湖南省永州市紫溪鎮(zhèn)紫溪中學2022年高三數(shù)學理期末試卷含解析

湖南省永州市紫溪鎮(zhèn)紫溪中學2022年高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.過點且與曲線相切的直線方程是（

）（A）

（B）

（C）（D）或

參考答案：D設點是曲線上的任意一點，則有。導數(shù)則切線斜率，所以切線方程為，即，整理得，將點代入得，即，即，整理得.2.已知函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上的圖象交于三點，則△的面積是（

）

A．

B． C．

D．參考答案：D，有圖像可得為等腰三角形，底邊為一個周期長，高為，則3.集合M={x||x﹣3|＜4}，N={x|x2+x﹣2＜0，x∈Z}，則M∩N（）A．{0} B．{2} C．? D．{x|2≤x≤7}參考答案：A【考點】交集及其運算．【分析】解絕對值不等式求出集合M，解二次不等式求出集合N，利用交集是定義求出M∩N即可．【解答】解：因為|x﹣3|＜4，所以﹣1＜x＜7，所以M={x|﹣1＜x＜7}；因為x2+x﹣2＜0，所以﹣2＜x＜1，所以N={x|x2+x﹣2＜0，x∈Z}={﹣1，0}；則M∩N={x|﹣1＜x＜7}∩{﹣1，0}={0}．故選A．4.某幾何體的三視圖如圖所示，那么該幾何體的體積是A.

B.

C.

D.參考答案：A5.已知平面向量滿足，且||=1，||=2，則||=A

B 3

C

5

D

2參考答案：B由題得所以||.故答案為：B

6.已知滿足，若目標函數(shù)的最小值為5，則的最大值為A.5

B.8

C.10

D.20參考答案：C7.曲線y=+1在點（0，2）處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為

A．

B．

C．

D．1參考答案：A8.某一考點有個試室，試室編號為，現(xiàn)根據(jù)試室號，采用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取個試室進行監(jiān)控抽查，已抽看了試室號，則下列可能被抽到的試室號是A．

B．

C．

D．參考答案：C9.已知數(shù)列等于（

） A．2

B．—2

C．—3 D．3

參考答案：D10.已知函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函數(shù)，a，b∈R．對于命題”若a+b≥0，則f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）”有如下結論：①其逆命題為真；②其否命題為真；③其逆否命題為真；④其逆命題和否命題有且只有一個為真．其中正確的命題結論個數(shù)為(

)個．A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點】命題的真假判斷與應用；四種命題的真假關系．【專題】應用題．【分析】逆否命題與原命題真假相同，所以判斷逆否命題的真假可以直接判斷原命題的真假；否命題與逆命題真假相同，所以判斷否命題的真假可以直接判斷逆命題的真假【解答】解：命題：若a+b≥0，則f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）．面先證明原命題：因為a+b≥0，所以a≥﹣b，b≥﹣a由于f（x）為增函數(shù)，所以f（a）≥f（﹣b），f（b）≥f（﹣a）所以f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）．故命題為真，根據(jù)互為逆否命題的真假相同可知，其逆否命題為真下面證明否命題：若a+b＜0，則f（a）+f（b）＜f（﹣a）+f（﹣b）由a+b＜0可得a＜﹣b，可得f（a）＜f（﹣b）由b＜﹣a可得f（b）＜f（﹣a）所以，f（a）+f（b）＜f（﹣a）+f（﹣b）否命題成立，則由逆命題與否命題互為逆否命題，真假相同，可知逆命題為真①其逆命題為真正確；②其否命題為真正確；③其逆否命題為真正確；④其逆命題和否命題有且只有一個為真，錯誤．故選C【點評】本題主要考查了抽象函數(shù)的單調性的證明，互為你否命題的真假關系的應用，屬于知識的簡單應用．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)有最小值，則實數(shù)的取值范圍為

。參考答案：【知識點】函數(shù)的單調性與最值B3【答案解析】[-3，3]．

f（x）=|3x-1|+ax+3=函數(shù)f（x）有最小值的充要條件為，即-3≤a≤3，故實數(shù)a的取值范圍是[-3，3]．故答案為：[-3，3]．【思路點撥】化簡函數(shù)f（x）的解析式f（x）=|3x-1|+ax+3=，f（x）有最小值的充要條件為，由此求得實數(shù)a的取值范圍．12.若點（其中）為平面區(qū)域內的一個動點，已知點,O為坐標原點，則的最小值為_____________。參考答案：13【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的及其內部．根據(jù)題意，將目標函數(shù)對應的直線進行平移，由此可得本題的答案．【詳解】點坐標為，點坐標為，作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的區(qū)域，其中，可得，將直線進行平移，可得當經過點時，目標函數(shù)達到最小值，．故答案為：13．【點睛】本題給出二元一次不等式組，求目標函數(shù)的取值范圍，著重考查了向量的數(shù)量積、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于中檔題．13.設的內角所對的邊為；則下列命題正確的是

①若；則

②若；則

③若；則

④若；則

⑤若；則參考答案：①②③①

②

③當時，與矛盾

④取滿足得：

⑤取滿足得：14.如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線及粗虛線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體外接球的表面積為．參考答案：【考點】球的體積和表面積；簡單空間圖形的三視圖．【分析】根據(jù)三視圖得出空間幾何體是鑲嵌在正方體中的四棱錐O﹣ABCD，正方體的棱長為2，A，D為棱的中點，利用球的幾何性質求解即可．【解答】解：根據(jù)三視圖得出：該幾何體是鑲嵌在正方體中的四棱錐O﹣ABCD，正方體的棱長為2，A，D為棱的中點根據(jù)幾何體可以判斷：球心應該在過A，D的平行于底面的中截面上，設球心到截面BCO的距離為x，則到AD的距離為：2﹣x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2﹣x）2，解得出：x=，R=，該多面體外接球的表面積為：4πR2=π，故答案為：．15.已知非零向量的夾角為60°，且，則的最大值是．參考答案：【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【專題】計算題；轉化思想；向量法；不等式的解法及應用；平面向量及應用．【分析】由已知條件結合基本不等式的性質及平面向量的數(shù)量積運算得到，當且僅當||=||=1時取等號．進一步由||=再展開數(shù)量積公式求得答案．【解答】解：∵非零向量的夾角為60°，且，∴，即，則，∴，當且僅當||=||=1時取等號．∴||===，∴1＜2||||+1≤3，∴1＜||≤．∴的最大值是．故答案為：．【點評】本題考查了向量的數(shù)量積定義及其運算性質、基本不等式的性質，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．16.已知的值為______________.參考答案：3略17.已知函數(shù)f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函數(shù)，若對于x≥0，都有f（x+2）=f（x），且當x∈[0，2）時，f（x）=log2（x+1），則f（﹣2017）=．參考答案：1【考點】抽象函數(shù)及其應用．【分析】利用函數(shù)的奇偶性的定義以及函數(shù)的周期性化簡，可得f（﹣2017）=f（1），代入已知解析式，求解即可得到答案．【解答】解：由已知函數(shù)是偶函數(shù)，且x≥0時，都有f（x+2）=f（x），當x∈[0，2）時，f（x）=log2（x+1），所以f（﹣2017）=f=f（1）=log22=1．故答案為：1．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c．已知acosAcosB﹣bsin2A﹣ccosA=2bcosB．（1）求B；（2）若b=a，S△ABC=2，求a．參考答案：【考點】正弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角形內角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知等式可得2sinBcosB=﹣sinB，結合sinB≠0，可求cosB=﹣，進而可求B的值．（2）由已知及余弦定理可求c2+ac﹣6a2=0，解得c=2a，進而利用三角形面積公式可求a的值．【解答】（本題滿分為12分）解：（1）由正弦定理得：2sinBcosB=sinAcosAcosB﹣sinBsin2A﹣sinCcosA=sinAcos（A+B）﹣sinCcosA=﹣sinAcosC﹣sinCcosA=﹣sin（A+C）=﹣sinB，∵sinB≠0，∴cosB=﹣，B=．…（2）由b2=a2+c2﹣2accosB，b=a，cosB=﹣，得：c2+ac﹣6a2=0，解得c=2a，…由S△ABC=acsinB=a2=2，得a=2．…19.已知函數(shù)定義域為(),設.(Ⅰ)試確定的取值范圍,使得函數(shù)在上為單調函數(shù)；(Ⅱ)求證:；(Ⅲ)求證:對于任意的,總存在,滿足,并確定這樣的的個數(shù).參考答案：解:因為由；由,所以在上遞增,在上遞減…………………(4分)欲在上為單調函數(shù),………(5分)(Ⅱ)證:因為在上遞增,在上遞減,所以在處取得極小值,又,所以在上的最小值為

………(9分)

從而當時,,即…………(10分)(Ⅲ)證:因為,所以即為,

令,從而問題轉化為證明方程=0在上有解,并討論解的個數(shù)……………………(12分)

因為,,所以

①當時,,所以在上有解,且只有一解……(13分)②當時,,但由于,所以在上有解,且有兩解…………(14分)③當時,,所以在上有且只有一解；當時,,所以在上也有且只有一解…………(15分)綜上所述,對于任意的,總存在,滿足,且當時,有唯一的適合題意；當時,有兩個適合題意…………(16分)(說明:第(Ⅱ)題也可以令,,然后分情況證明在其值域內,并討論直線與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)即可得到相應的的個數(shù))20.（本小題滿分12分）

已知集合A={x|2x2-5x-3≤0}，B={x|sin2x+cos2x-l≥0}．(I)若(a2-2a)∈(CRA)，求實數(shù)a的取值范圍；(Ⅱ)求AB．參考答案：21.為了對某課題進行研究，用分層抽樣方法從三所高校A，B，C的相關人員中，抽取若干人組成研究小組，有關數(shù)據(jù)見下表（單位：人）(I)求x、y;(II)若從高校B、C抽取的人中選2人作專題發(fā)言，求這2人都來自高校C的概率。參考答案：解：（I）由題意可得，，所以

（II）記從高校B抽取的2人為，從高校C抽取的3人為，則從高校B，C抽取的5人中選2人作專題發(fā)言的基本事件有共10種．設選中的2人都來自高校C的事件為X，則X包含的基本事件有，，共3種

所以故選中的2人都來自高校C的概率為略22.（本小題滿分13分）如圖，四邊形是正方形，平面，分別為的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的大??；（3）在線段上是否存在一點，使直線與直線所成的角為？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.參考答案：（1）證明見解析；（2）；（3）存在，且.試題分析：（1）要證明線面平行，只要證線線平行，由中位線定理易得，注意寫出線面平行判定定理的所有條件，都能得出結論；（2）求二面角，圖形中有交于同一點的兩兩相互垂直的三條直線，如，又平面平面所以平面；（2）因為平面所以平面所以，又因為四邊形是正方形，所以如圖，建立空間直角坐標系，因為，所以因為分別為的中點，所以所以設為平面的一個法向量，則，即依題意可設