公務(wù)員考試數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)總綱

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)總綱....................................................................1

1.【分享】數(shù)學(xué)運算的大致?？碱愋?，大家復(fù)習(xí)可以參照！..............2

2.【分享】數(shù)學(xué)公式終極總結(jié)..........................................3

3.【分享】排列組合基礎(chǔ)知識及習(xí)題分析...............................7

4.【分享】排列組合新講義............................................12

5.【分享】無私奉獻(xiàn)萬華的排列組合題（系列之二）...................18

6.【分享】“插板法”的條件模式隱藏運用分析.........................21

7.【糾錯】兩個相同的正方體的六個面上分別標(biāo)有數(shù)字的排列組合問題..22

8.【討論】裴波納契數(shù)列的另類運用...................................23

9.【經(jīng)驗分享】關(guān)于臨界點類型算數(shù)問題的分析........................24

10.【經(jīng)驗總結(jié)】關(guān)于比例法中變量守恒與變化的思路分析...............26

11.【討論】“五個人的體重之和是423斤,他們的體重都是整數(shù)”一題……27

12.【經(jīng)驗分享】淺談mn/（m+n）公式的由來（鹽水交換問題）......28

13.【周末練習(xí)】4道經(jīng)典習(xí)題（已公布解析DONE）.................................29

14.【分享】關(guān)于相遇問題和追擊問題的綜合題目的分析.................32

15.【分享】“牛吃草”的問題的模式化解題方式總結(jié).....................33

16.【糾錯】關(guān)于計算某個數(shù)字在頁碼中出現(xiàn)的次數(shù)問題的公式懷疑！……34

17.【總結(jié)】關(guān)于頁碼和頁數(shù)的題目（剛看到的一個題目順便做個分析）...35

18.【開會時間分針時針互換問題】新題型的2道問題的解析............35

19.【分享】（絕對經(jīng)典）20道比列及列式計算.........................36

20.【分享】60道數(shù)學(xué)題的解析........................................41

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)總綱

【分享】公考中數(shù)學(xué)知識部分如何學(xué)習(xí)的計劃安排和心得！

分配學(xué)習(xí)時間我做了這樣一個假設(shè)，假如你是一張白紙（對于公務(wù)員考試而言）

我建議大家遵循這樣的學(xué)習(xí)時間安排。比較合適。這是我個人的經(jīng)驗和看法。僅以參考！

1、數(shù)字推理（每天必須練習(xí)）

開始的前3周，每周1.5小時，主要是以看和歸納為主。3周之后要能丟開資料自己可以回憶出數(shù)字推理的

若干種類型。特別是經(jīng)典的7大類型

3周之后看是1周（每天半小時的計時練習(xí)。每道題目不得超過53秒），從第5周直到考試，每天都要用

10分鐘?15分鐘的時間不停的鞏固和練習(xí)這數(shù)字推理。主要是保持和培養(yǎng)數(shù)字敏感性和了解?些新的題型（新

的題型以了解為主，不要強求）

2、數(shù)學(xué)運算。（我建議集中時間整理和復(fù)習(xí)準(zhǔn)備時間應(yīng)該是在2個月以上）

首先，先對國考，或者你所參加的地方考試的題型和命題風(fēng)格做一個了解?？纯催@些數(shù)學(xué)運算試題的難度系

數(shù)如何?？偨Y(jié)歸納常見的考試類型。如果你覺得你有足夠的能力，你還可以歸納考察的思維方向是來自哪幾點

（這個比較重要。如果不能達(dá)到這一點，可以借鑒老師，或者網(wǎng)絡(luò)，借鑒別人的與此相關(guān)的總結(jié)）

其次是平時的練習(xí)。應(yīng)該劃分專項來練習(xí)。專項的劃分就是根據(jù)第一步你對考試類型的劃分。學(xué)會總結(jié)方法

（方法不是公式，只記住公式那是沒用的，必須去掌握公式的由來）。練習(xí)的題源應(yīng)當(dāng)以國家（03?至今），

北京（05?至今），山東（04?至今），浙江（05?至今），江蘇（04?至今），輔助于福建（06~08年）

等地的真題為主。

最后通過練習(xí)，必須學(xué)會做總結(jié)歸納，做好筆記。對每種類型都要學(xué)會用一句話或者一段簡潔的話寫出你的

感受和觀點。

1.【分享】數(shù)學(xué)運算的大致?？碱愋停蠹覐?fù)習(xí)可以參照！

（-）數(shù)字推理

（1）數(shù)字性質(zhì)：奇偶數(shù)，質(zhì)數(shù)合數(shù)，同余，特定組合表現(xiàn)的特定含義如11=3.1415926,階乘數(shù)列。

（2）等差、等比數(shù)歹山間隔差、間隔比數(shù)列。

（3）分組及雙數(shù)列規(guī)律

（4）移動求運算數(shù)列

（5）次方數(shù)列（1、基于平方立方的數(shù)列2、基于2”次方數(shù)列，3嘉的2,3次方交替數(shù)列等為主體架構(gòu)的

數(shù)列）

（6）周期對稱數(shù)列

（7）分?jǐn)?shù)與根號數(shù)列

（8）裂變數(shù)列

（9）四則組合運算數(shù)列

（10）圖形數(shù)列

（-）數(shù)學(xué)運算

（1）數(shù)理性質(zhì)基礎(chǔ)知識。

（2）代數(shù)基礎(chǔ)知識。

（3）拋物線及多項式的靈活運用

（4）連續(xù)自然數(shù)求和和及變式運用

（5）木桶（短板）效應(yīng)

（6）消去法運用

（7）十字交叉法運用（特殊類型）

（8）最小公倍數(shù)法的運用（與剩余定理的關(guān)系）

（9）雞兔同籠運用

(10)容斥原理的運用

(11)抽屜原理運用

(12)排列組合與概率：(重點含特殊元素的排列組合，插板法已經(jīng)變式，靜止概率以及先【后】驗概率)

(13)年齡問題

(14)幾何圖形求解思路(求陰影部分面積割補法為主)

(15)方陣方體與隊列問題

(16)植樹問題(直線和環(huán)形)

(17)統(tǒng)籌與優(yōu)化問題

(18)牛吃草問題

(19)周期與日期問題

(20)頁碼問題

(21)兌換酒瓶的問題

(22)青蛙跳井(尋找臨界點)問題

(23)行程問題(相遇與追擊，水流行程，環(huán)形追擊相遇：變速行程，曲線(折返，高山，緩行)行程，多次

相遇行程，多模型行程對比)

2.【分享】數(shù)學(xué)公式終極總結(jié)

容斥原理

涉及到兩個集合的容斥原理的題目相對比較簡單，可以按照下面公式代入計算：

一的個數(shù)+二的個數(shù)一都含有的個數(shù)=總數(shù)一都不含有的個數(shù)

【例3】某大學(xué)某班學(xué)生總數(shù)為32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中有24人及格，若兩次

考試中，都及格的有22人，那么兩次考試都沒有及格的人數(shù)是多少【國

2004B-46]

A.10B.4C.6D.8

應(yīng)用公式26+24-22=32-X

X=4

所以答案選B

【例9】某單位有青年員工85人，其中68人會騎自行車，62人會游泳，既不會騎車又不會游泳的有12人,

則既會騎車又會游泳的有多少人?！旧綎|2004-13】

A.57B.73C.130D.69

應(yīng)用公式：68+62-X=85-12

X=57人

抽屜原理:

【例1】在一個口袋里有10個黑球，6個白球，4個紅球，至少取出幾個球才能保證其中有白球？【北京應(yīng)屆

2007-15］

A.14B.15C.17D.1849.

采取總不利原則10+4+1=15這個沒什么好說的

剪繩問題核心公式

-根繩連續(xù)對折N次，從中M刀,則被剪成了（2NxM+1）段

【例5】將一根繩子連續(xù)對折三次，然后每隔一定長度剪一刀，共剪6刀。問這樣操作后，原來的繩

子被剪成了兒段？【浙江2006-38】

A.18段B.49段C.42段D.52段

2"3*6+1=49

方陣終極公式

假設(shè)方陣最外層一邊人數(shù)為N,則

一、實心方陣人數(shù)=NXN

二、最外層人數(shù)=（N-1）x4

【例1】某學(xué)校學(xué)生排成一個方陣，最外層的人數(shù)是60人，問這個方陣共有學(xué)生多少人？

［ffl2002A-9］【國2002B-18］

A.256人B.250人C.225人D.196人

（N-1）4=60N=1616*16=256所以選A

【例3】某校的學(xué)生剛好排成一個方陣，最外層的人數(shù)是96人，問這個學(xué)校共有學(xué)生：【浙

江2003-18】

A.600人B.615人C.625人D.640人

（N-1）4=96N=25N*N=625

過河問題：

來回數(shù)=［（總量-每次渡過去的）/（每次實際渡的）］*2+1

次數(shù)=［（總量-每次渡過去的）/（每次實際渡的）］+1

【例1】有37名紅軍戰(zhàn)士渡河，現(xiàn)僅有一只小船，每次只能載5人，需要幾次才能渡完？

【廣東2005±-10］

A.7次B.8次C.9次D.10次

37-1/5-1所以是9次

【例2】49名探險隊員過一條小河，只有一條可乘7人的橡皮船，過一次河需3分鐘。全體

隊員渡到河對岸需要多少分鐘？（）【北京應(yīng)屆2006-24】

A.54B.48C.45D.39

［（49-7）/6］2+1=1515*3=45

【例4】有一只青蛙掉入一口深10米的井中。每天白天這只青蛙跳上4米晚上又滑下3米，

則這只青蛙經(jīng)過多少天可以從井中跳出？

A.7B.8C.9D.10

[（10-4）/1]+1=7

核心提示

三角形內(nèi)角和180°N邊形內(nèi)角和為（N-2）180

【例1】三角形的內(nèi)角和為180度，問六邊形的內(nèi)角和是多少度？【國家

2002B-12]

A.720度B.600度C.480度D.360度

（6-2）180=720°

盈虧問題：

（1）一次盈，一次虧：（盈+虧）十（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)

（2）兩次都有盈：（大盈-小盈）+（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)

（3）兩次都是虧：（大虧-小虧）+（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)

（4）一次虧，一次剛好：虧+（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)

（5）一次盈，一次剛好：盈+（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)

例：“小朋友分桃子，每人10個少9個，每人8個多7個。問：有多少個小朋友和多少個桃子？”

解（7+9）+（10-8）=16+2=8（個）............人數(shù)

10x8-9=80-9=71（個）............桃子

還有那個排方陣，一排加三個人，剩29人的題，也可用盈虧公式解答。

行程問題模塊

平均速度問題V=2V1V2/V1+V2

【例1】有一貨車分別以時速40km和60km往返于兩個城市，往返這兩個城市一次的平均

時速為多少？【國家1999-39】

A.55kmB.50kmC.48kmD.45km

2*40*60/100=48

【例2】一輛汽車從A地到B地的速度為每小時30千米，返回時速度為每小時20千米，

則它的平均速度為多少千米/時？【浙江2003-20】

A.24千米/時B.24.5千米/時C.25千米/時D.25.5千米/時

2*30*20/30+20=24

比例行程問題

路程=速度x時間（121212$黃=或或或）路程比=速度比x時間比，S1/S2=V1/V2=T1/T2

運動時間相等，運動距離正比與運動速度

運動速度相等，運動距離正比與運動時間

運動距離相等，運動速度反比與運動時間

【例2】A、B兩站之間有一條鐵路，甲、乙兩列火車分別停在A站和B站，甲火車4分鐘走的路程等于乙火

車5分鐘走的路程，乙火車上午8時整從B站開往A站，開出一段時間后，甲火車從A站出發(fā)開往B站，上午

9時整兩列火車相遇，相遇地點離A、B兩站的距離比是15：16,那么，甲火車在什么時

刻從A站出發(fā)開往B站?！緡?007-53］

A.8時12分B.8時15分C.8時24分D.8時30分

速度比是4：5

路程比是15：16

15S：16S

5V:4V所以T1:T2=3:4也就是45分鐘60必5=15所以答案是B

在相遇追及問題中：

凡有益于相對運動的用“加"，速度取“和”，包括相遇、背離等問題。

凡阻礙相對運動的用“減”，速度取“差”，包括追及等問題。

從隊尾到對頭的時間=隊伍長度/速度差

從對頭到隊尾的時間=隊伍長度/速度和

【例2】紅星小學(xué)組織學(xué)生排成隊步行去郊游，每分鐘步行60米，隊尾的王老師以每分鐘步行150米的速度

趕到排頭，然后立即返回隊尾，共用10分鐘。求隊伍的長度？（）

【北京社招2005-20】

A.630米B.750米C.900米D.1500米

X/90+X/210=10X=630

某鐵路橋長1000米，一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到完全下橋共用

120秒，整列火車完全在橋上的時間80秒，則火車速度是？【北京社招2007-21】

A.10米/秒B.10.7米/秒C.12.5米/秒D.500米/分

核心提示

列車完全在橋上的時間=（橋長-車長）/列車速度

列車從開始上橋到完全下橋所用的時間=（橋長+車長）/列車速度

1000+X=120V

1000-X=80V

解得10米/秒

為節(jié)約用水，某市決定用水收費實行超額超收，標(biāo)準(zhǔn)用水量以內(nèi)每噸2.5元，超過標(biāo)準(zhǔn)的部分加倍收費。某用戶

某月用水15噸，交水費62.5元，若該用戶下個月用水12噸，則應(yīng)交水費多少錢？

15頓和12頓都是超額的，所以62.5—（3X5）

［例1］某團體從甲地到乙地，甲、乙兩地相距100千米，團體中一部分人乘車先行，余下的人步行，先坐車的人

到途中某處下車步行，汽車返回接先步行的那部分人，已經(jīng)步行速度為8千米/小時，汽車速度為40千米/小時。

問使團體全部成員同時到達(dá)乙地需要多少時間？

A.5.5小時B.5小時C.4.5小時D.4小時

假設(shè)有m個人（或者m組人），速度v1,一個車，速度v2。

車只能坐一個/組人，來回接人，最短時間內(nèi)同時到達(dá)終點?？偩嚯x為S。

T=(S/v2)*[(2m-1)v2+v1]/[v2+(2m-1)v1]

3.【分享】排列組合基礎(chǔ)知識及習(xí)題分析

在介紹排列組合方法之前我們先來了解一下基本的運算公式！

C5W3=(5x4x3)/(3x2x1)C6W2=(6x5)/(2x1)

通過這2個例子看出

CM取N公式是種子數(shù)M開始與自身連續(xù)的N個自然數(shù)的降序乘積做為分子。以取值N的階層作為分母

P53=5x4“3P66=6x5x4x3x2x1

通過這2個例子

PMN=從M開始與自身連續(xù)N個自然數(shù)的降序乘積當(dāng)N=M時即M的階層

排列、組合的本質(zhì)是研究“從n個不同的元素中，任取m(mvn)個元素，有序和無序擺放的各種可能性”.區(qū)別排列

與組合的標(biāo)志是“有序”與“無序”.

解答排列、組合問題的思維模式有二：

其一是看問題是有序的還是無序的？有序用“排列”，無序用“組合”；

其二是看問題需要分類還是需要分步？分類用“加法”，分步用“乘法”.

分類：“做?件事，完成它可以有n類方法”，這是對完成這件事的所有辦法的一個分類.分類時，首先要根據(jù)問

題的特點確定一個適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個標(biāo)準(zhǔn)卜進(jìn)行分類；其次，分類時要注意滿足兩條基本原則:

①完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類；②分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法.

分步：“做一件事，完成它需要分成n個步驟”，這是說完成這件事的任何種方法，都要分成n個步驟.分步時,

首先要根據(jù)問題的特點，確定一個可行的分步標(biāo)準(zhǔn)；其次，步驟的設(shè)置要滿足完成這件事必須并且只需連續(xù)完成

這n個步驟后，這件事才算最終完成.

兩個原理的區(qū)別在于一個和分類有關(guān)，一個與分步有關(guān).如果完成一件事有n類辦法，這n類辦法彼此之間是相

互獨立的，無論那一類辦法中的那一種方法都能單獨完成這件事，求完成這件事的方法種數(shù)，就用加法原理；

如果完成一件事需要分成n個步驟，缺一不可，即需要依次完成所有的步驟，才能完成這件事，而完成每一個步

驟各有若干種不同的方法，求完成這件事的方法種類就用乘法原理.

在解決排列與組合的應(yīng)用題時應(yīng)注意以下幾點：

1.有限制條件的排列問題常見命題形式：

“在”與“不在”

“鄰”與“不鄰”

在解決問題時要掌握基本的解題思想和方法：

⑴“相鄰”問題在解題時常用“合并元素法”，可把兩個以上的元素當(dāng)做一個元素來看，這是處理相鄰最常用的方法.

⑵“不鄰”問題在解題時最常用的是“插空排列法”.

⑶“在"與“不在”問題，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置.

⑷元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制，等排列完畢后，利用規(guī)定順序的實情求出結(jié)果.

2.有限制條件的組合問題，常見的命題形式：

"含"與“不含”

“至少"與“至多”

在解題時常用的方法有“直接法”或“間接法”.

3.在處理排列、組合綜合題時，通過分析條件按元素的性質(zhì)分類，做到不重、不漏，按事件的發(fā)生過程分步,

正確地交替使用兩個原理，這是解決排列、組合問題的最基本的，也是最重要的思想方法.

提供10道習(xí)題供大家練習(xí)

1、三邊長均為整數(shù)，且最大邊長為11的三角形的個數(shù)為(C)

(A)25個(B)26個(C)36個(D)37個

【解析】

根據(jù)三角形邊的原理兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊

可見最大的邊是11

則兩外兩邊之和不能超過22因為當(dāng)三邊都為11時是兩邊之和最大的時候

因此我們以條邊的長度開始分析

如果為11,則另外一個邊的長度是11,10,9,8,7,6,。。。…1

如果為10則另外一個邊的長度是10,9,80,00002,

(不能為1否則兩者之和會小于11,不能為"，因為第一種情況包含了11,10的組合)

如果為9則另外一個邊的長度是9,8,7,?！?

(理由同上，可見規(guī)律出現(xiàn))

規(guī)律出現(xiàn)總數(shù)是11+9+7+。。。。1=(1+11)86+2=36

2、

(1)將4封信投入3個郵筒，有多少種不同的投法？

【解析】每封信都有3個選擇。信與信之間是分步關(guān)系。比如說我先放第1封信，有3種可能性。接著再放第

2封，也有3種可能性，直到第4封，所以分步屬于乘法原則即3x3x3x3=3M

(2)3位旅客，到4個旅館住宿，有多少種不同的住宿方法？

【解析】跟上述情況類似對于每個旅客我們都有4種選擇。彼此之間選擇沒有關(guān)系不夠成分類關(guān)系。屬于分步

關(guān)系。如：我們先安排第一個旅客是4種，再安排第2個旅客是4種選擇。知道最后一個旅客也是4種可能。

根據(jù)分步原則屬于乘法關(guān)系即4x4x4=4"3

(3)8本不同的書，任選3本分給3個同學(xué)，每人一本，有多少種不同的分法？

【解析】分步來做

第一步：我們先選出3本書即多少種可能性C8取3=56種

第二步：分配給3個同學(xué)。P33=6種

這里稍微介紹?下為什么是P33,我們來看第一個同學(xué)可以有3種書選擇，選擇完成后，第2個同學(xué)就只剩

下2種選擇的情況，最后一個同學(xué)沒有選擇。即3x2*1這是分步選擇符合乘法原則。最常見的例子就是1,2,

3,4四個數(shù)字可以組成多少4位數(shù)？也是滿足這樣的分步原則。用P來計算是因為每個步驟之間有約束作用即

下一步的選擇受到上一步的壓縮。

所以該題結(jié)果是56x6=336

3、

七個同學(xué)排成一橫排照相.

(1)某甲不站在排頭也不能在排尾的不同排法有多少種？(3600)

【解析】

這個題目我們分2步完成

第一步：先給甲排應(yīng)該排在中間的5個位置中的一個即C5取1=5

第二步：剩下的6個人即滿足P原則P66=720

所以總數(shù)是720x5=3600

(2)某乙只能在排頭或排尾的不同排法有多少種？(1440)

【解析】

第一步：確定乙在哪個位置排頭排尾選其?C2取1=2

第二步：剩下的6個人滿足P原則P66=720

則總數(shù)是720x2=1440

(3)甲不在排頭或排尾，同時乙不在中間的不同排法有多少種？(3120)

【解析】特殊情況先安排特殊

第一種情況：甲不在排頭排尾并且不在中間的情況

去除3個位置剩下4個位置供甲選擇C4取1=4,剩下6個位置先安中間位置即除了甲乙2人，其他5人

都可以即以5開始，剩下的5個位置滿足P原則即5xP55=5x120=600總數(shù)是4'600=2400

第2種情況：甲不在排頭排尾，甲排在中間位置

則剩下的6個位置滿足P66=720

因為是分類討論。所以最后的結(jié)果是兩種情況之和即2400+720=3120

(4)甲、乙必須相鄰的排法有多少種？(1440)

【解析】相鄰用捆綁原則2人變一人，7個位置變成6個位置，即分步討論

第1：選位置C6取1=6

第2：選出來的2個位置對甲乙在排即P22=2

則安排甲乙符合情況的種數(shù)是2x6=12

剩下的5個人即滿足P55的規(guī)律=120

則最后結(jié)果是120x12=1440

(5)甲必須在乙的左邊(不一定相鄰)的不同排法有多少種？(2520)

【解析】

這個題目非常好，無論怎么安排甲出現(xiàn)在乙的左邊和出現(xiàn)在乙的右邊的概率是一樣的。所以我們不考慮左右問

題則總數(shù)是P77=5040，根據(jù)左右概率相等的原則則排在左邊的情況種數(shù)是5040+2=2520

4、用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù).

(1)能組成多少個四位數(shù)？(300)

【解析】四位數(shù)從高位開始到低位高位特殊不能排0。則只有5種可能性

接下來3個位置滿足P53原則=5x4x3=60即總數(shù)是60x5=300

（2）能組成多少個自然數(shù)？（1631）

【解析】自然數(shù)是從個位數(shù)開始所有情況

分情況

1位數(shù)：C6取1=6

2位數(shù)：C5取2xP22+C5取1XP11=25

3位數(shù)：C5取3xP33+C5取2xP22x2=100

4位數(shù)：C5取4xP44+C5取3xP33x3=300

5位數(shù)：C5取5xP55+C5取4xP44x4=600

6位數(shù)：5xP55=5x120=600

總數(shù)是1631

這里解釋一下計算方式比如說2位數(shù)：C5取2xP22+C5取1XP11=25

先從不是0的5個數(shù)字中取2個排列即C5取2xP22還有一種情況是從不是0的5個數(shù)字中選?個和0搭配

成2位數(shù)即C5取”P11因為0不能作為最高位所以最高位只有1種可能

（3）能組成多少個六位奇數(shù)？（288）

【解析】高位不能為0個位為奇數(shù)1,3,5則先考慮低位，再考慮高位即3x4xP44=12x24=288

（4）能組成多少個能被25整除的四位數(shù)？（21）

【解析】能被25整除的4位數(shù)有2種可能

后2位是25：3x3=9

后2位是50：P42=4x3=12

共計9+12=21

（5）能組成多少個比201345大的數(shù)？（479）

【解析】

從數(shù)字201345這個6位數(shù)看是最高位為2的最小6位數(shù)所以我們看最高位大于等于2的6位數(shù)是多少？

4XP55=4X120=480去掉201345這個數(shù)即比201345大的有480—1=479

（6）求所有組成三位數(shù)的總和.（32640）

【解析】每個位置都來分析?下

百位上的和：M1=100xP52（5+4+3+2+1）

十位上的和：M2=4x4x10（5+4+3+2+1）

個位上的和：M3=4*4（5+4+3+2+1）

總和M=M1+M2+M3=32640

5、生產(chǎn)某種產(chǎn)品100件，其中有2件是次品，現(xiàn)在抽取5件進(jìn)行檢查.

（1）“其中恰有兩件次品”的抽法有多少種？（152096）

【解析】也就是說被抽查的5件中有3件合格的，即是從98件合格的取出來的

所以即C2取2“C98取3=152096

(2)“其中恰有一件次品”的抽法有多少種？(7224560)

【解析】同上述分析，先從2件次品中挑1個次品，再從98件合格的產(chǎn)品中挑4個

C2取1xC98取4=7224560

(3)“其中沒有次品”的抽法有多少種？(67910864)

【解析】則即在98個合格的中抽取5個C98取5=67910864

(4)“其中至少有一件次品”的抽法有多少種？(7376656)

【解析】全部排列然后去掉沒有次品的排列情況就是至少有1種的

C100取5-C98取5=7376656

(5)“其中至多有一件次品”的抽法有多少種？(75135424)

【解析】所有的排列情況中去掉有2件次品的情況即是至多一件次品情況的

C100取5-C98取3=75135424

6、從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要有甲型和乙型電視機各1臺，則不同的取法共有

()

(A)140種(B)84種(C)70種(D)35種

【解析】根據(jù)條件我們可以分2種情況

第?種情況：2臺甲+1臺乙即C4取2xC5取1=6x5=30

第二種情況：1臺甲+2臺乙即C4取1xC5取2=4x10=40

所以總數(shù)是30+40=70種

7、在50件產(chǎn)品中有4件是次品，從中任抽5件，至少有3件是次品的抽法有一種.

［解析】至少有3件則說明是3件或4件

3件：C4取3xC46取2=4140

4件：C4取4xC46取1=46

共計是4140+46=4186

8、有甲、乙、丙三項任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān).從10人中選派4人承擔(dān)這三項任務(wù)，不同的選

法共有(C)

(A)1260種(B)2025種(C)2520種(D)5040種

【解析】分步完成

第步：先從10人中挑選4人的方法有：0104X4=210

第二步：分配給甲乙并的工作是C4取2xC2取1xC1取1=6x2x1=12種情況

則根據(jù)分步原則乘法關(guān)系210x12=2520

9、12名同學(xué)分別到三個不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案共有.

C(4.12)C(4,8)C(4,4)

種

【解析】每個路口都按次序考慮

第一個路口是C12取4

第二個路口是C8取4

第三個路口是C4取4

則結(jié)果是C12取4xC8取4xC4取4

可能到了這里有人會說三條不同的路不是需要P33嗎其實不是這樣的在我們從12人中任意抽取人數(shù)的時候,

其實將這些分類情況已經(jīng)包含了對不同路的情況的包含。如果再xP33則是重復(fù)考慮了

如果這里不考慮路口的不同即都是相同路口則情況又不一樣因為我們在分配人數(shù)的時候考慮了路口的不同。

所以最后要去除這種可能情況所以在上述結(jié)果的情況下要+P33

10、在一張節(jié)目表中原有8個節(jié)目，若保持原有節(jié)目的相對順序不變，再增加三個節(jié)目，求共有多少種安排方

法？990

【解析】

這是排列組合的一種方法叫做2次插空法

直接解答較為麻煩，故可先用一個節(jié)目去插9個空位，有P(9,1)種方法;再用另一個節(jié)目去插10個空位，有P(10,1)

種方法；用最后?個節(jié)目去插11個空位，有方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法為

P(9,1)xP(10,1)xP(11,1)=990種。

另解：先在11個位置中排上新添的三個節(jié)目有P(11,3)種，再在余下的8個位置補上原有的8個節(jié)目，只有一

解，所以所有方法有P311X1=990種。

4.【分享】排列組合新講義

作者：徐克猛(天字1號)2009-2-19

一、排列組合定義

1、什么是C

公式C是指組合，從N個元素取R個，不進(jìn)行排列(即不排序)。

例如：編號1?3的盒子，我們找出2個來使用，這里就是運用組合而不是排列，因為題目只是要

求找出2個盒子的組合。即C(3,2)=3

2、什么是P或A

公式P是指排列，從N個元素取R個進(jìn)行排列(即排序)。

例如：1?3,我們?nèi)〕?個數(shù)字出來組成2位數(shù)，可以是先取C(3,2)后排P22,就構(gòu)成了C(3,

2)XP(2,2)=A(3,2)

3、A和C的關(guān)系

事實上通過我們上面2個對定義的分析，我們可以看出的是，A比C多了一個排序步驟，即組合是排列的一

部分且是第一步驟。

4、計算方式以及技巧要求

組合：C(M,N)=M!4-(N!X(M-N)!)條件：N<=M

排歹lj：A(M,N)=M!4-(M-N)!條件：N<=M

為了在做排列組合的過程中能夠?qū)λ俣扔斜匾囊?，我需要大家能夠熟練的掌握的階乘，當(dāng)然在運

算的過程中，我們要學(xué)會從逆向思維角度考慮問題，例如C(M,N)當(dāng)中N取值過大，那么我們可以看M-N

的值是否也很大。如果不大。我們可以求C(M,[M-N]),因為C(M,N)=C(M,[M—N])

二、排列組合常見的恒等公式

1、C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+......+C(n,n)=2An

2、C(m,n)+C(m,n+1)=C(m+1,n+1)

針對這2組公式我來舉例運用

(1)有10塊糖，假設(shè)每天至少吃1塊，問有多少種不同的吃法？

解答:C(9,0)+C(9,1)+......+C(9,9)=2A9=512

(2),公司將14副字畫平均分給甲乙篩選出參加展覽的字畫，按照要求，甲比乙多選1副，且已知甲按照要

求任意挑選的方法與乙任意挑選的方法之和為70,求，甲挑選了多少副參加展覽？

C(8,n)=70n=4即得到甲選出了4副。

三、排列組合的基本理論精要部分(分類和分步)

(1)、加法原理(實質(zhì)上就是一種分類原則)：一個物件，它是由若干個小塊組成的，我們要知道這個物件有多重,

實際上可以分來算，比如，我們知道每一個小塊的重量，然后計算總和就等于這個物件的重量了，這就是我們要

談的分類原則。排列組合當(dāng)中，當(dāng)我們要求某一個事件發(fā)成的可能性種類，我們可以將這個事件分成若干個小事

件來看待。化整為零，

例如：7個人排座位，其中甲乙都只能坐在邊上。問有幾種方法。根據(jù)分類的方法。我們可以看，

第一類情況：甲坐在左邊，乙坐在右邊，其他人隨便坐，A(5,5)

第二類情況：甲坐在右邊，乙坐在左邊，其他人隨便坐，A(5,5)

我們分別計算出2種情況進(jìn)而求和即得到答案。這就是分類原則。這樣就是A(5,5)+A(5,5)=240

(2)、乘法原理(實質(zhì)上就是一種分步原則)：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有ml種不同的方

法，做第二步有m2種不同的方法，，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=mlXm2X

m3X…Xmn種不同的方法.

例如：7個人排座位，其中甲乙都只能坐在邊上。問有幾種方法，按照分步原則，

第一步：我們先對甲乙之外的5個人先排序座位，把兩端的座位空下來，A(5,5)

第二步：我們再排甲乙，A(2,2)

這樣就是A(5,5)XA(2,2)=240

如何區(qū)分兩個原理：

我們知道分類原則也就是加法原則，每一個分類之間沒有聯(lián)系，都是可以單獨運算，單獨成題的，也就是說，這

一類情況的方法是獨立的，所以我們采用了加法原理。要做一件事，完成它若是有n類辦法，是分類問題，第-

類中的方法都是獨立的，因此用加法原理；

我們知道分步原則也就是乘法原則。做件事，需要分n個步驟，步與步之間是連續(xù)的，只有將分成的若干個互

相聯(lián)系的步驟，依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理.說明其每一個步驟之間都是有必然聯(lián)系的。

是相互依靠的關(guān)系。所以采用了乘法原則。

這樣完成一件事的分“類”和“步”是有木質(zhì)區(qū)別的，因此也將兩個原理區(qū)分開來

(3)特殊優(yōu)先，一般次要的原則

例題：

(1)從1、2、3..........20這二十個數(shù)中任取三個不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等差數(shù)列有一個。

第一步構(gòu)建排列組合的定義模式，如果把數(shù)學(xué)邏輯轉(zhuǎn)換的問題。

(2)在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A,B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長，要求

A,B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有種。

第一類：A在第一壟，B有3種選擇；

第二類：A在第二壟，B有2種選擇；

第三類：A在第三壟，B有一種選擇，

同理A、B位置互換，共12種。

(3)從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有。

(A)240(B)180(C)120(D)60

分析：顯然本題應(yīng)分步解決。

(-)從6雙中選出一雙同色的手套，有C(6,1)種方法；

(二)從剩下的5雙手套中任選2雙，有C(5,2)種方法。

(三)這2雙可以任意取出其中每雙中的1只，保證各不成雙；

即C(6,1)*C(5,2)*2A2=240

(4)身高互不相同的6個人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個人都比他同列的身后的人個子矮，則所有不

同的排法種數(shù)為0

分析：每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法，因而每一縱列的排隊方法只與人的選法有關(guān)

系，共有三縱列，從而有C(6,2)XC(4,2)XC(2,2)=90種。

四、解決排列組合問題的策略

1、逆向思維法：我們知道排列組合都是對一個元素集合進(jìn)行篩選排序。我們可以把這個集合看成數(shù)學(xué)上

的單位1,那么1=a+b就是我們構(gòu)建逆向思維的數(shù)學(xué)模型了，當(dāng)a不利于我們運算求解的時候，我

們不妨從b的角度出發(fā)思考，這樣同樣可以求出a=1-b。

例題：7個人排座，甲坐在乙的左邊(不一定相鄰)的情況有多少種？

例題：一個正方體有8個頂點我們?nèi)我膺x出4個，有多少種情況是這4個點可以構(gòu)成四面體的。

例題：用0,2,3,4,5這五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有()

A.24個B.30個C.40個D.60個

2、解含有特殊元素、特殊位置的題——采用特殊優(yōu)先安排的策略：

(1)無關(guān)型：兩個特殊位置上分別可取的元素所組成的集合的交是空集

例題：用0,1,2,3,4,5六個數(shù)字可組成多少個被10整除且數(shù)字不同的六位數(shù)？

(2)包含型：兩個特殊位置上分別可取的元素所組成集合具有包合關(guān)系

例題：用0,1,2,3,4,5六個數(shù)字可組成多少個被5整除且數(shù)字不同的六位奇數(shù)？

P55X-P44=120—24=96

用0,1,2,3,4,5六個數(shù)字可組成多少個被25整除且數(shù)字不同的六位數(shù)？

25,75(3X3X2X1)X2+P44=36+24=60

（3）影響型：兩個特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的。

例題：用1,2,3,4,5這五個數(shù)字，可以組成比20000大并且百位數(shù)字不是3的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)有多少

個？

3、解含有約束條件的排列組合問題-----采用合理分類與準(zhǔn)確分步的策略

例題：平面上4條平行直線與另外5條平行直線互相垂直，則它們構(gòu)成的矩形共有個。

簡析：按構(gòu)成矩形的過程可分為如下兩步：第一步.先在4條平行線中任取兩條，有C4取2種取法；第二

步再在5條平行線中任取兩條，有C5取2種取法。這樣取出的四條直線構(gòu)成一個矩形，據(jù)乘法原理，構(gòu)成

的矩形共有6X10=60個

4、解排列組臺混合問題——采用先選后排策略

對于排列與組合的混合問題，可采取先選出元素，后進(jìn)行排列的策略。

例：4個不同小球放入編號為1、2、3、4的四個盒子，則恰有一個空盒的放法有一種。144

5、插板法

插板法的條件構(gòu)成：1元素相同，2分組不同，3必須至少分得1個

插板法的類型：

（1）、10塊奶糖分給4個小朋友，每個小朋友至少1塊，則有多少種分法？（典型插板法點評略）

（2）、10塊奶糖分給4個小朋友有多少種方法？（湊數(shù)插板法：這個題目對照插板法的3個條件我們發(fā)現(xiàn)至

少滿足1個這個條件沒有，所以我們必須使其滿足，最好的方法就是用14塊奶糖來分，至少每人1塊，當(dāng)

每個人都分得1塊之后，剩下的10塊就可以隨便分了，就回歸到了原題）

（3）、10塊奶糖放到編號為1,2,3的3個盒子里，每個盒子的糖數(shù)量不少于其編號數(shù)，則有幾種方法？（定

制插板法：已然是最后一個條件不滿足，我們該怎么處理呢，應(yīng)該學(xué)會先去安排使得每個盒子都差1個，這

樣就保證每個盒子必須分得1個，從這個思路出發(fā)，跟第二個例題是姊妹題思路是一樣的對照條件想辦法

使其和條件吻合！）

（4）、8塊奶糖和另外3個不同品牌的水果糖要放到編號為1?11的盒子里面，每個盒子至少放1個，有多少種

方法？（多次插空法這里不多講，見我排列組合基礎(chǔ)講義）

6、遞歸法（枚舉法）

公考也有這樣的類型，排錯信封問題，還有一些郵票問題

歸納法：

例如：5封信一一對應(yīng)5個信封，其中有3個封信裝錯信封的情況有多少種？

枚舉法：

例如：10張相同的郵票分別裝到4個相同的信封里面，每個信封至少1張郵票，有多少種方法?

枚舉:

1,1,1,7

1,1,2,6

1,1,3,5

1,1,4,4

1,2,2,5

1,2,3,4

1,3,3,3

2,2,2,4

2,2,3,3

9種方法！

五、疑難問題

1、如何驗證重復(fù)問題

2、關(guān)于位置與元素的相同問題，

例如：6個人平均分配給3個不同的班級，跟6個學(xué)生平分成3組的區(qū)別

3、關(guān)于排列組合里面，充分運用對稱原理。

例題：1,2,3,4,5五個數(shù)字可以組成多少個十位數(shù)小于個位數(shù)的四位數(shù)？

例題：7個人排成一排，其中甲在乙右邊（可以不相鄰）的情況有多少種？

注解：分析2種對立情況的概率，即可很容易求解。當(dāng)對立情況的概率相等，即對稱原理。

4、環(huán)形排列和線性排列問題。（見我的基礎(chǔ)排列組合講義二習(xí)題講解）

例如：3個女生和4個男生圍坐在一個圓桌旁。問有多少種方法？

例如：3對夫婦圍坐在圓桌旁，男女間隔的坐法有多少種？

注解：排列組合中，特殊的地方在于，第一個坐下來的人是作為參照物，所以不納入排列的范疇，我們知道，環(huán)

形排列中每個位置都是相對的位置，沒有絕對位置，所以需要有一個人坐下來作為參照位置。

5、幾何問題：見下面部分的內(nèi)容。

例析立體幾何中的排列組合問題

在數(shù)學(xué)中，排列、組合無論從內(nèi)容上還是從思想方法上，都體現(xiàn)了實際應(yīng)用的觀點。

1點

1.1共面的點

例題：四面體的一個頂點為A,從其它頂點與棱的中點中取3個點，使它們和點A在同一平面上，不同的取法

有（）

A.30種B.33種C.36種D.39種

答案：B

點評：此題主要考查組合的知識和空間相像能力；屬難度中等的選擇題，失誤的主要原因是沒有把每條棱上的3

點與它對棱上的中點共面的情況計算在內(nèi)。

1.2不共面的點

例2：四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有（）

A.150種B.147種C.144種D.141種

解析：從10個點中任取4個點有C（10,4）=210種取法，其中4點共面的情況有三類：第一類，取出的4

個點位于四面體的同一個面內(nèi)，有C（6,2）=15種；第二類，取任一條棱上的3個點及對棱的中點，這4點共

面有6種；第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形，它的4個頂點共面，有3種。

以上三類情況不合要求應(yīng)減掉，所以不同取法共有210—4義15—6—3=141種。

答案：Do

點評：此題難度很大，對空間想像能力要求高，很好的考察了立體幾何中點共面的幾種情況；排列、組合中正難

則反易的解題技巧及分類討論的數(shù)學(xué)思想。

幾何型排列組合問題的求解策略

有關(guān)幾何型組合題經(jīng)常出現(xiàn)在各類試題中，它的求解不僅要具備排列組合的有關(guān)知識，而且還要掌握相關(guān)的幾何

知識.這類題目新穎、靈活、能力要求高，因此要求掌握四種常用求解策略.

一分步求解

例1圓周上有2n個等分點(n>l),以其中三個點為頂點的直角三角形的個數(shù)為.

解：本題所求的三角形，即為圓的內(nèi)接直角三角形，由平面幾何知識，應(yīng)分兩步進(jìn)行：先從2n個點中構(gòu)成直徑

(即斜邊)共有n種取法；再從余下的(2n—2)個點中取一點作為直角頂點，有(2n-2)種不同取法.故總共有n(2n

-2)=2n(n-l)個直角三角形.故填2n(n-l).

例2：從集合｛0、1、2、3、5、7、11｝中任取3個元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C,所得的

經(jīng)過坐標(biāo)原點原直線共有一條(結(jié)果用數(shù)值來表示).

解：因為直線過原點，所以C=0.從1、2、3、5、7、11這6個數(shù)中任取2個作為A、B,兩數(shù)的順序不同，

表示的直線也不同，所以直線的條數(shù)為P(6,2)=30.

二分類求解

例3四邊體的一個頂點為A,從其它頂點與各棱的中點中取3點，使它們和A在同一平面上，不同取法有()

(A)30種(B)33種(C)36種(D)39種

解：符合條件的取法可分三類：①4個點(含A)在同一側(cè)面上，有3=30種；②4個點(含A)在側(cè)棱與對

棱中點的截面匕有3種；由加法原理知不同取法有33種，故選B.

三排除法求解

例4從正方體的6個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選法共有()

(A)8種(B)12種(C)16種(D)20種

解：由六個任取3個面共有C(6,3)=20種，排除掉3個面都相鄰的種數(shù)，即8個角