數(shù)值分析課程第五版課后習(xí)題答案2

第一章緒論(12)

1、設(shè)x>0,x的相對(duì)誤差為b,求Inx的誤差。

［解］設(shè)x*>0為x的近似值，則有相對(duì)誤差為￡；(x)=b,絕對(duì)誤差為￡*(x)=蜃*,從而Inx的誤差為

￡"(Inx)=|(lnx*)［￡(/)=上云*=S,

相對(duì)誤差為￡；(Inx)=￡叱)=―、。

InxInx

2、設(shè)x的相對(duì)誤差為2%,求V的相對(duì)誤差。

［解］設(shè)X*為X的近似值，則有相對(duì)誤差為￡；")=2%,絕對(duì)誤差為￡*(x)=2%k*|,從而x"的誤差為

￡*(lnx)=|(x")［I(X*)=MX*)"12%忖=2〃％.卜［",

相對(duì)誤差為￡；(lnx)=￡*了=2〃％。

(X/

3、下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似數(shù)，即誤差不超過最后一位的半個(gè)單位，試指出它們是幾位有效數(shù)字：

xf=1.1021,x；=0.031,x；=385.6,x；=56.430,x；=7x1.0。

［解］x；=1.1021有5位有效數(shù)字；x；=0.0031有2位有效數(shù)字；口=385.6有4位有效數(shù)字;x；=56.430有5

位有效數(shù)字；匕=7x1.0有2位有效數(shù)字。

4、利用公式(3.3)求下列各近似值的誤差限，其中x：,x；,x；,x；均為第3題所給的數(shù)。

/T、***

(1)X］+；

e*(X：+X；+X；)=￡梟￡(X；)=￡(X；)+￡(X；)+￡(X：)

［解］1

=-xlO-4+-xlO3+-xlO"3=1.05x10-3

222

(2)

*/***x￡(X；)=(X；X；)￡(X；)+(X*X*)￡(X；)+(X；X；)￡(X；)

e區(qū)"3)=Z

k=\

［解］=(0.031x385.6)-xl0-4+(1.1021x385.6)-xl0-3+(1.1021x0.03l)-xl0-3;

222

=0.59768x10-3+212.48488x10-3+001708255x10-3

=213.09964255xlO-3=0.21309964255

(3)x；/x；。

（君/玲/圖，⑹力⑹+備a

[解]=—!—/x]0-3+0031_L‘]0-3=56.4611*]0-3。

56.4302(56.430)22(56.430)22

56,461^X￡X10-3A088654X10-5

(56.430)22

5、計(jì)算球體積要使相對(duì)誤差限為1除問度量半徑R允許的相對(duì)誤差是多少?

4/（1RR*）。

［解］由1%=￡；（—7T（R*）3）=T-------可知，

3

f*(|4^(??'，)3)=l%x|4^(/?*)3=]4亞R*)3￡*(R*)=4%(R*)2X￡*(/?*),

**1***￡*(7?*)11

從而屋(R)=l%x—R,故而(R)=、1=]%x_=一。

3R3300

6、設(shè)為=28,按遞推公式匕=匕_1一一-V783(〃=1,2,…)計(jì)算到幾0,若取J麗=27.982(五位有效數(shù)

字，）試問計(jì)算匕皿將有多大誤差？

［解］令匕表示匕的近似值，e\Yn）=Yn-Yn,則e*（%）=0,并且由

匕=匕-一卷x27制2-匕=工t一看x鬧可知，

匕一%擊x（27.982—展），即

e*億）=e*）一擊x（27.982-展）=e*（/?.）-j^x（27.982-歷）=…

2從而

e*（Koo）=）-（27.982-V783）=V783-27.982,

w|V783-27.982|<|xl0-3,所以/（幾。）=；xM。

7、求方程——56x+l=0的兩個(gè)根，使它至少具有四位有效數(shù)字（J麗a27.982）

［解］由工=28±，旃與/麗227.982（五位有效數(shù)字）可知，

匹=28+7^=28+27.982=55.982（五位有效數(shù)字）。

而無2=28—J7^=28—27.982=0.018,只有兩位有效數(shù)字，不符合題意。

11

但是無2=28-7783=1.7863x10-2。

28+V78355.982

9、正方形的邊長大約為100cm,應(yīng)怎樣測量才能使其面積誤差不超過I。”？？

[解]由￡*((/))=|[(/*)2]歸(/*)=2/*￡*(/*)可知，若要求￡*((r)2)=1則

*仁)」*((/*)2)=1一1即邊長應(yīng)滿足/=io。土」一。

,2/*-2x100-200200

1,

10、設(shè)S=gg產(chǎn)，假定g是準(zhǔn)確的，而對(duì)t的測量有±0.1秒的誤差，證明當(dāng)t增加時(shí)S的絕對(duì)誤差增加I,而相對(duì)

誤差卻減少。

［證明］因?yàn)椤?(S)=糕)［￡*?)=gf*￡*(f)=0.1g/，

￡：(s)="也=￡⑷=絲也=-4,所以得證。

5

；g(「)2t5t

11、序列｛)>“｝滿足遞推關(guān)系以=10%1-1(〃=1,2,…)，若治=&=1.41(三位有效數(shù)字)，計(jì)算到月0時(shí)誤

差有多大？這個(gè)計(jì)算過程穩(wěn)定嗎？

‘、=5

［解］設(shè)歹“為方的近似值，￡*(方)=》“-打，則由一與

乂=105-1

仔o=L41*1,

-ln-1可知，￡(%)=彳乂10.2,%_y“=10(%T_y,i),即

1%=10乂1-12

￡*(%,)=IO/",")=10"￡*(凡)>

s

從而￡*(yio)=lOi°￡*(yo)=lOi°xgxl()-2=lx］o,因此計(jì)算過程不穩(wěn)定。

12、計(jì)算/=(/-1)6,取行=1.4,利用下列公式計(jì)算，哪一個(gè)得到的結(jié)果最好？—~(3-2V2)3,

(V2+1)6

]

，99-7072,

(3+2揚(yáng)3

I_]

［解］因?yàn)槲?/)=—XIOL所以對(duì)于力

(V2+1)6

61\A-1=6.54x10-4<1*]0-2,有一位有效數(shù)字;

/(￡)=/e*(L4)=--------X—xlO

(1.4+1)722

對(duì)于￡=(3-2后尸，

21-1

/(/2)=//.4)=6(3-2x1,4)x1x1Q-'=0.12x1O-<1xl0,沒有有效數(shù)字;

對(duì)于"

(3+2揚(yáng)3

，6］1

6*(力)=力e*(1.4)=dxxl()T=2.65x10-3<xlO-，有一位有效數(shù)字；

33(3+2xl,4)422

對(duì)于￡=99一70匹，e*(￡)=4e*(L4)=70x；xl0T=35xl()T<gxlO1沒有有效數(shù)字。

13、/(x)=ln(x-Vx2-1),求/(30)的值。若開平方用六位函數(shù)表，問求對(duì)數(shù)時(shí)誤差有多大？若改用另一等價(jià)

公式ln(x-Vx2-1)=—ln(x+&-1)計(jì)算，求對(duì)數(shù)時(shí)誤差有多大？

［解］因?yàn)?3()2—1==29.9833(六位有效數(shù)字)，￡*(x)所以

2

?1ic-4

e*(￡)=|(/i')*|e*(x)=---------/x-xlO

(30-V302-1)2

--------1--------xlxlO-4=0.2994x10-2

30-29.98332

，(32)=|(堞)卞*(刈=——---------x-xlO

x+-1

1

x-xlO-4=0.8336x10-6

30+29.98332

第二章插值法(40-42)

1、當(dāng)％=1,-1,2時(shí),/(%)=0-3,4,求f(x)的二次插值多項(xiàng)式。

(x-x,)(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)(x-x,)

!2020!

L2(X)=y0----------------=—+y,--------------------+y2------------------—

(與一花)。0一》2)(X,-x0)(x(-x2)(x2-x0)(x2-x,)

[解]=0x(x+l)(x-2)+(.3)x(xT)(>2)+4x(P(x+l)

(1+1)(1-2)(-1-1)(-1-2)(2-l)(2+l)

=~-(x2-3x+2)+—(x2-1)=-x2+-x--

23623

2、給出/(x)=Inx的數(shù)值表用線性插值及二次插值計(jì)算In0.54的近似值。

X0.40.50.60.70.8

Inx-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144

[解]若取x0=0.5,u=0.6,

則=/(x0)=/(0.5)=-0.693147,必=/(/)=/(0.6)=-0.510826,則

X-X]X-XY6X5

Lo-0.693147x~0--0.510826x~0-

L(x)=yQ-----+兇------

xo-XjX]_x00.5-0.60.6—0.5,

6.93147(%-0.6)-5.10826(%-0.5)=1.8232lx-1.604752

從而L](0.54)=1.82321x0.54-1.604752=0.9845334-1.604752=-0.6202186°

若取%=0.4,x]-0.5,x2-0.6,則yQ=f(xQ)=/(0.4)=-0.916291,

%=/(xJ=/(0.5)=—0.693147,y2=/(x2)=/(0.6)=-0.510826,則

(X-X|)(X-X2)(x-x())(x-X2)(X-X())(X-X|)

(%1—Xo)(X|-x)(x-x)(x-x,)

Uo-X|)(x°-x2)2202

(x-0.5)(x-0.6)(x-0.4)(x-0.6)

-0.916291x+(-0.693147)x

(0.4-0.5)(0.4-0.6)(0.5-0.4)(0.5-0.6)

(x—0.4)(x—0.5)

+(-0.510826)x

(0.6-0.4)(0.6-0.5)

=-45.81455x(x2-1.lx+0.3)+69.3147x(%2-x+0.24)

—25.5413(r-0.9x+0.2)

=-2.04115x2+4.068475x-2.217097

從而4(0.54)=-2.04115X0.542+4.068475X0.54-2.217097

=-0.59519934+2.1969765-2.217097=-0.61531984

3、給出cosx,(T4xW90°的函數(shù)表，步長力=1'=(1/60)e，若函數(shù)具有5位有效數(shù)字，研究用線性插值求cosx近

似值時(shí)的總誤差界。

［解］設(shè)插值節(jié)點(diǎn)為X。<X<X］=X。+/?,對(duì)應(yīng)的COSX值為外,M，函數(shù)表值為90,歹則山題意可知,

j|_Y-YY-Y

5L

|yo-yo|<-xlO-\|y(-yJ^-xW,近似線性插值多項(xiàng)式為乙(x)=%-----+y,——所以總誤差

22-x.xx-

為

R(x)=fM-L}(x)=fM-L](x)+Lx(x)—L](x)

=4^("一”。)(工一項(xiàng))+"。一》。)---土■+(%-%)----匕，從而

2!x0-x}x}-x0

cos4/、/、/一\X-X]/一、工一//\

=一一(工一九0)。一陽)+(丁0一%)------+(%一%)-----&W(Xo，xJ

2x0-x}x}-x0

XX|

|R(x)K||COSg(x-x0)(x-x()|+|y()-y0|--+|%一%|三國

乙X。一A|X,—An

_5-5

<--(x-xo)(x-X,)+-xlOx—~—+-xl0x———

22—X]2x,-x0

<--+-X10-5」x」一+L10-5=_Lx6.94x10-5+_Lx]O-5=347x10-

242214400222

4、設(shè)與"=0,1「、〃)為互異節(jié)點(diǎn),求證:

1)=xk(k=0,l,---,n)；

j=o

2)￡(Xj.-x)Z(x)三x"(&=1,2,…,幾);

尸o

［解］1)因?yàn)樽髠?cè)是一的n階拉格朗日多項(xiàng)式，所以求證成立。

2)設(shè)/(y)=(y-x)3則左側(cè)是/(y)=(y-x)”的n階拉格朗日多項(xiàng)式，令丁=8，即得求證。

5、設(shè)/(x)eC2［a,b］且/⑷=/3)=(),求證嘎出⑺^"出一^叫/"。)|。

［解］見補(bǔ)充題3,其中取/(.)=/(>)=0即得。

6、在-44x44上給出/(x)=e*的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，若用二次插值求二的近似值，要使截?cái)嗾`差不超過104，

問使用函數(shù)表的步長h應(yīng)取多少？

［解］由題意可知，設(shè)x使用節(jié)點(diǎn)與=花—九，的，X2=X1+/7進(jìn)行二次插值，則插值余項(xiàng)為

R(x)=，『(x-x)(x-X|)(x-x)

202

e

=-[x-(Xj-/z)](x-x)[x-(x+;?)],^e(xo,x2)

611

令32一//)%+七一〃則

/(x)=[x-(%,-h)](x-%j)[x-(Xj+h)]=x-3x1x+(3x；2),

尸(x)=31—6X1X+(3x：—/),從而f(x)的極值點(diǎn)為x=X[±gh,故

?IV3V3V32百3右

max/(x)=——/??(1+——)/?-(1------)h=-------h,而

3?必13339

g4Qry4

艮⑸囁曙小)《看八票「要使其不超過此則有

嚕:/。。一6,即讓亨X舞X1。一J0.472X1。一2。

9、證明△(/祥人)=甸；達(dá)八|+力4.。

△(fkgk)=fk+igk+i—fkgk=fmgk+i—fi：gk+i+fkSk+i~fkSk

［證明］

頌

=(A+i-fk=*+1+fk(g*+i-g*)=g*+i+于-

‘一!，一?

10、證明E/og*=z,g“-fog。->*+防。

k=0k=Q

［證明］因?yàn)?/p>

?一】_1一]?一?

E力他+Eg?+M=E(fM+gk+M)

k=0k=0k=0

故得證。

Z"式g?+i一gk)+gk+l(fk+l-fk)l=E(gk+lfk+l-fkgk)=f"gn~fogo

k=0k=0

11、證明：￡"匕=Ay“_Ay。。

；=0

?一!

［證明］Z片yj=E。）*1一旬）=△、“一△為。

;=0;=0

12、若/(x)=%+%x+…+*_]￡1+%x"有n個(gè)不同實(shí)根X1,%2,…,x“，證明

Q0<A:<n-2

y-^

￡/'區(qū))k=n-l

[證明]由題意可設(shè)y(x)=an(x-x,)(x-x2)???(x-xn)=*n(x-xj,故

/=1

/（Xj）=*il（Xj-x,），再由差商的性質(zhì)1和3可知:

/=1

SXjXj11/日

E―H-------=—1kN，???，X,』='從而得證。

日/（馬）?“巾（馬_天）%氏（〃一】）?

/=1

7、證明n階均差有下列性質(zhì):

1)若F(x)=c以x),則F{Xo，X|,…,x“]=尤i，…,x“]；

2)若/(x)=/(x)+g(x)，則尸口0，陽,…,X“]=/[Xo，X],…,X,』+g[Xo，X],…,X,』。

17r弋F(Xj)<cf(Xj)

F[xQ,X[,---,xn]=---------=二丁----------

，叩GF-立-—巧)

［證明］D

=c、f“于8—=c^[x0,xl,?--,%?]

六。立(X,f)

/=0

i'j

6F(x)令/(x)+g(x)

F[x0,x[,---,xn]=X-----*—=--------

六°n（xL；）7=0口（馬7,）

1=01=0

2）由

/（X/）g（"j）

力%0，占，…,X,』+g［Xo，X］,…，x“］

一巾（馬-初六。巾（馬-項(xiàng)）

f⑻0

8、/(X)=X7+X4+3X+1,求42°,21…2],/[2°,21,-,28]=^—^=-=0o

X!o!

[解]/[2。,2：…,2，]J；W=1,/[20,2',--,28]O

15、證明兩點(diǎn)三次埃爾米特插值余項(xiàng)是

（4）22

/?3（x）=/Ox-xJ（x-xi+1）/41,8（xt,xM）,

并山此求出分段三次埃爾米特插值的誤差限。

Q

［解］見P30與P33,誤差限為0(%)+—/?max伉1。

27o<i<n'1

16、求一個(gè)次數(shù)不高于4次的多項(xiàng)式P(x),使它滿足尸(0)=P'(0)=0,尸⑴=P'(1)=1,P(2)=l。

43232

［解］設(shè)尸(x)=a4x+a3x+a2x+atx+aQ,則P\x)=4a4x+3a3x+2a2x+a］,再由P(0)=P(0)=0,

尸⑴=尸，⑴=1,尸(2)=1可得：

0=?0

［0=尸(0)=

0=%

0=p'(0)二a\

9_

1=^(1)=+a解得，ao從而

。4+。3+。2+n4~2

1=P'(x)==4a4+3a3+2a+Q］

23

=a

1=尸(2)=16%+8%+4%+2。1+a。~23

-1--

14

1439_x2(X-3)2

=-x----X3H----X2——(x2-6x+9)0

42444

17、設(shè)/(》)=1/(1+1),在一54x45上取〃=10,按等距節(jié)點(diǎn)求分段線性插值函數(shù)4(x),計(jì)算各節(jié)點(diǎn)中點(diǎn)處

的4。)與/(x)的值，并估計(jì)誤差。

［解］由題意可知，h=\,從而當(dāng)xw［x*,x*+J時(shí),

/、r,r,1X—X,.，1X-X

(X)=fl+fkJk+l=；^+~k

kk+1+女x*—x*+i1+/+1)4+1-工

11

h(l+k2)1例1+(%+1)2］

18、求/(x)=/在卜用上的分段線性插值函數(shù)/.(x),并估計(jì)誤差。

［解］設(shè)將［a,司戈吩為長度為h的小區(qū)間a=x0<x,<-<xn,則當(dāng)xe［xt.,xk+}］,k=0,1,2,???,?-1時(shí),

4(x)=Wk+)

_X(X；+1一,底)+XpX：__/,\r

__+Xr"-Ayk+lAk

xk+l-xk

xxxxx

從而誤差為R2(x)=//(x一k)(-k+\)=(x-k)(一X"1)，

*

故艮(x)|=|(x-Xk)(x-xi+1)|<—o

19、求/(x)=/在［a,“上的分段埃爾米特插值，并估計(jì)誤差。

［解］設(shè)將劃分為長度為h的小區(qū)間。=/Ax14…4x.=b,則當(dāng)xe［x*,Xh』，k=0,1,2,?一,〃一1時(shí),

4(x)=+九%+i+f；瓦+f；+%X)

/_\2Of)+叱/(不/\2-%)

f(4)⑶

22

從而誤差為/?,(%)=J4；(x-xj(x-與+1)2=(x—々)2(x_XM),

22

故陶(%)［=|(x—xt)(x-xi+1)|<—O

20、給定數(shù)據(jù)表如下：

Xj0.250.300.390.450.53

yj0.50000.54770.62450.67080.7280

試求三次樣條函數(shù)S(x),并滿足條件:

1)570.25)=1.0000,5'(0.53)=0.6868；

2)S"(0.25)=5"(0.53)=0。

［解］由％=0.30—0.25=0.05,/?)=0.39-0.30=0.09,h2=0.45-0.39=0.06,/i3=0.53-0.45=0.08,

h.h；,九0.099

及(8.10)式4=——』—,出=―—1)可知，4=——

~

7k+hj1%%+40.05+0.0914

h2_0,06_2

hi+h-,0.09+0.065

%0.084

~

h2+h3~0.06+0.087

jWi———，",————，

12

%+40.05+0.0914/2,+h20.09+0.065

_〃2_0.06_3

4"力2+出-0.06+0.08-7'

由(8.11)式gj=3(刃1nx尸,引+勺/［馬,盯+］)由=1,…〃-1)可知,

81=3(4/[”]+〃小,々])=3[7區(qū))—“'°)+；"“2)-/區(qū))]

14%!-x014x2-xx

n/90.5477-0.500050.6245—0.5477、

3x(x+x)

140.30-0.25140.39-0.30

4775768、19279

3X(14X+X)==2.7541

500149007000

g2=3(%/區(qū)，勺】+//區(qū),X3])=34/⑺-"々)+1，⑺-/區(qū))]

5x2-x,5x3-x2

=3X(2X06245-0.5477+3X0.6708-0.6245

50.39-0.3050.45-0.39

c,27683463、4x256+3x463_

3x(—x----1—x---)--1)

590056001000

g3=3(4/[》2，%3]+〃3/[*3，*4])=/⑵+"⑺

7x3-x27x4-x3

cA0.6708-0.624530.7280—0.6708、

3x(-x---------------+-x---------------)。從而

70.45-0.3970.53-0.45

44633472、4x463+9x118_1457

3x(—x----b—x----);=2.0814

760078001400-700-

209

142.7541--x1.0000

m,142.1112

23

1）矩陣形式為：一2m2=2.413=2.413,解得

55

31.7871

4加32.0814--x0.6868

027

7

叫0.9078

，從而S（x）=￡[＞產(chǎn)/（工）+勺//⑴]。

m2=0.8278

片0

加30.6570

2）此為自然邊界條件，故

,/U,)-/Uo)0.5477-0.5000477

go=3/[XoX1]=3x=3x3x——=2.862；

1

°°x,-x00.30-0.25500

“r、cf(x,J-f(xnc0.7280-0.6708c572…北

g=3/=3x，'""八"T、3x---------------=3x——=2.145,

"，，-，nx?-x?,0.53-0.45800

21000

95

200加0"2.862'X

1414

叫2.7541m]

23

,從而S(x)=Z[匕%(幻+m/6/(x)]。

矩陣形式為：020m22.413,可以解得m2

55>0

2.0814m

43嗎3

002

77加42.145__m4_

4

0002

7

21、若/(工)€。2口,切，S(x)是三次樣條函數(shù)，證明

1)^[f"(x)]2dx-j[S"(x)]2dx=[""(x)—S"(x)]2dx+2/s"(x)""(x)—S"(x)]dx；

2)若/(玉)=S(x。(z=0,1,-??,?),式中七為插值節(jié)點(diǎn)，且。=X。v王<…〈尤〃=b

則fs"(X)""(X)—s"(x)]dx=S"S)"'3)-S'(〃)]一S"⑷"'⑷-S'⑷]。

2

/""(x)-S"(X)]dx+2fS"(x)"〃(x)-S〃(x)Mx

=f""(x)—S〃(x)『+2S"(x)""(x)—S〃(x)]dx

[解]1)=f-S"(x)]+2S\x)}[f\x)-S\x)]dx。

=，nx)+S"(x)]""(x)—S"(x)]dx=f""(x)F—[S"(x)]2dx

=[[f\x^dx-1\S\x^dx

2)由題意可知，S"'(x)=A,xe\a,b],所以

j'S"(x)""(x)-S"(x)]dx={S〃(x)"'(x)-S'(x)]}：-f"'(x)-S'(x)]S'"(x)dx

=S"S)"'S)-S'S)]—S"(a)"'(a)-S'(a)]-Af"'(x)-S'(x)]dx。

=S"S)"'(b)-S'(b)]-S〃⑷"'⑷一S'(a)]-A[/(x)-S(<

=S"(b)[fr(b)一S'S)]—S"⑷"'⑷-S'⑷]

補(bǔ)充題：1、令/=0，芯=1，寫出>口)=6-*的一次插值多項(xiàng)式4(x),并估計(jì)插值余項(xiàng)。

[解]由%=y(Xo)="°=1,必=y(xD=eT可知，

，/、x-x.x-x,x-1,!x-Q

L.(x)=y()-----L+必-----Q-=1x----+ex-----

101

x0-x1x,-x00-11-0,

=-(x-1)+e~1x=1+(e“-l)x

余項(xiàng)為R](x)=’『(x-Xo)(x-X])=%~x(x-1),Je(0,1),

故|/?.(x)|<—xmaxle^lxmax|x(x-1)|=—xlx—=—?

1111

20<^<|1IOSASI1248

2、設(shè)/(x)=x4,試?yán)美窭嗜詹逯涤囗?xiàng)定理寫出以-1,0,1,2為插值節(jié)點(diǎn)的三次插值多項(xiàng)式。

[解]由插值余項(xiàng)定理，有

&(X)=———(x-x0)(x-x])(x-x2)(x-x3)

=-(x+l)x(x-l)(x-2)=(x2-2x)(/-l)=x4-2x3-x2+2x

4!

443232

從而L3(x)=/(x)-/?3(x)=x-(x-2x-x+2x)=2x+x-2xo

3、設(shè)/(x)在[a,H內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求證：

max/(x)—"(a)+^^~—a)]

aWxWbb-a黑"I。

[證]因?yàn)?(a)+/⑸二,9)(x—。)是以a,b為插值節(jié)點(diǎn)的/(x)的線性插值多項(xiàng)式，利用插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)定

b-a

理，得到：

/(X)-"(a)+一/⑷(x-a)]=1/"C)(X-a)(x-6),從而

b-a2

max/(x)—"(a)+(xmax|/ff(^)|"max|(x-a)(x-Z?)|

b~~a2a-q-ci-x-b

o

=(max|/"e)|.[b-a)2-萬max|/"(x)|

2a<^<bl148a"幼?1

4、設(shè)/(%)=/+5/+1,求差商〃2°,2=，/[2°,2',22],/[2°,2：…Z7]和/[2°,21…,23。

[解]因?yàn)?2°)=/⑴=7,/(29=-(2)=27+5x23+1=169,

/(22)=/(4)=47+5x43+1=16705,所以f[2°,2']^(2)~(1)=169-7=162

2—1

/(4)-/(2)16705-169

，,?221I=--------=---------=oZoo,

4-22

/⑵I]一=2。,238268-162

/[20,2',22]==2702,

22-2°3

偌。2,…為沖J1,…$。。

5、給定數(shù)據(jù)表：1=1,2,3,4,5,

X,12467

/5)41011

求4次牛頓插值多項(xiàng)式，并寫出插值余項(xiàng)。

［解］

王/(.V,)一階差商二階差商三階差商四階差商

14

21-3

5

40

~26

]_]__2_

61

2460

J_1

710_1

612Tso

由差商表可得4次牛頓插值多項(xiàng)式為：

57

N4(x)=4-3(x-1)+-(x-l)(x-2)-—(x-l)(x-2)(x-4)

66()

+—(x-l)(x-2)(x-4)(x-6)

180,插值余項(xiàng)為

57

=4-3(x-1)+—(x—l)(x—2)——(x—l)(x—2)(x—4)

660

+Igo(%"-2"-4)(工-6)

J(x)=(x-l)(x-2)(x-4)(x-6)(x-7),*(1,7)。

6、如下表給定函數(shù)：i=0,1,2,3,4,

01234

/((XX,,)36111827

由差分表可得插值多項(xiàng)式為：,

=3+3f+^^^x2=3+3f+f(f—l)=r+2/+3

第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分(107)

1、確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構(gòu)造出的求積公式所具有的代數(shù)精度。

1)ff(x)dx?A_lf(-h)+Ao/(O)+AJW；

［解］分別取/(x)=l,x,/代入得到:

2P

A_+A。+A1==2h

]+A()+A=2/i

A_(-/?)+A?0+=[產(chǎn)dx=0

]o即;A_]=A，解得《A=-h

0°3

(—力)2+4-02+A./z2=^x2dx=~h3A.+A.——hA.=%

I-，3

'6

3343

又因?yàn)楫?dāng)/(x)=/時(shí)，/I+A0-O+A/?=--/z+-h=Q=f/dx；

66乩

44455554

當(dāng)/(x)=/時(shí)，A.(-/2)+AO-O+A/I=-//+-//=-h^-h=f'xJx；

66354

從而此求積公式最高具有3次代數(shù)精度。

2)r,f(x)dx?A_J(-h)+4/(0)+4/(/7)；

［解］分別取/(x)=l,x,/代入得到:

*

+A)+4=[ldx=4/2

2+4+A=4〃

<