數(shù)值分析試題與答案

武博利依夫?堂試題

2009年~2010年第一學期

課程名稱：數(shù)值分析專業(yè)年級：2009級(研究生)

考生學號：考生姓名：

試卷類型：A卷JB卷口考試方式：開卷J閉卷口

一.填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分)

1.設(shè)有節(jié)點小,芯,馬，其對應的函數(shù)y=/(x)的值分別為即%，內(nèi)，則二次拉

格朗日插值基函數(shù)《⑺為o

2.設(shè)“X)=/，則“X)關(guān)于節(jié)點/=0,玉=1,々=3的二階向前差分

為。

4.〃+1個節(jié)點的高斯求積公式的代數(shù)精確度為o

二.簡答題(本大題共3小題，每小題8分，共24分)

1.哪種線性方程組可用平方根法求解？為什么說平方根法計算穩(wěn)定？

2.什么是不動點迭代法？夕(x)滿足什么條件才能保證不動點存在和不動點

迭代序列收斂于0(x)的不動點？

3.設(shè)n階矩陣A具有n個特征值且滿足國＞源性囚N…N|&|,請簡單說

明求解矩陣A的主特征值和特征向量的算法及流程。

三.求一個次數(shù)不高于3的多項式八(x),滿足下列插值條件：

123

2412

X

X,3

并估計誤差。(10分)

四.試用"=1,2,4的牛頓-科特斯求積公式計算定積分/=f」一dx。（10分）

五.用Newton法求/'（X）=x-cosx=。的近似解。（10分）

六.試用Doolittle分解法求解方程組：

25-6王10

413-19X2=19(10分)

-6-3-6-13一_-30_

20xj+2X2+3X3=24

七.請寫出雅可比迭代法求解線性方程組玉+8々+當=12的迭代格式，并

X

2x}-3X2+153=30

判斷其是否收斂？（10分）

八.就初值問題!考察歐拉顯式格式的收斂性。a。分）

Iy（o）=%

《數(shù)值分析》（A）卷標準答案

(2009-2010-1)

填空題（每小題3分，共12分）

[/\(x-x\x-x)

1.=]22.7；3.3,8；4.2n+l。

0。0一%)(%一々)

二.簡答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）

1.解：系數(shù)矩陣為對稱正定的方程組可用平方根法。（4分）

對于對稱正定陣A,從%=ZL媒可知對任意44i有1/注IW扃。即L的元素不

會增大，誤差可控，不需選主元，所以穩(wěn)定。（4分）

2.解：（1）若X*=,則稱X*為函數(shù)°（x）的不動點。（2分）

（2）°（x）必須滿足卜列三個條件，才能保證不動點存在和不動點迭代序列收斂于

9（x）的不動點:

1）e（x）是在其定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù);（2分）

2）e（x）的值域是定義域的子集；（2分）

3）8（x）在其定義域內(nèi)滿足李普希茲條件。（2分）

3.解：參照嘉法求解主特征值的流程（8分）

步1：輸入矩陣A,初始向量vO,誤差限%最大迭代次數(shù)N;

步2：置k:=l,u:=0,uO=vO/||vO||00;

步3：計算vk=AukT;

步全計算㈤卜鬻|口;

并置mk:=[vk]r,uk:=vk/mk;

步5：若|mk-u|<￡,計算,輸出mk,uk；否則，轉(zhuǎn)6；

步6：若k〈N,置k:=k+l,u:=mk,轉(zhuǎn)3；否則輸出計算失敗

信息，停止

三.解：（1）利用插值法加待定系數(shù)法：

設(shè)小（X）滿足“2（1）=2,?。?）=4,幺（3）=12,貝I」上（X）=3x2_7x+6,（3分）

（3分）

再設(shè)p3(x)=.2(X)+K(X-((X-2)(X-3)

K=2（1分）

%(x)=2x3-9x2+15x-6（1分）

(2)/?3(X)=\/(4)⑷(X-1)(X-2)2(X-3)

（2分）

四.解：應用梯形公式得=g[/(O)+/0)]

（2分）

=0.75（1分）

應用辛普森公式得：八八2f（O）+4f出+川）（2分）

6

=0.69444444（1分）

應用科特斯公式得：

/*$[7“。)+32巾+12佃+32/圖+7/(1)

（2分）

=0.6931746（2分）

7T

五.解：由零點定理，x—cosx=0在（0,一）內(nèi)有根。（2分）

2

由牛頓迭代格式x?+1=x?--Y°sx"〃=0,1,（4分）

1+sinxn

7T

取得,

X1=0.73936133;x2=0.739085178

（3分）

x3=0.739085133x4=0.739085133

故取x**乙=0.739085133（1分）

六.解：對系數(shù)矩陣做三角分解:

2MI2

4“22（2分）

—6

A=（4分）

若Ly=b,則％=10,y2=-l,y3=4；（2分）

若Ux=y,則x=(3,2,11。（2分）

七.解：（1）對于方程組,雅可比方法的迭代矩陣為

00.5-0.5

B=-10-1（2分）

0.50.50

其特征多項式為det（2/-5）=A（22+1.25）,且特征值為

4=0,4=V1-25z,4=—VL25Z（2分）

故有0（8）=1.25>1,因而雅可比迭代法不收斂。（1分）

（2）對于方程組，Gauss-Seidel迭代法迭代矩陣為

-00.5-0.5'

B=0-0.5-0.5（2分）

00-0.5

其特征值為4=0,4=4=0.5（2分）

故有0（8）=0.5<1,因而雅可比迭代法收斂。（1分）

八.證明題（本大題共2小題，每小題7分，共14分）

1.證：該問題的精確解為了（》）=%/"（2分）

歐拉公式為=y+〃/1%=(l+2A)y,.（2分）

對任意固定的x=x{=ih,

有％=%（1+助）”'=%［（1+幾〃產(chǎn)"產(chǎn)，（2分）

則%/*=M七）（1分）

5ra

2.證：牛頓迭代格式為七山=—+:,"=0,1,2,…（3分）

66%

因迭代函數(shù)為e（x）=&+-^7,而夕'（x）=3+'T,又x*=加，（2分）

66x63x

則

故此迭代格式是線性收斂的。（2分）

《數(shù)值分析》參考解答

三.計算題（每小題7分，共42分）：

1.設(shè)f（x）=ex,試構(gòu)造基函數(shù)求/（x）的2次插值多項式6（x）,滿足:

舄（0）=/（0）,八'⑼=尸⑼,尸2⑴=/（!）.

解設(shè)2（x）的基函數(shù)為4為）,4（%）,#0。），則它們滿足下列關(guān)系（1分）

X01X0

6（X）1e*1

?oW10a0（x）0

01a；(x)0

/）（x）00瓦(x)1

（2分）

a()(O)=co=1

⑴令a0(x)=g%2+dX+C。，則有<441)=劭+/+<:0=0,

。0(°)=%=。

即%=-1也=O,Co=1.所以％(■?)=-+1.

或由4⑴=0,先得a()(x)=(X-1)(履+/).

再由a0(0)=l,得一/=1,即/=—1.由a(；(0)=l,得/一左=0,即k=/=—1.

所以g(X)=—(X—l)(x+1)=—x~+1.(1分)

ax(0)=C[=0

(2)令+ax+q,則有<%⑴=%+4+<?]=1,

<7,(0)=4=0

即%=1,4=0,q=0.所以必(無)=心.

或由%(0)=況(0)=0,先得%。)=履2.再由%⑴=1,得k=l.

所以%(x)=x2.(1分)

>o(O)=c2=O

(3)令4(x)=%/+%x+C2,則有《用⑴=&+與+Q=0，

商0)=%=1

即。2=-1力2=1,，2=0.所以/?o(X)=-x)+X

或由用(0)=用⑴=0,先得4(x)=kx(x-l).

再由片’(0)=1,得一女=1,即女=一1.所以￡o(x)=—x(x—l)=—x?+x(1分)

2

最后得P2(x)=f(O)ao(x)+/(l)a,(%)+/'(O)/?o(x)=(e-2)x+x+1.(1分)

2.求f(x)=3x3+2x2+x在區(qū)間[-1,1]上的2次最佳一致逼近多項式；

解設(shè)所求的2次最佳一致逼近多項式為g(x).令。(x)=；[/(x)-P；(x)].(2分)

1.1

則。(x)的首項系數(shù)為1,并且當。(x)=§"(x)—g'(x)]=57T3(x)時，。。)與0的偏

差最小，即/(x)與g(x)的偏差最小.(2分)

因為[—1,1]上的3次切比雪夫Chebyshev多項式為7；(X)=4X3—3X.(1分)

3a13

所以尸2*(x)=/(x)--T.(x)=3x3+2x2+x-(3x3一一x)=2x2+~x.(2分)

444

3.利用龍貝格公式計算定積分(計算到與即可)：

JJ-+2公?

：

解/(x)=V7+2,xe[-l,7],Tx=―[/(-1)+/(7)]=16,(1分)

7；=17；+-|/(3)=8+4x75=16.94428,

T4=172+[/(I)+/(5)]=8.47214+2x(73+77)=17.22774,

12

，=2，+2"（°）+八2）+，（4）+7（6）1

=8.61387+V2+2+V6+V8=17.30599,（2分）

414

^=-^--^=17.25904,5,=-7；-=17.32223,

41

T（分）

S4=-L,--T4=17.33207,2TSCR

C,=—5,-—5,=17.32644,n=l1617.2590417.3264417.33283

1152151

n=216.9442817.3222317.33273

C=-5-—S,=17.33273,

2154152n=417.2277417.33207

641n=817.30599

/?.=-C-—C,=17.33283.（2^）

'632631

4.利用改進的尤拉方法求解常微分方程初值問題：（要求取步長力=0.2計算）

Jy'=y+x（i<x<1.6）

[y⑴=1.

解令/（x,y）=y+x,則改進的尤拉公式為:

（匕，得）+/（乙（

%+1=%+5/+h,yll+hfxn,yn^]（2分）

1?（2+7）力（2+h）hh2

（2分）

2y?+—2~/+萬.

取人=0.2得，%+|=1.22%+0.22x?+0.02.（1分）

計算結(jié)果如下:

]

L2L46|

2.0652

L62.84754

（2分）

5.用牛頓法求方程/（x）=?-3r-2=0在x0=3附近的根（只要求迭代2步）。

解牛頓迭代公式為：七用=%-型）

（2分）

/（X"）

=XX；一乙一2

（2分）

"3U?-1）,

取迭代初值為％=3,則迭代結(jié)果如下表所示:

nX"

LEJ3

2.33333

2.05555

（3分）

6.寫出解如下線性方程組的高斯―塞德爾迭代公式，并討論其收斂性。如果不收斂，則應

怎樣處理才能得到收斂的高斯―塞德爾迭代公式？

2x-3X=0,

Vl2

3玉+2X2=1.

2-320000-30

解A,O=，L，u=,b=（1分）

320230001

——I—

0120

則=（1分）

2]--32

G^(D-LY'U2003106

得（1分）

()4-320040-9

f=(D-Ly'b=^_2oiroiiro

32山「山（1分）

(k+i)[k}4

X=GX+f=X?+i為高斯-塞德爾迭代公式.（1分）

_9—

o

這時G的2個特征值為4=—“4=0,故P（G）>1,迭代法不收斂.（1分）

2x,-3x=0,,3匹+2X=1、3

若原方程2改寫成為2.；9。,這時人是嚴格對角

3玉+2X2=12

優(yōu)勢矩陣，則由此得到的迭代法必收斂.（1分）

四.證明題（每小題9分，共18分）：

1.證明本試卷第三大題（即計算題）第1小題的插值余項：

/,1

R式x）=/（x）—8（x）=（x—1）（0<J<1）,并有誤差估計IR,（%）1<

68

證：方法一：因為&（x）=/（x）—A（x）,則0」是"（X）的零點且。為二重的，（1分）

于是可設(shè)&（x）=Mx）/2.（x—1）,令W）=/Q）—6⑴―k（x）產(chǎn)Q—（2分）

則帕)有4個零點：0,0,1,x,連續(xù)使用三次羅爾定理,則至￡(0,1),使，?=0,(2

分)

即/'篇)一左。)?3!=0=%。)=^~^=一，得凡(x)=—?x2-(x-l).(2

3!66

分)

方法二：設(shè)帕)=f(t)-P、3/0一1在)產(chǎn)(f—1),則0Q)有3個零點0,1,X,(1

x(x-1)

分)

”(f)有2+1個零點，。，⑺有一個零點，所以0=，⑹=f'C)-一￡⑴3!(2

x2(x-l)

分)

/'??)=)(?一，(x)3!(2

x2(x-l)

分)

22

f(x)-P2(x)=1f"(x)x(x-1)=1e^x(x-1),即夫2(犬)=，/?(xT).(2

分)

g_________—19

最后1/?2(1)1=幺/(1一%)<￡1Jx(l-X)23X+(D/c

~66L62J8

分)

2.證明：求積公式173人“(一，|)+9(0)+初出)恰有5次代數(shù)精度.

證：當/(x)=l時，fJ(x)公=[ld(x)=2,

|/(-^|)+1/(o)+|/(J|)=|-i+|/(o)+1-i=2；a分)

「2T

當/(x)=x時，f|/(x)dx=J]Xd(x)=—=0,

11L2L

2與+Q⑼+“◎+灌)=。；°分)

當/(x)=l2時,，J(x)dx=『//(x)=—

““L3J-1

5~3、8,仆5,,3、5,3、28,小5Z3,2

分)

當/(1)=九3時,^f(x)dx=f/d(x)=0.

*假+裊(。)+*唱)=|(-砂+9(。)+海)3=。；

(1

分)

「32

HH4

當/(x)=/時，y(/(x)Jx=￡xJ(x)=—=-,

2島+*）+21）=汨IT加到w

(1

分）

當/（外=/時,^f（x）dx=￡x5J（x）=0,

3”1）+"⑼+端檄=8

(1

分）

即求積公式對次數(shù)不超過5的多項式準確成立，但當/。）=/時，

fJ（x）dx=[產(chǎn)明（了）=、=亍，

5f..（13.+8m，小、+5f..（[3.）=5（.反6+8/，（小、）+5.[3,6,

9~P99\59~P9°9W6=石’不成工(2

分）

綜之，求積公式具有5次代數(shù)精度.(1

分）

數(shù)值分析試題1

1.已知X；=325413,X；=0.325413都有6位有效數(shù)字，求絕對誤差限。（4分）

解：

由已知可知,n=6

X；=0.325413x1（）6#=6,左一"=0,絕對誤差限句=1x10°=0.52分

乂；=0.325413乂10°?=0,左一〃=一6,絕對誤差限￡2=；'10-62分

100

2.已知己=024求|即,1413Ml2(6分)

0-24

/MT.

Ml=max{1,4,8}=8,1分

ML=max{1,6,6}=6,1分

I磯=兀歷）1分

100100100

ATA02-20240802分

0440-240032

Amx(A'A)=max{l,8,32}=321分

=V32=4V2

||A||2

3.設(shè)/(1)=(1一〃1(6分)

①寫出f(x)=0解的Newton迭代格式

②當a為何值時，X"1=9(x?)(k=0,l……)產(chǎn)生的序列{xj收斂于行

解：

.....”4)a；-。)'_5x?a

A.+1—X.-----------X.-----------------——----r-..

①Newton迭代格式為：八八)64(4—4)66xk3分

/、5xa

(p(x)=—+—

6ox

②*<x）=3—1，當卜（亞）|=3二￡<1,即一2<。<22時迭代收斂3分

66x*1112

-321「3一

4.給定線性方程組Ax=b，其中：A=,b=用迭代公式

12-1

RAD=x“）+。出—Ax（*））（k=O,i……）求解Ax=b,問取什么實數(shù)a,可使迭代收

斂（8分）

1—3ct—2a

公式的迭代矩陣為B=I-aA=2分

—a1-2a

A—(1—3a)2a

其特征方程為同==02分

w_a??.—(1—2<z)

即，解得％=1—a,4=1—4a2分

要使其滿足題意，須使0（6）<1,當且僅當0<a<0.52分

12-人"討論解此方程的3迭代法的收

5.設(shè)方程Ax=b,其中A=111

221

斂性，并建立Gauss-Seidel迭代格式（9分）

解：

A=L+D+U

ro-22

Bj=-D-'(L+U)=-10-13分

-2-20

IA/—B,I==0,4=4=4=()2分

即P（5,）=0<1,山此可知Jacobi迭代收斂1分

Gauss-Seidel迭代格式：

xf+D=5一24)+2%?

-老)(k=0,1,2,3....)3分

?(*+!)_7_9r(A+l)_9r(t+1)

43—/乙人］乙人

6.用Doolittle分解計算下列3個線性代數(shù)方程組：Ax,="（i=l,2,3）其中

21I4

A232，仇=L=X],=X9（12分）

234

解:

1

1=LU3分

2

10044

由Ly=b1,即1107得丫=1分

1119

21141

由Uxl=y,即021xl=3得xl=2分

0022

②AX2=b2

001

10y=1得y=01分

111

21110.5

由Ux2=y,即021x2=0得x2=02分

00200

③AX3-h3

2110.5

232x3=0

2340

'100'0.5''0.5

由Ly=b3=x2,即110y=0得丫=-0.51分

11100

-21r-0.50.375

由Ux3=y,即021x3=-0.5得x3=-0.252分

002_00

XI-101

-1

yi01

7.已知函數(shù)y=f（x）有關(guān)數(shù)據(jù)如下：丫丫

要求一次數(shù)不超過3的H插值多項式，使“3（玉）=%，”3（玉）=%（6分）

作重點的差分表，如F：

ixif(xi)

0-1-1

1201

10-1

21123分

2

H式X)=/[x0]+/[x0,x1](x-x0)+/[x0,xl,xl](x-x0)(x-x1)+/[x0,x1,xl,x2](x-x0)(x-xl)

=-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1)

=2x3+x23分

xi0123

8.有如下函數(shù)表：f（xi）491625

試計算此列表函數(shù)的差分表，并利用Newton前插公式給出它的插值多項式（7分）

解：

M(x)=++(―。

=4+5x+x(x-l)

=x2+4x+44分

9.求?。?*在［-1,1］上的二次最佳平方逼近多項式6（x）,并求出平方誤差（8分）

解：

2

令8(x)=劭+a]x+a2x2分

取m=l,n=x,k=x:計算得:

(m,m)==0(m,n)=yxdx=\(m,k)=(j2dx=o

(n,k)=[x'c^xdx=\

lx=0.5(k,k)=(m,y)=

(n,y)=1戶[3"=0.5

戊二0(k,y)=

4=1

得方程組：■〃o+0.5〃2=03分

0.5q=0.5

解之得即=C,%=1,〃2=—2c（c為任意實數(shù)，且不為零）

即二次最佳平方逼近多項式尸2（x）=c+x-lex21分

2

平方誤差：例；=||/-P||'=|f|；-l>i@，y）=2分

2j=0-3

10.已知如下數(shù)據(jù)：用復合梯形公式，復合Simpson公式計算乃=的近似值（保

留小數(shù)點后三位）（8分）

Xf(x)=4/(l+x"2)

0.0004.000

0.1253.938

0.2503.765

0.3753.507

0.5003.200

0.6252.876

0.7502.560

0.8752.265

1.0002.000

解￡

）i復合梯形公式:

n=初(。)+2嗎+沖+嗎)+尺)+/)+吟+4)]+/(1)}

=3.1394分

用復合Simpson公式：

54=如(0)+叫)+**?)]+2[心+憐+吟]+阿}

=3.1424分

11.計算積分/=fsinxdx,若用復合Simpson公式要使誤差不超過金xlO-5,問區(qū)間

［0,二7T］要分為多少等分?若改用復合梯形公式達到同樣精確度，區(qū)間［0,TT2］應分為多少等

22

分？(10分)

：①由Simpson公式余項及f(x)=sinx,/">(x)=sinx

71

I/??(/)!<2(二)4max|/<4,(x)k—(-)4(-)4<-xl0-52分

?"I1804〃04城13604n2

2

即〃42665,〃25.08,取n=62分

［，(

即區(qū)間0,芻分為12等分可使誤差不超過xlr51分

22

②對梯形公式同樣max|/”(x)Kl,由余項公式得

0<x<-

2

兀

K(7)|<—(―)<-xio-52分

1"112In2

即“N254.2,取”=2552分

即區(qū)間[。苧分為51。等分可使誤差不超過9M

1分

12.用改進Euler格式求解初值問題'巾"=°要求取步長卜為0」,計算丫（w

7（1）=1

的近似值（保留小數(shù)點后三位）[提示：sin1=0.84,sin1.1=0.89]（6分）

改進Euler格式為：

y“+i=%+妙(x“，y“)

h~

%,+i=%+，y“)+/(x.+i，%+i)1

于是有

)'“+i=y“-o」(y“+Wsinx“)

(n=0,1,2....)2分

-

2-2

yn+i=-0O5(y“+y?sinx?+yn+1+yn+lsinx?+l)

由y(i)=y()T，計算得

<y,=l-0.1(l+l2sinl)=0.816

y(l.l)?y,=0.838

即y(l.l)的近似值為0.838

13.即（x）ee（a,b）,定義：=lim/[x,/],證明：f[x0,x0]=/'[x0]

XfM

■■（4分）

lim'[%]=lim/[x,x0]=f[x0,x0]

XTX。X-XoXT/4分

故可證出/[Xo，/]=f'[x0]

14.證明：設(shè)AeR"、"，M為任意矩陣范數(shù)，則夕（6分）

、，.□

-UH?

設(shè)幾為A的按模最大特征值，x為相對應的特征向量，則有Ax=/lx1分

且「缶）=岡，若X是實數(shù)，則x也是實數(shù)，得=1分

而同中小||H*H4故州|x|141Ali憫2分

由于卜|卜0,兩邊除以|x|得到曰＜||A||1分

故「(A)4Ml1分

當4是復數(shù)時，一般來說X也是復數(shù)，上述結(jié)論依舊成立

數(shù)值分析試題2

1、（本題5分）試確定工作為萬的近似值具有幾位有效數(shù)字，并確定其相對誤差限。

7

2?

解因為——=3.142857…=0.3142857…x1（）7

7

乃=3.141592…

所以

22

7T-------=0.001264…<0.005=」xl0-2:--xlO1-3（2分）

722

這里，m-0,m—n+\--2,n-3

由有效數(shù)字的定義可知工作為力的近似值具有3位有效數(shù)字。（1分）

7

而相對誤差限

乃_22

j=----=0-001264-"?0.0004138<0.0005=-x10-3（2分）

7t7t2

'2-1

2、（本題6分）用改進平方根法解方程組：-12

,13

「2-11、(1丫1￡

=A=LDlJ=,32

解設(shè)-123G1d21

341,321人W人

由矩陣乘法得:

527

d、=2&=—,&=

-25

（3分）

,__1