2020-2021學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2020-2021學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8道小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|1＜x＜4}，則A∪B＝（）A．{x|1＜x≤3} B．{x|0≤x＜4} C．{x|1≤x≤3} D．{x|0＜x＜4}2．（5分）復(fù)數(shù)z＝在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限＝ C．第三象限 D．第四象限3．（5分）x＝﹣1是x2﹣3x+2＝0成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（5分）我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果，其中《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《數(shù)書九章》《緝古算經(jīng)》《綴術(shù)》有豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)，這6部專著中有4部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期．某中學(xué)擬從這6部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部專著中恰有1部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的概率為（）A． B． C． D．5．（5分）將某選手的9個(gè)得分去掉1個(gè)最高分，去掉1個(gè)最低分，7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91，現(xiàn)場(chǎng)做的9個(gè)分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來(lái)有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法辨認(rèn)，在圖中以x表示：則7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的方差為（）A． B． C．36 D．6．（5分）已知函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，記a＝f（0.32），b＝f（20.3），c＝f（log20.3），a，b，c的大小關(guān)系是（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a(chǎn)＜c＜b D．b＜a＜c7．（5分）函數(shù)y＝x﹣（0＜a＜1）的圖象大致為（）A． B． C． D．8．（5分）已知雙曲線與拋物線y2＝8x有一個(gè)公共的焦點(diǎn)F，且兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P，若|PF|＝5，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的對(duì)2分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（5分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是△B1CD1內(nèi)部（不包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)．若BD⊥AP，則線段AP長(zhǎng)度的可能取值為（）A． B． C． D．（多選）10．（5分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．f（x）的最小正周期為2π B．f（x）在上單調(diào)遞減 C． D．直線是f（x）圖象的一條對(duì)稱軸（多選）11．（5分）已知m為3與5的等差中項(xiàng)，n為4與16的等比中項(xiàng)，則下列對(duì)曲線描述正確的是（）A．曲線C可表示為焦點(diǎn)在y軸的橢圓 B．曲線C可表示為焦距是4的雙曲線 C．曲線C可表示為離心率是的橢圓 D．曲線C可表示為漸近線方程式的雙曲線（多選）12．（5分）下列命題為真命題的是（）A．對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x、y，有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，?，10）其線性回歸方程y＝﹣2bx+1，且x1+x2+x3+?+x10＝3（y1+y2+y3+?+y10）＝9，則系數(shù)的值是 B．從數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8中任取2個(gè)數(shù)，則這2個(gè)數(shù)的和為奇數(shù)的概率為 C．已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn的方差為4，則數(shù)據(jù)2x1+30，2x2+30，?2xn+30的標(biāo)準(zhǔn)差是4 D．已知隨機(jī)變量X～N（1，σ2），若P（X＜﹣1）＝0.3，則P（X＜2）＝0.7三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知向量＝（m，1），＝（1，﹣2）．若向量﹣與垂直，則m＝．14．（5分）若球的表面積為8π，有一平面與球心的距離為1，則球被該平面截得的圓的面積為．15．（5分）過(guò)圓O：x2+y2＝5外一點(diǎn)做圓O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，則|AB|＝．16．（5分）已知定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，若函數(shù)y＝f（x）﹣a（a∈R）恰有六個(gè)零點(diǎn)，且分別記為x1，x2，x3，x4，x5，x6，則x1?x2?x3?x4?x5?x6的取值范圍是．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（10分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝1，Sn+1﹣3Sn＝1．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn＝log3an+1，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn．18．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，且滿足bsinC＝ccosB+c．（1）求角B的大?。唬?）若b＝，a+c＝4，求△ABC的面積．19．（12分）某中學(xué)準(zhǔn)備組建“文科”興趣特長(zhǎng)社團(tuán)，由課外活動(dòng)小組對(duì)高一學(xué)生文科、理科進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，問(wèn)卷共100道題，每題1分，總分100分，該課外活動(dòng)小組隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的問(wèn)卷成績(jī)（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將數(shù)據(jù)按照[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于60分的稱為“文科方向”學(xué)生，低于60分的稱為“理科方向”學(xué)生．理科方向文科方向總計(jì)男110女50總計(jì)（1）根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為是否為“文科方向”與性別有關(guān)？（2）將頻率視為概率，現(xiàn)在從該校高一學(xué)生中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“文科方向”的人數(shù)為ξ，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求ξ的分布列、期望E（ξ）和方差D（ξ）．參考公式和參考臨界值見(jiàn)后：參考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．參考臨界值：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB＝BC＝a，D為BB1的中點(diǎn)．（1）證明：平面ADC1⊥平面ACC1A1；（2）求平面ADC1與平面ABC所成的二面角大小．21．（12分）已知拋物線E的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)（p＞0）到直線l：y＝x﹣2的距離為，P（x0，y0）為直線l上的點(diǎn)，過(guò)P作拋物線E的切線PM、PN，切點(diǎn)為M、N．（1）求拋物線E的方程；（2）若P（3，1），求直線MN的方程；（3）若P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，求|MF|?|NF|的最小值．22．（12分）已知f（x）＝lnx﹣mx（m∈R）．（1）若函數(shù)f（x）在（1，f（1））的切線平行于第一、三象限的平分線，求m的值；（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（3）若f（x）恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，證明：f'（x1）+f'（x2）＞0．

2020-2021學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題：本題共8道小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|1＜x＜4}，則A∪B＝（）A．{x|1＜x≤3} B．{x|0≤x＜4} C．{x|1≤x≤3} D．{x|0＜x＜4}【分析】利用集合并集的定義求解即可．【解答】解：因?yàn)榧螦＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|1＜x＜4}，則A∪B＝{x|0≤x＜4}．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的運(yùn)算，主要考查了集合并集的求解，解題的關(guān)鍵是掌握并集的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）復(fù)數(shù)z＝在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限＝ C．第三象限 D．第四象限【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出z的坐標(biāo)得答案．【解答】解：∵z＝＝＝，∴數(shù)z＝在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），在第一象限．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．3．（5分）x＝﹣1是x2﹣3x+2＝0成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】求解一元二次方程，然后結(jié)合充分必要條件的判定得答案．【解答】解：由x＝﹣1，不能得到x2﹣3x+2＝0，反之，由x2﹣3x+2＝0，可得x＝1或x＝2，不能得到x＝﹣1．∴x＝﹣1是x2﹣3x+2＝0成立的既不充分也不必要的條件．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的解法，考查充分必要條件的判定，是基礎(chǔ)題．4．（5分）我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果，其中《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》《數(shù)書九章》《緝古算經(jīng)》《綴術(shù)》有豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)，這6部專著中有4部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期．某中學(xué)擬從這6部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部專著中恰有1部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的概率為（）A． B． C． D．【分析】先由題意求出基本事件總數(shù)和事件A包含的基本事件數(shù)，再代入概率的計(jì)算公式即可得出結(jié)果．【解答】解：設(shè)所選2部專著中恰有1部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著為事件A，∵基本事件總數(shù)n＝＝15，事件A包含的基本事件數(shù)m＝?＝8，∴p（A）＝＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查古典概型的問(wèn)題，熟記概率的計(jì)算公式即可，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）將某選手的9個(gè)得分去掉1個(gè)最高分，去掉1個(gè)最低分，7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91，現(xiàn)場(chǎng)做的9個(gè)分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來(lái)有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法辨認(rèn)，在圖中以x表示：則7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的方差為（）A． B． C．36 D．【分析】根據(jù)題意，去掉兩個(gè)數(shù)據(jù)后，得到要用的7個(gè)數(shù)據(jù)，先根據(jù)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，求出x，再求出方差．【解答】解：∵由題意知去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)是87，90，90，91，91，94，90+x．∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是＝91，∴x＝4．∴這組數(shù)據(jù)的方差是（16+1+1+0+0+9+9）＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查莖葉圖，當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時(shí)，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個(gè)有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個(gè)位數(shù)，在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的，但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差．6．（5分）已知函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，記a＝f（0.32），b＝f（20.3），c＝f（log20.3），a，b，c的大小關(guān)系是（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a(chǎn)＜c＜b D．b＜a＜c【分析】根據(jù)題意，分析可得log20.3＜0＜0.32＜1＝20＜20.3，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，又由log20.3＜0＜0.32＜1＝20＜20.3，必有f（log20.3）＜f（0.32）＜f（20.3），即c＜a＜b，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及對(duì)數(shù)、指數(shù)大小的比較，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）函數(shù)y＝x﹣（0＜a＜1）的圖象大致為（）A． B． C． D．【分析】利用當(dāng)x＞0時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，以及f（1）的值，利用排除法進(jìn)行判斷即可．【解答】解：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝x﹣為增函數(shù)，排除A，B，當(dāng)x＝1時(shí)，f（1）＝1﹣a＞0，排除D，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，利用函數(shù)的單調(diào)性和排除法是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．8．（5分）已知雙曲線與拋物線y2＝8x有一個(gè)公共的焦點(diǎn)F，且兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P，若|PF|＝5，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．【分析】根據(jù)拋物線和雙曲線有相同的焦點(diǎn)求得p和c的關(guān)系，根據(jù)拋物線的定義可以求出P的坐標(biāo)，代入雙曲線方程與p＝2c，b2＝c2﹣a2，聯(lián)立求得a和c的關(guān)系式，然后求得離心率e．【解答】解：由題意可知，F(xiàn)（2，0），故a2+b2＝4①．設(shè)P（x0，y0），則|PF|＝x0+2＝5，所以x0＝3，代入拋物線方程解得，又因?yàn)?，即②，?lián)立①②解得a＝1，，c＝2，其離心率．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了雙曲線，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和基本的運(yùn)算能力．解答關(guān)鍵是利用性質(zhì)列出方程組，是中檔題．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的對(duì)2分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（5分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是△B1CD1內(nèi)部（不包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)．若BD⊥AP，則線段AP長(zhǎng)度的可能取值為（）A． B． C． D．【分析】由已知結(jié)合直線與平面垂直的判定與性質(zhì)可得P的軌跡，求出AO1與AC的長(zhǎng)，再求出A到O1C的距離，結(jié)合選項(xiàng)得答案．【解答】解：如圖，連接AC，A1C1在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，有AC⊥BD，由正方體的結(jié)構(gòu)特征，可得AA1⊥平面ABCD，而B(niǎo)D?平面ABCD，則AA1⊥BD，∵AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面AA1C1C，又點(diǎn)P是△B1CD1內(nèi)部（不包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，平面AA1C1C∩平面B1CD1＝O1C，且BD⊥AP，∴P的軌跡為線段O1C（不包括端點(diǎn)）．由正方體的棱長(zhǎng)為1，可得，則，AC＝，由等面積法可得A到O1C的距離為．∴AP∈[，）．結(jié)合選項(xiàng)可得，線段AP長(zhǎng)度的可能取值為ABC．故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中點(diǎn)線面間的距離計(jì)算，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．（多選）10．（5分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．f（x）的最小正周期為2π B．f（x）在上單調(diào)遞減 C． D．直線是f（x）圖象的一條對(duì)稱軸【分析】由題圖得A＝1，由f（0）＝sinφ＝﹣，又|φ|＜，可求φ的值，由f（﹣）＝sin[ω×（﹣）﹣]＝0，結(jié)合圖象可得ω＝2，即可判斷AC，由ω＝2，可求f（x）＝sin（2x﹣），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷B，利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性即可判斷D．【解答】解：對(duì)于A，由題圖得A＝1，因?yàn)閒（0）＝sinφ＝﹣，又|φ|＜，所以φ＝﹣，由f（﹣）＝sin[ω×（﹣）﹣]＝0，即sin[ω+]＝0，得ω+＝π+2kπ，k∈Z，即ω＝2+6k，k∈Z，因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)棣兀?，ω＝2+6k，k∈Z，所以ω＝2，所以f（x）的最小正周期為π，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，圖象f（x）過(guò)點(diǎn)（﹣，0），則，即，因?yàn)閨φ|，∴，故C正確，對(duì)于C，ω＝2，則f（x）＝sin（2x﹣），當(dāng)x∈（，）時(shí)，令t＝2x﹣，則t∈（，），因?yàn)閥＝sint在（，）上單調(diào)遞減，所以f（x）在（，）上單調(diào)遞減，故B正確；對(duì)于D，f（）＝sin（2×﹣）＝sinπ＝0，所以直線x＝不是f（x）圖像的一條對(duì)稱軸，故D錯(cuò)誤．故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）11．（5分）已知m為3與5的等差中項(xiàng)，n為4與16的等比中項(xiàng)，則下列對(duì)曲線描述正確的是（）A．曲線C可表示為焦點(diǎn)在y軸的橢圓 B．曲線C可表示為焦距是4的雙曲線 C．曲線C可表示為離心率是的橢圓 D．曲線C可表示為漸近線方程式的雙曲線【分析】由于m為3與5的等差中項(xiàng)，n為4與16的等比中項(xiàng)，解得m，n，進(jìn)而可得曲線C的方程，再結(jié)合性質(zhì)，即可得出答案．【解答】解：因?yàn)閙為3與5的等差中項(xiàng)，n為4與16的等比中項(xiàng)，所以2m＝3+5，n2＝4×16，解得m＝4，n＝±8，則曲線C的方程為+＝1或﹣＝1，其中+＝1表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，此時(shí)它的離心率為e＝＝＝＝＝，故A正確，C正確；﹣＝1表示焦點(diǎn)在x軸的雙曲線，焦距為2c＝2＝2＝4，漸近線方程為y＝±x＝±x＝±x，故B不正確，D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐曲線的方程，性質(zhì)，屬于中檔題．（多選）12．（5分）下列命題為真命題的是（）A．對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x、y，有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，?，10）其線性回歸方程y＝﹣2bx+1，且x1+x2+x3+?+x10＝3（y1+y2+y3+?+y10）＝9，則系數(shù)的值是 B．從數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8中任取2個(gè)數(shù)，則這2個(gè)數(shù)的和為奇數(shù)的概率為 C．已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn的方差為4，則數(shù)據(jù)2x1+30，2x2+30，?2xn+30的標(biāo)準(zhǔn)差是4 D．已知隨機(jī)變量X～N（1，σ2），若P（X＜﹣1）＝0.3，則P（X＜2）＝0.7【分析】直接利用回歸直線的方程的應(yīng)用，排列數(shù)的應(yīng)用和組合數(shù)的關(guān)系式，平均數(shù)和方差的關(guān)系，隨機(jī)變量的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論．【解答】解：對(duì)于A：具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x、y，有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，?，10）其線性回歸方程y＝﹣2bx+1，且x1+x2+x3+?+x10＝3（y1+y2+y3+?+y10）＝9，解得，，則系數(shù)的值是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn的方差為4，則數(shù)據(jù)2x1+30，2x2+30，?2xn+30的方差為22×4＝16，故標(biāo)準(zhǔn)差為4，故C正確；對(duì)于D：隨機(jī)變量X～N（1，σ2），若P（X＜﹣1）＝P（x＞3）＝0.3，則P（X≤3）＝0.7，所以P（x＜2）＜0.7，故D錯(cuò)誤；故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：回歸直線的方程的應(yīng)用，排列數(shù)的應(yīng)用和組合數(shù)的關(guān)系式，平均數(shù)和方差的關(guān)系，隨機(jī)變量的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知向量＝（m，1），＝（1，﹣2）．若向量﹣與垂直，則m＝7．【分析】由題意利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，求得m的值．【解答】解：∵向量＝（m，1），＝（1，﹣2），若向量﹣與垂直，則（﹣）?＝﹣＝（m﹣2）﹣5＝0，求得m＝7，故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）若球的表面積為8π，有一平面與球心的距離為1，則球被該平面截得的圓的面積為π．【分析】根據(jù)已知求出截面圓半徑r和球心O到這個(gè)截面的距離d，根據(jù)R＝求出球半徑r，代入圓的表面積公式可得答案．【解答】解：∵球的表面積為8π，∴球的半徑R＝，又由球心O到這個(gè)截面的距離d＝1故球半徑R＝，所以r＝1，故該球圓的表面積S＝πr2＝π．故答案為：π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球的表面積，其中熟練掌握球半徑求解公式R＝是解答本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．15．（5分）過(guò)圓O：x2+y2＝5外一點(diǎn)做圓O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，則|AB|＝．【分析】根據(jù)題意，求出|PA|、|PB|的值，分析可得點(diǎn)A、B在以P為圓心，半徑為2的圓的圓上，求出該圓的方程，與圓O方程聯(lián)立可得直線AB的方程，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，圓O：x2+y2＝5的圓心為（0，0），半徑r＝，若P（2，），則|PO|＝＝3，圓O：x2+y2＝5外一點(diǎn)P（2，）作圓O的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則|PA|＝|PB|＝＝2，故點(diǎn)A、B在以P為圓心，半徑為2的圓的圓上，該圓的方程為（x﹣2）2+（y﹣）2＝4，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程：，變形可得2x+y﹣5＝0，則直線AB的方程為2x+y﹣5＝0，圓O的圓心O到AB的距離d＝＝，則|AB|＝2×＝；故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及切線長(zhǎng)的計(jì)算，關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的切線的性質(zhì)并能夠進(jìn)行靈活的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）已知定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，若函數(shù)y＝f（x）﹣a（a∈R）恰有六個(gè)零點(diǎn)，且分別記為x1，x2，x3，x4，x5，x6，則x1?x2?x3?x4?x5?x6的取值范圍是（﹣36，﹣25）．【分析】作出f（x）的圖象，易得x1+x6＝0，且x4x5＝x2x3＝1，5＜x6＜6，則x1?x2?x3?x4?x5?x6＝﹣x62，由此可得出答案．【解答】解：作出函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示，由對(duì)稱性可知，x1+x6＝0，且x4x5＝x2x3＝1，5＜x6＜6，∴x1?x2?x3?x4?x5?x6＝﹣x62，∵5＜x6＜6，∴﹣36＜﹣x62＜﹣25，即x1x2x3x4x5x6的取值范圍為（﹣36，﹣25）．故答案為：（﹣36，﹣25）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（10分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝1，Sn+1﹣3Sn＝1．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn＝log3an+1，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn．【分析】（1）根據(jù)題意當(dāng)n≥2時(shí)，由Sn+1﹣3Sn＝1，可得Sn﹣3Sn﹣1＝1，兩式相減并進(jìn)一步推導(dǎo)即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，從而可計(jì)算出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）先根據(jù)第（1）題的結(jié)果計(jì)算出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步計(jì)算出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，然后運(yùn)用裂項(xiàng)相消法即可計(jì)算出前n項(xiàng)和Tn．【解答】解：（1）依題意，當(dāng)n≥2時(shí)，由Sn+1﹣3Sn＝1，可得Sn﹣3Sn﹣1＝1，兩式相減，可得an+1﹣3an＝0，即an+1＝3an，當(dāng)n＝1時(shí)，S2﹣3S1＝1，即a1+a2﹣3a1＝1，又a1＝1，所以a2＝3，∴a2＝3a1，∴an+1＝3an，n∈N*，∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，∴an＝1?3n﹣1＝3n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知，bn＝log3an+1＝log33n﹣1+1＝n，則＝＝﹣，∴Tn＝++…+＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列求通項(xiàng)公式，以及求前n項(xiàng)和問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，裂項(xiàng)相消法，對(duì)數(shù)的運(yùn)算，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題．18．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，且滿足bsinC＝ccosB+c．（1）求角B的大小；（2）若b＝，a+c＝4，求△ABC的面積．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理和正弦函數(shù)的兩角差公式，即可求解．（2）由已知條件，運(yùn)用余弦定理，可得ac＝6，再結(jié)合三角形面積公式，即可求解．【解答】解：（1）∵bsinC＝ccosB+c，∴由正弦定理，可得，∵sinC≠0，∴，即，∵B∈（0，π），∴，∴B＝．（2）∵b＝，a+c＝4，∴由余弦定理，可得a2+c2﹣2ac?cosB＝b2，即（a+c）2﹣3ac＝b2，∴ac＝6，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．19．（12分）某中學(xué)準(zhǔn)備組建“文科”興趣特長(zhǎng)社團(tuán)，由課外活動(dòng)小組對(duì)高一學(xué)生文科、理科進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，問(wèn)卷共100道題，每題1分，總分100分，該課外活動(dòng)小組隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的問(wèn)卷成績(jī)（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將數(shù)據(jù)按照[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于60分的稱為“文科方向”學(xué)生，低于60分的稱為“理科方向”學(xué)生．理科方向文科方向總計(jì)男110女50總計(jì)（1）根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為是否為“文科方向”與性別有關(guān)？（2）將頻率視為概率，現(xiàn)在從該校高一學(xué)生中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“文科方向”的人數(shù)為ξ，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求ξ的分布列、期望E（ξ）和方差D（ξ）．參考公式和參考臨界值見(jiàn)后：參考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．參考臨界值：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）作出列聯(lián)表，求出K2≈16.498＞6.635，從而有99%的把握認(rèn)為是否為“文科方向”與性別有關(guān)．（2）從該校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，則該人為“文科方向”的概率為p＝＝．依題意知i＝0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和期望E（ξ）．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在[60，80）之間的學(xué)生人數(shù)為0.0125×20×200＝50，在[80，100]之間的學(xué)生人數(shù)為0.0075×20×200＝30，所以低于6（0分）的學(xué)生人數(shù)為120．因此列聯(lián)表為：理科方向文科方向總計(jì)男8030110女405090總計(jì)12080200又K2＝≈16.498＞6.635，所以有99%的把握認(rèn)為是否為“文科方向”與性別有關(guān)．（2）從該校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，則該人為“文科方向”的概率為p＝＝．依題意知i＝0，1，2，3，且ξ～B（3，），P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝（）3＝，所以ξ的分布列為：ξ0123P所以期望E（ξ）＝np＝，方差D（ξ）＝np（1﹣p）＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查獨(dú)立檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查二項(xiàng)分布等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．20．（12分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB＝BC＝a，D為BB1的中點(diǎn)．（1）證明：平面ADC1⊥平面ACC1A1；（2）求平面ADC1與平面ABC所成的二面角大?。痉治觥浚?）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，分析求出向量的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)＝0，結(jié)合線面垂直的判定定理得到DE⊥面A1ACC1，再由面面垂直的判定定理即可得到平面ADC1⊥面A1ACC1．（2）求出平面ADC1與平面ABC的法向量坐標(biāo)，代入向量夾角公式，求出平面ADC1與平面ABC所成的二面角的余弦值，進(jìn)而可以求出平面ADC1與平面ABC所成的二面角．【解答】解：由勾股定理知，AB⊥BC，則如圖所示建立直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)分別為：B（0，0，0），A（0，a，0），C（a，0，0），B1（0，0，a）C1（a，0，a）（1）∵D1，E分別是BB1，AC1之中點(diǎn)．∴D（0，0，故a）∵＝0，∴DE⊥面A1ACC1，∴平面ADC1⊥面A1ACC1．…（6分）（2）顯然平面ABC的法向量為＝（0，0，1），設(shè)平面ADC1的法向量），且a）令，1），…（8分）∴cos＜，故兩平面的夾角為…（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，平面與平面垂直的判定，其中建立空間坐標(biāo)系，將空間線面關(guān)系判定及二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵．21．（12分）已知拋物線E的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)（p＞0）到直線l：y＝x﹣2的距離為，P（x0，y0）為直線l上的點(diǎn)，過(guò)P作拋物線E的切線PM、PN，切點(diǎn)為M、N．（1）求拋物線E的方程；（2）若P（3，1），求直線MN的方程；（3）若P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，求|MF|?|NF|的最小值．【分析】（1）由到直線l：x﹣y﹣2＝0的距離為，列出方程求解p，得到拋物線方程．（2）由E：x2＝4y知，通過(guò)，設(shè)切點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）求出切線方程，然后求解MN的方程．（3）若P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P（x0，y0），則x0＝y(tǒng)0+2，利用MN與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化求解|MF|?|NF|的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可．