定積分的幾何應(yīng)用

關(guān)于定積分的幾何應(yīng)用第1頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月回顧曲邊梯形求面積的問題abxyo一、元素法第2頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月面積表示為定積分的步驟如下（3）求和，得A的近似值第3頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月abxyo（4）求極限，得A的精確值提示面積元素第4頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月第5頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月微元法的一般步驟：第6頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月這個方法通常叫做元素法．應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長；功；水壓力；引力和平均值等．第7頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月[f上(x)f下(x)]dx,它也就是面積元素.二、平面圖形的面積

設(shè)平面圖形由上下兩條曲線yf上(x)與yf下(x)及左右兩條直線xa與xb所圍成.

因此平面圖形的面積為

在點x處面積增量的近似值為

1.直角坐標(biāo)情形第8頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月討論：由左右兩條曲線xj左(y)與xj右(y)及上下兩條直線yd與yc所圍成的平面圖形的面積如何表示為定積分？提示：

面積為

面積元素為[j右(y)j左(y)]dy,第9頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

例1

計算拋物線y2x與yx2所圍成的圖形的面積.

解

(2)確定在x軸上的投影區(qū)間:(4)計算積分[0,1];(1)畫圖;第10頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

例2

計算拋物線y22x與直線yx4所圍成的圖形的面積.

(2)確定在y軸上的投影區(qū)間:(4)計算積分(3)確定左右曲線:[-2,4].

解

(1)畫圖;第11頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

例3

因為橢圓的參數(shù)方程為

xacost,

ybsint,

所以

解

橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍.于是

ydx,

橢圓在第一象限部分的面積元素為第12頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月曲邊扇形曲邊扇形的面積元素

曲邊扇形是由曲線()及射線,

所圍成的圖形.曲邊扇形的面積2.極坐標(biāo)情形第13頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

例4

計算阿基米德螺線a(a>0)上相應(yīng)于從0變到2

的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積.

解

例5

計算心形線a(1cos)(a>0)所圍成的圖形的面積.

解

曲邊扇形的面積：第14頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月三、體積

旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.

這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸.

1.旋轉(zhuǎn)體的體積第15頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線yf(x)、直線xa、ab及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.

1.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積元素考慮旋轉(zhuǎn)體內(nèi)點x處垂直于x軸的厚度為dx的切片,

用圓柱體的體積[f(x)]2dx作為切片體積的近似值,旋轉(zhuǎn)體的體積

于是體積元素為

dV[f(x)]2dx.

第16頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

例6

連接坐標(biāo)原點O及點P(h,

r)的直線、直線xh及x軸圍成一個直角三角形.

將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個底半徑為r、高為h的圓錐體.

計算這圓錐體的體積.

旋轉(zhuǎn)體的體積：

解

第17頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

解

軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體.

旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積：

例7

計算由橢圓所成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體)的體積.

第18頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)立體在x軸上的投影區(qū)間為[a,

b],

立體內(nèi)垂直于x軸的截面面積為A(x).

立體的體積元素為

立體的體積為2.平行截面面積為已知的立體的體積A(x)dx.第19頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月截面面積為A(x)的立體體積：

例9

一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心,

并與底面交成角.

計算這平面截圓柱所得立體的體積.

建立坐標(biāo)系如圖,則底圓的方程為x2y2R2.

所求立體的體積為

解

立體中過點x且垂直于x軸的截面為直角三角形,其面積為第20頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月四、平面曲線的弧長

設(shè)曲線弧由直角坐標(biāo)方程yf(x)(axb)給出,

其中f(x)在區(qū)間[a,

b]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù).

現(xiàn)在來計算這曲線弧的長度.

在曲率一節(jié)中,

我們已經(jīng)知道弧微分的表達(dá)式為這也就是弧長元素.

因此,曲線弧的長度為直角坐標(biāo)情形第21頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

例11

長度.

因此,

所求弧長為

解

曲線yf(x)(axb)的弧長：

第22頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)曲線弧由參數(shù)方程x(t)、y(t)(t)給出,

其中(t)、(t)在[,

]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).于是曲線弧的長為曲線yf(x)(axb)的弧長：

參數(shù)方程情形第23頁，課件共26頁，創(chuàng)作于2023年2月曲線x(t)、y(t)(t)的弧長：

例12

求擺線xa(qsinq),

ya(1cosq)的一拱(02)的長度.

解

于是所求弧長為曲線yf(x)(axb)