《統(tǒng)計學教程》第10章 時間序列分析

《統(tǒng)計學教程》第10章時間序列分析2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》第10章時間序列分析10.1描述性分析

10.1.1時間序列的種類

10.1.2發(fā)展水平和平均發(fā)展水平

10.1.3增長量與平均增長量

10.1.4發(fā)展速度和增長速度

10.1.5平均發(fā)展速度與平均增長速度10.2長期趨勢分析

10.2.1長期趨勢的因素分析

10.2.2移動平均法

10.2.3指數平滑

10.2.4模型擬合法10.3季節(jié)變動分析

10.3.1

長期趨勢的剔除

10.3.2

季節(jié)指數的計算10.4循環(huán)變動分析第10章時間序列分析

10.1描述性分析《統(tǒng)計學教程》盧小廣2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

第10章時間序列分析

10.1描述性分析10.1.1時間序列的種類時間序列（TimeSeries）是指按照時間先后依次排列的觀測值所構成的數列，因而也稱為時間數列，或動態(tài)數列。按照時間序列中依次排列的觀測值的屬性不同，可以將時間序列分為絕對數時間序列、相對數時間序列和平均數時間序列三種。其中絕對數時間序列又具體分為時期序列和時點序列兩種。

時期序列是由時期絕對數數據所構成的時間序列，其中的每個數值反映現象在一段時間內發(fā)展過程的總量。時點序列是由時點絕對數數據所構成的時間序列，其中的每個數值反映現象在某一時點上所達到的水平。2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

第10章時間序列分析

10.1描述性分析

時期序列與時點序列的區(qū)別。

其一，時期序列中的各個數數值可以相加，各個數數值的和表示了在所對應的時期之內事物及其現象的發(fā)展總量。而時點序列中各個數數值相加通常沒有明確的意義；其二，時期序列中各項數值的大小與所包括的時期長短有直接關系，時點序列中各數數值與其時點間隔長短沒有直接關系。2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

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10.1描述性分析10.1.2發(fā)展水平和平均發(fā)展水平1．發(fā)展水平發(fā)展水平（DevelopmentLevel）是指時間序列中數據的具體數值，用來反映事物及其現象的數量特征在各個時期或時點上所達到的規(guī)模和水平。在時間序列分析中，用t表示時間，可以是年、季、月、周、日，也可以是任何一個時間間隔。用表示Y發(fā)展水平，通常把時間序列中的第一個數數值叫最初水平，用Y0表示。最后一個數數值叫最末水平，用YN表示，其余各項發(fā)展水平均稱為中間水平。在進行兩項發(fā)展水平的比較時，一般把所研究的那個時間的發(fā)展水平叫報告期水平或計算期水平，用Y1

表示，把用來作為比較基礎的發(fā)展水平叫基期水平，用Y0表示。2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

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10.1描述性分析2．平均發(fā)展水平平均發(fā)展水平（AverageDevelopmentLevel）使指時間序列中的發(fā)展水平的平均數，一般又稱為序時平均數。按照時間序列是時期序列，還是時點序列，序列中各項數據的時期長度是否一致，有以下4種平均發(fā)展水平的計算公式。

（1）時期序列，各項時期數據的時期長度一致，其計算公式為

（10.1）在時點序列情況下，采用逐日登記方式采集數據時，稱之為連續(xù)性的時點序列，一般也采用式（10.1）。（2）時期序列，各項時期數據的時期長度（用表示）不一致，其計算公式為

（10.2）2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

第10章時間序列分析

10.1描述性分析（3）時點序列，各項時點數據的間隔時間長度一致，其計算公式為

（10.3）（4）時點序列，各項時點數據的間隔時間長度不一致，其計算公式為

（10.4）采用式（10.3）和式（10.4），由時點序列計算平均發(fā)展水平的基本思想是假定數據在相鄰兩個時點之間的變動是均勻的，呈直線發(fā)展的，時間間隔越大，這一假定性就越大，準確程度也就越差。為此，時點序列數據之間的時間間隔不宜過長。2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

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10.1描述性分析3．由相對數或平均數時間序列計算平均發(fā)展水平相對數和平均數時間序列，需先分別計算出分子、分母兩個絕對數時間序列的序時平均數，然后再進行分子和分母的對比，進而求出相對數和平均數時間序列的平均發(fā)展水平。由相對數或平均數時間序列計算平均發(fā)展水平基本公式為

（10.5）2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

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10.1描述性分析

例10.1

某工廠第三季度各月計劃完成情況如表10.1所示。表10.1某工廠第三季度各月計劃完成情況要求試計算該工廠第三季度計劃完成程度。（1）在各月的計劃數和實際數數據都具備時，直接采用式（10.5）計算。（2）在擁有各月的計劃數和計劃完成情況數據，缺少母項數據時，則可根據式（10.5）間接地獲得各月的實際數數據，再計算出該工廠第三季度計劃完成程度。（3）在擁有各月的實際數和計劃完成情況數據，缺少子項計劃數數據時，仍然可以根據式（10.5）間接地獲得各月的計劃數數據，再計算出該工廠第三季度計劃完成程度。2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

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10.1描述性分析例10.2

某商店第二季度商品流轉次數及有關資料如表10.2所示。表10.2某商店第二季度商品流轉情況要求試計算該商店第二季度月平均商品流轉次數。

（1）計算子項——該商店第二季度月平均零售總額。采用式（10.1），有（2）計算母項——該商店第二季度月平均庫存額。采用式（10.3）計算。有（3）比較子項和母項，該商店第二季度月平均商品流轉次數為1.78次。2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

第10章時間序列分析

10.1描述性分析10.1.3增長量與平均增長量1．增長量增長量（GrowthAmount）是時間序列中報告期水平與基期水平之差，用來說明事物及其現象的某一數量特征在一定時期內增減變動的水平。在計算增長量數時，由于采用的基期不同，增長量分為逐期增長量和累計增長量兩種。累計增長量是報告期水平同某一固定時期水平（通常為最初水平）之差，說明報告期比某一固定時期增加或減少的總量數量。

（10.6）逐期增長量是時刻的報告期水平同前一時期時刻水平之差，說明報告期比前一期增加或減少的總量。

（10.7）

逐期增長量與累計增長量之間的關系為逐期增長量之和等于對應的累計增長量。2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

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10.1描述性分析2．平均增長量平均增長量（AverageGrowthAmount）是逐期增長量的算術平均數，用來事物及其現象的某一數量特征在一定時期內平均每期增加或減少的絕對數量。其計算公式為

（10.9）

由于逐期增長量之和等于累計增長量，所以上式又可寫成：

（10.10）

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10.1描述性分析10.1.4發(fā)展速度和增長速度

1．發(fā)展速度。發(fā)展速度（DevelopmentRate）是時間序列中報告期水平與基期水平之比，說明某一數量特征在一定時期內的相對程度的高低變化。發(fā)展速度可分為定基發(fā)展速度和環(huán)比發(fā)展速度。定基發(fā)展速度是報告期水平與某一固定時期水平（通常為最初水平）之比，表明事物及其現象的數量特征在一個較長時期內總的變動情況。

（10.11）環(huán)比發(fā)展速度是時刻的報告期水平同前一期水平之比，反映事物及其現象的數量特征的逐期發(fā)展變動情況。

（10.12）環(huán)比發(fā)展速度的連乘積等于對應的定基發(fā)展速度。2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

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10.1描述性分析2．增長速度增長速度（GrowthRate）是增長量與基期水平之比，說明事物及其現象的某一數量特征在一定時期內增長的相對程度，也稱為增長率。

由于增長量是報告期水平與基期水平之差，所以增長速度等于發(fā)展速度減去1，當發(fā)展速度大于1時，增長速度為正值，表明事物及其現象某一數量特征的增長程度；當發(fā)展速度小于1時，增長速度為負值，表明某一數量特征降低的程度。由于所采用的基期不同，增長速度也分為定基增長速度和環(huán)比增長速度。定基增長速度是累計增長量與固定基期水平之比，反映某一數量特征在一段較長時期內總的增長程度。環(huán)比增長速度是逐期增長量與前期水平之比，反映某一數量特征的逐期增長程度。2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

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10.1描述性分析

為了剔除季節(jié)變動影響，滿足經濟管理需要，在政府統(tǒng)計工作中經常使用年距增長量、年距發(fā)展速度和年距增長速度等，具有年距特征的統(tǒng)計指標。有

年距增長量＝本期發(fā)展水平

—

上年同期發(fā)展水平

年距發(fā)展速度（%）＝（本期發(fā)展水平/上年同期發(fā)展水平）×100％

年距增長速度（%）＝年距發(fā)展速度（%）—100%

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10.1描述性分析

10.1.5平均發(fā)展速度與平均增長速度平均發(fā)展速度是時間序列中的環(huán)比發(fā)展速度的動態(tài)平均數。平均增長速度是時間序列中的環(huán)比增長速度的動態(tài)平均數。平均增長速度不能通過環(huán)比增長速度直接計算，而必須在平均發(fā)展速度的基礎上間接計算。平均發(fā)展速度與平均增長速度之間的關系是平均增長速度＝平均發(fā)展速度－1，即

（10.16）根據環(huán)比發(fā)展速度計算的平均發(fā)展速度，也是一種序時平均數，可以采用幾何平均法或方程式法這兩種方法來計算。

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10.1描述性分析1．水平法水平法又叫幾何平均法。由于現象在一段時期內環(huán)比發(fā)展的總速度不等于各期環(huán)比發(fā)展速度之和，而是等于各期環(huán)比發(fā)展速度的連乘積，所以計算平均發(fā)展速度不能應用算術平均法，可以使用幾何平均法。即（10.17）水平法的思想是從最初水平出發(fā)，每一期都按照平均發(fā)展速度勻速遞增，到最末一期正好達到實際的最末水平。因此，水平法的著眼點是最初水平和最末水平，符合經濟管理中許多情況下人們對平均發(fā)展速度的理解和要求。例如在研究社會生產能力和發(fā)展水平時，如計算一定時間內國內生產總值達到的水平時，就要使用水平法來計算這一段時間內國內生產總值的平均發(fā)展速度。但是水平法忽略了對于中間水平的考察，一般需要計算分段的水平法平均發(fā)展速度加以補充。2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

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10.1描述性分析2．累計法累計法又稱為方程式法。這種方法的基本思想是從最初水平出發(fā)，每期按照平均發(fā)展速度固定發(fā)展，將各期推算的遞增的水平加總，恰好等于各期實際水平的總和。即（10.18）

累計法不僅考慮了最初水平和最末水平，而且還考慮了中間水平的的數值水平。當我們分析以各期累計數值為目標的實際問題時，應采用累計法。運用累計法得到的平均發(fā)展速度，計算的最末水平一般不等于實際的最末水平數值。2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

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10.1描述性分析

例10.3

某鋼鐵企業(yè)近五年產品產量數據如表10.3所示。表10.3某鋼鐵企業(yè)近五年產品產量情況萬噸

要求試計算該鋼鐵企業(yè)近五年產品產量的逐期增長量、累計增長量、環(huán)比發(fā)展速度、定基發(fā)展速度、平均增長量、以及運用水平法計算平均發(fā)展速度，和平均增長速度。2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

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10.1描述性分析

表10.4某鋼鐵企業(yè)近五年產品產量情況分析

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10.2長期趨勢分析《統(tǒng)計學教程》盧小廣2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

第10章時間序列分析

10.2.1長期趨勢的因素分析

1．時間序列變動的影響因素時間序列所反映的某一數量特征的發(fā)展變化是由多種復雜因素共同作用的結果，可將時間序列中的影響因素大致歸納為四類，即長期趨勢（T）、季節(jié)變動（S）、循環(huán)變動（C）和不規(guī)則變動（I）。長期趨勢（Trend）是指時間序列在一個相當長時期內，持續(xù)向上或向下發(fā)展變化的趨勢，反映了長期發(fā)揮作用的基本因素引起的變動。季節(jié)變動（SeasonalFluctuation）是指時間序列以一年為周期的有規(guī)律的波動。循環(huán)變動（CyclicalFluctuation）是指時間序列中圍繞長期趨勢的一種高低往復、周而復始的規(guī)則性變動。不規(guī)則變動（IrregularVariations）即為剩余變動，是指時間序列中除了長期趨勢（T）、季節(jié)變動（S）和循環(huán)變動（C）的變動之外的，受隨機的、偶然的因素引起的一種非趨勢性、非周期性的變動。10.2長期趨勢分析

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10.2長期趨勢分析2．時間序列變動因素的測定模型當時間序列中的四類變動因素按照總和的方式組合起來，即將時間序列的總變動（Y）表現為各種因素變動的總和，這時有（10.19）稱之為加法模型。在加法模型中，Y，T，S，C和I均為絕對數。當時間序列中的四類變動因素按照連乘的方式組合起來，即將時間序列的總變動（Y）表現為各種因素變動的積，這時有（10.20）稱之為乘法模型。在乘法模型中，Y，T為絕對數，S，C和I為相對數，一般用百分數表示。由于相對數具有直接的可比性，乘法模型得到了廣泛的使用。此外，還有將加法模型和乘法模型綜合運用的混合模型等用于測定時間序列變動因素的其它模型形式。2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

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10.2長期趨勢分析

10.2.2移動平均法移動平均法（MovingAverageMethod）是指逐期移動計算時間序列的序時平均數的方法和過程，也稱為移動平滑法。在趨勢分析中，將移動平均數作為趨勢值或預測值，移動平均數一般記為。

1．簡單移動平均簡單移動平均（SimpleMovingAverage）是指以t時刻之前K期發(fā)展水平的簡單序時平均數作為第t+1時刻發(fā)展水平的預測值的方法和過程。在移動平均中稱K為移動間隔，移動間隔為K的移動平均稱為K項移動平均。事物發(fā)展運動的數量特征總是圍繞著基本趨勢上下波動，采用移動平均數值作為預測數值，就是試圖通過移動平均消除原時間序列數據中的波動干擾，將事物及其現象某一數量特征的長期趨勢呈現出來。移動平均數值所具有的滯后性、穩(wěn)健性的平滑數值特征，恰好滿足了一些時間序列長期趨勢分析的要求。2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

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10.2長期趨勢分析

有第t+1時刻的移動平均預測值為（10.21）由式（10.21）可見，簡單移動平均就是以逐期移動的方式，采用式（10.1）計算出各期的序時平均數作為預測值。由此，可得出簡單移動平均預測值的遞推公式，為（10.22）利用式（10.22）的簡單移動平均遞推公式，可以更加便利地計算出第時刻的移動平均預測值。

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10.2長期趨勢分析

例10.4

某城市近15年以來人口自然增長率數據如表10.5所示。表10.5某城市近16年人口自然增長率情況‰

要求試在移動間隔為3、5、7時，對該市近16年以來人口自然增長率進行簡單移動平均分析。2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

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10.2長期趨勢分析

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10.2長期趨勢分析

2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析2．加權移動平均加權移動平均（WeightedMovingAverage）是指以t時刻之前K期發(fā)展水平的加權算術平均值作為第t+1時刻發(fā)展水平的預測值的方法和過程。有

（10.23）式（10.21）中的權數一般是以t時刻的權數數值最大，然后逐項減小，以反映離預測時刻越近的數值對預測值影響力越大的客觀要求，所以，加權移動平均是以逐期移動的方式，采用類似式（10.2）的加權方式計算出各期的序時平均數作為預測值。由于式（10.21）中的各項權數的數值各不相同，使得加權移動平均的遞推公式不能導出一般形式的遞推公式。2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

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10.2長期趨勢分析

10.2.3指數平滑指數平滑（ExponentialSmoothing）是指以作為時間序列中第t-j項數據的權數，計算出來作為第t+1時刻發(fā)展水平的預測值的方法和過程。有一次指數平滑的第t+1時刻的預測值的計算公式為（10.24）

由式（10.24）可以看出一次指數平滑的預測值為t+1時刻之前所有發(fā)展水平的加權算術平均值。權數的數值依其平滑因子的取值呈指數衰減，靠近時刻的權數數值最大，其它則逐項減小。并且權數的數值呈指數衰減的速度，決定于平滑因子的取值。平滑因子α的取值越大，越趨于1，（1-α）數值越小，權數的數值呈指數衰減的速度越快，靠近時刻的數據對一次指數平滑的預測值的影響越大，預測值表現得越為敏感。2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析

由式（10.24）可導出一次指數平滑的遞推公式，由有一次指數平滑的遞推公式為（10.25）利用遞推公式，只要根據時刻的預測值，和時刻的實際發(fā)展水平數據，以及平滑因子就可以簡單而快捷地計算出時刻的一次指數平滑預測值。2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析

例10.5

仍然采用例10.5的某城市近15年以來人口自然增長率實例，試在平滑因子分別為0.5、0.25、0.1時，進行一次指數平滑分析。

2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析

10.2.4模型擬合法使用移動平均數值作為預測值是將一個平均數值，人為地前移之后，作為t+1時刻的預測數值，存在著一個固有的，不可克服的滯后問題。所以，在許多場合需要采用模型擬合法對長期趨勢進行預測和分析。對于長期趨勢的模型擬合是采用數學方程的形式，來模擬客觀存在的事物及其現象的某一數量特征的基本的、穩(wěn)定的、長期的增長規(guī)律性，因此又統(tǒng)稱為趨勢模型，或增長模型。趨勢模型與在第9章中介紹的回歸模型的共同特點是均可采用回歸的方法來估計模型的參數，但是趨勢模型并不揭示事物及其現象之間的因果聯(lián)系，只是反映事物及其現象的某一數量特征依時間推移所呈現出來的某種變動的規(guī)律性。因而趨勢模型也被稱為非因果關系的定量模型。

2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析1．線性模型擬合當事物及其現象的某一數量特征依時間推移呈現出穩(wěn)定的增長或上升的直線變動趨勢時，可以采用線性模型來描述其變動規(guī)律性，進行相關的預測和分析。有線性方程為（10.26）式（10.26）就是線性趨勢方程，或稱直線趨勢方程。由最小二乘法，可以得到求解線性方程的標準方程為

（10.28）2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

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10.2長期趨勢分析

例10.6某企業(yè)自1991年至2005年以來年產量數據如表10.8所示。

表10.8某企業(yè)近15年產品產量情況萬噸要求試采用線性模型擬合方法，估計該企業(yè)自1991年至2005年的15年以來年產量的線性趨勢方程，并預計該企業(yè)在2006年度的產量。解首先分析該企業(yè)近15年以來年產量的發(fā)展水平是否存在顯著的線性趨勢，然后采用式（10.28）來估計該企業(yè)近15年以來年產量的線性趨勢方程，并對企業(yè)在2006年度的產量進行預測。2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

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10.2長期趨勢分析

（1）繪制散點圖或折線圖，對該企業(yè)近15年以來年產量的發(fā)展水平是否存在顯著的線性趨勢進行初步判斷。根據表10.8數據繪制的折線圖如圖10.3所示，該折線圖概略地描繪出該企業(yè)近15年以來年產量的發(fā)展水平存在著線性趨勢。

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10.2長期趨勢分析

（2）計算該企業(yè)近15年以來年產量的發(fā)展水平與時間的相關系數，對兩者之間的線性相關關系進行定量分析。計算出年產量與時間的相關系數為0.9905，并對其進行顯著性檢驗，有檢驗統(tǒng)計值為該檢驗統(tǒng)計量的自由度為n-2=13，在顯著性水平為0.05下，檢驗統(tǒng)計值大于t分布臨界值，拒絕的原假設，認為該企業(yè)近15年以來年產量的發(fā)展水平與時間之間存在顯著的線性相關關系。2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

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10.2長期趨勢分析

（3）運用式（10.28）估計出該企業(yè)近15年以來年產量的線性趨勢方程（4）預測該企業(yè)在2006年度的產量。由擬合的線性趨勢方程，令t=16，預計該企業(yè)在2006年度的產量為1176.33萬噸。（5）統(tǒng)計顯著性檢驗

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10.2長期趨勢分析2．二次曲線模型擬合當事物及其現象的某一數量特征依時間推移呈現出拋物線的形態(tài)時，可以考慮擬合二次曲線方程來描述其變動規(guī)律性，進行相關的預測和分析。有二次曲線方程為（10.29）由最小二乘法，可以得到求解待估參數的標準方程為（10.30）2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析

例10.7若例10.7中某企業(yè)自1991年至2005年以來15年中產品產量的數據，依時間推移呈現出二次曲線的特征。要求試采用二次曲線模型擬合方法，估計該企業(yè)自1991年至2005年的15年以來年產量的二次曲線趨勢方程，并預計該企業(yè)在2006年度的產品產量。表10.12方差分析表表10.13參數估計表

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第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析

3．指數曲線模型擬合指數曲線模型（ExponentialCurveModel）是指呈幾何級數變動特征的數學模型。有指數曲線方程為（10.31）在指數曲線模型里，待估參數

的經濟意義類似于最初水平；而待估參數相當于平均發(fā)展速度，表示某一數量特征依時間推移按照的數值水平呈幾何級數變動。對式（10.31）等號的左右端同時取自然對數，即將指數曲線方程“線性化”，得到對數線性方程，并由最小二乘法，可以得到求解和的標準方程為（10.33）2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析例10.8某企業(yè)自1990年至2005年產品年銷售總額數據如表10.8所示。表10.14某企業(yè)1990年至2005年銷售總額情況萬元

表10.16方差分析表表10.17參數估計表2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析

4．修正指數曲線模型擬合修正指數曲線模型（ModifiedExponentialCurveModel）是在指數曲線模型基礎上增加了一個常數項，將指數曲線沿y軸平移了K個單位的趨勢模型。當事物及其現象的某一數量特征在初期快速增長，隨后增長逐漸減緩，增長速度依時間推移呈現出幾何級數下降的變動趨勢時，可以采用修正指數曲線模型來描述其變動規(guī)律性，進行相關的預測和分析。有修正指數曲線方程為（10.34）

一般來說，修正指數曲線模型適宜在和的條件下使用。由于修正指數曲線模型中增加了一個常數項的待估參數，不能夠通過簡單的變化來實現對模型的線性化處理，一般采用三和法求解修正指數曲線方程中的待估參數。2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析

三和法將時間序列中的發(fā)展水平等分為3個部分，每個部分的項數為m項，構成了3項等式在此基礎上來解出3個待估參數。由幾何級數的前n項和公式，有可以解得修正指數曲線方程中3個待估參數的公式為

（10.38）2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析

例10.9某公司自1988年至2005年主產品A年銷售總額數據如表10.18所示。表10.18某公司1988年至2005年A產品年銷售總額情況萬元要求試采用修正指數曲線模型擬合方法，估計該公司自1988年至2005年A產品年銷售總額的修正指數曲線趨勢方程，并預計該企業(yè)在2006年度的銷售總額。

2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析5．邏輯曲線模型擬合邏輯曲線模型（LogisticCurveModel）是由比利時數學家Verhulst提出的一類趨勢模型，最初主要用于模擬人口數量的增長，通常根據其圖形的基本特征稱之為“S”曲線。邏輯曲線方程的一般形式為

（10.39）經常采用的是邏輯曲線方程的簡化形式，即

（10.40）式（10.40）也稱為狹義的邏輯曲線方程。

可以采用采用三和法求解邏輯曲線方程。2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

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10.2長期趨勢分析

首先將式（10.40）寫為（10.41）然后，將樣本分為3個部分并分別求和，令

有

（10.43）2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析

例10.10某醫(yī)藥企業(yè)1988年試制生產的B藥品，自1988年至2005年的年銷售總量數據如表10.20所示。表10.20某醫(yī)藥企業(yè)B藥品年銷售總量情況kg

要求試采用邏輯曲線模型擬合方法，估計該醫(yī)藥企業(yè)B藥品銷售總量自1988年至2005年的邏輯曲線趨勢方程，并預計該企業(yè)在2006年度的銷售總量。2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

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10.2長期趨勢分析6．龔鉑茨曲線模型擬合龔鉑茨曲線模型（GompertzCurveModel）由英國統(tǒng)計學家B.Gompertz于1825年提出，并因此而得名。龔鉑茨曲線方程的一般形式為

（10.44）與邏輯曲線方程相似，龔鉑茨曲線方程也有兩條漸近線，和一個拐點。同樣，可以采用三和法求解龔鉑茨曲線的待估參數。首先，對式（10.44）等式兩端取對數，有

（10.45）

2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析

設時間序列3個部分的發(fā)展水平之和分別為則求解龔鉑茨曲線方程中3個待估參數的公式為

（10.46）2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

第10章時間序列分析

10.2長期趨勢分析

在進行長期趨勢分析時，對于同一時間系列數據的不同長期趨勢模型的優(yōu)劣比較，可以采用長期趨勢方程的擬合值與原時間序列觀測值的離差平方和，即誤差平方和作為評價測度。一般有，誤差平方和較小的趨勢模型擬合的效果較好。第10章時間序列分析

10.3季節(jié)變動分析《統(tǒng)計學教程》盧小廣2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

第10章時間序列分析

10.3季節(jié)變動分析10.3.1

長期趨勢的剔除季節(jié)變動分析一般采用乘法模型。由式（10.20）可知，在時間序列的乘法模型中剔除長期趨勢，可以用長期趨勢數值去除時間序列樣本的原有數據，有（10.46）當時間序列中含有顯著的長期趨勢，而又沒有剔除長期趨勢變動影響時，長期趨勢就會參雜在季節(jié)變動之中，使計算出來的反映季節(jié)因素變動的季節(jié)指數中含有顯著的系統(tǒng)性偏誤。所以在實施季節(jié)分析之前，必須對時間序列進行分析，當時間序列存在顯著的長期趨勢時，就必須首先對該時間序列進行長期趨勢的剔除，為正確地計算季節(jié)指數奠定基礎。2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

第10章時間序列分析

10.3季節(jié)變動分析

例10.11某市近3年各個季節(jié)的冬季服裝銷售總量數據如表10.21所示。由表10.21中該市各年的冬季服裝銷售量合計數據，每年銷售量上升的勢頭明顯，可以看出該市冬季服裝銷售量時間序列存在著逐年遞增的長期趨勢。表10.21某市近3年各季冬季服裝銷售量千件

要求

采用線性趨勢模型來反映該市近3年冬季服裝銷售量的長期趨勢，并利用線性趨勢方程估計數值來剔除原時間序列中的長期趨勢。2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

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10.3季節(jié)變動分析

解首先，根據擬合線性趨勢方程的式（10.28），計算出該市近3年冬季服裝銷售量的線性趨勢方程。然后，用估計的線性趨勢方程計算出來的擬合數值，去除原時間序列中對應的數值。

2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

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10.3季節(jié)變動分析10.3.2

季節(jié)指數的計算在剔除了長期趨勢之后的時間序列中，除了季節(jié)變動（S），還包括循環(huán)變動（C）、和不規(guī)則變動（I）。一般采用平均的方法，通過計算每年各月（季）的平均數，使每年各季（月）中的循環(huán)變動（C）、和不規(guī)則變動（I）的變動相互抵消，讓季節(jié)變動（S）呈現出來。然后，將每年各月（季）的平均數與總的月（季）平均數的比值，作為度量季節(jié)變動的測度，稱為季節(jié)指數。季節(jié)指數（SeasonalIndex,S.I.）是指剔除了長期趨勢之后的時間序列的月（季）的平均數與總的月（季）平均數的比值，一般用百分數表示。

2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

第10章時間序列分析

10.3季節(jié)變動分析計算季節(jié)指數的具體步驟如下：（1）分別將每年各月（季）的數值加總，計算各年月（季）的總數。（2）根據各年同月(季)的總數，計算各年月（季）的平均數。（3）將各個月（季）的平均數加總，計算各年總的月（季）平均數。（4）將若干年內同月（季）的平均數與總的月（季）平均數相比，即求得用百分數表示的各月（季）的季節(jié)比率，又稱季節(jié)指數（S.I.）。

（10.47）當按月計算的季節(jié)指數之和不為1200%；按季計算的季節(jié)指數之和不為400%時，需要計算出校正系數，有（10.48）2023年5月14日/*《統(tǒng)計學》

第10章時間序列分析

10.3季節(jié)變動分析

例10.11

剔除長期趨