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文檔簡介
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教授課方事例(一)一節(jié)未按講課方案完成的課
(正弦定理)
汾西一中
劉
惠
文
1
正弦定理教授課方事例
汾西一中劉惠文
一、背景介紹
聯(lián)合新課標課改的精神和我校“以人為本”的教育理念的指導,高中數(shù)學講課不
但是限制于接受、記憶、模擬和練習,更應該建議自主研究、著手實踐、合作交流、
閱讀自學等數(shù)學學習方式,使學生的學習過程成為教師指引下的“再創(chuàng)辦”的過程。
2013年4月29日上午第一節(jié)在高二227班(要點班)講的示范課,正弦定理第一
課時。本節(jié)內(nèi)容安排在《一般高中課程標準實驗教科書·數(shù)學必修5》(人教A版)第
一章,正弦定理第一課時,是在高一學生了三角等知識今后,明顯是對三角知識的應
用;同時,作為三角形中的一個定理,也是對初中直角三角形內(nèi)容的直接延伸,因此
定理自己的應用又十分廣泛。本課“正弦定理”,作為單元的初步課,為后續(xù)內(nèi)容作知
識與方法的準備,是在學生已有的三角函數(shù)及向量知識的基礎上,經(jīng)過對三角形邊角
關系作量化研究,發(fā)現(xiàn)并掌握正弦定理(重要的解三角形工具),解決簡單的三角形度
量問題。本節(jié)講課要點:正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明;正弦定理的簡單應用。
1、設計思想
依據(jù)實質(zhì)講課辦理,本節(jié)課采納研究式課堂講課模式,輔以討論法以及多媒體演
示法。即在講課過程中,在教師的啟示指引下,以學生獨立自主和合作交流為前提,
以問題為導向設計講課情境,以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”為基本研究內(nèi)容。分為三
個階段:第一階段教師經(jīng)過指引學生學生對實指責題的研究,并英勇提出猜想;第二
階段由猜想下手,帶著疑問,以及特別三角形中;邊角的關系的考據(jù),經(jīng)過“作高法”、
“向量法”等多種方法證明正弦定理,考據(jù)猜想的正確性;第三階段利用正弦定理解
決引例,最后進行簡單的應用。學生經(jīng)過對任意三角形中正弦定理的研究、發(fā)現(xiàn)和證
明,感覺“觀察——實驗——猜想——證明——應用”這一思想方法,養(yǎng)成英勇猜想、
擅長思慮的質(zhì)量和勇于求真的精神,逐漸培育學生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的
能力和創(chuàng)辦性思想的能力。
2、學情分析
對一般高一的學生來說,在初中,學生已經(jīng)學習了三角形的邊和角的基本關系、
全等三角形等與三角形有關的基礎知識;同時在必修4,學生也學習了三角函數(shù)、向
量三角恒等變換以及平面向量等內(nèi)容。這些為學生學習正弦定理供給了堅固的基礎。
2
正弦定理是初中解直角三角形的延伸,是揭穿三角形、角之數(shù)目關系的重要公式,
在物理學等其余學科、工生以及平常生活等常常涉及解三角形的。但學生
前后知的系、理解、用有必定度。并且學生基差、底子薄,數(shù)學運算能
力,分析、解決的能力,推理能力,思能力都比弱,因此在
的候常常要多作,講課中以法(生、生生)主,以法、
比法、接受法、法。
3、出狀況
中,第一段的引、、猜想利完成,第二段由猜想下手,著疑,以
及特別三角形中;角的關系的,通“作高法”、“向量法”等多種方法明
正弦定理,猜想的正確性,也完成了。原來一句“大家有其余的明方法?”
再來一句“有很多,風趣的同學下去一?!本屯碌谌瘟?,但是??
二、講課片段上邊我合例,引出正弦定理的構造a=b=c,能否任意三角形都sinAsinBsinC有種角關系呢?1、研究猜想老:我先通特別例子a=b=c能否成立,出特例,學sinAsinBsinC生指明一個方向。如一的第一此中,在ABC中,∠A=∠B=∠C=60o,的a:b:c=1,角的正弦分3,3,3;引學生觀察a,b,c的關系222sinAsinBsinC學生1::它相等,都是233
3
如圖一的第二個圖中,在ooABC中,∠A=∠B=45,∠C=90,對應的邊長a=b=1,c=2,對應角的正弦值分別為2,2,1;22
學生2::它們相等,都是2
如圖一的第三個圖中,在ABC中,∠A,∠B,∠C分別為30o,60o,90o,對應
的邊長a=1,b=3,c=2,對應角的正弦值分別為1,3,1;22學生3::它們相等,都是2
老師:下邊我們考慮任意的Rt△ABC,結論如何?
學生4:思慮交流得出,如圖2,在RtABC中,
BC=a,AC=b,AB=c,
則有sinA=a,sinB=b,又sinC=1=c,ccc則abc=csinA==sinBsinCabc從而在直角三角形ABC中,sinA==sinBsinC老師:更進一步,對于任意三角形能否有a=b=c呢?sinAsinBsinC學生按開初安排分組,讓學生閱讀,思疑發(fā)問:有什么不理解的地方也許有什么
問題嗎?(假如學生沒有問題,教師讓學生著手計算。)
學生:分組互動,每組畫一個三角形,席量出三邊和三個角度數(shù)值,經(jīng)過實驗數(shù)
據(jù)計算,比較a、b、c的近似值。sinAsinBsinC老師:放映利用《幾何畫板》制作的多媒體動畫,畫面將顯示:無論三角形的邊、角如何變化,比值:a,b,c的值都會相等。sinAsinBsinC
4
我們猜想:a=b=csinAsinBsinC設計企圖:讓學生體驗數(shù)學實驗,激起學生的好奇心和求知欲念。學生自己進行
實驗,意會到數(shù)學實驗的歸納和演繹推理的兩個側面。
2、研究證明定理
老師:我們經(jīng)過考據(jù)知道結論成立,那么對任意的三角形,如何用數(shù)學的思想方法
證明abc呢?前面研究過程對我們有沒有啟sinA==sinBsinC發(fā)?學生分組討論,每組派一個代表總結。學生5:在三角形中,如圖3設BC=a,CA=b,AB=c作:AD⊥BC,垂足為D在RtABD中,sinB=ADABAD=AB·sinB=c·sinB
在RtADC中,sinC=
AD
ACAD=AC·sinC=b·sinC
c·sinB=b·sinC
b=sinCsinB同理,在ABC中,a=c∴a=b=csinAsinCsinAsinBsinC
學生6:不對,假如是鈍角三角形,就不對,如圖4
老師:(^_^)不錯嘛,因為鈍角三角形與銳角三角形的高地點不一樣樣樣,得重新考慮,
那么同學6說一說你的證明方法。
學生6:在鈍角三角形中,如圖4設∠C為鈍角,BC=a,CA=b,AB=c作AD⊥BC交
BC的延伸線于D,在RtADB中,sinB=
∴AD=AB·sinB=c·sinB,
RtADC中,sin∠ACD=ADAC
AD
AB∴AD=AC·sin∠ACD=b·sin∠ACB
c·sinB=b·sin∠ACB
∴cbsinACB=sinB
5
同銳角三角形證明可知a=csinAsinC∴a=b=csinAsinBsinC3、深入商討研究
老師:我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理。在向量中,我也學過a·b=a·b·cos
,這與邊的長度和三角函數(shù)值有較這親近的聯(lián)系,能否能夠利用向量來證明正弦定理?師生共同復習利用向量數(shù)目積解決數(shù)學問題的方法:先找向量等式,再同乘某素來量來辦理。
學生7:思慮(聯(lián)系作高的思想)得出:
在銳角三角形ABC中,AB+BC=AC,作單位向
量j垂直于AC,AC·j=AB·j+BC·j
0∴=c·cos(90o-A)+a·cos(90o-C)
c·sinA-a·sinC=0
a=sinCsinA∴abc(圖5)sinA==sinBsinC對于鈍角三角形,直角三角形的狀況作簡單交代。
老師:大家還有其余的證明方法嗎?
(原來這節(jié)課準備到此為止,講例題,可有學生亟不能夠待的站起來。)
學生8:可借助初中所學過的面積公式和三角函數(shù)知識思慮得出。
老師:很好,你上來給我們證明一下。
學生8講解:如圖6,對于任意ABC,由初中所學過的面積公式能夠得出:S
ABC=1AC·BD=1CB·AE=1BA·CF,而由圖中能夠看出:222BDAECFsin∠BAC=,sin∠ACB=,sin∠ABC=,ABACBC
∴BD=AB·sin∠BAC,AE=AC·sin∠ACB,CF=BC·sin∠ABC
∴SABC=1AC·BD=1CB·AE22=1BA·CF2
6
=1AC·AB·sin∠BAC2=1CB·CA·sin∠ACB2=1BA·BC·sin∠ABC2=1b·c·sin∠BAC2=1a·b·sin∠ACB2=1c·a·sin∠ABC2等式1b·c·sin11∠ABC2∠BAC=a·b·sin∠ACB=c·a·sin22中均除以1abc后可得2sinBAC=sinABC=sinACBabc即a=b=c。sinBACsinABCsinACB(講到此,我忽然發(fā)現(xiàn)可講在高中最常有的三角形面積公式:SABC=1absinC)2
老師:在剛才的證明過程中大家能否發(fā)現(xiàn)三角形高AE=c·sin∠ABC
=a·sin∠ABC,三角形的面積:SABC=1a·AE,能否獲得新面積公式。=a·AE211c·a·sin∠ABC獲得三角形面積公式學生9:我見過,SABC22SABC=1absinC=1casinB=1bcsinA222(既然課上的這兒,那就不如往下講正弦定理的圓滿公式
a=b=c=2R)sinAsinBsinCabc老師:大家還有其余的證明方法嗎?比方:、、都等于同一個比sinAsinBsinCk,那么它們也相等,這個k終歸有沒有什么特別幾何意義呢?學生討論,不知道該如何辦理。
老師提示先考慮RtABC中
學生10:在前面的檢驗中,RtABC中,(圖7)
7
a=b=c=c,c是斜邊。(此時及時提示:斜邊c在直角三角形中sinAsinBsinC恰可做為三角形外接圓的直徑。)老師:那么對于一般三角形呢?這個k終歸有沒有什么特別幾何意義呢?學生討論了半天,
學生11:憂如應該是:k=c=2R,即正弦定理的比值等于三角形外接圓的直徑2R
老師:如何證明呢?學生討論激烈,老師參加并提示、指引先畫三角形的外接圓,
把一般三角形轉(zhuǎn)變成直角三角形來辦理。終于有學生做出來了??纱藭r下課鈴響了。
(如學生12已作出結論:k=c=2R
ABC的外接圓O,O為圓心,連接BO并延伸交圓O于B/,把一般三角形轉(zhuǎn)變成直角三角形。
證明:連接BO并延伸交圓于B/(圖8)
/O/∴∠BAB=90,∠B=∠C在RtBAB中,AB/=BB//sinB∴AB/=AB=B/B=2R即c=2R,sinBsinCsinC同理可證:a=2R,b=2RsinBsinA∴a=b=c=2R)sinAsinCsinB老師:同學們,部分同學已證明,比方同學12,下去今后再研究,圓滿一下步驟。
我們本節(jié)課經(jīng)過“作高法”、“向量法”、“等積法”、“外接圓法”等方法證明正弦定理,
因為時間有限,對正弦定理的證明到此為止,有興趣的同學回家再研究。
暫時設計企圖:經(jīng)歷證明猜想的過程,進一步指引啟示學生利用已有的數(shù)學知識
論證猜想,力爭讓學生體驗數(shù)學的學習過程。
三、講課反思
本節(jié)課中,教師立足于所創(chuàng)辦的情境,經(jīng)過學生自主研究、合作交流,親自經(jīng)歷
了提出問題、解決問題、應用反思的過程,學生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)辦
者”,親自感覺了創(chuàng)辦的苦和樂,知識目標、能力目標、感情目標均獲得了較好的落實,
為今后的“定理講課”供給了一些合用的借鑒。
本節(jié)課是正弦定理講課的第一節(jié)課,課堂思想容量大,講課進度受學生的思想水
8
平的影響;講課中簡單出現(xiàn)突發(fā)事件影響講課進度;象本節(jié)課,面積公式證明法,以及圓滿正弦定理在備課時就沒想到要講,學生供給出新的證法,教師在此合時拓展,講到了三角形的新面積公式,接著提出圓滿正弦定理。課講到此,正好是一節(jié)圓滿地
定理證明課,有證明,有拓展。而高227班是個要點班,學生學習興趣濃,主動性強,本節(jié)課才講下來。因此在講課中,教師要靈巧辦理隨機事件的能力高,在組織講課中,采納“讓學生走上講臺”、“師生、生生討論”等模式,形成學生主動觀察、分析、歸納、研究、猜想、證明為主線的,教師的主導作用,真切表現(xiàn)了新課改的理念。這
節(jié)課固然沒有完成最開始的假想,但我感覺本節(jié)課卻達到了意想不
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