人教A版高中數(shù)學(xué)二同步學(xué)習(xí)講義：第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.3.3~2.3.4 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。3.3直線與平面垂直的性質(zhì)2.3。4平面與平面垂直的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1。掌握空間中線面、面面垂直的性質(zhì)定理.2.能夠運(yùn)用線面、面面垂直的性質(zhì)定理證明一些簡單的問題。3.理解線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理之間的相互聯(lián)系．知識點(diǎn)一直線與平面垂直的性質(zhì)定理思考在日常生活中常見到一排排和地面垂直的電線桿．一排電線桿中的每根電線桿都與地面垂直，這些電線桿之間的位置關(guān)系是什么？答案平行．梳理文字語言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行符號語言eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1(a⊥α，b⊥α））?a∥b圖形語言知識點(diǎn)二平面與平面垂直的性質(zhì)定理思考黑板所在平面與地面所在平面垂直，你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直？答案容易發(fā)現(xiàn)墻壁與墻壁所在平面的交線與地面垂直,因此只要在黑板上畫出一條與這條交線平行的直線，則所畫直線必與地面垂直．梳理文字語言兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直符號語言α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β圖形語言類型一直線與平面垂直的性質(zhì)定理例1如圖所示,正方體A1B1C1D1－ABCD中,EF與異面直線AC,A1D都垂直相交．求證：EF∥BD1。證明如圖,連接AB1，B1C，BD，B1D1?！逥D1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DD1⊥AC。又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1,∴AC⊥BD1。同理，BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1。反思與感悟證明線線平行的常用方法(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點(diǎn)．(2）利用三線平行公理：證兩線同時(shí)平行于第三條直線．（3)利用線面平行的性質(zhì)定理:把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行．（4)利用線面垂直的性質(zhì)定理:把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直。(5）利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．跟蹤訓(xùn)練1如圖,α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分別為A、B，a?α，a⊥AB.求證：a∥l。證明∵PA⊥α，l?α,∴PA⊥l.同理PB⊥l.∵PA∩PB＝P,∴l(xiāng)⊥平面PAB.又∵PA⊥α，a?α，∴PA⊥a?！遖⊥AB，PA∩AB＝A,∴a⊥平面PAB。∴a∥l。類型二平面與平面垂直的性質(zhì)定理及應(yīng)用例2如圖,在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC。求證:BC⊥AB.證明如圖，在平面PAB內(nèi)，作AD⊥PB于D?！咂矫鍼AB⊥平面PBC,且平面PAB∩平面PBC＝PB.∴AD⊥平面PBC.又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB。又AB?平面PAB，∴BC⊥AB.反思與感悟證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理,另一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理．本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質(zhì)定理．利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直的問題時(shí),要注意以下三點(diǎn)：（1)兩個(gè)平面垂直；(2）直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi)；(3）直線必須垂直于它們的交線．跟蹤訓(xùn)練2如圖所示,P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形．側(cè)面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點(diǎn)．求證:（1)BG⊥平面PAD；（2)AD⊥PB.證明（1）平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD。∴BG⊥平面PAD.（2）由(1)可知BG⊥AD，由題意知△PAD為正三角形，G是AD的中點(diǎn)，∴PG⊥AD.又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG，又PB?平面PBG，∴AD⊥PB。類型三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用例3如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD;（3)平面BEF⊥平面PCD。證明（1)∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性質(zhì)定理可得PA⊥平面ABCD。(2)∵AB∥CD，AB⊥AD,CD＝2AB，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn),故四邊形ABED為平行四邊形，故有BE∥AD。又AD?平面PAD，BE?平面PAD，∴BE∥平面PAD。（3)在平行四邊形ABED中，由AB⊥AD可得,ABED為矩形，故有BE⊥CD. ①由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD,故有CD⊥PD.再由E、F分別為CD和PC的中點(diǎn)，可得EF∥PD,∴CD⊥EF。 ②而EF和BE是平面BEF內(nèi)的兩條相交直線，故有CD⊥平面BEF.由于CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD。反思與感悟(1)證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理，本題已知面面垂直,故可考慮面面垂直的性質(zhì)定理．（2)利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直的問題時(shí)，要注意以下三點(diǎn):①兩個(gè)平面垂直；②直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi);③直線必須垂直于它們的交線．跟蹤訓(xùn)練3如圖,在三棱錐V－ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝eq\r（2)，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)．（1)求證：VB∥平面MOC；（2)求證：平面MOC⊥平面VAB；（3)求三棱錐V－ABC的體積．(1)證明∵O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)，∴OM∥VB.∵VB?平面MOC,OM?平面MOC,∴VB∥平面MOC。（2)證明∵AC＝BC,O為AB的中點(diǎn)，∴OC⊥AB。又∵平面VAB⊥平面ABC,且平面VAB∩平面ABC＝AB，OC?平面ABC，∴OC⊥平面VAB?！逴C?平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB。(3）解在等腰直角△ACB中，AC＝BC＝eq\r（2)，∴AB＝2，OC＝1，∴S△VAB＝eq\f（\r(3),4）AB2＝eq\r(3)。∵OC⊥平面VAB，∴VC－VAB＝eq\f（1，3)OC·S△VAB＝eq\f（1,3）×1×eq\r（3）＝eq\f(\r(3),3）,∴VV－ABC＝VC－VAB＝eq\f（\r（3)，3）。1．下列四個(gè)命題①垂直于同一條直線的兩條直線相互平行;②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線相互平行；③垂直于同一條直線的兩個(gè)平面相互平行；④垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行．其中錯(cuò)誤的命題有（)A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)答案B解析①垂直于同一條直線的兩條直線相互平行，不正確，如正方體的一個(gè)頂角的三個(gè)邊就不成立；②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線相互平行，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知正確；③垂直于同一條直線的兩個(gè)平面相互平行，根據(jù)面面平行的判定定理可知正確；④垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行，不正確，如正方體相鄰的三個(gè)面就不成立．故選B.2．下列命題中錯(cuò)誤的是(）A．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γB．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βC．如果平面α⊥平面β，過α內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，那么此垂線必垂直于βD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β答案C解析對于A，平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l,則l⊥γ，命題正確;對于B，平面α⊥平面β，不妨設(shè)α∩β＝a，作直線b∥a，且b?α，則b∥β，命題正確;對于C，平面α⊥平面β，過α與β交線上的點(diǎn)作交線的垂線時(shí),該垂線不一定垂直于β,命題錯(cuò)誤；對于D，假設(shè)平面α內(nèi)存在直線垂直于平面β，則平面α垂直于平面β，這與已知平面α與平面β不垂直矛盾，所以假設(shè)不成立，命題正確，故選C.3．如圖，在四面體ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC,那么D在面ABC內(nèi)的射影H必在(）A．直線AB上 B．直線BC上C．直線AC上 D．△ABC內(nèi)部答案A解析在四面體ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，∴AC⊥平面ABD.又∵AC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD＝AB，D在面ABC內(nèi)的射影H必在AB上．故選A。4．如圖所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD,且AF＝DE，AD＝6，則EF＝____。答案6解析∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE.又AF＝DE，∴四邊形AFED為平行四邊形，故EF＝AD＝6.5。如圖所示，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)面SDC⊥底面ABCD，求證：平面SDC⊥平面SBC.證明因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以BC⊥CD。又平面SDC⊥平面ABCD，平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面SDC.又因?yàn)锽C?平面SBC，所以平面SDC⊥平面SBC.1.線面垂直的性質(zhì)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的依據(jù)．2．面面垂直的性質(zhì)定理揭示了“面面垂直、線面垂直及線線垂直”間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸思想，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：課時(shí)作業(yè)一、選擇題1．下列命題錯(cuò)誤的是（）A．若平面α⊥平面β，則α內(nèi)所有直線都垂直于βB．若平面α⊥平面β，則平面α內(nèi)的直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線C．若平面α⊥平面β，則在平面β內(nèi)垂直于平面α與平面β的交線的直線垂直于α內(nèi)的任意一條直線D．若平面α⊥平面β，則經(jīng)過α內(nèi)一點(diǎn)與β垂直的直線在α內(nèi)答案A解析在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1B1B⊥平面ABCD，直線AB1?平面AA1B1B，但AB1與平面ABCD不垂直,故A錯(cuò)．2．已知m,n為兩條不同直線，α，β為兩個(gè)不同平面，給出下列命題:(）①eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m⊥α，m⊥n）)?n∥α ②eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(m⊥β,n⊥β）)?m∥n③eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m⊥α，m⊥β）)?α∥β ④eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m?α,n?β,α∥β））?m∥n其中正確命題的序號是()A．②③ B．③④C．①② D．①②③④答案A解析①中n，α可能平行或n在平面α內(nèi)；②③正確；④兩直線m，n平行或異面，故選A.3．在下列四個(gè)正方體中,能得出AB⊥CD的是()答案A4．設(shè)平面α⊥平面β，若平面α內(nèi)的一條直線a垂直于平面β內(nèi)的一條直線b,則()A．直線a必垂直于平面βB．直線b必垂直于平面αC．直線a不一定垂直于平面βD．過a的平面與過b的平面垂直答案C解析當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí),在一個(gè)平面內(nèi)只有垂直于交線的直線才垂直于另一個(gè)平面．5．已知l⊥平面α,直線m?平面β.有下面四個(gè)命題:①α∥β?l⊥m； ②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β; ④l⊥m?α∥β。其中正確的兩個(gè)命題是()A．①② B．③④C．②④ D．①③答案D解析∵l⊥α，α∥β，∴l(xiāng)⊥β，∵m?β，∴l(xiāng)⊥m,故①正確;∵l∥m,l⊥α,∴m⊥α,又∵m?β,∴α⊥β,故③正確．6．如圖所示，平面α⊥平面β,A∈α,B∈β，AB與兩平面α、β所成的角分別為eq\f(π,4）和eq\f(π,6）。過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足分別為A′、B′，則AB∶A′B′等于（）A．2∶1B．3∶1C．3∶2D．4∶3答案A解析如圖:由已知得AA′⊥平面β，∠ABA′＝eq\f(π,6)，BB′⊥平面α,∠BAB′＝eq\f(π,4).設(shè)AB＝a，則BA′＝eq\f（\r（3),2）a,BB′＝eq\f(\r(2）,2）a,在Rt△BA′B′中，A′B′＝eq\f(1,2)a,∴eq\f(AB，A′B′）＝2.7．如圖所示,在三棱錐P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，則（）A．PD?平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD與平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC答案B解析因?yàn)镻A＝PB，AD＝DB，所以PD⊥AB。又因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB,PD?平面PAB，所以PD⊥平面ABC.二、填空題8.如圖,在三棱錐P－ABC中,側(cè)面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°,PA＝1，AB＝2,則PB＝________。答案eq\r（5）解析∵側(cè)面PAC⊥底面ABC，交線為AC,∠PAC＝90°(即PA⊥AC）,∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝eq\r（PA2＋AB2)＝eq\r（1＋4)＝eq\r（5).9．直線a和b在正方體ABCD－A1B1C1D1的兩個(gè)不同平面內(nèi),使a∥b成立的條件是________．（只填序號）①a和b垂直于正方體的同一個(gè)面；②a和b在正方體兩個(gè)相對的面內(nèi)，且共面；③a和b平行于同一條棱；④a和b在正方體的兩個(gè)面內(nèi)，且與正方體的同一條棱垂直．答案①②③解析①為直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，②為面面平行的性質(zhì)，③為公理4的應(yīng)用．10．如圖所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足________時(shí)，A1C⊥B1D1.(寫出一個(gè)正確條件即可）答案AC⊥BD解析連接BD。因?yàn)锽D∥B1D1,所以要使A1C⊥B1D1，即使A1C⊥BD。又因?yàn)锳1A∩A1C＝A1,所以BD⊥平面A1AC.因?yàn)锳C?平面A1AC,所以AC⊥BD.11．如圖所示，AB為圓O的直徑，點(diǎn)C在圓周上（異于點(diǎn)A,B），直線PA垂直于圓O所在的平面，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)．有以下四個(gè)命題:①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC;③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC。其中正確的命題是________．(填上所有正確命題的序號)答案②④解析因?yàn)镻A?平面MOB，所以①不正確；因?yàn)镸O∥PA，而且MO?平面PAC，所以②正確；OC不垂直于AC，所以③不正確；因?yàn)锽C⊥AC，BC⊥PA,AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBC，所以④正確．三、解答題12．已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，求證：l⊥γ.證明如圖，在γ內(nèi)取一點(diǎn)P，作PA垂直于α與γ的交線于點(diǎn)A,PB垂直于β與γ的交線于點(diǎn)B,則PA⊥α，PB⊥β。∵l＝α∩β，∴l(xiāng)⊥PA，l⊥PB.∵PA與PB相交，且PA?γ，PB?γ，∴l(xiāng)⊥γ。13．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中,PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PA＝AB，G為PD的中點(diǎn)．求證：AG⊥平面PCD.證明∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.又AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD。又AG?平面PAD，∴AG⊥CD.∵PA＝AB＝AD,G為PD的中點(diǎn)，∴AG⊥PD.又PD∩CD＝D，∴AG⊥平面PCD.四、探究與拓展14．如圖,在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面B