彈性力學課件二四

第八章空間問題的解答8—1按位移求解空間問題8—2半空間體受重力和均布壓力8—3半空間體在邊界上受法向集中力8—4按應力求解空間問題8—5等截面直桿的扭轉8—6扭轉問題的薄膜比擬8—7橢圓截面桿的扭轉8—8矩形截面桿的扭轉8—5等截面直桿的扭轉例：圖示為等截面直桿（不計體力），兩端平面內受方向相反的兩個力偶作用，取如圖所示的坐標系，求應力分量。xyzMMo如何計算？用半逆解法由材料力學可知，桿件橫截面上有剪應力zx、zy，其他應力分量為零，即x=y=z=xy=0，體力X=Y=Z=0將上述應力分量代入平衡微分方程：（1）（2）（3）由（1）、（2）可知，zx、zy是x、y的函數由（3）得：或寫成：由微分理論可知，一定存在一個函數（x，y）使得：將上述表達式代入相容方程：邊界條件1、桿件側面：2、桿件端面（上端）：歸納：

等截面直桿的扭轉問題最終歸結為求應力函數（x，y），使它滿足且s=0，然后由下列公式求應力分量：求位移分量：（將應力分量代入物理方程）u0,v0,x,y,z是積分常數，代表剛體位移，k也是積分常數，若不計積分常數，則如果用柱坐標表示，則由此可得結論，每個橫截面在xy面上的投影不改變形狀，只是轉過一個角度=kz，且單位長度的扭轉角：8—6扭轉問題的薄膜比擬薄膜在均勻壓力下的撓度，與等截面直桿扭轉問題中的應力函數，在數學上是相似的，用薄膜來比擬扭桿，有助于尋求扭轉問題的解答設有均勻薄膜，張在一個水平邊界上，邊界的形狀與某扭桿橫截面的邊界形狀相同，薄膜受均布荷載作用xxzoy薄膜在均布荷載作用下，只產生均勻拉力（張力T），其他內力為零從薄膜中取微小單元abcd，它在xy平面上的投影是一個矩形，矩形的邊長分別為dx、dyxyoab邊的拉力：TdyxxyoTabcdTTTz其在z軸上的投影：cd邊的拉力：Tdy其在z軸上的投影：xxyoTabcdTTTzad邊的拉力：Tdx其在z軸上的投影：bc邊的拉力：Tdx其在z軸上的投影：單元abcd所受的壓力：q·dxdy建立單元的平衡方程：在邊界上，薄膜的垂度zs=0將與比較（1）形式相同（2）邊界條件相同所以，當薄膜的q/T=扭桿的2Gk時，薄膜的垂度z就相當于扭桿的應力函數這說明，當薄膜的垂度z與扭桿的應力函數時相當，薄膜與邊界平面之間體積的兩倍就等于扭矩在扭桿的橫截面上，沿x方向的剪應力：薄膜沿y方向的斜率：如何求扭桿橫截面上的最大剪應力？扭桿橫截面上沿x方向的剪應力相當于薄膜沿y方向的斜率，由于x和y軸可以取在任意兩個互相垂直的方向，所以扭桿橫截面上某一點，沿任意方向的應力，等于薄膜在對于點，沿垂直方向的的斜率只須求出對應薄膜的最大斜率，但要注意，最大剪應力與最大斜率所在的點相對應，方向相互垂直8—7橢圓截面桿的扭轉xyabBAo如圖所示，橫截面為橢圓邊界的等截面柱，橢圓的半軸為a，b因為橢圓的方程為：而應力函數在邊界上的值為零，所以，可設：應力函數應滿足三個條件：將應力函數代入當m等于此式時，應力函數滿足基本方程將的表達式代入其中最后求得：應力轎函數雹：此時嫩，應刻力函坑數滿病足所豎有條舟件應力分量如下：全應力：用薄攻膜比夢擬的喜方法桶計算貼最大腥應力假想一愁張薄膜總張在圖絞示橢圓板上，并恒受氣體伸壓力作撒用，由福于薄膜盲的最大氏斜率發(fā)河生在A、B點，且滲方向垂揚直與邊蜂界，所休以可知獄，扭桿懼橫截面蓮上的最種大剪應江力也發(fā)妹生在A、推B點，蠟但方迷向與屆邊界讀平行段，將A、B點的坐梢標（0失，b）或（0撕，-b）代入剪湊應力表酒達式：xyabBAo當a=b時，奔應力宋解答如與材下料力靜學中舉完全蹄相同如何靠求變納形和當位移逝？單位長度扭轉角：位移分量：求w：積分后袍得：0為z方向的姑剛體位壘移，若評不計剛就體位移矛，則此式蘆表明堆，扭濫轉時飄，桿戴件的超橫截胃面并萌不保胡持為蠢平面摘，只毀有當a=b時，才雨有w=愈0，橫截元面才技保持綿為平尿面8—8捉矩形斤截面桿蹲的扭轉xyoa/2a/2b/2b/2如圖所示，矩形截面桿，邊長a，b討論狹長矩形

ab

由薄膜比擬，可知可以則推斷挎，應科力函截數低在絕賄大部撥分橫居截面囑上幾問乎與x無關買，因創(chuàng)為對何應的扇薄膜談幾乎尖不受辣短邊尊的約沈束，采近似兔于柱棒面即

邊界條件：將的表達式代入位移分陽量如下私：求最座大剪豆應力由薄午膜比掩擬可睬以推許斷出串，最壩大剪飾應力尾發(fā)生矛在矩蔽形截訊面的下長邊酷上（y=-報b/2發(fā)；y=為b/2什），其大小遷：單位長度的扭轉角：對任宴意矩協(xié)形桿震（橫引截面莫的邊表長比遍值a/度b為任遷意值情），顏通過笑分析滾，可絞以將繳上述饑公式激進行蓄修正蓋：其中踐，紗和1只與比搜值a/宇b有關偵，其慶數值脫看P19財8表對狹長腰矩形截五面桿，隸和1取1單/3很多泳薄璧烤桿的猴橫截驅面，渴是由腫若干陪等寬無的狹愧長矩境形組男成的褲，有駛直的灑，有感彎的愿，如扇圖所掙示：由薄膜后比擬可穩(wěn)知，如附果一個辛直的狹貞長矩形穩(wěn)和彎的侄狹長矩盤形具有軟相同的身長度a和寬拍度，當則當示這兩蜜個狹矮長矩律形上辟的薄送膜具鵝有相烘同的獎張T并受相荷同的壓弟力q時，兩懸個薄膜蹲的體積V和斜率i將沒有始多大的悶區(qū)別，巖因此一芒個彎的陡狹矩形屋截面可碧以用同拜寬，同保長的直斥的狹矩伶形截面脾來代替肉，而不膚致引起順多大的幼誤差如何攏求薄評璧桿請的應爭力？用ai和bi代表稱扭桿斯中第i個狹長皇矩形的宮長和寬坡，Mi代表秧該矩連形上桂承受玩的扭草矩（港整個溜橫截鎖面上疊扭矩矮的一怕部分矩），攝i代表秋矩形播長邊技中點弄附近提的剪淋應力拳，k代表藏扭桿患的扭蚊角這些談公式牢是近鋼似的步，因北為沒欲有考賤慮到晌兩個耍矩形閑的過雷渡和起連接勝的影勵響本章卻小結本章對存空間問甲題基本職方程的扁求解方斯法作了友歸納，鎮(zhèn)對一些澡典型的拜彈性力惠學空間偵問題進沸行了求雙解分析鹿，學習被這部分熄，要求耽掌握一雄些幾點共：（1既）受班荷載虛作用恩的彈擠性體逢中，充其應貸力、顛應變賓和位五移均燙是坐啊標的羽連續(xù)勒函數妹，若塔能求攪出物文體內親的應姐力函趣數和梨位移漠函數宴，就叨能得仔到物勻體中閣任一飲點的收應力描、應較變和笨位移（2）守求物體脂內的6瘡個應力紹分量、挨6個應辛變分量糕和3個浪位移分愚量，有輝15個孕基本方穴程：平胞