單元二振動(dòng)與沖擊理論基礎(chǔ)單自由度系統(tǒng)支座激勵(lì)系統(tǒng)的受迫振動(dòng)簡(jiǎn)諧激振位移受迫振動(dòng)

鄺賢鋒2.2單自由度系統(tǒng)支座激勵(lì)系統(tǒng)的受迫振動(dòng)

單元二振動(dòng)與沖擊理論基礎(chǔ)①?gòu)?qiáng)迫振動(dòng)包裝件在運(yùn)輸過(guò)程中長(zhǎng)時(shí)期受到不為0的激勵(lì)F（t）時(shí)，將引起包裝系統(tǒng)持續(xù)長(zhǎng)時(shí)期振動(dòng)，稱(chēng)之為強(qiáng)迫振動(dòng)（或受迫振動(dòng)）。②簡(jiǎn)諧激勵(lì)力

F(t)=kAsinωt其中A是振幅，ω是驅(qū)動(dòng)頻率。

1、簡(jiǎn)諧激勵(lì)力的強(qiáng)迫振動(dòng)③系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程及運(yùn)動(dòng)規(guī)律將激勵(lì)力代入包裝件的運(yùn)動(dòng)微分方程

用m遍除各項(xiàng)，可得單自由度線性系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)X稱(chēng)為強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅；φ為相位差。頻率比λ=ω/ωn

，則：由穩(wěn)態(tài)解求導(dǎo)后帶入運(yùn)動(dòng)微分方程并整理得到：X和φ的表達(dá)式表明X和φ只決定于系統(tǒng)本身的特性和干擾力的性質(zhì)，與運(yùn)動(dòng)初始條件無(wú)關(guān)。于是得到通解為：X2(t)表示有阻尼系統(tǒng)對(duì)干擾力的響應(yīng)，只要激振函數(shù)繼續(xù)作用，此運(yùn)動(dòng)就會(huì)持續(xù)存在，通常只考慮穩(wěn)態(tài)解。④傳遞率Tr令傳遞率Tr=X/A即響應(yīng)的振幅X與靜力偏移A（力幅的靜力作用下系統(tǒng)的偏移）之比，則1）當(dāng)λ《1時(shí)，即ω《ωn的低頻段情況，各條曲線的Tr值接近于1，即強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅X接近于靜力偏移A，即緩慢變化的干擾力的動(dòng)力作用接近于其靜力作用。2）當(dāng)λ》1時(shí)，即ω》ωn的高頻段情況，各條曲線的Tr值接近于0，即高速變化的干擾力的動(dòng)力作用下，振動(dòng)體由于慣性影響，幾乎來(lái)不及響應(yīng)，所以幾乎不振動(dòng)。以ζ為參變量，可得出不同ζ的一系列Tr-λ曲線，稱(chēng)為幅頻特性曲線或共振曲線。曲線分析如下：幅頻特性曲線/共振曲線幅頻特性曲線：3）當(dāng)ζ＜0.707時(shí)，各條曲線都存在傳遞率最大值由dTr/dλ=0，可以求得共振點(diǎn)的λ0和Trmax為：許多實(shí)際問(wèn)題中，ζ的值都很小，因此可以近似地認(rèn)為λ0=1，即ω=ωn，也就是干擾力頻率接近于系統(tǒng)的固有頻率時(shí)發(fā)生共振。Trmax≈1/2ξ，可見(jiàn)阻尼在共振區(qū)對(duì)振幅的影響極為顯著，加大阻尼，可以減小共振時(shí)的振幅。當(dāng)ζ＞0.707時(shí)，傳遞率曲線無(wú)極值，不存在共振現(xiàn)象。4）當(dāng)ζ=0時(shí)，即無(wú)阻尼情況，當(dāng)λ=1時(shí)，Tr趨于無(wú)窮大。雖然無(wú)阻尼系統(tǒng)在實(shí)際中并不存在，但把它作為小阻尼的極限情況來(lái)看還是有實(shí)際意義的。當(dāng)λ＜0.75和λ＞1.25，即激振頻率遠(yuǎn)離共振頻率時(shí)，阻尼的影響不大，不論ζ值如何，各曲線彼此很靠近。這時(shí)的小阻尼系統(tǒng)和無(wú)阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)幾乎沒(méi)有差別，可以按無(wú)阻尼系統(tǒng)來(lái)計(jì)算Tr值。2、簡(jiǎn)諧位移激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng)運(yùn)輸過(guò)程中的包裝件受到的激振，常常是運(yùn)輸工具傳給包裝件的位移激勵(lì)。假設(shè)基座做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，即若包裝件的位移坐標(biāo)為x，向下為正，則包裝件偏離平衡位置的距離為x時(shí)彈簧的變形為（x－y），包裝件與基座的相對(duì)速度為。這個(gè)方程是非齊次的，解由兩部分組成。但一般不考慮瞬態(tài)解，只考慮穩(wěn)態(tài)解。系統(tǒng)的微分方程為

X和a分別為響應(yīng)的振幅和相位差，它們只與系統(tǒng)本身及支座激勵(lì)性質(zhì)有關(guān)，與運(yùn)動(dòng)的初始條件無(wú)關(guān)。幅頻特性曲線1）λ=0時(shí)，Tr=1各條曲線有共同的起點(diǎn)。λ=1.414時(shí)，Tr=1各條曲線相交于這個(gè)公共點(diǎn)。

2）當(dāng)λ《1時(shí)，即ω《ωn的低頻段情況，各條曲線的Tr值接近于1，沒(méi)有什么隔振效果。3）當(dāng)λ＜1.414時(shí)，Tr＞1，振幅被放大；當(dāng)λ≈1時(shí)，傳遞率達(dá)到最大值，出現(xiàn)共振。（放大區(qū)）4）當(dāng)λ＞1.414時(shí)，Tr＜1，系統(tǒng)有隔振效果，振幅被衰減。當(dāng)λ》1時(shí)，即ω》ωn的高頻段情況，各條曲線的Tr值接近于0，即高速變化的干擾力的動(dòng)力作用下，振動(dòng)體由于慣性影響，幾乎來(lái)不及響應(yīng)，所以幾乎不振動(dòng)。（隔振區(qū)）隨著λ增加，隔振效果增大，在實(shí)用中取λ=2.5——5已經(jīng)足夠。3、周期激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)前面討論的都是簡(jiǎn)諧激勵(lì)力或簡(jiǎn)諧激勵(lì)位移條件下振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)。在實(shí)際工程問(wèn)題中，包裝件在流通過(guò)程中受到的激勵(lì)一般都是非簡(jiǎn)諧的復(fù)雜波形，它的響應(yīng)可以應(yīng)用諧波分析法進(jìn)行分析。對(duì)于周期激勵(lì)力f（t），可以展開(kāi)成由不同頻率的簡(jiǎn)諧激勵(lì)力組成的傅里葉級(jí)數(shù)，即將此式代入微分方程可得：