數(shù)學(xué)分析試題及

（十六）數(shù)學(xué)解析2考試題一、單項(xiàng)選擇題（從給出的四個(gè)答案中，選出一個(gè)最合適的答案填入括號(hào)內(nèi)，每題2分，共20分）1、函數(shù)f(x)在[a,b]上可積的必要條件是（）A連續(xù)B有界C無(wú)中止點(diǎn)D有原函數(shù)2、函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在[-a,a]上可積，則（）aaf(x)dxaAf(x)dx2Bf(x)dx0a0aaf(x)dx2aaCf(x)dxDf(x)dx2f(a)a0a3、以下廣義積分中，收斂的積分是（）11B1CsinxdxD11dxAdxdx1x30x1x04、級(jí)數(shù)an收斂是an部分和有界且liman0的（）n1n1nA充分條件B必要條件C充分必要條件D沒(méi)關(guān)條件5、以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是（）Aan和bn收斂，anbn也收斂Ban和bn發(fā)散，(anbn)發(fā)散n1n1n1n1n1n1Can收斂和bn發(fā)散，(anbn)發(fā)散Dan收斂和bn發(fā)散，n1n1n1n1n1anbn發(fā)散n16、an(x)在[a，]收斂于（），且an（x）可導(dǎo)，則（）baxn1A'()a'()Ba（x）可導(dǎo)anxxn1ban(x)dxban(x)一致收斂，則Caa(x)dxDa（x）必連續(xù)n1an17、以下命題正確的選項(xiàng)是（）an(x)在[a，b]絕對(duì)收斂必一致收斂n1an(x)在[a，b]一致收斂必絕對(duì)收斂n1C若lim|an(x)|0，則an(x)在[，]必絕對(duì)收斂abnn1an(x)在[a，b]條件收斂必收斂n18、(1)n1x2n1的和函數(shù)為n02n1AexBsinxCln(1x)Dcosx9、函數(shù)zln(xy)的定義域是（）A(x,y)|x0,y0B(x,y)|yxC(x,y)|xy0D(x,y)|xy010、函數(shù)f(x,y)在（x0,,y0）偏可導(dǎo)與可微的關(guān)系（）可導(dǎo)必可可導(dǎo)必不可以微C可微必可導(dǎo)D可微不用然可導(dǎo)二、計(jì)算題：（每題6分，共30分）9221)dx1、f(x)dx4，求xf(2x102、計(jì)算12dx022xx3、計(jì)算1xn的和函數(shù)并求(1)nn1nn1n4、設(shè)z32xzy0，求zx(1,1,1)5、求limx2yx2y2x0y0三、談?wù)撆c考據(jù)題：（每題10分，共20分）x2y2(0,0)在（0，0）點(diǎn)的二階混雜偏導(dǎo)數(shù)1、談?wù)揻(x,y)xyx2y2(x,y)0(x,y)(0,0)2、談?wù)?1)n12nsin2nx的斂散性n2n四、證明題：（每題10分，共30分）1、設(shè)f1(x)在[a，b]上Riemann可積，fn1(x)bfn(x)dx(n1,2,)，證明函數(shù)列{fn(x)}在[a，b]上一致收斂于0a3、設(shè)f(x)在[a，b]連續(xù)，證明xf(sinx)dxf(sinx)dx，并求020xsinxdx2參照答案一、1、B2、B3、A4、c5、C6、D7、D8、C9、C10、C二、1、2xf(2x21)dx1221)d(2x21)（3分）令u2x21，f(2x0202xf(2x21)dx192（3分）f(u)du0212、1dx=limA1d(1x)limarctan(1x)A（6分）22022xxA01(1x)A043、解：令f(x)=1xn，因?yàn)榧?jí)數(shù)的收斂域[1,1)（2分），n1nf'(x)=xn11，f(x)=x1dtln(1x)（2分），令x1，得101tn1x(1)nln2nn14、解：兩邊對(duì)x求導(dǎo)3z2zx2z2xzx0（3分）zx2z（2分）3z22xz2（1分）x(1,1,1)5、解：x2yx（5分）limx2y0（1分）0|x2y2|2y2x0xy0因?yàn)閤=-2，x=2時(shí)，級(jí)數(shù)均不收斂，所以收斂域?yàn)椋?2，2）（3分）yx44x2y2y2三、1、解、fx(x,y)(x2y2)20x44x2y2y2x2y2fy(x,y)x(x2y2)2x2y20

x2y20（2分）x2y20(4分）02zlimfx(0,y)fx(0,0)(0,0)01yxyy2z(0,0)fy(x,0)fy(0,0)lim1（6分）xyx0x2、解：因?yàn)閘imn|(1)n12nsin2nx|2sin2x（3分），即2sin2x1級(jí)數(shù)絕對(duì)收nn斂2sin2x1條件收斂，2sin2x1級(jí)數(shù)發(fā)散（7分）所以原級(jí)數(shù)發(fā)散（2分）四、證明題（每題10分，共20分）1、證明：因?yàn)閒1(x)在[a，b上可積，故在[a，b上有界，即M0，使得]]f1(x)M(x[a,b])，（3x分）從而f2(x)|f1(t)|dtM(xa)一般來(lái)a說(shuō)，若對(duì)n有fn(x)M(xa)n1fn(x)M(ba)n1)，所(n1)!（5分）則(n(n1)!以{fn(x)}在[a，b]上一致收斂于0（2分）aTtaf(tT)d(tT)aTf(x)dxxT0f(t)dt（2）（4分）0將式（2）代入（1）得證（2分）xxxx2、zey1，zeyx，（7分）則xzyzxey1yeyx0（3xyyy2xyyy2分）3、證明：令xtxf(sinx)dx0t)f(sin(t))dtf(sint)dttf(sint)dt得證（7(000xsinxsinx2分）（3分）01cos2xdx201cos2xdx8（十七）數(shù)學(xué)解析2考試題二、單項(xiàng)選擇題（從給出的四個(gè)答案中，選出一個(gè)最合適的答案填入括號(hào)內(nèi)，每題2分，共20分）1、函數(shù)f(x)在[a,b]上可積的充要條件是（）A>0,>0和>0使得對(duì)任一分法，當(dāng)（）<時(shí)，對(duì)應(yīng)于i的那些區(qū)間xi長(zhǎng)度之和∑xi<B>0,>0,>0使得對(duì)某一分法，當(dāng)（）<時(shí)，對(duì)應(yīng)于i的那些區(qū)間xi長(zhǎng)度之和∑xi<C>0,>0使得對(duì)任一分法，當(dāng)（）<時(shí)，對(duì)應(yīng)于i的那些區(qū)間xi長(zhǎng)度之和∑xi<D>0,>0，>0使得對(duì)任一分法，當(dāng)（）<時(shí)，對(duì)應(yīng)于i的那些區(qū)間xi長(zhǎng)度之和∑xi<2、函數(shù)f(x)連續(xù)，則在[a,b]上d2xf(t)dt=（）dx1Af(2x)B2f(2x)C2f(x)D2f(2x)f(x)114、1x2dx（）A-2B2C0D發(fā)散4、liman0，則an( )nn1A必收斂B必發(fā)散C必條件收斂D斂散性不定5、若級(jí)數(shù)bn是an更序級(jí)數(shù)，則（）n1n1Aan和bn同斂散Bbn可以發(fā)散到+∞n1n1n1C若an絕對(duì)收斂，bn也收斂D若an條件收斂，bn也條件收斂n1n1n1n16、an(x)在[a，]一致收斂，且an(x)可導(dǎo)（n=1,2），那么( )bn1Af（）在[a，]可導(dǎo)，且f'(x)'xban(x)n1Bf（）在[a，]可導(dǎo)，但f'(x)不用然等于'xban(x)n1a'n(x)點(diǎn)點(diǎn)收斂，但不用然一致收斂n1a'n(x)不用然點(diǎn)點(diǎn)收斂n17、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)an(x)在D上一致收斂的充要條件是（）n1A>0,N（）>0，使>N有an1(x)am(x)mn>B>0,N>0，使>N有an1(x)am(x)mn>C>0,N（）>0，使>N有an1(x)am(x)mn>D>0,N（）>0，使>N有an1(x)am(x)mn>8、1(x1)n的收斂域?yàn)椋ǎ﹏1nA(-1,1)B(0,2]C[0,2）D[-1,1）9、重極限存在是累次極限存在的（）A充分條件B必要條件C充分必要條件D沒(méi)關(guān)條件10、f(x,y)|(x0,y0)（）xAlimf(x0x,y0y)f(x0,y0)Blimf(x0x,y0)f(x0,y0)x0xx0xClimf(x0x,y0y)f(x0x,y0)Dlimf(x0x,y0)x0xx0x三、計(jì)算題：（每題6分，共30分）1sinxcosx11、1x2dx12、計(jì)算由曲線yx1,y0,xy2和xe2圍成的面積3、求ex2的冪級(jí)數(shù)張開5、已知zf(xy,xy),f(u,v)可微，求2zxy6、求f(x,y)xyx在（0，0）的累次極限y三、判斷題（每題10分，共20分）1、談?wù)搇ncos的斂散性n3n2、判斷nxn的絕對(duì)和條件收斂性11x2n四、證明題（每題10分，共30分）1、設(shè)f(x)是[-af(x)dx0a，a]上的奇函數(shù)，證明a2、證明級(jí)數(shù)yx4n滿足方程y(4)yn0(4n)!3、證明S為閉集的充分必要條件是Sc是開集。參照答案一、1、D2、B3、D4、B5、C6、D7、A8、C9、D10、B二、1、解：1sinxcosx11sinxcosx112dx（2分）因?yàn)閟inxcosx1x2dx=1x2dx1x1x2111為奇函數(shù)1sinxcosxdx=0（2分）11dx=arctanx|11（2分）所以積分值為11x211x22（1分）22、解：兩曲線的交點(diǎn)為（1，2）（2分）e226（4分）所求的面積為：1/222+dx1x3、解：因?yàn)閑x1xx2xn（3分），2!n!ex21x2x4(1)nx2n（3分）2!n!4、解：z=f1f2yz=f1f2x（3分）2zf11f2(xy)f12xyf22xyxy（3分）5、解：limxylimy1，（3分）limxylimx1（3分）x0y0xyy0yy0x0xyy0x21三、1、解：因?yàn)閘ncos~2n2（6分），又收斂（2分）nn1n2所以原級(jí)數(shù)收斂（2分）2、解：當(dāng)|x|1時(shí)，有xn1|x|n，所以級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂（4分），x2x當(dāng)|x|1時(shí)，xn11，原級(jí)數(shù)發(fā)散（2分）x2x21n當(dāng)|x|1時(shí)，有xn(x)，由上談?wù)撝?jí)數(shù)絕對(duì)收斂（4分）n11x2nn11(1)2nx四、證明題（每題10分，共30分）af(x)dx0a1、證明：af(x)dxf(x)dx（1）（4分）a00tat)d(t)af(x)dxxf(f(t)dt（2）（4分）a00將式（2）代入（1）得證（2分）2、證明：所給級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?,)，在收斂域內(nèi)逐項(xiàng)微分之，得y'x4n1y''x4n2y'''x4n3y