPyx

2/h=/xA

xA=h/2xA=asinxA=acos

yC=2acosyC=-2asin

P=Mcot/h=2acos

/h

滑套D套在光滑直桿AB上，并帶動(dòng)桿CD在鉛直滑道上滑動(dòng)。已知=0o時(shí)，彈簧等于原長(zhǎng)，彈簧剛度系數(shù)為5(kN/m)，求在任意位置（角）平衡時(shí)，加在AB桿上的力偶矩M？例四§15.虛位移原理---虛位移原理解：去除彈簧，代之以彈簧力F,F′。將彈簧力計(jì)入主動(dòng)力，系統(tǒng)簡(jiǎn)化為理想約束系統(tǒng)?！?5.虛位移原理---虛位移原理選擇AB桿、CD桿和滑套D的系統(tǒng)為研究對(duì)象。取為廣義坐標(biāo)。由虛位移原理，得：

§15.虛位移原理---虛位移原理雙擺桿機(jī)構(gòu)（兩個(gè)廣義坐標(biāo)）1）每次解除一個(gè)約束代之一約束反力W(Q2)=2162xA=acos廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件*變分求得,這是求虛位移的方法之一。小球沿直桿自由滑動(dòng)，限制了小球的位置，即W(FAx)=FAxrA虛位移：是一個(gè)純粹的幾何概念,它僅涉及約束,不涉及主動(dòng)力和運(yùn)動(dòng)初始條件,也不需要經(jīng)歷時(shí)間，是假想的位移，或者稱可能的位移。約束方程：用數(shù)學(xué)方程描述約束條件的方程。W(P)=aP質(zhì)點(diǎn)的矢徑也可表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù).W(FAx)=FAxrAW(P)=aP3)計(jì)算各主動(dòng)力的虛功(看作主動(dòng)力)并選取適當(dāng)?shù)膹V義坐標(biāo)例題圖示結(jié)構(gòu)由大齒輪(剛接鼓輪)O1,小齒輪O及

曲柄OA(與小齒輪O剛連),連桿AB,滑塊B,彈簧等組成已知重物重Q=100N,彈簧的剛性系數(shù)k=5N/cm,鼓輪半徑r1=20cm,大、小齒輪半徑分別為r2=40cm,r3=10cm,曲柄OA長(zhǎng)l=50cm且=30o,=90o.略去曲柄及連桿重量。不計(jì)摩擦。求結(jié)構(gòu)在圖示位置平衡時(shí)彈簧的變形量。O1AOBQQO1G4G3G1BOAF解:畫虛位移圖II為AB桿的瞬心rrQrQrArB212

利用虛位移圖計(jì)算

各虛位移間的關(guān)系rQ

=r11=201r

=r21=r3=41rA=l=150241=32rB

=200cos30o2QO1G4G3G1BOAFIrrQrQrArB212利用虛位移圖計(jì)算虛功.W(Q)=QrQ

=20001W(F)=-FrB=-1000cos30o2由虛位移原理得:20001-1000cos30o2=0QO1G4G3G1BOAFIrrQrQrArB2122、求約束反力2)利用幾何法或解析法求各虛位移之間的關(guān)系3)計(jì)算各主動(dòng)力的虛功4)利用虛位移原理求解約束反力1）每次解除一個(gè)約束代之一約束反力

(看作主動(dòng)力)并選取適當(dāng)?shù)膹V義坐標(biāo)例題簡(jiǎn)支梁如圖所示，求約束反力。ABLaPCMABPCFBrBM解：（AB梁，靜定問題，自由度為零。）(1)解：除B處約束，代之以反力FB，畫虛位移圖。

AB桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。由力矩的虛功：由虛位移原理得：W(M)=-MW(P)=-PsinaW(FB)=FBL-M-Psina+FBL=0FB=（M+Psina）/L(2)解除A處水平方向約束，代之以反力FAX，畫虛位移圖。AB桿作水平方向平動(dòng)。

由力的虛功：

由虛位移原理得：-Pcosrc+FAxrA=0FAx=PcosW(M)=0W(P)=-PcosrcW(FAx)=FAxrArA=rcABPCMFAxrArc(3)解除A處鉛垂方向約束，代之以反力FAy，畫虛位移圖。AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心為B。由力矩的虛功：

由虛位移原理得：W(M)=MW(P)=-Psin(L-a)W(FAy)=FAyL-Psin(L-a)+FAyL+M=0FAy=(Psin(L-a)-M)/LABPCMFAyrA例題.三鉸拱如圖所示,求支座B的約束反力ABCmPaaa圖1-1C解:解除支座B的鉛垂約束,代之約束反力YB

,

畫虛位移圖。

rC12rBA為BC桿的瞬心

YBAmPBArC

=(AC)1

=(AC)2

1=2=

利用虛位移圖計(jì)算虛功

W(m)=m由虛位移原理得:

m+aP-2aYB=0利用虛位移圖得:

W(P)=aPW(YB)=-2aYB

CrC12rBYBmPBA

解除支座B的水平約束,代之約束反力XB,

畫虛位移圖。rC1IrB22I為BC桿的瞬心XBBACPm利用虛位移圖得:rC

=(AC)1=(IC)21=2=利用虛位移圖計(jì)算虛功W(m)=mW(P)=aPW(XB)=2aXB由虛位移原理得:m+aP+2aXB

=0rBrC1IXBBACPm22

例題多跨梁由AC和CE用鉸C連接而成。

荷載分布如圖示。P=50KN,均布荷載

q=4KN/m,力偶矩m=36KN.m;

求支座A、B和E的約束反力。3m3m6m6m6mABCDEPqm解:解除支座A的約束,代之約束反力RA,畫虛位移圖如下。其中Q1=24KN,Q2=24KN

3m

3m3m3m3m3m6mAEmBCDPQ1Q2RA12rArC

B是AC桿的瞬心.

E是CE桿的瞬心.利用虛位移圖得:

rC

=(BC)1

=(CE)2

1=22

EB3m

3m3m3m3m3m6mAEmBCDPQ1Q2RA12rArCW(RA)=6RA1

W(P)=-1501利用虛位移圖計(jì)算虛功

6RA1-1501+721+2162-362=0RA=-2

W(Q1)=721W(Q2)=2162W(m)=-362由虛位移原理得:解除支座B的約束,代之約束反力RB,畫虛位移圖.

E是CE桿的瞬心.利用虛位移圖得:rC

=(AC)1

=(CE)21

=2=RBrC12AEDCPQ1

Q2mEW(P)=1501

利用虛位移圖計(jì)算虛功由虛位移原理得:RB=91W(RB)=-6RB1W(Q1)=2161W(Q2)=2162W(m)=-362-6RB1+1501+2161+2162-362=0RBAEDCPQ1

Q2rC12m

解除支座E的約束,代之約束反力RE畫虛位移圖

AC桿,靜定,自由度為零。C處固定,CE桿繞D轉(zhuǎn)動(dòng)。

RErE利用虛位移圖計(jì)算虛功W(RE)=-12REW(m)=36W(Q2)=72由虛位移原理得:-12RE

+72+36=0RE=9APQ1Q2mBCDE

例題.剛架受荷載如圖示。P1=10kN,q=5kN/m,

P2=80kN,M=200kN.m,求固定端支座A的約束力。

41324P2P18ABCMq2P1ABCMP2QI1rBMArC22I為BC部分的瞬心解:解除A端的轉(zhuǎn)動(dòng)約束代之

約束力偶矩MA。畫虛位移圖。rC=(AC)1=(IC)21利用虛位移圖計(jì)算虛功P1ABCMP2QI1rBMArC22W(MA)=MA1W(P1)=-301W(Q)=-1202=

-601W(P2)=-1602

=-801W(M)=2002=1001由虛位移原理得:MA1-301-601-801+1001=0MA=70P1ABCMQP2XArrrr

解除A端的水平約束代之約束反力

XA畫虛位移圖.由虛位移原理得:利用虛位移圖計(jì)算虛功W(P1)=10rW(XA)=XAr10r+XAr=0XA=-10AC桿和BC桿均平動(dòng)W(Q)=W(P2)=W(M)=0解除A端的豎直約束代之約束反力YA畫虛位移圖AC桿平動(dòng).I為BC部分的瞬心.P2P1ABCMQIrCrBrAYA利用虛位移圖計(jì)算虛功YA由虛位移原理得:-60-160+200+8YA=0W(YA)=YArA=8YAW(M)=200W(P2)=-160W(Q)=-60W(P1)=0P2P1ABCMQIrCrBrAYA例題1一桁架如下圖所示,求CD桿的內(nèi)力。

PPPPPQQCBADEFGHK55533、求桿件內(nèi)力解:截?cái)郈D桿代之內(nèi)力SC和SD,且SC

=SD

=S

畫虛位移圖。PPPPPQQCBADEFGHK5553SDSCG21rKG為DEFHGK部分的瞬心rK=51=1021=22利用虛位移圖計(jì)算虛功PPPPPQQCBADEFGHK5553SDSCG21rKW(SC)=0W(SDSD2W(Q)=0W(P)=(2.5+5)P1+(7.5+5+2.5)P2P1+15P2由虛位移原理得:P1+15P2+

SD2=0SC

=SD

=S(1)廣義虛位移和廣義力.

在一般情況下,設(shè)一個(gè)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系,受有s個(gè)定常的完整約束,則系統(tǒng)具有k=2n-s個(gè)自由度.

如以q1,q2,…qk表示所選定的廣義坐標(biāo),則質(zhì)點(diǎn)系中任一質(zhì)點(diǎn)Mi的直角坐標(biāo)可以表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù).xi=xi(q1,q2,…,qk)yi=yi(q1,q2,…,qk)(i=1,2,…,n)---多自由度系統(tǒng)廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件*§15.虛位移原理質(zhì)點(diǎn)的矢徑也可表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù).ri=

ri(q1,q2,…,qk)(i=1,2,…,n)對(duì)上式進(jìn)行變分得;(i=1,2,…,n)把上式代入虛位移原理的矢量表達(dá)式得:交換上式中與相加的次序得:令虛位移原理可以簡(jiǎn)寫為上式中稱為對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義虛位移.qjqj稱為對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義力Qjqj(1)

由于各廣義虛位移是彼此獨(dú)立的,所以(1)式成立時(shí),必須Q1=0,Q2=0,…,Qk=0(2)具有雙面,定常,理想約束的質(zhì)點(diǎn)系,其平衡的必要和充分條件:在某一給定的平衡位置上,對(duì)應(yīng)于各個(gè)廣義坐標(biāo)的廣義力都等于零.Qj

＝0，j＝1、2、......k下面給出廣義力的三種計(jì)算方法：法①：用定義計(jì)算；

法②：因?yàn)棣膓j

全部獨(dú)立，因此