廣東省湛江市港城實驗中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

廣東省湛江市港城實驗中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.“a＞|b|”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)絕對值大于或等于0，得“a＞|b|”成立時，兩邊平方即有“a2＞b2”成立；而當(dāng)“a2＞b2”成立時，可能a是小于﹣|b|的負(fù)數(shù)，不一定有“a＞|b|”成立．由此即可得到正確選項．【解答】解：先看充分性當(dāng)“a＞|b|”成立時，因為|b|≥0，所以兩邊平方得：“a2＞b2”成立，故充分性成立；再看必要性當(dāng)“a2＞b2”成立時，兩邊開方得“|a|＞|b|”，當(dāng)a是負(fù)數(shù)時有“a＜﹣|b|＜0”，此時“a＞|b|”不成立，故必要性不成立故選A2.函數(shù)，已知在時取得極值，則=（

）

A．2

B．3

C．4

D．5參考答案：B3.下列四個命題中：①；②；③設(shè)x，y都是正數(shù)，若＝1，則x＋y的最小值是12；④若｜x－2｜＜，｜y－2｜＜，則｜x－y｜＜2，則其中所有真命題的個數(shù)有A、1個B、2個C、3個D、4個參考答案：B4.已知雙曲線的右焦點為F，若過點且斜率為的直線與雙曲線漸近線平行，則此雙曲線離心率是

（

）

A．

B．

C．2

D．參考答案：A依題意，應(yīng)有=，又＝，∴=，解得e=．5.已知集合，則=（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D解析：由已知可得集合A=（1，2），，故．6.函數(shù)y＝ln(1－x)的圖象大致為()

參考答案：C7.對任意實數(shù)，，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：D略8.若某程序框圖如圖所示，則輸出的n的值是

（

）A.43

B.44

C.45

D.46參考答案：C9.已知集合，，則（

）A．[0,2) B．{0,1} C．{0,1,2} D．{0,1,2,3}參考答案：B，，則.10.已知全集，則（

）

A、 B、 C、 D、參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知圓O：x2+y2=4與y軸正半軸的交點為M，點M沿圓O順時針運動弧長到達(dá)點N，以x軸的非負(fù)半軸為始邊，ON為終邊的角記為α，則tanα=

．參考答案：1【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)題意畫出圖象，再結(jié)合題意求出點M旋轉(zhuǎn)的角對應(yīng)的弧度數(shù)度，再求出角α，再求正切值．【解答】解：由題意得，M（0，2），并畫出圖象如下：∵點M沿圓O順時針運動弧長到達(dá)點N，∴旋轉(zhuǎn)的角的弧度數(shù)為=，即以O(shè)N為終邊的角α=，則tanα=1，故答案為1．【點評】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，以及弧度制的定義，關(guān)鍵是根據(jù)題意正確畫圖，求出旋轉(zhuǎn)的角度．12.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A=60°，b=2，S△ABC=2，則a=

．參考答案：2【考點】正弦定理．【分析】利用S△ABC=bcsinA即可得出c，由余弦定理即可求a．【解答】解：在△ABC中，∵A=60°，b=2，S△ABC=2，∴2=bcsinA=，解得c=4．∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=4+16﹣2×=12，∴解得：a=2故答案為：2．13.已知，，則

。參考答案：14.能說明“若f（x）>f（0）對任意的x∈（0，2］都成立，則f（x）在［0，2］上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是__________．參考答案：y=sinx（答案不唯一）分析：舉的反例要否定增函數(shù)，可以取一個分段函數(shù)，使得f（x）>f（0）且（0，2］上是減函數(shù).詳解：令，則f（x）>f（0）對任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函數(shù).又如，令f（x）=sinx，則f（0）=0，f（x）>f（0）對任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函數(shù).

15.若的展開式的常數(shù)項是45，則常數(shù)a的值為__________．參考答案：3【分析】二項展開式的通項公式中，令的冪指數(shù)等于0，求出的值，即可求得常數(shù)項，再根據(jù)常數(shù)項等于45得解．【詳解】解：展開式的通項公式為，令，求得，可得它的常數(shù)項為，，故答案為：3．【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．16.已知函數(shù)，.若方程恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為__________.參考答案：

17.（幾何證明選講選做題）如圖2，⊙的兩條割線與⊙交于、、、，圓心在上，若，，，則

．參考答案：【知識點】與圓有關(guān)的比例線段．N116

解析：設(shè)圓半徑為r，∵⊙O的兩條割線與⊙O交于A、B、C、D，圓心O在PAB上，∴PC?PD=PA?PB，∵PC=6，CD=7，PO=12，∴6（6+）=（12﹣r）（12+r），解得r=8，∴AB=2r=16．故答案為：16．【思路點撥】由切割線定理得PC?PD=PA?PB，設(shè)圓半徑為r，則6（6+）=（12﹣r）（12+r），由此能求出AB的長．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)在某次數(shù)學(xué)測驗中的成績，甲組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以X表示. （Ⅰ）如果甲組同學(xué)與乙組同學(xué)的平均成績一樣，求X及甲組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差；（Ⅱ）如果X=7，分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名，求這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績之和大于180的概率.（注：方差其中）參考答案：

解：（I）乙組同學(xué)的平均成績?yōu)?，甲組同學(xué)的平均成績?yōu)?0，

所以…………………2分

甲組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差為……………

6分(II)設(shè)甲組成績?yōu)?6,87,91,94的同學(xué)分別為乙組成績?yōu)?7,90,90,93的同學(xué)分別為則所有的事件構(gòu)成的基本事件空間為：

共16個基本事件.設(shè)事件“這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績之和大于180”，則事件包含的基本事件的空間為{共7個基本事件，………….13分

略19.如圖，△ABC為圓的內(nèi)接三角形，AB=AC，BD為圓的弦，且BD∥AC．過點A作圓的切線與DB的延長線交于點E，AD與BC交于點F．（1）求證：四邊形ACBE為平行四邊形；（2）若AE=6，BD=5，求線段CF的長．參考答案：考點：與圓有關(guān)的比例線段．專題：直線與圓．分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出∠ABC=∠BAE，從而得到AE∥BC，再由BD∥AC，能夠證明四邊形ACBE為平行四邊形．（2）由已知條件利用切割線定理求出EB=4，由此能夠求出CF=．解答： （1）證明：∵AE與圓相切于點A，∴∠BAE=∠ACB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠BAE，∴AE∥BC，∵BD∥AC，∴四邊形ACBE為平行四邊形．（2）解：∵AE與圓相切于點A，∴AE2=EB?（EB+BD），即62=EB?（EB+5），解得EB=4，根據(jù)（1）有AC=EB=4，BC=AE=6，設(shè)CF=x，由BD∥AC，得，∴，解得x=，∴CF=．點評：本題考查平行四邊形的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意切割線定理的合理運用．20.已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)的最小值為，m，n為定義域A中的任意兩個值，求證：參考答案：解：(1)

令得當(dāng)時，

∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，

若，則；若，則∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.

………4分(2)由(1)知，當(dāng)時，函數(shù)至多有一個零點，不符合題意，∴又由(1)知，若，則函數(shù)在處取得極小值∴函數(shù)有兩個零點

解得

∴a的取值范圍是

…………8分(3)由(1)(2)知，當(dāng)時，函數(shù)無最小值；當(dāng)時，ks5u對于且，有

………10分不妨設(shè)，則，令，則設(shè)則

當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故時，又，∴

即所以

21.已知，函數(shù)（Ⅰ）若函數(shù)在[2,+∞)上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)正實數(shù)，求證：對上的任意兩個實數(shù)，，總有成立參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【分析】（Ⅰ）將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，可得，令，可判斷出在上單調(diào)遞增，即，從而可得的范圍；（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，，且；利用導(dǎo)數(shù)可判斷出在上是減函數(shù)，得到，經(jīng)驗算可知，從而可得，從而可證得結(jié)論.【詳解】（Ⅰ）由題意知：函數(shù)在上為減函數(shù)，即在上恒成立即：在上恒成立設(shè)當(dāng)時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增

即的取值范圍為：（Ⅱ）設(shè)，令：，則，令，則在上為減函數(shù)

，即在上是減函數(shù)

，即時，

【點睛】本題考查利用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立的問題.本題證明不等式的關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求解新函數(shù)單調(diào)性和最值的問題，根據(jù)最值可證得對應(yīng)的結(jié)論.22.（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為，過點的直線與橢圓相交于兩點（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓上一點，且滿足（為坐標(biāo)原點），當(dāng)時，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：（1）由已知，所以，所以所以

……1分

又由過焦點且垂直于長軸的直線被橢