北京市大興區(qū)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高三上期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項：

1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填

涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角〃條形碼粘貼處”。2.作答選

擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必

須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案,

然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題

卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對2019年這一年的收支情況，下列說法中錯誤的是（）

即

80

70

60

50

40

30

20

10

°I2344567K9101112JI

A.月收入的極差為60B.7月份的利潤最大

C.這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30D.這一年的總利潤超過400萬元

2.已知貝!J“直線ax+2y_]=0與直線（a+l）x-2"+1=0垂直”是“。=3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

3.下列說法正確的是（）

A."若。>1,則a>1”的否命題是"若a>1,則a2<l"

B.在△4BC中，“力〉B”是“sinA>sinB”成立的必要不充分條件

7C

C.“若tanaHl,則aw—”是真命題

4

D.存在G（-oo,0）,使得25<3%成立

4.上世紀(jì)末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1）,充分展示了我國古代高超的音律藝術(shù)及先進(jìn)的數(shù)

學(xué)水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖，圖3是某

骨笛的部分測量數(shù)據(jù)（骨笛的彎曲忽略不計），夏至（或冬至）日光（當(dāng)日正午太陽光線）與春秋分日光（當(dāng)日正午太

陽光線）的夾角等于黃赤交角.

元.?南

圖1

由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對應(yīng)的年代如下表:

黃赤交角23°41,23°57,24。13，24。28'24。44，

正切值0.4390.4440.4500.4550.461

年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年

根據(jù)以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年代是（）

A.公元前200（）年到公元元年B.公元前4000年到公元前2000年

C.公元前6000年到公元前4000年D.早于公元前600（）年

2

5.設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)Z=L在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

1-z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

6.已知底面為邊長為2的正方形，側(cè)棱長為1的直四棱柱ABCO-A8C0中，p是上底面ABC。上的動點.給出

11111111

以下四個結(jié)論中，正確的個數(shù)是（）

①與點。距離為3的點p形成一條曲線，則該曲線的長度是Z-

②DPII面ACB,則OP與面ACCA所成角的正切值取值范圍是

111

③若OP=JT,則在該四棱柱六個面上的正投影長度之和的最大值為6

A.0B.1C.2D.3

7.已知m,n為異面直線，m_L平面a,n_L平面直線1滿足1J_m,1_Ln,則

（）

A.a//p且/〃aB.a_L0且/±p

C.a與p相交，且交線垂直于/D.a與p相交，且交線平行于/

若人=!_（〃）,則數(shù)列布｝的最大值是（）

8.在等差數(shù)列〃｝中，a=_5,a+a+a=9,eN*

n2567nan

n

1

A.—3B.--

3

C.lD.3

9.已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三視圖的長、寬、高分別為2,。，h,且2a+b=則

2

此三棱錐外接球表面積的最小值為（)

1721

A.nnC.4兀5兀

4-4-

10.已知a是第二象限的角，tan（兀+a）=一，則sin2a=()

4

121224_24

A.B.-

煞

11.如圖是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體的體積為（）

D.3兀

12.下列四個圖象可能是函數(shù)y=51og31x+ll圖象的是（)

——=^44——

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

71

13.已知平面向量3，5的夾角為一，￡=(、后」)，且|￡一石|=、「，則|3|=

3

14.若奇函數(shù)/(X)滿足/(X+2)=—/(x),g(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，對任意實數(shù)XeR都有g(shù)[g(x)—2x+2]=1,

當(dāng)時，/(x)=g(x),則/(log12)=.

2

15.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，A,B為x軸正半軸上的兩個動點，P(異于原點。)為y軸上的一個定點.若以AB

為直徑的圓與圓X2+&-2)2=1相外切，且N4PB的大小恒為定值，則線段0P的長為.

16.已知拋物線C：=4x,點P為拋物線C上一動點，過點P作圓“：&-3)2+產(chǎn)=4的切線，切點分別為4B,

J/2

則線段AB長度的取值范圍為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)設(shè)不等式—2<卜—1|-^+2|<0的解集為乂，a,beM.

11人1

(D證明：_；

364

(2)比較|『4a『與2|”」的大小,并說明理由.

18.(12分)已知/(x)=x3+3ax2+bx+a2(a>l)的圖象在x=-l處的切線方程為y=O.

(1)求常數(shù)4匕的值；

(2)若方程/(x)=c在區(qū)間[-4,1]上有兩個不同的實根，求實數(shù)c的值.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=l+2x-±-6alnx存在一個極大值點和一個極小值點.

X

(1)求實數(shù)Q的取值范圍；

⑵若函數(shù)/(X)的極大值點和極小值點分別為X和X,且/(x)+/(x)<2-6e,求實數(shù)a的取值范圍.(e是自

1212

然對數(shù)的底數(shù))

20.(12分)數(shù)列，滿足。+2。+3。+..?+〃Q=2-------.

nI23"2n

⑴求數(shù)列3｝的通項公式；

n

2

⑵用b=/____網(wǎng)、T為｛"｝1〈

"Yn的前n項和，求證：n

21.(12分)ft東省202()年高考將實施新的高考改革方案.考生的高考總成績將由3門統(tǒng)一高考科目成績和自主選擇的

3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級考試科目成績組成，總分為750分.其中，統(tǒng)一高考科目為語文、數(shù)學(xué)、外語，自主選擇的

3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級考試科目是從物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目，語、

數(shù)、外三科各占150分，選考科目成績采用“賦分制”，即原始分?jǐn)?shù)不直接用，而是按照學(xué)生分?jǐn)?shù)在本科目考試的排名來

劃分等級并以此打分得到最后得分.根據(jù)高考綜合改革方案，將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為、二

-+、-、-+、-、-+、-、一共8個等級。參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為：%、-。八萬為、，4%、

*加%、-%、3%?等級考試科目成績計入考生總成績時，將至等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，

分別轉(zhuǎn)換到91-100,81-90,71-80,61-70,51-60、41-50,31-40,21-30八個分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級成績.

舉例說明.

某同學(xué)化學(xué)學(xué)科原始分為65分，該學(xué)科：+等級的原始分分布區(qū)間為58?69,則該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的原始成績屬二+等

級.而二十等級的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為61?70,那么該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的轉(zhuǎn)換分為：

設(shè)該同學(xué)化學(xué)科的轉(zhuǎn)換等級分為二So_f5-0,-,求得二Pdd."J.

四舍五入后該同學(xué)化學(xué)學(xué)科賦分成績?yōu)?7.

（1）某校高一年級共2000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對六個選考科目進(jìn)行測試，其中物理考試原始成績

基本服從正態(tài)分布二~二

（i）若小明同學(xué)在這次考試中物理原始分為84分，等級九+,其所在原始分分布區(qū)間為82?93,求小明轉(zhuǎn)換后的

物理成績；

（ii）求物理原始分在區(qū)間（'2&O的人數(shù)；

（2）按高考改革方案，若從全省考生中隨機(jī)抽取4人，記表示這4人中等級成績在區(qū)間加］的人數(shù)，求中分布

列和數(shù)學(xué)期望.

（附：若隨機(jī)變量二~二（二二’），則二（二-二〈二<二+二艘，二（二-2二〈二〈二+2二）=。第4,

二仁一3二〈二〈二+3二）=0,9"）

22.（10分）如圖，已知四棱錐P-/BCD,P/工平面/BCD,底面/BCD為矩形，ZB=3,/P=4,E為PD的

中點，AE1PC.

(1)求線段A。的長.

(2)若M為線段BC上一點，且BM=1,求二面角M-PD—A的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、

D

【解析】

直接根據(jù)折線圖依次判斷每個選項得到答案.

【詳解】

由圖可知月收入的極差為90-30=60,故選項A正確；

1至12月份的利潤分別為20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利潤最高，故選項B正確；

易求得總利潤為380萬元，眾數(shù)為30,中位數(shù)為30,故選項C正確，選項D錯誤.

嬲：D.

【點睛】

本題考查了折線圖，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.

2、B

【解析】

由兩直線垂直求得則。=0或。=3,再根據(jù)充要條件的判定方法，即可求解.

【詳解】

由題意，“竣ax+2y-1=0與直線(a+1)x-2ay+1=0垂直”

貝!]“(4+1)+2*(—2句=0,解得。=0或。=3,

所以“直線6+2y-1=0與直線(以+1比一2砂+1=0垂直，，是“。=3”的必要不充分條件，故選以

【點睛】

本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系，及必要不充分條件的判定，其中解答中利用兩直線的位置關(guān)系求得。的值，同時熟

記充要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.

3、C

【解析】A：

否命題既否條件又否結(jié)論，故A錯.B：

由正弦定理和邊角關(guān)系可判斷B錯.C：

可判斷其逆否命題的真假，C正確.D：

根據(jù)塞函數(shù)的性質(zhì)判斷D錯.

【詳解】

解：A：“若a>l,則a>1”的否命題是“若a?1,貝!Ia2?l”，故A錯.

B：在中，4>Boa>b=2RsinA>2RsinB,故“4>B”是“sin/>sinB”成立的必要充分條件，故B

錯.

兀7C,

C：“若tanaHl,則aw_"0“若。=一則tana=l”，故c正確.

44

D：由幕函數(shù)》=乂〃(“<0)在(0，+8)遞減，故D錯.

故選：C

【點睛】

考查判斷命題的真假，是基礎(chǔ)題.

4、D

【解析】

先理解題意，然后根據(jù)題意建立平面幾何圖形，在利用三角函數(shù)的知識計算出冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交

角，即可得到正確選項.

【詳解】

解：由題意，可設(shè)冬至日光與垂直線夾角為春秋分日光與垂直線夾角為0,

則a-p即為冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，

將圖3近似畫出如下平面幾何圖形：

貝!]tana=—=1.6,tanP=———=0.66,

1010

tan(a-P)=tana-tan」=L6-0.66，0.457.

1+tan<^*tanB1+1.6x0.66

V0.455<0.457<0.461,

估計該骨笛的大致年代早于公元前6000

年.故選：

【點睛】

本題考查利用三角函數(shù)解決實際問題的能力，運用了兩角和與差的正切公式，考查了轉(zhuǎn)化思想，數(shù)學(xué)建模思想，以及數(shù)

學(xué)運算能力，屬中檔題.

5、A

【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡Z,求得Z對應(yīng)的坐標(biāo)，由此判斷對應(yīng)點所在象限.

【詳解】

22（1+i）

?1=口="次卬0=1+，，二對應(yīng)的點的坐標(biāo)為",1人位于第一象限.

故選：A.

【點睛】

本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運算，考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點所在象限，屬于基礎(chǔ)題.

6、C

【解析】

①與點。距離為*的點尸形成以力為圓心，半徑為點的!圓弧MN,利用弧長公式，可得結(jié)論；②當(dāng)P在A（或

141

C）時，0P與面ACCA所成角NOA。（或NDCO）的正切值為歪最小，當(dāng)P在。時，QP與面ACCA所成角

1

11111311

NOR。的正切值為夜最大，可得正切值取值范圍是咚,如；③設(shè)P（x,y,1）,則x2+y2+1=3,即X2+*=2,

可得DP在前后、左右、上下面上的正投影長，即可求出六個面上的正投影長度之和.

【詳解】

如圖：

①錯誤，因為?PyDP2-DD：=-12=成，與點。距離為用的點尸形成以J為圓心，半徑為夜的

11FT

一圓弧MN,長度為_-2n?/=在兀；

442

②正確，因為面AOC"面ACB,所以點P必須在面對角線AC上運動，當(dāng)P在A（或C）時，0P與面ACCA

111111111

所成角NZM。（或NOC。）的正切值為五最?。?。為下底面面對角線的交點），當(dāng)尸在。時，0P與面ACCA

44C111

所成角NO。。的正切值為2磨，所以正切值取值范圍是|尤,0|；

③正確，設(shè)P（x,y,D,貝?。軽2+'2+1=3,即X2+y2=2,OP在前后、左右、上下面上的正投影長分別為02+1,

（（iy~+1+A-+1、

"x2+l,正+",所以六個面上的正投影長度之2出2+1+Jx2+1+0---------+衣廠6戶,

當(dāng)且僅當(dāng)P在。］時取等號.

㈱：C.

【點睛】

本題以命題的真假判斷為載體，考查了軌跡問題、線面角、正投影等知識點，綜合性強(qiáng)，屬于難

題.7、D

【解析】

試題分析：由血,平面a,直線/滿足/,且/Za,所以///a,又n,平面P,，所以〃/。，由直

線m,n為異面直線，且血，平面a,〃上平面p,則a與「相交，否則，若a//p則推出血//〃，與異面矛盾，

所以a.B相交，且交線平行于/,故選D.

考點：平面與平面的位置關(guān)系，平面的基本性質(zhì)及其推

論.8、D

【解析】

在等差數(shù)列｛。｝中，利用已知可求得通項公式a=2n-9,進(jìn)而b=3=3，借助/（x）=3函數(shù)的的單調(diào)性

n??a2n-92x-9

n

可知，當(dāng)〃=5時，b取最大即可求得結(jié)果.

n

【詳解】

Q

因為a+a+a-9,所以3a=9,即a=3,又。=_§,所以公差d=2,所以a=2“一9,即b=-----，因

567662n"2〃-9

為函數(shù)/(X)=_____'在X<4.5時,單調(diào)遞減,且/(x)<。；在x>4.5時,單調(diào)遞減'且/(x)〉o.所以數(shù)列"｝

2x-93n

的最大值是b,且b=”3,所以數(shù)列｛b｝的最大值是3.

551n

故選:D.

【點睛】

本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,借助函數(shù)單調(diào)性研究數(shù)列最值問題，難度較易.9、

B

【解析】

根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐，并以該三棱錐構(gòu)造長方體，于是得到三棱錐的外接球即為長方體的外接球，進(jìn)而得

到外接球的半徑，求得外接球的面積后可求出最小值.

【詳解】

由已知條件及三視圖得，此三棱錐的四個頂點位于長方體ABCD-ABCO的四個頂點，即為三棱錐4-CB0,且

111111

長方體4BCD—4BC0的長、寬、高分別為2,a,b,

.?.此三棱錐的外接球即為長方體ABCD-ABCD的外接球,

且球蟀為R=山2+。2+拉=平+a2+b2,

22

(]4+c?2+.2￥()21兀

...三棱錐外接球表面積為4兀|J|=兀4+a2+b2=57i(a-1>+,

【一2一J―

121

.?.當(dāng)且僅當(dāng)a=1,bL=時，三棱錐外接球的表面積取得最小值為兀.

2T

齷B.

【點睛】

(1)解決關(guān)于外接球的問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離都等于球的半徑，同時要作一圓

面起襯托作用.

(2)長方體的外接球的直徑即為長方體的體對角線，對于一些比較特殊的三棱錐，在研究其外接球的問題時可考慮通

過構(gòu)造長方體，通過長方體的外球球來研究三棱錐的外接球的問

題.10、D

【解析】

利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出COS2a,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.

【詳解】

3

因為tan（兀+cc）=,

4

3

由誘導(dǎo)公式可得,tana=sina=一,

coset4

3

即sma=-_cosoc,

4

因為sin2a+cos2a=1,

16

所以COS2a=_,

25

由二倍角的正弦公式可得，

3

sin2a=2sinacosot=-_cos2a,

所以sin2a=-fx_24

22525,

故選:D

【點睛】

本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的正弦公式;考查運算求解能力和知識的綜合運用能力;屬于中檔

題.

11、A

【解析】

由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，半球的半徑為1,圓柱的底面半

徑為1,高為1.再由球與圓柱體積公式求解.

【詳解】

由三視圖還原原幾何體如圖，

該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱,

半球的半徑為1,圓柱的底面半徑為1,高為1.

145兀

貝!I幾何體的體積為V=-x—兀X13+兀X12xl=---

233

故選：A.

【點睛】

本題主要考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水

平.12、C

【解析】

首先求出函數(shù)的定義域，其函數(shù)圖象可由y=的圖象沿x軸向左平移1個單位而得到，因為y=51ogJxi為

XX

奇函數(shù)，即可得到函數(shù)圖象關(guān)于(-1,0)對稱，即可排除A、D,再根據(jù)X>o時函數(shù)值，排除8,即可得解.

【詳解】

...尸51ogJx+ll的定義域為{x|x。-1},

X+1

510g|x|

其圖象可由y=’的圖象沿x軸向左平移1個單位而得到，

X

_v=51og」x|為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點對稱，

X

...片51og,lx+ll的圖象關(guān)于點(-1,0)成中心對稱.

x+1

可排除A、D項.

當(dāng)x>0時，y=51og；lx+11>Q>，呂項不正確.

X+1

故選：C

【點睛】

本題考查函數(shù)的性質(zhì)與識圖能力，一般根據(jù)四個選擇項來判斷對應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)，即可排除三個不符的選項，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解析】

根據(jù)平面向量模的定義先由坐標(biāo)求得f|,再根據(jù)平面向量數(shù)量積定義求得f/T；將「,根簡并代入即可求得IbI.

【詳解】

￡=(的,1),則同=?底)+12=2,

平面向量W,廳的夾角為2,則由平面向量數(shù)量積定義可得=

根據(jù)平面向量模的求法可知4=防一2￡石+1=0,

代入可得J_2/d0=小,

解得啊=1,

故答案為：1.

【點睛】

本題考查了平面向量模的求法及簡單應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的定義及運算，屬于基礎(chǔ)題.

1

14、

3

【解析】

根據(jù)/(x+2)=—/(x)可得函數(shù)/(x)是以4為周期的函數(shù)，令g(x)-2*+2=k,可求g(x)=2x—l,從而可得

/(x)=g(x)=2x—1,/(log12)=-/(2-log3)代入解析式即可求解.

22

【詳解】

令g(x)-2*+2=k,貝[jg(x)=k+2*—2,

由g[g(x)-2x+2]=1,貝！]g(k)=l,

所以g(k)=k+2k-2=1,解得k=l,

所以9(x)=2x—1,

由xe[o,l]時,/(x)=g(x),

所以xehj]時，/(x)=2x-l.

由/(x+2)=-/(x),所以/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以函數(shù)/(X)是以4為周期的函數(shù)，

/(log12)=/(log3+log4)=/(log3+2)=/(log3-2),

22222

又函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，

所以/(log12)=—/(2—log3)=-[22-1。喏-1]=一g

故答案為：-J

3

【點睛】

本題主要考查了換元法求函數(shù)解析式、函數(shù)的奇偶性、周期性的應(yīng)用，屬于中檔題.

15、$

【解析】

分析：設(shè)O(a,0),圓O的半徑為r(變量)，OP=t(常數(shù))，利用差角的正切公式，結(jié)合以AB為直徑的圓與圓x?+

22

(y-2)產(chǎn)1相外切.且NAPB的大小恒為定值，即可求出線段OP的長.

詳解：設(shè)O(a,0),圓O的半徑為r(變量)，OP=t(常數(shù))，貝!|

22

a-ra+r

tanNOPA=------,tanZ.OPB=------,

tt

a+ra-r

.,.tanZAPB="y_2rt

,ai-r2ti+ai-n

1+----------

t2

：J/2+4=1+1],

ai=(%1)2-4,

.-.tanZAPB=2rt=2t

￡2+2-3"-3+2

r

VZAPB的大小恒為定值，

，t=G，IOPI=G

故答案為赤

點睛：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查差角的正切公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔

題.[16^22,4)

【解析】

PM,易得M4,可得四邊形的面積為—PM｝樽,耳4?曲，|

..21pAI7-

從而可得|AB|="句=4J一呼進(jìn)而求出|尸”|的取值范圍，可求得卜町的范圍.

【詳解】

如圖，連接易得設(shè)4人處,吊8，28,「加工48,所以四邊形PAM3的面積為:]且四

邊形PAM8的面積為三角形PAM面積的兩倍，所以:申-MA,|所以

華的膽三4

11\PM\\PM\d\PMf

當(dāng)『叫最小時，內(nèi)卻最小，設(shè)點P(x,y),則|PM|=J(x-3)2+y2=Jx2-6x+9+4x='X2—2x+9,

所以當(dāng)x=l時，||=V，貝!|.=4「r=2JT，

V

PMtin.「〔mm丫8

當(dāng)點P(x,y)的橫坐標(biāo)x-+oo時，忸時|—+8,此時MB|-4,

因為隨著|PM|的增大而增大，所以必回的取值范圍為［2倉4).

故答案為：［2衣4).

【點睛】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查拋物線上的動點到定點的距離的求法，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于中檔

題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、⑴證明見解析；(2)11-4ab|>2la-bl.

【解析】

試題分析：

⑴首先求得集合M,然后結(jié)合絕對值不等式的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論；

(2)利用平方做差的方法可證得|1.4液|>2廿%

試題解析：

(I)證明：記/(x)=|x-1|-|x+2|,

|f3>x4—2I11I

則f(x)=-2<x<l,所以解得」vxv」，故”=卜1,1).

ab1111111

所以，L+IS|a|+|b|<X+X=.

363632624

11

(II)由(I)得0Wa2<T0<b2<_

44

|1-4ab|2-4|a-±>|2=(1-8ajb+16a2b2)-4(a2-2ajb+Jb2)=4(a2-1)(b2-1)>0.

所以，|1-4ab|>2|a-b|.

fa-2

18、(1)〈；(2)c=0或c=4.

[8=9

【解析】

(1)求出尸(x),由，(-1)=0,/(-1)=0,建立“，人方程求解，即可求出結(jié)論;

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，做出函數(shù)在卜4,1]的圖象，即可求解.

【詳解】

(1)f'(x)=3x2+Qax+b,由題意知

3—1)=0(3-64+6=0

[汽―1)=01-1+3a-/?+a2=0，

解得("=1(舍去)或W=2.

[0=3[b=9

(2)當(dāng)。=2力=9時，fr(x)=3x2+12x+9=3(x+3)(x+1)

故方程/'(x)=0有根，根為》=-3或x=-1,

X(-00,-3)-3(-3,-1)-1(-1,+00)

廣⑴+0-0+

/(X)/極大值極小值

由表可見，當(dāng)x=-1時，/⑴有極小值0.

由上表可知/W的減函數(shù)區(qū)間為(-3「1),

遞增區(qū)間為(一叫一3),(-1.+OO).

因為/H)=0,/(-3)=4./(-1)=0,/(0)=4,

/⑴=20.由數(shù)形結(jié)合可得c=0或c=4.

【點睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，應(yīng)用函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵，意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計算能力，屬于中檔題.

19、(1)[4,+8)；⑵(e,+8).

【解析】

(1)首先對函數(shù)/Q)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)存在一個極大值點和一個極小值點求出a的取值范圍：

⑵首先求出/G)+/(\)的值，再根據(jù)/G)+/(*)<2-6e求出實數(shù)a的取值范圍.

【詳解】

(1)函數(shù)/G)的定義域為是(0，+8),

2+2。6“2x2—6ax+2a

X2XX2

若/(x)有兩個極值點，則方程2x2-6ax+2a=0一定有兩個不等的正根，

設(shè)為x和x,且x<x,

1212

[△=36。2一16。>0彳

所以化+x=3〃>0解得

[，y

xx=a>0

12—

此時尸（x）=2（「）（》-尤2）,

X2

當(dāng)0<x<x時，f'(x)>0,

1

當(dāng)x<x<x時，r(x)<o,

12

當(dāng)x〉x時，r(x)>o,

2

故X是極大值點，X是極小值點，

12/、

(4)

故實數(shù)3的取值范圍是，+8.

6}

(2)由(1)知，X+X=3(7,XX=Q，

1212

則/(x)+/(x)=l+2x-e6alnx+l+2x6aInx

121]-122~2,

=2+2(x+x)-2a(x,+X,)_6Q。xx,

l2XX—12

12

=2+2x3a-2a"-6aIna=2-6aIna,

a

由f(x)+/(x)<2-6e,得2-6alna<2-6e,即alna>e,

12

令g(a)=alna[a>4],考慮到g(e)=elne=e,

(9j

所以aIna〉e可化為9(a)>g(e),

而g，(a)=l+lna〉l+lnf>l+ln1=O,

9e

所以八十肉，+：上為增函數(shù)，

6J

由g(a)>g(e),得a>e,

故實數(shù)a的取值范圍是(e,+8).

【點睛】

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點和單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式，屬于難題.

1

20、(1)a=_(2)證明見解析

"2〃

【解析】

(1)利用S與a的關(guān)系即可求解.

(2)利用裂項求和法即可求解.

【詳解】

Q

W：(1)當(dāng)〃=1時，a=2-

22

cn+2

n>2na=2-

9

又???當(dāng)”=1時也成立，=

12〃+i+1J

1+—II1+___I/十，N++]N1"IT"

(2n人2"+l)

.-.T=2「一1+1-1++1一1]

?(2+122+122+123+12n+l2n+l+lJ

=2(1_1>2_2<2

[32n+l+1732n+l+13

【點睛