正弦定理教學(xué)案例

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教授課方事例（一）一節(jié)未按講課方案完成的課

（正弦定理）

汾西一中

劉

惠

文

1

正弦定理教授課方事例

汾西一中劉惠文

一、背景介紹

聯(lián)合新課標(biāo)課改的精神和我?！耙匀藶楸尽钡慕逃砟畹闹笇?dǎo)，高中數(shù)學(xué)講課不

但是限制于接受、記憶、模擬和練習(xí)，更應(yīng)該建議自主研究、著手實(shí)踐、合作交流、

閱讀自學(xué)等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為教師指引下的“再創(chuàng)辦”的過程。

2013年4月29日上午第一節(jié)在高二227班（要點(diǎn)班）講的示范課，正弦定理第一

課時。本節(jié)內(nèi)容安排在《一般高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)必修5》（人教A版）第

一章，正弦定理第一課時，是在高一學(xué)生了三角等知識今后，明顯是對三角知識的應(yīng)

用；同時，作為三角形中的一個定理，也是對初中直角三角形內(nèi)容的直接延伸，因此

定理自己的應(yīng)用又十分廣泛。本課“正弦定理”，作為單元的初步課，為后續(xù)內(nèi)容作知

識與方法的準(zhǔn)備，是在學(xué)生已有的三角函數(shù)及向量知識的基礎(chǔ)上，經(jīng)過對三角形邊角

關(guān)系作量化研究，發(fā)現(xiàn)并掌握正弦定理（重要的解三角形工具），解決簡單的三角形度

量問題。本節(jié)講課要點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明；正弦定理的簡單應(yīng)用。

1、設(shè)計(jì)思想

依據(jù)實(shí)質(zhì)講課辦理，本節(jié)課采納研究式課堂講課模式，輔以討論法以及多媒體演

示法。即在講課過程中，在教師的啟示指引下，以學(xué)生獨(dú)立自主和合作交流為前提，

以問題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)講課情境，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”為基本研究內(nèi)容。分為三

個階段：第一階段教師經(jīng)過指引學(xué)生學(xué)生對實(shí)指責(zé)題的研究，并英勇提出猜想；第二

階段由猜想下手，帶著疑問，以及特別三角形中；邊角的關(guān)系的考據(jù)，經(jīng)過“作高法”、

“向量法”等多種方法證明正弦定理，考據(jù)猜想的正確性；第三階段利用正弦定理解

決引例，最后進(jìn)行簡單的應(yīng)用。學(xué)生經(jīng)過對任意三角形中正弦定理的研究、發(fā)現(xiàn)和證

明，感覺“觀察——實(shí)驗(yàn)——猜想——證明——應(yīng)用”這一思想方法，養(yǎng)成英勇猜想、

擅長思慮的質(zhì)量和勇于求真的精神，逐漸培育學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的

能力和創(chuàng)辦性思想的能力。

2、學(xué)情分析

對一般高一的學(xué)生來說，在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的邊和角的基本關(guān)系、

全等三角形等與三角形有關(guān)的基礎(chǔ)知識；同時在必修4，學(xué)生也學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、向

量三角恒等變換以及平面向量等內(nèi)容。這些為學(xué)生學(xué)習(xí)正弦定理供給了堅(jiān)固的基礎(chǔ)。

2

正弦定理是初中解直角三角形的延伸，是揭穿三角形、角之?dāng)?shù)目關(guān)系的重要公式，

在物理學(xué)等其余學(xué)科、工生以及平常生活等常常涉及解三角形的。但學(xué)生

前后知的系、理解、用有必定度。并且學(xué)生基差、底子薄，數(shù)學(xué)運(yùn)算能

力，分析、解決的能力，推理能力，思能力都比弱，因此在

的候常常要多作，講課中以法（生、生生）主，以法、

比法、接受法、法。

3、出狀況

中，第一段的引、、猜想利完成，第二段由猜想下手，著疑，以

及特別三角形中；角的關(guān)系的，通“作高法”、“向量法”等多種方法明

正弦定理，猜想的正確性，也完成了。原來一句“大家有其余的明方法？”

再來一句“有很多，風(fēng)趣的同學(xué)下去一。”就往下第三段了，但是??

二、講課片段上邊我合例，引出正弦定理的構(gòu)造a=b=c，能否任意三角形都sinAsinBsinC有種角關(guān)系呢？1、研究猜想老：我先通特別例子a=b=c能否成立，出特例，學(xué)sinAsinBsinC生指明一個方向。如一的第一此中，在ABC中，∠A=∠B=∠C=60o，的a：b：c=1，角的正弦分3，3，3；引學(xué)生觀察a，b，c的關(guān)系222sinAsinBsinC學(xué)生1：:它相等，都是233

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如圖一的第二個圖中，在ooABC中，∠A=∠B=45，∠C=90，對應(yīng)的邊長a=b=1，c=2，對應(yīng)角的正弦值分別為2，2，1；22

學(xué)生2：:它們相等，都是2

如圖一的第三個圖中，在ABC中，∠A，∠B，∠C分別為30o，60o，90o，對應(yīng)

的邊長a=1，b=3，c=2，對應(yīng)角的正弦值分別為1，3，1；22學(xué)生3：:它們相等，都是2

老師：下邊我們考慮任意的Rt△ABC，結(jié)論如何？

學(xué)生4：思慮交流得出，如圖2，在RtABC中，

BC=a,AC=b,AB=c,

則有sinA=a,sinB=b,又sinC=1=c,ccc則abc=csinA==sinBsinCabc從而在直角三角形ABC中，sinA==sinBsinC老師：更進(jìn)一步，對于任意三角形能否有a=b=c呢？sinAsinBsinC學(xué)生按開初安排分組，讓學(xué)生閱讀，思疑發(fā)問：有什么不理解的地方也許有什么

問題嗎？（假如學(xué)生沒有問題，教師讓學(xué)生著手計(jì)算。）

學(xué)生：分組互動，每組畫一個三角形，席量出三邊和三個角度數(shù)值，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)數(shù)

據(jù)計(jì)算，比較a、b、c的近似值。sinAsinBsinC老師：放映利用《幾何畫板》制作的多媒體動畫，畫面將顯示：無論三角形的邊、角如何變化，比值：a，b，c的值都會相等。sinAsinBsinC

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我們猜想：a=b=csinAsinBsinC設(shè)計(jì)企圖：讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，激起學(xué)生的好奇心和求知欲念。學(xué)生自己進(jìn)行

實(shí)驗(yàn)，意會到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的歸納和演繹推理的兩個側(cè)面。

2、研究證明定理

老師：我們經(jīng)過考據(jù)知道結(jié)論成立，那么對任意的三角形，如何用數(shù)學(xué)的思想方法

證明abc呢？前面研究過程對我們有沒有啟sinA==sinBsinC發(fā)？學(xué)生分組討論，每組派一個代表總結(jié)。學(xué)生5：在三角形中，如圖3設(shè)BC=a，CA=b,AB=c作：AD⊥BC，垂足為D在RtABD中，sinB=ADABAD=AB·sinB=c·sinB

在RtADC中，sinC=

AD

ACAD=AC·sinC=b·sinC

c·sinB=b·sinC

b=sinCsinB同理，在ABC中，a=c∴a=b=csinAsinCsinAsinBsinC

學(xué)生6：不對，假如是鈍角三角形，就不對，如圖4

老師：(^_^)不錯嘛，因?yàn)殁g角三角形與銳角三角形的高地點(diǎn)不一樣樣樣，得重新考慮，

那么同學(xué)6說一說你的證明方法。

學(xué)生6：在鈍角三角形中，如圖4設(shè)∠C為鈍角，BC=a,CA=b,AB=c作AD⊥BC交

BC的延伸線于D，在RtADB中，sinB=

∴AD=AB·sinB=c·sinB,

RtADC中，sin∠ACD=ADAC

AD

AB∴AD=AC·sin∠ACD=b·sin∠ACB

c·sinB=b·sin∠ACB

∴cbsinACB=sinB

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同銳角三角形證明可知a=csinAsinC∴a=b=csinAsinBsinC3、深入商討研究

老師：我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理。在向量中，我也學(xué)過a·b=a·b·cos

,這與邊的長度和三角函數(shù)值有較這親近的聯(lián)系，能否能夠利用向量來證明正弦定理？師生共同復(fù)習(xí)利用向量數(shù)目積解決數(shù)學(xué)問題的方法：先找向量等式，再同乘某素來量來辦理。

學(xué)生7：思慮（聯(lián)系作高的思想）得出：

在銳角三角形ABC中，AB＋BC=AC，作單位向

量j垂直于AC，AC·j=AB·j＋BC·j

0∴=c·cos(90o-A)＋a·cos(90o-C)

c·sinA-a·sinC=0

a=sinCsinA∴abc（圖5）sinA==sinBsinC對于鈍角三角形，直角三角形的狀況作簡單交代。

老師：大家還有其余的證明方法嗎？

（原來這節(jié)課準(zhǔn)備到此為止，講例題，可有學(xué)生亟不能夠待的站起來。）

學(xué)生8：可借助初中所學(xué)過的面積公式和三角函數(shù)知識思慮得出。

老師：很好，你上來給我們證明一下。

學(xué)生8講解：如圖6，對于任意ABC，由初中所學(xué)過的面積公式能夠得出：S

ABC=1AC·BD=1CB·AE=1BA·CF，而由圖中能夠看出：222BDAECFsin∠BAC=,sin∠ACB=,sin∠ABC=,ABACBC

∴BD=AB·sin∠BAC,AE=AC·sin∠ACB,CF=BC·sin∠ABC

∴SABC=1AC·BD=1CB·AE22=1BA·CF2

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=1AC·AB·sin∠BAC2=1CB·CA·sin∠ACB2=1BA·BC·sin∠ABC2=1b·c·sin∠BAC2=1a·b·sin∠ACB2=1c·a·sin∠ABC2等式1b·c·sin11∠ABC2∠BAC=a·b·sin∠ACB=c·a·sin22中均除以1abc后可得2sinBAC=sinABC=sinACBabc即a=b=c。sinBACsinABCsinACB（講到此，我忽然發(fā)現(xiàn)可講在高中最常有的三角形面積公式：SABC=1absinC）2

老師：在剛才的證明過程中大家能否發(fā)現(xiàn)三角形高AE=c·sin∠ABC

=a·sin∠ABC,三角形的面積：SABC=1a·AE，能否獲得新面積公式。=a·AE211c·a·sin∠ABC獲得三角形面積公式學(xué)生9：我見過，SABC22SABC=1absinC=1casinB=1bcsinA222（既然課上的這兒，那就不如往下講正弦定理的圓滿公式

a=b=c=2R）sinAsinBsinCabc老師：大家還有其余的證明方法嗎？比方：、、都等于同一個比sinAsinBsinCk，那么它們也相等，這個k終歸有沒有什么特別幾何意義呢？學(xué)生討論，不知道該如何辦理。

老師提示先考慮RtABC中

學(xué)生10：在前面的檢驗(yàn)中，RtABC中，（圖7）

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a=b=c=c,c是斜邊。（此時及時提示：斜邊c在直角三角形中sinAsinBsinC恰可做為三角形外接圓的直徑。）老師：那么對于一般三角形呢？這個k終歸有沒有什么特別幾何意義呢？學(xué)生討論了半天，

學(xué)生11：憂如應(yīng)該是：k=c=2R，即正弦定理的比值等于三角形外接圓的直徑2R

老師：如何證明呢？學(xué)生討論激烈，老師參加并提示、指引先畫三角形的外接圓，

把一般三角形轉(zhuǎn)變成直角三角形來辦理。終于有學(xué)生做出來了?？纱藭r下課鈴響了。

（如學(xué)生12已作出結(jié)論：k=c=2R

ABC的外接圓O，O為圓心，連接BO并延伸交圓O于B/，把一般三角形轉(zhuǎn)變成直角三角形。

證明：連接BO并延伸交圓于B/（圖8）

/O/∴∠BAB=90，∠B=∠C在RtBAB中，AB/=BB//sinB∴AB/=AB=B/B=2R即c=2R，sinBsinCsinC同理可證：a=2R，b=2RsinBsinA∴a=b=c=2R）sinAsinCsinB老師：同學(xué)們，部分同學(xué)已證明，比方同學(xué)12，下去今后再研究，圓滿一下步驟。

我們本節(jié)課經(jīng)過“作高法”、“向量法”、“等積法”、“外接圓法”等方法證明正弦定理，

因?yàn)闀r間有限，對正弦定理的證明到此為止，有興趣的同學(xué)回家再研究。

暫時設(shè)計(jì)企圖:經(jīng)歷證明猜想的過程，進(jìn)一步指引啟示學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識

論證猜想，力爭讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程。

三、講課反思

本節(jié)課中，教師立足于所創(chuàng)辦的情境，經(jīng)過學(xué)生自主研究、合作交流，親自經(jīng)歷

了提出問題、解決問題、應(yīng)用反思的過程，學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)辦

者”，親自感覺了創(chuàng)辦的苦和樂，知識目標(biāo)、能力目標(biāo)、感情目標(biāo)均獲得了較好的落實(shí)，

為今后的“定理講課”供給了一些合用的借鑒。

本節(jié)課是正弦定理講課的第一節(jié)課，課堂思想容量大，講課進(jìn)度受學(xué)生的思想水

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平的影響；講課中簡單出現(xiàn)突發(fā)事件影響講課進(jìn)度；象本節(jié)課，面積公式證明法，以及圓滿正弦定理在備課時就沒想到要講，學(xué)生供給出新的證法，教師在此合時拓展，講到了三角形的新面積公式，接著提出圓滿正弦定理。課講到此，正好是一節(jié)圓滿地

定理證明課，有證明，有拓展。而高227班是個要點(diǎn)班，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣濃，主動性強(qiáng)，本節(jié)課才講下來。因此在講課中，教師要靈巧辦理隨機(jī)事件的能力高，在組織講課中，采納“讓學(xué)生走上講臺”、“師生、生生討論”等模式，形成學(xué)生主動觀察、分析、歸納、研究、猜想、證明為主線的，教師的主導(dǎo)作用，真切表現(xiàn)了新課改的理念。這

節(jié)課固然沒有完成最開始的假想，但我感覺本節(jié)課卻達(dá)到了意想不