2016年高考四川理科數(shù)學(xué)試題及答案(word解析版)

年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù)學(xué)（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．（1）【2016年四川，理1，5分】設(shè)集合，Z為整數(shù)集，則集合中元素的個(gè)數(shù)是（）（A）3（B）4（C）5（D）6【答案】C【解析】由題可知，，則中元素的個(gè)數(shù)為5，故選C．【點(diǎn)評(píng)】集合的概念及運(yùn)算一直是高考的熱點(diǎn)，幾乎是每年必考內(nèi)容，屬于容易題．一般是結(jié)合不等式，函數(shù)的定義域值域考查，解題的關(guān)鍵是結(jié)合韋恩圖或數(shù)軸解答．（2）【2016年四川，理2，5分】設(shè)為虛數(shù)單位，則的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】由題可知，含的項(xiàng)為，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算也是高考的熱點(diǎn)，幾乎是每年必考內(nèi)容，屬于容易題．一般來(lái)說(shuō)，掌握復(fù)數(shù)的基本概念及四則運(yùn)算即可．二項(xiàng)式的展開(kāi)式可以改為，則其通項(xiàng)為，即含的項(xiàng)為．（3）【2016年四川，理3，5分】為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（）（A）向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度（B）向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度（C）向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度（D）向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】由題可知，，則只需把的圖象向右平移個(gè)單位，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象平移，在函數(shù)的圖象平移變換中要注意人“”的影響，變換有兩種順序：一種的圖象向左平移個(gè)單位得，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得的圖象，另一種是把的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得的圖象，向左平移個(gè)單位得的圖象．（4）【2016年四川，理4，5分】用數(shù)字1，2，3，4，5構(gòu)成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（） （A）24（B）48（C）60（D）72【答案】D【解析】由題可知，五位數(shù)要為奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)只能是1，3，5；分為兩步：先從1，3，5三個(gè)數(shù)中選一個(gè)作為個(gè)位數(shù)有，再將剩下的4個(gè)數(shù)字排列得到，則滿足條件的五位數(shù)有，故選D．【點(diǎn)評(píng)】利用排列組合計(jì)數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類和分步，分類時(shí)要注意不重不漏，分步時(shí)要注意整個(gè)事件的完成步驟．在本題中，個(gè)位是特殊位置，第一步應(yīng)先安排這個(gè)位置，第二步再安排其他四個(gè)位置．（5）【2016年四川，理5，5分】某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：，，） （A）2018年 （B）2019年（C）2020年（D）2021年【答案】B【解析】設(shè)年后該公司全年投入的研發(fā)資金為200萬(wàn)元，由題可知，，解得，因資金需超過(guò)200萬(wàn)，則取4，即2019年，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用．在實(shí)際問(wèn)題中平均增長(zhǎng)率問(wèn)題可以看作是等比數(shù)列的應(yīng)用，解題時(shí)要注意把哪個(gè)作為數(shù)列的首項(xiàng)，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫(xiě)出通項(xiàng)，列出不等式或方程就可解得結(jié)論．（6）【2016年四川，理6，5分】秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書(shū)九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法，如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例。若輸入n，x的值分別為3，2．則輸出v的值為（）（A）9（B）18（C）20（D）35【答案】B【解析】初始值，，程序運(yùn)行過(guò)程如下表所示，，，，，，，，跳出循環(huán)，輸出，故選B．【點(diǎn)評(píng)】程序框圖是高考的熱點(diǎn)之一，幾乎是每年必考內(nèi)容，多半是考循環(huán)結(jié)構(gòu)，基本方法是將每次循環(huán)的結(jié)果一一列舉出來(lái)，與判斷條件比較即可．（7）【2016年四川，理7，5分】設(shè)：實(shí)數(shù)，滿足，：實(shí)數(shù)，滿足則是的（）（A）必要不充分條件（B）充分不必要條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】如圖，①表示圓心為，半徑為的圓內(nèi)區(qū)域所有點(diǎn)（包括邊界）；②表示內(nèi)部區(qū)域所有點(diǎn)（包括邊界）．實(shí)數(shù)滿足②則必然滿足①，反之不成立．則是的必要不充分條件，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分性與必要性的判斷問(wèn)題，首先是分清條件和結(jié)論，然后考察條件推結(jié)論，結(jié)論推條件是否成立．這類問(wèn)題往往與函數(shù)、三角、不等式等數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合起來(lái)考，本題條件與結(jié)論可以轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的關(guān)系，利用充分性、必要性和集合的包含關(guān)系得結(jié)論．（8）【2016年四川，理8，5分】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是以為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，是線段上的點(diǎn)，且，則直線斜率的最大值為（）（A）（B）（C）（D）1【答案】C【解析】如圖，由題可知，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，要求最大值，不妨設(shè)．則，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的性質(zhì)，結(jié)合題意要求，利用拋物線的參數(shù)方程表示出拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法求出點(diǎn)的坐標(biāo)，是我們求點(diǎn)坐標(biāo)的常用方法，由于要求最大值，因此我們把斜率用參數(shù)表示出后，可根據(jù)表達(dá)式形式選用函數(shù)，或不等式的知識(shí)求出最值，本題采用基本不等式求出最值．【答案】②③【解析】①設(shè)的坐標(biāo)，伴隨點(diǎn)，伴隨點(diǎn)橫坐標(biāo)為，同理可得縱坐標(biāo)為，故．錯(cuò)誤；②設(shè)單位圓上點(diǎn)坐標(biāo)為，則伴隨點(diǎn)坐標(biāo)為所以也在單位圓上，即：點(diǎn)是點(diǎn)延順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．正確；③設(shè)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，其關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)也在曲線上，所以點(diǎn)的伴隨點(diǎn)，點(diǎn)的伴隨點(diǎn)，與關(guān)于軸對(duì)稱。正確；④反例：例如這條直線，則，而這三個(gè)點(diǎn)的伴隨點(diǎn)分別是，，而這三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上．下面給出嚴(yán)格證明：設(shè)點(diǎn)在直線，點(diǎn)的伴隨點(diǎn)為，則，解得．帶入直線方程可知：，化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，是一個(gè)常數(shù)，的軌跡是一條直線；當(dāng)時(shí)，不是一個(gè)常數(shù)，的軌跡不是一條直線．所以，直線“伴隨曲線”不一定是一條直線．錯(cuò)誤．【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義問(wèn)題，屬于創(chuàng)新題，符合新高考的走向．它考查學(xué)生的閱讀理解能力，接受新思維的能力，考查學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，新定義的概念實(shí)質(zhì)上只是一個(gè)載體，解決新問(wèn)題時(shí)，只要通過(guò)這個(gè)載體把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)熟悉的知識(shí)即可．本題新概念“伴隨”實(shí)質(zhì)是一個(gè)變換，一個(gè)坐標(biāo)變換，只要根據(jù)這個(gè)變換得出新的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判斷，問(wèn)題就得以解決．三、解答題：本大題共6題，共75分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或步驟．（16）【2016年四川，理16，12分】我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸），一位居民的月用水量不超過(guò)的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解居民用水情況，通過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照，，…，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．QUOTE（1）求直方圖中的值；（2）設(shè)該市有30萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）若該市政府希望使85%的居民每月均用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計(jì)的值，并說(shuō)明理由．解：（1）由概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)，各組頻率之和的值為1，∵頻率=(頻率/組距)*組距，∴，得．（2）由圖，不低于3噸人數(shù)所占百分比為，∴全市月均用水量不低于3噸的人數(shù)為：(萬(wàn))．（3）由圖可知，月均用水量小于2.5噸的居民人數(shù)所占百分比為：即的居民月均用水量小于2.5噸，同理，88%的居民月均用水量小于3噸，故，假設(shè)月均用水量平均分布，則（噸）． 注：本次估計(jì)默認(rèn)組間是平均分布，與實(shí)際可能會(huì)產(chǎn)生一定誤差．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查頻率分布直方圖、頻率、頻數(shù)的計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．在頻率分布直方圖中，第個(gè)小矩形面積就是相應(yīng)的頻率或概率，所有小矩形面積之和為1，這是解題的關(guān)鍵，也是識(shí)圖的基礎(chǔ)．（17）【2016年四川，理17，12分】在中，角所對(duì)的邊分別是，且．（1）證明：；（2）若，求．解：（1）由正弦定理，可知原式可以化解為，∵和為三角形內(nèi)角，∴，則兩邊同時(shí)乘以，可得，由和角公式可知，，原式得證．（2）由題，根據(jù)余弦定理可知，，∵為為三角形內(nèi)角，，，則，即，由（1）可知，∴，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理、余弦定理、商數(shù)關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題的能力和計(jì)算能力．在解三角形的應(yīng)用中，凡是遇到等式中有邊又有角時(shí)，可用正弦定理進(jìn)行邊角互化，一種是化為三角函數(shù)問(wèn)題，一般是化為代數(shù)式變形問(wèn)題．在角的變化過(guò)程中注意三角形的內(nèi)角和為這個(gè)結(jié)論，否則難以得出結(jié)論．（18）【2016年四川，理18，12分】如圖，在四棱錐中，，，，為棱的中點(diǎn)，異面直線與所成的角為．（1）在平面內(nèi)找一點(diǎn)，使得直線平面，并說(shuō)明理由；（2）若二面角的大小為，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值．解：（1）延長(zhǎng)，交直線于點(diǎn)，∵為中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵即，∴四邊形為平行四邊形，，∵，∴，∴，∵面，∴面，∵，面， ∴面故在面上可找到一點(diǎn)使得面．（2）解法1：過(guò)作交于點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)作交于點(diǎn)，∵，與所成角為，∴，，∵，∴，∵面，∴，∵且，∴面，∵面，∴，∵且，∴面，∴為所求與面所成的角，∵面，即．∴為二面角所成的平面角，由題意可得，而，∴，∵，四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴， ∴，∴．解法2：由已知，，，，所以平面．于是．從而是二面角的平面角．所以．由，可得平面．設(shè)，則在中，．作，以為原點(diǎn)，以，的方向分別為軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，由，得設(shè)，解得．設(shè)直線與平面所成角為，則．所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行、線線平行、向量法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、分析問(wèn)題的能力、計(jì)算能力．證明線面平行時(shí)，可根據(jù)判定定理的條件在平面內(nèi)找一條平行線，而這條平行線一般是由過(guò)面外的直線的一個(gè)平面與此平面相交而得，證明時(shí)注意定理的另外兩個(gè)條件（線在面內(nèi)，線在面外）要寫(xiě)全，否則會(huì)被扣分，求線面角（以及其他角），一種方法可根據(jù)定義作出這個(gè)角（注意還要證明），然后通過(guò)解三角形求出這個(gè)角．另一種方法建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求角，這種方法主要是計(jì)算，不需要“作角、證明”，關(guān)鍵是記住相應(yīng)公式即可．（19）【2016年四川，理19，12分】已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，其中，．（1）若成等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)雙曲線的離心率為，且，證明：．解：（1），，，當(dāng)時(shí)，，故，又，則，故．當(dāng)時(shí)也滿足，故，∴．（2）由雙曲線的性質(zhì)可知，，由（1）可得，為首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，,故，即，∴為首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為，∴∴，原式得證．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、雙曲線的離心率、等比數(shù)列的求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力．在第（1）問(wèn)中，已知的是的遞推式，在與的關(guān)系式中，經(jīng)常用代換（），然后兩式相減，可得的遞推式，利用這種方法解題時(shí)要注意；在第（2）問(wèn)中，不等式的證明用到了放縮法，這是證明不等式常用的方法，本題放縮的目的是為了求數(shù)列的和．另外放縮時(shí)要注意放縮的“度”．不能太大，否則得不到結(jié)果．（20）【2016年四川，理20，13分】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的3個(gè)頂點(diǎn)，直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．（1）求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且與直線交于點(diǎn)．證明：存在常數(shù)，使得，并求的值．解：（1）設(shè)短軸一端點(diǎn)為，左，右焦點(diǎn)分別為，，則． 由題意，為直角三角形．∴解得，∴．代入可得．與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，則，、解得．∴．由，解得，則，所以的坐標(biāo)為．（2）設(shè)在上，由，平行．得的參數(shù)方程為代入橢圓得． ．整理可得．設(shè)兩根為，則有．而，，．故有．由題意．∴，故存在這樣的．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和數(shù)形結(jié)合的思想．在涉及到直線與橢圓（圓錐曲線）的交點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，一般都設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，同時(shí)把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后，可得，再把用表示出來(lái)，并代入剛才的，這種方法是解析幾何中的“設(shè)而不求”法．可減少計(jì)算量，簡(jiǎn)化解題過(guò)程．（21）【2016年四川，理21，14分】設(shè)函數(shù)，其中．（1）討論的單調(diào)性；（2）確定a的所有可能取值，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立（…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．解：（1）由題意，①當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減．②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，．故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．