建筑結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)講義五

第三章地震作用和結(jié)構(gòu)抗震驗(yàn)算一、課程內(nèi)容二、重點(diǎn)、難點(diǎn)和基本要求2023/5/161結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)第三章課程內(nèi)容§3-1概述§3-2單自由度彈性體系的地震反應(yīng)§3-3單自由度彈性體系的水平地震作用——地震反應(yīng)譜法§3-4多自由度彈性體系的地震反應(yīng)§3-5多自由度彈性體系的水平地震作用——振型分解反應(yīng)譜法§3-6底部剪力法和時(shí)程分析法§3-7水平地震作用下的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)§3-8結(jié)構(gòu)的豎向地震作用§3-9結(jié)構(gòu)自振周期的近似計(jì)算§3-10地震作用計(jì)算的一般規(guī)定§3-11結(jié)構(gòu)抗震驗(yàn)算2023/5/162結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)第三章重點(diǎn)、難點(diǎn)和基本要求重點(diǎn)和難點(diǎn)：1、重要術(shù)語(yǔ)、概念、定義2、單（多）自由度體系地震反應(yīng)和地震作用計(jì)算3、底部剪力法4、結(jié)構(gòu)抗震驗(yàn)算基本要求：掌握結(jié)構(gòu)抗震驗(yàn)算基本方法2023/5/163結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)§3-4多自由度彈性體系的地震反應(yīng)一、多質(zhì)點(diǎn)和多自由度體系二、兩自由度彈性體系的自由振動(dòng)1、兩自由度運(yùn)動(dòng)方程的建立2、兩自由度彈性體系的運(yùn)動(dòng)微分方程組3、兩自由度彈性體系的自由振動(dòng)三、多自由度彈性體系的自由振動(dòng)1、n自由度體系運(yùn)動(dòng)微分方程組2、n自由度彈性體系的自由振動(dòng)四、振型分解法1、兩自由度體系振型分解法2、n自由度體系振型分解法2023/5/164結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)一、多質(zhì)點(diǎn)和多自由度體系在進(jìn)行建筑結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析時(shí)，除了少數(shù)質(zhì)量比較集中的結(jié)構(gòu)可以簡(jiǎn)化為單質(zhì)點(diǎn)體系外，大量的多層和高層工業(yè)與民用建筑、多跨不等高單層工業(yè)廠房等，質(zhì)量比較分散，則應(yīng)簡(jiǎn)化為多質(zhì)點(diǎn)體系來(lái)分析，這樣才能得出比較符合實(shí)際的結(jié)果。

一般，對(duì)多質(zhì)點(diǎn)體系，若只考慮其作單向振動(dòng)時(shí)，則體系的自由度與質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)相同。2023/5/165結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)二、兩自由度彈性體系的自由振動(dòng)左圖為一兩自由度彈性體系在水平地震作用下，在時(shí)刻t的變形情況。Xg(t)為地震時(shí)地面運(yùn)動(dòng)的水平位移，質(zhì)點(diǎn)1和質(zhì)點(diǎn)2沿地面運(yùn)動(dòng)方向產(chǎn)生的相對(duì)于地面的水平位移分別為x1(t)和x2(t)，而相對(duì)速度則為和，相對(duì)加速度為

和

，絕對(duì)加速度分別為+和+。2023/5/166結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)1、兩自由度運(yùn)動(dòng)方程的建立單自由度體系相似，取質(zhì)點(diǎn)1作隔離體，則作用在其上的慣性力為：彈性恢復(fù)力為：阻尼力為：式中

k11——使質(zhì)點(diǎn)1產(chǎn)生單位位移而質(zhì)點(diǎn)2保持不動(dòng)時(shí)，在質(zhì)點(diǎn)1處所需施加的水平力；k12——使質(zhì)點(diǎn)2產(chǎn)生單位位移而質(zhì)點(diǎn)1保持不動(dòng)時(shí)，在質(zhì)點(diǎn)1處引起的彈性反力；c11——質(zhì)點(diǎn)1產(chǎn)生單位速度而質(zhì)點(diǎn)2保持不動(dòng)時(shí)，在質(zhì)點(diǎn)1處產(chǎn)生的阻尼力；c12——質(zhì)點(diǎn)2產(chǎn)生單位速度而質(zhì)點(diǎn)1保持不動(dòng)時(shí)，在質(zhì)點(diǎn)1處產(chǎn)生的阻尼力；m1——集中在質(zhì)點(diǎn)1上的質(zhì)量。

2023/5/167結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)2、兩自由度彈性體系的運(yùn)動(dòng)微分方程組根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，I1+R1+S1=0，經(jīng)整理得下列運(yùn)動(dòng)方程

同理對(duì)于質(zhì)點(diǎn)2:上二式就是兩自由度彈性體系在水平地震作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程組。上述列動(dòng)力平衡方程求解的方法常稱為剛度法。運(yùn)動(dòng)方程中的系數(shù)kij反映了結(jié)構(gòu)剛度的大小，稱為剛度系數(shù)。2023/5/168結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)3、兩自由度彈性體系的自由振動(dòng)

以兩自由度體系為例，令方程組等號(hào)右邊荷載項(xiàng)為零，由于阻尼對(duì)體系自振周期影響很小，故略去阻尼，即得該體系無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程組：設(shè)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)作同頻率、同相位的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則上列微分方程組的解為：式中

X1和X2——分別為質(zhì)點(diǎn)1和質(zhì)點(diǎn)2的位移振幅；

ω——振動(dòng)頻率；

φ——初相位。經(jīng)整理后得下列振幅方程：2023/5/169結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)1）、自振頻率和自振周期上式為Xl和X2的線性齊次方程組；體系在自由振動(dòng)時(shí)，X1和X2不能同時(shí)為零，否則體系就不可能產(chǎn)生振動(dòng)。為使上式有非零解，其系數(shù)行列式必須等于零，即：展開行列式，可得ω2的二次方程：上式稱為頻率方程，解之得：由此可求得ω的兩個(gè)正實(shí)根，它們就是體系的兩個(gè)自振圓頻率。其中較小的一個(gè)用ωl表示，稱為第一頻率或基本頻率，較大的一個(gè)ω2稱為第二頻率。利用式可由ωl和ω2求得體系的兩個(gè)自振周期，即T1=2π/ω1和T2=2π/ω2，且T1＞T2，T1稱為第一周期或基本周期，T2稱為第二周期。2023/5/1610結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)2）、主振型

由于線性齊次方程組的系數(shù)行列式等于零，所以兩個(gè)頻率方程并不是獨(dú)立的，振幅方程的解只能是兩質(zhì)點(diǎn)位移振幅的比值，如：

或當(dāng)，振幅比值為：當(dāng)，振幅比值為：

式中：——體系按頻率ωj(頻率序號(hào)j=1，2)自由振動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)i

(質(zhì)點(diǎn)編號(hào)i=1，2)的位移振幅。當(dāng)，質(zhì)點(diǎn)位移：和當(dāng)，質(zhì)點(diǎn)位移：和式中——體系按頻率ωj(頻率序號(hào)j=1，2)自由振動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)i

(質(zhì)點(diǎn)編號(hào)i=1，2)的位移

2023/5/1611結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)則在兩種不同頻率的自由振動(dòng)過(guò)程中，兩質(zhì)點(diǎn)的位移比值分別為：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，上式中每一比值均與時(shí)間無(wú)關(guān)，且為常數(shù)。這就表明，對(duì)應(yīng)于各個(gè)自振頻率，體系在相應(yīng)自由振動(dòng)過(guò)程中的任意時(shí)刻，兩質(zhì)點(diǎn)的位移比值(或振動(dòng)曲線形狀)始終保持不變，且等于Xj2／Xj1，改變的只是位移大小和方向。這種保持質(zhì)點(diǎn)位移比值不變的振動(dòng)形式(或形狀)稱為主振型。當(dāng)體系按第一頻率ω1振動(dòng)時(shí)的振動(dòng)形式稱為第一主振型(簡(jiǎn)稱第一振型或基本振型)，而對(duì)應(yīng)于第二頻率ω2的振動(dòng)形式稱為第二主振型(簡(jiǎn)稱第二振型)。主振型是彈性體系的重要固有特征，它們完全取決于體系的質(zhì)量和剛度的分布，體系有多少個(gè)自由度就有多少個(gè)頻率，相應(yīng)地就有多少個(gè)主振型。

2023/5/1612結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)3）、自由振動(dòng)方程的通解兩自由度彈性體系自由振動(dòng)方程式的通解為其特解即分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)自振圓頻率的質(zhì)點(diǎn)位移的線性組合，也即：其中X11、X12、X21、X22、φ1、φ2由初始條件確定。由上式可見(jiàn)，在一般初始條件下，任一質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)都是由各主振型的簡(jiǎn)諧振動(dòng)疊加而成的復(fù)合振動(dòng)。

2023/5/1613結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)4）、質(zhì)點(diǎn)復(fù)合振動(dòng)振型曲線和慣性力兩自由度彈性體系分別按頻率ω1和ω2作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，兩個(gè)振型的變形曲線及兩質(zhì)點(diǎn)上相應(yīng)的慣性力如圖所示。慣性力可表示為，其中i為質(zhì)點(diǎn)編號(hào)，j為振型序號(hào)，而且主振型變形曲線可視為體系上相應(yīng)的慣性力引起的靜力變形曲線，因?yàn)橛煽芍Y(jié)構(gòu)在任一瞬時(shí)的位移就是等于慣性力所產(chǎn)生的靜力位移。在一般初始條件下，任一質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)都是由各主振型的簡(jiǎn)諧振動(dòng)疊加而成的復(fù)合振動(dòng)。2023/5/1614結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)5）、主振型的正交性

根據(jù)功的互等定理，第一主振型上的慣性力在第二主振型的位移上所做的功等于第二主振型上的慣性力在第一主振型的位移上所做的功，這樣可得到：整理后得到：由于ω1≠ω2，所以：上式所表示的關(guān)系，稱為主振型的正交性，它反映了主振型的一種特性，即體系各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其在兩個(gè)不同振型上的位移振幅的連乘積的代數(shù)和為零。物理意義是：某一振型在振動(dòng)過(guò)程中所引起的慣性力不在其它振型的位移上作功。這說(shuō)明某一振型的動(dòng)能不會(huì)轉(zhuǎn)移到其它振型上去，也就是體系按某一振型作自由振動(dòng)時(shí)不會(huì)激起該體系其它振型的振動(dòng)。

2023/5/1615結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)三、多自由度彈性體系的自由振動(dòng)1、n自由度體系運(yùn)動(dòng)微分方程組2、n自由度彈性體系的自由振動(dòng)2023/5/1616結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)1、n自由度體系運(yùn)動(dòng)微分方程組

把兩自由度彈性體系的運(yùn)動(dòng)微分方程組推廣到n自由度體系，則其運(yùn)動(dòng)微分方程組應(yīng)由n個(gè)方程組成，一般表達(dá)式為:

式中Cij——質(zhì)點(diǎn)j產(chǎn)生單位速度，而其它質(zhì)點(diǎn)保持不動(dòng)時(shí)，在質(zhì)點(diǎn)i處產(chǎn)生的阻尼力；

kij——質(zhì)點(diǎn)j產(chǎn)生單位位移，而其它質(zhì)點(diǎn)保持不動(dòng)時(shí)，在質(zhì)點(diǎn)i處引起的彈性反力；

mi——集中在質(zhì)點(diǎn)i的質(zhì)量。求解上述運(yùn)動(dòng)方程組，一般采用振型分解法。該法需要利用多自由度彈性體系的振型，它們是由分析體系的自由振動(dòng)得來(lái)的。為此，須先討論多自由度體系的自由振動(dòng)問(wèn)題。2023/5/1617結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)2、n自由度彈性體系的自由振動(dòng)對(duì)于n自由度體系，由上式可得其自由振動(dòng)方程組：（i=1，2，…，n）設(shè)微分方程組的解為：代入上式，經(jīng)整理后得：

…………2023/5/1618結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)1）三、自振三頻率三和自三振周三期令方三程的三系數(shù)三行列三式等三于零三，即三可求三得頻三率方三程，三此方三程是三一個(gè)三以ω2為未三知數(shù)三的一三元n次方三程，三解此三方程三，可三以求三出n個(gè)根ω12、ω22、、…三、ωn2，即可三得出三體系三的n個(gè)自三振圓三頻率三，按三由小三到大三的順三序排三列依三次為ω1<ω2<…<ωi<…<ωn。對(duì)應(yīng)三的n個(gè)自三振周三’期三由大三到小三的順三序則三為T1>T2>…>Ti>…>Tn。ω2、、…、三ωn統(tǒng)稱三為高三階頻三率。三一般三說(shuō)來(lái)三，當(dāng)三體系三的質(zhì)三點(diǎn)數(shù)三多于3個(gè)時(shí)三，頻三率方三程的三求解三就比三較困三難，三常常三不得三不借三助于三一些三近似三計(jì)算三方法三和電三子計(jì)三算機(jī)三。20三23三/5三/319結(jié)構(gòu)三抗震三設(shè)計(jì)2）三、主振三型和三自由三振動(dòng)三方程三的通三解對(duì)于n自由三度彈三性體三系，三有n個(gè)自三振頻三率，三將其三依次三代入三頻率三方程三可求三得相三應(yīng)的n個(gè)主三振型三，除三第一三主振三型外三的其三它振三型統(tǒng)三稱為三高階三振型三。n自由三度彈三性體三系自三由振三動(dòng)時(shí)三，任三一質(zhì)三點(diǎn)的三振動(dòng)三都是三由n個(gè)主三振型三的簡(jiǎn)三諧振三動(dòng)疊三加而三成，三故自三由振三動(dòng)方三程的三通解三可寫三為（i=三1，三2，三…，三n）式中——第j振型i質(zhì)點(diǎn)三的相三對(duì)位三移；——第j振型i質(zhì)點(diǎn)三的位三移振三幅。20三23三/5三/320結(jié)構(gòu)三抗震三設(shè)計(jì)3）三、主振三型的三正交三性對(duì)n自由三度彈三性體三系，三主振三型正三交性三一般三可表三示為（j≠k）它反三映了三主振三型的三一種三特性三，即三體系三各質(zhì)三點(diǎn)的三質(zhì)量三與其三在不三同振三型上三的位三移振三幅的三連乘三積的三代數(shù)三和為三零。其物三理意三義是三：某三一振三型在三振動(dòng)三過(guò)程三中所三引起三的慣三性力三不在三其它三振型三的位三移上三作功三。這說(shuō)三明某三一振三型的三動(dòng)能三不會(huì)三轉(zhuǎn)移三到其三它振三型上三去，三也就三是體三系按三某一三振型三作自三由振三動(dòng)時(shí)三不會(huì)三激起三該體三系其三它振三型的三振動(dòng)三。20三23三/5三/321結(jié)構(gòu)三抗震三設(shè)計(jì)四、三振型三分解三法多自三由度三彈性三體系三在水三平地三震作三用下三的運(yùn)三動(dòng)方三程為三一組三相互三耦聯(lián)三的微三分方三程，三聯(lián)立三求解三有一三定困三難。振型三分解三法就三是通三過(guò)把三體系三的位三移反三應(yīng)按三振型三加以三分解三，并三利用三各振三型相三互正三交的三特性三，將三原來(lái)三耦聯(lián)三的微三分方三程組三變?yōu)槿舾扇ハ嗳?dú)立三的微三分方三程，三從而三使原三來(lái)多三自由三度體三系結(jié)三構(gòu)的三動(dòng)力三計(jì)算三變?yōu)槿舾扇齻€(gè)相三當(dāng)于三各自三振周三期的三單自三由度三體系三結(jié)構(gòu)三的問(wèn)三題，三在求三得了三各單三自由三度體三系結(jié)三構(gòu)的三地震三反應(yīng)三后，三采用三振型三組合三法即三可求三出多三自由三度體三系的三地震三反應(yīng)三。振型三分解三法是三求解三多自三由度三彈性三體系三地震三反應(yīng)三的重三要方三法。20三23三/5三/322結(jié)構(gòu)三抗震三設(shè)計(jì)1、三兩自三由度三體系振型三分解三法將質(zhì)三點(diǎn)m１及m２在地三震作三用下三任一三時(shí)刻三的位三移x１(t三)和x２(t三)用其三兩個(gè)三振型三的線三性組三合來(lái)三表示三：上式三實(shí)際三上是三一個(gè)三坐標(biāo)三變換三公式三，x１(t三)和x２(t三)為原三來(lái)的三幾何三坐標(biāo)三，而三新坐三標(biāo)q１(t三)和q２(t三)稱為三廣義三坐標(biāo)三，它三們也三是時(shí)三間的三函數(shù)三。上式三也可三理解三為是三將體三系的三位移三按振三型加三以分三解，q１(t三)和q２(t三)實(shí)際三上表三示了三在任三一時(shí)三刻的三位移三中第三一振三型和三第二三振型三所占三的分三量。由于三體系三的振三型是三唯一三確定三的，三因此三，當(dāng)q１(t三)和q２(t三)確定三后，x１(t三)和x２(t三)也將三隨之三而定三。20三23三/5三/323結(jié)構(gòu)三抗震三設(shè)計(jì)對(duì)上三式進(jìn)三行變?nèi)龘Q和三整理三，且三考慮三主振三型的三正交三性，三得到三：這里三，解兩三個(gè)解三耦的三方程三可分三別求三出q１(t三)和q２(t三)，而當(dāng)q１(t三)和q２(t三)確定三后，x１(t三)和x２(t三)也隨三之而三定。20三23三/5三/324結(jié)構(gòu)三抗震三設(shè)計(jì)兩自三由度三體系三變形三按振三型分三解示三意圖＝＋20三23三/5三/325結(jié)構(gòu)三抗震三設(shè)計(jì)2、n自由三度體三系振型三分解三法對(duì)n自由三度體三系，三各質(zhì)三點(diǎn)在三地震三作用三下任三一時(shí)三刻的三位移xi(t)也可用其三各個(gè)三振型三的線三性組三合來(lái)三表示三，即三：（i=三1，三2，三….三,n三）對(duì)上三式進(jìn)三行變?nèi)龘Q和三整理三，且三考慮三主振三型的三正交三性，三得到三解耦三方程三：式中三，三稱為三對(duì)應(yīng)三于第j振型三的阻三尼比三，系三數(shù)α1及α2通常三由試三驗(yàn)根三據(jù)三第一三、二三振型三的阻三尼比三確定三，而稱為三體系三在地三震反三應(yīng)中三第j振型三的振三型參三與系三數(shù)。rj實(shí)際三上是三當(dāng)各三質(zhì)點(diǎn)三位移x1=三x2=…xj=…三=xn=1時(shí)的qj值。20三23三/5三/326結(jié)構(gòu)三抗震三設(shè)計(jì)解耦三方程三的解在解耦三方程三中，三