2022-2023學(xué)年人教A版（2019）選擇性必修第二冊 5.3.1 函數(shù)的單調(diào)性課件（21張）

5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用5.3.1函數(shù)的單調(diào)性1．掌握函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．2．能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．1.函數(shù)單調(diào)性的定義怎樣描述的?

一般地，對于給定區(qū)間D上的函數(shù)

，若對于屬于區(qū)間D的任意兩個自變量的值

，當(dāng)

時，有(1)若

，那么f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù).(2)若

，那么f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).2．用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：(1)任取

，且

(2)作差

(3)變形(因式分解、配方、通分、提取公因式)(4)定號(判斷差

的正負(fù))(5)結(jié)論

圖(1)是某跳水運(yùn)動員的重心相對于水面的高度

h隨時間變化的函數(shù)

的圖象，圖(2)是跳水運(yùn)動員的速度

v隨時間

t變化的函數(shù)

的圖象.運(yùn)動員從起跳到最高點(diǎn),以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時間的運(yùn)動狀態(tài)有什么區(qū)別?函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系通過觀察圖象,我們可以發(fā)現(xiàn)：我們看到，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有內(nèi)在聯(lián)系，那上述情況是否具有一般性呢?(1)從起跳到最高點(diǎn)，運(yùn)動員的重心處于上升狀態(tài)，離水面的高度

h隨時間

t的增加而增加，即h(t)是增函數(shù).相應(yīng)地，

.(2)從最高點(diǎn)到入水，運(yùn)動員的重心處于下降狀態(tài)，離水面的高度

h隨時間

t的增加而減少，即h(t)是減函數(shù).相應(yīng)地，.

觀察下面函數(shù)的圖象，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系.

(1)(2)(3)(4)分析：(1)函數(shù)

的定義域?yàn)?/p>

R，并在定義域上是增函數(shù)，其導(dǎo)數(shù).(2)函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

R，并在

上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)

時，導(dǎo)數(shù)

；當(dāng)

時，導(dǎo)數(shù)

；當(dāng)

時，其導(dǎo)數(shù)

.(3)函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

R，并在定義域上是增函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)

時，導(dǎo)數(shù)

；當(dāng)

時，導(dǎo)數(shù).(4)函數(shù)

的定義域?yàn)?/p>

，并在上遞減，在上遞減，其導(dǎo)數(shù)為，因?yàn)?/p>

，所以.如圖，導(dǎo)數(shù)

表示函數(shù)

的圖象在

處的切線的斜率.可以發(fā)現(xiàn)：(2)在

處，

，切線是“左上右下”的下降式，函數(shù)的圖象也是下降的，函數(shù)在

附近單調(diào)遞減.(1)在

處，

，切線是“左下右上”的上升式，函數(shù)的圖象也是上升的，函數(shù)在

附近單調(diào)遞增；

一般地，函數(shù)

的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)

的正負(fù)之間有如下關(guān)系:

在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果

，那么函數(shù)

在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增；

在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果

，那么函數(shù)

在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減.1．深入理解導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系在某個區(qū)間內(nèi)(或)是函數(shù)

在此區(qū)間內(nèi)為增(或減)函數(shù)的充分條件，而不是必要條件．如果出現(xiàn)個別點(diǎn)使

，不會影響函數(shù)

在包含該點(diǎn)的某個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性．例如函數(shù)

在定義域(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，但由

知，

，即并不是在定義域內(nèi)的任意一點(diǎn)處都滿足

.注：若函數(shù)

在某個區(qū)間上都有

，則

在此區(qū)間上是常函數(shù).2．對導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性的兩點(diǎn)注意：(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域，解決問題的過程中只能在定義域內(nèi)，通過討論導(dǎo)數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(2)如果一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個，那么這些單調(diào)區(qū)間中間不能用“∪”連接，而只能用“逗號”隔開．例1.如果函數(shù)

的圖象如圖所示，那么導(dǎo)函數(shù)

的圖象可能是(

)C導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián)ABCD1.利用導(dǎo)數(shù)符號判斷單調(diào)性的方法：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性只需判斷導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的正負(fù)即可．2．通過圖象研究函數(shù)單調(diào)性的方法：(1)觀察原函數(shù)的圖象重在找出“上升”“下降”產(chǎn)生變化的點(diǎn)，分析函數(shù)值的變化趨勢；(2)觀察導(dǎo)函數(shù)的圖象重在找出導(dǎo)函數(shù)圖象與

x軸的交點(diǎn)，分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)．1．設(shè)

是函數(shù)

的導(dǎo)函數(shù)，

的圖象如圖所示，則

的圖象最有可能是(

)CABCD求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2．(1)求函數(shù)

的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求函數(shù)

的單調(diào)遞增區(qū)間．解：(1)因?yàn)?/p>

，令

得

，所以

的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，2)．(2)函數(shù)的定義域?yàn)?0，+∞)，因?yàn)?/p>

，令

得所以

的單調(diào)遞增區(qū)間為

．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)求定義域；(2)解不等式

(或

)；(3)把不等式的解集與定義域求交集得單調(diào)區(qū)間．注：①單調(diào)區(qū)間不能“并”，即不能用“∪”符號連接，只能用“，”或“和”隔開．②導(dǎo)數(shù)法求得的單調(diào)區(qū)間一般用開區(qū)間表示．

2.(1)求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)

在

R上單調(diào)遞增，求

a的取值范圍．解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0，+∞)，令

，解得

或

，又

，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

；令

，解得

，又

，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為