全國初中數(shù)學(xué)競賽《圓》歷屆真題

22初中數(shù)學(xué)賽《圓》歷考題1（04D是△ABC的邊上的一點(diǎn)，使得AB=3AD，是△外接圓上一點(diǎn)，使ADP，求

PD

的值.解：連結(jié)，ADP所以，△APB∽△，…………（5分）∴

，AD所以ABAD，∴AP3AD，…………（分）所以3…………（分）PDAD205）已知點(diǎn)I是銳角三角形ABC的內(nèi)心，A1，，分別是

B

A

1點(diǎn)I關(guān)于邊，CAAB的對(duì)稱點(diǎn)。若點(diǎn)B在△的1圓上，則∠ABC等于（）

I

DA、30°

B、45°

C、60°

D、90°

A

C答：C解：因?yàn)镮A1＝IB1＝IC1＝2r（r為△ABC的內(nèi)切圓半徑以

B

1點(diǎn)I同時(shí)是△A1B1C1外接圓的圓心，設(shè)IA1與BC的交點(diǎn)為則IB＝＝2ID，所以∠＝°，同理，∠IBA30，于是，∠＝60°方形接于在劣弧AB上結(jié)DPAC于點(diǎn)QP=QO則

QC

的值為（）

DC3B）2（3（A答：．

（）

解：如圖，設(shè)⊙O的徑為r，則QP=m，＋，

QA=r－m．在O，根據(jù)相交弦定理，得·QC=QP·QD．

（第3題）即

(rm)(rm)=mQD，以

r

2

2

．連結(jié)DO由勾股定理，得QD=

22＋QO

r

2

2

2

2

3r得mr以，33QAr）如圖，點(diǎn)為⊙O外點(diǎn)，過點(diǎn)作O兩條切線，切點(diǎn)分別為，．點(diǎn)A作PB的行線，交于C．連結(jié)，交O于點(diǎn)；連結(jié)AE，并延長AE交于K求證PEAC=CEKB．

證明：因?yàn)椋訩PE=∠．是⊙O的線，所以∠KAP=∠ACE，故∠KPE=KAP，于是△KPE△，

K所以

KPKAKP

，即

KP

KE

．

由切割線定理得

KB2

所以

KPKB

．………10分

因?yàn)锳C，△∽，于是KPKB故CEAC

，

C即

AC=CEKB…………15分

（第4題（）已知△為角三角形，⊙O經(jīng)點(diǎn)，且與邊ABAC分相交于點(diǎn)D，E．若⊙的徑與△ADE的接圓的半徑相等，則⊙一經(jīng)eq\o\ac(△,過)eq\o\ac(△,)ABC的（A）內(nèi)心（）外心（C）重心（）垂心答解如，連接BE因?yàn)椤鰽BC為角三角形，所以，ABE

均為銳角．又因?yàn)椤训膹脚c△的接圓的半徑相等，且

為兩圓的公共弦，所以

BACABE

．于是，

BACABEBAC

．若△

的外心為

1

則

1

所以一過△ABC

（第3題答案圖）的外心．故選（B．已知為圓的直徑，點(diǎn)為直徑AB上任意一點(diǎn)．以點(diǎn)A為圓心為徑作⊙A，⊙A與圓O交于點(diǎn)C；以點(diǎn)B為圓心BP為半徑作⊙，⊙B與半圓O相于點(diǎn)，線段

ABC在eq\o\ac(△,Rt)AABC在eq\o\ac(△,Rt)A的中點(diǎn)為M求證：分與A和B相．證明：圖，連接，，BC，，并且分別過點(diǎn)C，D作的線，垂足分別為

,F

則CEDF為⊙O的直徑所

ACBADB

（第13A答案圖）和

Rt

△

ABD

中，

由

射

影

定

理

得

PA

AC

，PB

2

2

．…………分兩式相減可得

PA

2

，又

2PB)

，于是有

，即PAAEBF

，所以

PF

，也就是說，點(diǎn)P是段的點(diǎn)因此MP是角梯形

的中位線，于是有

MP

，從而可得MP分與和B相．7．如圖，點(diǎn)，分在四邊形ABCD的AD延長線上，且滿足

DE

．若，的長線相交于點(diǎn)，DEG的接圓與△CFG的外接圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)

，連接PA，PBPCPD．求證：（1

AD

；（2△

∽△

．證明）接，，，為

，所以

PDC

．又因?yàn)?/p>

，所以△

∽△

，于是有

PDPE,CPDFPE從△PDE∽PCF所PFPDDE以．已知，以，．……………分CFBC（2由于

PDAPGEPCB

，結(jié)合（）eq\o\ac(△,，)

PDA

∽△

PCB

，從而有PC

DPACPB，所以D因此△∽△

．…………15分8、△ABC中＝7BC8CA＝，過△ABC的內(nèi)切圓圓心l作DE∥BC分別與AB、相交于點(diǎn)D，E，則DE的長為解：如圖，設(shè)△三邊長a,c

163

。內(nèi)切圓l的半徑為r，BC上的高，則

D

Ir

EB

（第題）

C

aEaE1rah(a)r，所以，2hah因?yàn)椤鰽DE∽△ABC，所以它們對(duì)應(yīng)線段成比例，因此,hBCahra(b)所以DE＝(1)a(1)ahhaa故

DE

816。869、已知AB是半徑為1的圓O的一條弦，且ABa1，以為一邊在圓O內(nèi)作正△ABC，點(diǎn)為圓O上不同于點(diǎn)A的一點(diǎn)，且DB＝AB＝aDC延長線交圓于點(diǎn)，則AE的長為（BA、

53aB、1、2

Da解：如圖，連接OEOA，OB設(shè)∠Da，則∠ECA＝°－a＝∠EAC11又因?yàn)椤螦BO＝ABD)12022所以△ACE≌△ABO，于是＝OA＝1

OCAB（第題）

D10已知線段的中點(diǎn)為，以點(diǎn)A為圓心，的長為半徑作圓，在線段的延長線上取點(diǎn)D，使得BD；再以點(diǎn)為圓心，DA的長為半徑作圓，與⊙分別相交于F，G點(diǎn)，連接FG交AB于H，則解圖長AD與⊙交于點(diǎn)EAF1題設(shè)知AC，AB，在FHA和3中EFAFHA90FAHEAF

AH

的值為．所

以

Rt

△

FHA

∽

Rt

△

EFA

，AHAFAE

.而AF，所以

1.3

（第10）

（10如，ABC為腰角，底BC上高點(diǎn)D是段上的點(diǎn)BE和CF分別△ABD和△ACD的接直，接EF證：

tanPAD

EFBC

．證明：如圖，連接ED，.因?yàn)锽E和CF都是直徑，所以ED

FD⊥BC因此D，，F(xiàn)三點(diǎn)共線.…………（5分）連接AE，AF，則AEFACB，所以，△ABC∽△.…………（分）

（第11題作AHEF，垂足為則AHPD由△ABC∽△AEF可得EFBC

AH

，從而

EF

PD，AP所以

PDEFtPAD

…………（分）1211圖，點(diǎn)為△的垂心，以AB直徑的O△BCH的外接1圓O相交于點(diǎn)D，延長AD交CH于點(diǎn)P求證：點(diǎn)