遼寧省沈陽(yáng)市朝鮮族第一高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

遼寧省沈陽(yáng)市朝鮮族第一高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)θ為兩個(gè)非零向量，的夾角，已知對(duì)任意實(shí)數(shù)t，|+t|的最小值為1．（）A．若θ確定，則||唯一確定 B．若θ確定，則||唯一確定C．若||確定，則θ唯一確定 D．若||確定，則θ唯一確定參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；零向量；數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】由題意可得（+t）2=+2t+，令g（t）=+2t+，由二次函數(shù)可知當(dāng)t=﹣=﹣cosθ時(shí)，g（t）取最小值1．變形可得sin2θ=1，綜合選項(xiàng)可得結(jié)論．【解答】解：由題意可得（+t）2=+2t+令g（t）=+2t+可得△=4﹣4=4cos2θ﹣4≤0由二次函數(shù)的性質(zhì)可知g（t）≥0恒成立∴當(dāng)t=﹣=﹣cosθ時(shí)，g（t）取最小值1．即g（﹣cosθ）=﹣+=sin2θ=1故當(dāng)θ唯一確定時(shí)，||唯一確定，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，涉及二次函數(shù)的最值，屬中檔題．2.設(shè)是半徑為1的圓上的三點(diǎn)，且，則的最大值是（

）A．

B．

C.

D．1參考答案：A3.的值為

(A)-2

(B)-l

(C)

(D)1參考答案：A略4.已知數(shù)列前項(xiàng)和為，則的值是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D試題分析：因?yàn)?，所以，，，，故選D.考點(diǎn)：特殊數(shù)列的求和.5.定義兩種運(yùn)算：，，則函數(shù)

（

）A．是奇函數(shù)

B．是偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

D．既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)參考答案：A略6.已知向量，b滿足||＝2，與的夾角為60°，則在上的投影是(

)A、1

B、2

C、3

D、-1參考答案：A7.設(shè)變量x，y滿足則x+2y的最大值和最小值分別為（A）1，-1

（B）2，-2

（C）1，-2

（D）2，-1參考答案：B本題主要考查了線性規(guī)劃求最值問題，屬基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是畫出可行域，找到目標(biāo)函數(shù)的幾何意義.如圖畫出可行域可知當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)分別對(duì)應(yīng)的最大值和最小值.最大值為2,最小值為-2.故選B.

8.角的終邊經(jīng)過點(diǎn)A，且點(diǎn)A在拋物線的準(zhǔn)線上，則（

）A． B．

C．

D．參考答案：B略9.在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，則的值等于

參考答案：答案：

10.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=，則z2+z+1的值為（）A．﹣1 B．1 C．0 D．i參考答案：C【分析】先求出z2的值，然后代入z2+z+1計(jì)算．【解答】解：∵，∴=，則z2+z+1=．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線與函數(shù)和圖象交于點(diǎn)Q，P、M分別是直線與函數(shù)的圖象上異于點(diǎn)Q的兩點(diǎn)，若對(duì)于任意點(diǎn)M，PM≥PQ恒成立，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是

．參考答案：12.三棱柱的直觀圖和三視圖(主視圖和俯視圖是正方形，左視圖是等腰直角三角形）如圖所永，則這個(gè)三棱柱的全面積等于_____________參考答案：13.①“若，則”的逆命題是假命題；②“在中，是的充要條件”是真命題；③“是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件”是假命題；④函數(shù)f(x)=x－lnx在區(qū)間(,1)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1,e)無(wú)零點(diǎn)。以上說(shuō)法正確的是

。參考答案：①②③①“若，則”的逆命題是“若，則”。舉反例：當(dāng)，時(shí)，有成立，但，故逆命題為假命題；②在中，由正弦定理得；③時(shí)，都是奇函數(shù)，故“是函數(shù)為奇函數(shù)”的充分不必要條件；④，所以在上為減函數(shù)，，所以函數(shù)在區(qū)間無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間有零點(diǎn)。故④錯(cuò)誤?！究键c(diǎn)】①命題真假的判斷方法；②充分、必要條件的判斷方法；③誘導(dǎo)公式；④函數(shù)的奇偶性；⑤正弦定理；⑥函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)。14.的展開式的第3項(xiàng)的系數(shù)為

，展開式中的系數(shù)為

．參考答案：21，－35的通項(xiàng)為，要得到展開式的第項(xiàng)的系數(shù)，令，令的系數(shù)為，故答案為21，－35.

15.（幾何證明選講）如圖，以為直徑的圓與的兩邊分別交于兩點(diǎn)，，則

．參考答案：略16.已知函數(shù)，若正實(shí)數(shù)a，b滿足f（4a）+f（b﹣9）=0，則的最小值為

．參考答案：1【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；基本不等式．【分析】根據(jù)題意，由f（x）的解析式分析f（x）與f（﹣x）的關(guān)系，可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，又由f（4a）+f（b﹣9）=0，分析可得4a+b=9，對(duì)于，將其變形可得=（4a+b）（）=（5++），由基本不等式的性質(zhì)分析可得的最小值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，對(duì)于函數(shù)，則有=﹣=﹣f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，y=x+sinx的導(dǎo)數(shù)為y′=1+cosx≥0，函數(shù)y單調(diào)遞增，又=1﹣在R上遞增，則f（x）在R上遞增，若正實(shí)數(shù)a，b滿足f（4a）+f（b﹣9）=0，必有4a+b=9，則=（4a+b）（）=（5++）≥（5+4）=1；即的最小值為1；故答案為：1．17.參考答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟18.（12分）（1）證明兩角差的余弦公式C（α﹣β）：cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ；（2）若cosα=﹣，α∈（0，π），求cos（α﹣）的值．參考答案：（Ⅰ）如圖，在直角坐標(biāo)系中作單位圓，當(dāng)為銳角時(shí)作出角，其終邊分別交單位圓于兩點(diǎn)，則，由誘導(dǎo)公式可以得到為任意角時(shí)上式也成立

--------6分

（Ⅱ）∵∴

------9分又.------12分19.平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓M：(a>b>0)右焦點(diǎn)的直線x+y-=0交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為(Ι)求M的方程（Ⅱ）C,D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對(duì)角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值參考答案：20.某種常見疾病可分為Ⅰ、Ⅱ兩種類型.為了解該疾病類型與地域、初次患該疾病的年齡（以下簡(jiǎn)稱初次患病年齡）的關(guān)系，在甲、乙兩個(gè)地區(qū)隨機(jī)抽取100名患者調(diào)查其疾病類型及初次患病年齡，得到如下數(shù)據(jù)：初次患病年齡（單位：歲）甲地Ⅰ型患者（單位：人）甲地Ⅱ型患者（單位：人）乙地Ⅰ型患者（單位：人）乙地Ⅱ型患者（單位：人）8151433135243844392621117（1）從Ⅰ型疾病患者中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)其初次患病年齡小于40歲的概率；（2）記“初次患病年齡在的患者”為“低齡患者”，“初次患病年齡在的患者”為“高齡患者”.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，解決以下問題：（i）將以下兩個(gè)列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷“地域”“初次患病年齡”這兩個(gè)變量中哪個(gè)變量與該疾病的類型有關(guān)聯(lián)的可能性更大.（直接寫出結(jié)論，不必說(shuō)明理由）表一：

Ⅰ型Ⅱ型合計(jì)甲地

乙地

合計(jì)

100表二：

Ⅰ型Ⅱ型合計(jì)低齡

高齡

合計(jì)

100（ii）記（i）中與該疾病的類型有關(guān)聯(lián)的可能性更大的變量為.問：是否有的把握認(rèn)為“該疾病的類型與有關(guān)？”附：，0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考答案：（1）【考查意圖】本小題以某疾病Ⅰ型患者的初次患病年齡的分布情況為載體，考查頻數(shù)分布表、概率的意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí)，考查統(tǒng)計(jì)與概率思想.【解法綜述】只要讀懂頻數(shù)分布表，結(jié)合概率的意義即可求解.思路：從頻數(shù)分布表統(tǒng)計(jì)出樣本中Ⅰ型患者的人數(shù)和Ⅰ型患者中初次患病年齡小于40歲的人數(shù)，再根據(jù)概率的意義，即可估計(jì)所求事件的概率.【錯(cuò)因分析】考生可能存在的錯(cuò)誤有：計(jì)算錯(cuò)誤.【難度屬性】易.（2）（i）【考查意圖】本小題以某疾病的類型與地域、初次患病年齡的相關(guān)性問題為載體；考查列聯(lián)表、獨(dú)立性檢驗(yàn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)，考查統(tǒng)計(jì)與概率思想.【解法綜述】只要讀懂頻數(shù)分布表，便可正確填寫列聯(lián)表，再根據(jù)表中數(shù)據(jù)比較兩者相應(yīng)的或的大小，便可直接判斷哪個(gè)變量與該疾病類型有關(guān)聯(lián)的可能性更大.思路：從頻數(shù)分布表分別統(tǒng)計(jì)出甲地、乙地Ⅰ型患者的頻數(shù)，甲地、乙地Ⅱ型患者的頻數(shù)，Ⅰ型患者中低齡患者、高齡患者的頻數(shù)，Ⅱ型患者中低齡患者、高齡患者的頻數(shù)，正確填入對(duì)應(yīng)的列聯(lián)表即可；再根據(jù)表中數(shù)據(jù)比較兩者相應(yīng)的或的大小，便可直接判斷哪個(gè)變量與該疾病類型有關(guān)聯(lián)的可能性更大.【錯(cuò)因分析】考生可能存在的錯(cuò)誤有：不能從頻數(shù)分布表中獲取相關(guān)數(shù)據(jù)正確填寫列聯(lián)表；不能根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)的含義作出正確判斷.【難度屬性】易.（2）（ii）【考查意圖】本小題以某疾病的類型與初次患病年齡的相關(guān)性問題為載體，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)，考查統(tǒng)計(jì)與概率思想.【解法綜述】只要正確計(jì)算的觀測(cè)值，對(duì)照臨界值表即可正確判斷.思路：只要正確理解公式中，，，，的含義，并代入公式計(jì)算，再將計(jì)算結(jié)果對(duì)照臨界值表，即可判斷.【錯(cuò)因分析】考生可能存在的錯(cuò)誤有：不能理解計(jì)算公式中，，，及的含義或者計(jì)算出錯(cuò)；雖然正確求出的觀測(cè)值，但不能正確理解臨界值表中數(shù)據(jù)的含義導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤.【難度屬性】中.21.【極坐標(biāo)與參數(shù)方程】在極坐標(biāo)系下，已知圓O：和直線l：，（1）求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)時(shí)，求直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)．參考答案：解：（1）圓O：，即圓O的直角坐標(biāo)方程為：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0．（2分）直線l：，即則直線l的直角坐標(biāo)方程為：y－x＝1，即x－y＋1＝0．（5分）（Ⅱ）由．（8分）故直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為．（10分）22.已知數(shù)列中，，，數(shù)列滿足.⑴求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；⑵求數(shù)列的前項(xiàng)和；⑶