雨中行走問題(數(shù)學(xué)問題解決)

.科目：數(shù)學(xué)問題解決大綱：雨天，你有件急事需要從家中到學(xué)校去，學(xué)校離家不遠(yuǎn)，僅有一公里，況且事情緊急，你嚴(yán)禁備花時間翻找雨具，決定碰一下運氣，頂著雨去學(xué)校。假設(shè)方才出發(fā)雨就大了，但你也不打算再回去了。一路上，你將被大雨淋濕。一個憂如很簡單的事實是你應(yīng)該在雨中盡可能地快走，以.減少雨淋的時間。但是若是考慮到降雨方向的變化，在全部距離上全力地快跑不用然是最好的策略。經(jīng)過建立數(shù)學(xué)模型來商議如何在雨中行走才能減少淋雨的程度，分別從雨與人的方向以及可否在同一平面等狀況找出如何在雨中行走才能淋雨最少。一．問題的提出對于雨中行走這個實質(zhì)的問題，它的背景是簡單的，無人不知無需進(jìn)一步談?wù)摗Ｎ覀兊膯栴}是：要在給定的降雨條件下，設(shè)計一個雨中行走的策略，使得你被雨水淋濕的程度最低。顯然它能夠按確定性模型辦理。解析參加這一問題的因素，主要有：①降雨的大??；②風(fēng)（降雨）的方向；③行程的遠(yuǎn)近與你跑的快慢。二、模型假設(shè)1、降雨的速度（即雨滴下落速度）和降水強(qiáng)度（單位時間平面上降下雨水的厚度）保持不變；2、你以定常的速度跑完好程；3、風(fēng)速向來保持不變；4、把人體看作一個長方體的物體；三、模型的建立與求解1、不考慮降雨的角度的影響即在你行走的過程中身體的前后左右和上方都將淋到雨水。參數(shù)與變量：d:雨中行走的距離；t:雨中行走的時間；v:雨中行走的速度；a:你的身高；b:你的寬度;c:你的厚度；q:你身上被淋的雨水的總量；w:降水強(qiáng)度（降雨的大小，即單位時間平面上降下雨水的厚度，厘米/時）行走距離d，身體尺寸不變，從而身體被雨淋的面積s2ba2cabc是不變的，能夠為是問題的參數(shù)。雨中行走的速度v，從而在雨中行走的時間td/v及降雨強(qiáng)度的大小在問題中是能夠調(diào)治、解析的，是問題中的變量。考慮到各參數(shù)取值單位的一致性，可得在整個雨中行走時期整個身體被淋的雨水的總量是：2qt(w/3600)S0.01(米3)d/v(w/3600)S10(升)模型中的參數(shù)能夠經(jīng)過察看和平常的檢查資料獲取。模型中的參數(shù)能夠經(jīng)過察看和平常的檢查資料獲取。2w=2厘米/小時,v是設(shè)d=1000米,h=1.5米,b=0.5米,c=0.2米,可得S=2.2米,再假設(shè)降雨強(qiáng)度模型中的變量。模型表示：被淋在身上的雨水的總量與你在雨中行走的速度成反比。若你在雨中以可能快的速度v=5米/秒向前跑，于是你在雨中將行走t=200秒。由此，可得你身上被淋的雨水的總量為q=200×(2/3600)×2.2×10=2.44(升)仔細(xì)解析，這是一個荒謬的結(jié)果，你在雨中只跑了200秒的時間，身體上卻被淋了2.44升的雨水（大體有四酒瓶的水量），這是不能思議的。因此這表示，我們獲取的這個模型用來描述雨中行走的人被雨水淋濕的狀況是不吻合實質(zhì)狀況的。依照建模的程序，需要回到對問題所作的假設(shè)，商酌這些假設(shè)可否合適。這時我們發(fā)現(xiàn)不考慮降雨的角度的影響這個假設(shè)把問題簡化得過于簡單了。2、考慮降雨角度的影響此時降雨強(qiáng)度已經(jīng)不能夠完好描述降雨的狀況了。設(shè)雨滴下落的速度為u（米/秒），降雨的角度（雨滴下落的反方向與你前進(jìn)的方向之間的夾角）為，顯然，降雨強(qiáng)度將受降雨速度的影響，但它其實不完好決定于降雨的速度，它還決定于雨滴下落的密度。假設(shè)用P來胸襟雨滴的密度，稱為降雨強(qiáng)度系數(shù)，它表示在必然的時辰在單位體積的空間由雨滴所據(jù)有空間的比率數(shù)。于是有wpu，顯然p1，當(dāng)p1時意味著大雨傾盆，如同河流向下的傾注一般。在這個狀況下要估計你被雨水淋濕的程度，要點是考慮到你在雨中的行走方向此后雨滴相對的下落方向，這個方向由以下圖給出。由于雨水是迎面而落下的，由經(jīng)驗可知，這時被淋濕的部位將不過是你的頂部和前面。a雨中行走模型圖因此，淋在你身上的雨水將分兩部分計算。①你的頂部被淋的雨水，頂部的面積是bc，雨滴的垂直速度的重量是usin。不難獲取，在時間td/v淋在你的頂部的雨水量是3q1(d/v)bc(pusin)②你的前面表面淋雨的狀況，前面的面積是ba，雨速的重量是ucosv，近似地我們有，你的前面表面被淋到的雨水量是：q2(d/v)ba[p(ucosv)]因此你在整個的行程中被淋到的雨水總量為qq1q2Pbda(ucosv)][cusinv依舊沿用前面獲取的參數(shù)值，若是假設(shè)落雨的速度是u4m/s，由降雨強(qiáng)度62厘米/小時，可估計出它的強(qiáng)度系數(shù)p1.3910，把這些參數(shù)值代入上式可得：q6.951046cos1.5v)v(0.8sin在這個模型中有關(guān)的變量是v和，由于是落雨的方向，我們希望在模型研究過程中改變它的數(shù)值，而v是我們要選擇的雨中行走的速度。于是，我們的問題就變?yōu)榻o定，如何選擇v，使得q是最小的。四、模型談?wù)撓旅娣指鞣N狀況對模型進(jìn)行談?wù)摚?0此時，雨滴垂直落下。由上述模型可得q6.951043/v)模型表示，q是v的減函數(shù)，只有當(dāng)速度取可能的最大值的時候q達(dá)到最小。假設(shè)你以v=5米/秒的速度在雨中猛跑，由模型可得q18.209104米31.821升用MATLAB能夠畫出30時的平面圖：40此時，雨滴將迎面向你身上落下，由上述模型得q6.95104[1.56/v]同理，它將在v5米/秒時取最小:q18.765104米31.8765升用MATLAB能夠畫出θ在090之間的三維圖：3.90180此時，雨滴將從后邊向你身上落下。令90，則090.q6.95104[1.5(0.8cos6sin)/v]對于充分大的，這個表達(dá)式可取負(fù)值，這自然是不合理的。由于雨水量是不能能為負(fù)值的，5主要原因是這個狀況超出了我們前面談?wù)摰膰?，因此必定回到開始的解析過程對這個狀況進(jìn)行詳細(xì)的談?wù)?，依照你在雨中行走的速度分兩種狀況。a雨從反面而來模型圖（1）考慮vusin的狀況此狀況也就是說你的行走速度慢于雨滴的水平運動速度，這時雨滴將淋在你的背上，淋在背上的雨水的量為pbda(usinv)/v，于是淋在全身的雨水的總量為qpbd[cucosa(usinv)]/v再次代入數(shù)據(jù)，可得q6.95104[(0.8cos6sin)/v1.5]它也是速度的減函數(shù)，當(dāng)你以速度vusin4sin在雨中前進(jìn)時，淋雨量的表達(dá)式可簡化為q6.95104(0.8cos)/(4sin)]它表示你不過被頭頂部位的雨水淋濕了。若是雨是以120的角度落下，也就是雨滴以30角從后邊落在你的背上，你應(yīng)該以4sin302m/s的速度在雨中行走，這時，你身上被淋濕的雨水的總量為q6.95104(0.83/2)/2米30.24升實質(zhì)上，這意味著你恰巧跟著雨滴向前走，因此身體前后卻沒有淋到雨。若是你的速度低于2m/s，則由于雨水落在背上，而使得被淋的雨量增加。用MATLAB能夠畫出θ在030之間的三維圖6（2）vusin的狀況你在雨中的奔跑速度比較快，要快于雨滴的水平運動速度2m/s，這時你將不斷地追趕雨滴，雨水將淋你的胸前，被淋的雨量是pbad(vusin),于是全身被淋的雨水總量為qpbd[uccosa(vusin)]/v當(dāng)v5米/秒，且30時，有q6.95104(0.434.5)/5米30.722升五、結(jié)論綜合上面的解析，從這個模型我們獲取的結(jié)論是：①若是雨是迎著你前進(jìn)的方向向你落下，這時的策略很簡單，應(yīng)該以最大的速度向前跑。②若是雨是從你的背后落下，這時你應(yīng)該控制你在雨中的行走速度，讓它恰巧等于落雨速度的水平重量。六、模型的談?wù)撆c談?wù)撍@取的這些結(jié)果憂如是合理的并且與我們所希望的是一致的。我們的第二個更詳細(xì)的模型對第一個模型的改進(jìn)之處在于建模時考慮了落雨的方向并且更全面地考慮了各種可能發(fā)生的狀況。所有的雨水量的結(jié)果都比第一個模型獲取的2升要小。同樣所獲取的結(jié)果的數(shù)量級也是我們所希望的。真切使用實質(zhì)的數(shù)值結(jié)果來考據(jù)這個模型是困難的。自然若是