廣東省湛江市調風中學高三數學理測試題含解析

廣東省湛江市調風中學高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知雙曲線，過原點的直線與雙曲線交于A，B兩點，以AB為直徑的圓恰好過雙曲線的右焦點C，若△ABC的面積為，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．參考答案：B以為直徑的圓恰好經過雙曲線的右焦點，以為直徑的圓的方程為，由對稱性知的面積，即，即點的縱坐標為，則由，得，因為點在雙曲線上，則，即，即，即，即，即，得，即，得，得，．則雙曲線的漸近線方程為，故選B．2.已知B（m，2b）是雙曲線﹣=l（a＞0，b＞0）的右支上一點，A為右頂點，O為坐標原點，若∠AOB=60°，則該雙曲線的漸近線方程為（）A．y=± B．y=± C．y=± D．y=±參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】由題意可知，B（m，2b）是雙曲線﹣=l（a＞0，b＞0）的右支上一點，代入可得m=a，利用tan60°=，解得=，從而求得此雙曲線的漸近線方程．【解答】解：由題意得，B（m，2b）是雙曲線﹣=l（a＞0，b＞0）的右支上一點，代入可得m=a∵A為右頂點，O為坐標原點，∠AOB=60°，∴tan60°=，∴=，∴此雙曲線的漸近線方程是y=±x，故選C．【點評】本題考查雙曲線的標準方程，雙曲線的簡單性質的應用，利用tan60°=是解題的關鍵．3.如圖，、是雙曲線的左、右焦點，過的直線與的左、右兩支分別交于點、．若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為

A．

B．

C．

D．參考答案：A試題分析：設△ABF2的邊長為m，則由雙曲線的定義，△ABF2為等邊三角形，可求m的值，在△AF1F2中，由余弦定理，可得結論．詳解：設△ABF2的邊長為m，則由雙曲線的定義，可得|BF1|=m﹣2a∴|AF1|=2m﹣2a∵|AF1|﹣|AF2|=2a∴2m﹣2a﹣m=2a∴m=4a在△AF1F2中，|AF1|=6a，|AF2|=4a，|F1F2|=2c，∠F1AF2=60°∴由余弦定理可得4c2=（6a）2+（4a）2﹣2?6a?4a?∴c=a∴e=

4.對兩個變量y和x進行線性回歸分析，得到一組樣本數據：則下列說法中不正確的是

（

）

A．由樣本數據得到線性回歸方程為必過樣本點的中心

B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好

C．用相關指數R2來刻畫回歸效果，R2的值越小，說明模型的擬合效果越好

D．殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高。參考答案：C5.己知>0，0<<，直線是函數的圖象的兩條相鄰的對稱軸，則的值為 A． B． C． D．參考答案：D6.在中，若，則等于A.30°或150°

B.45°或60°

C.120°或60°

D.30°或150°參考答案：A7.若，則函數有（

）A．最小值

B．最大值

C．最大值

D．最小值

參考答案：C8.△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a=80，b=100，A=30°，則此三角形（） A． 一定是銳角三角形 B． 一定是直角三角形 C． 一定是鈍角三角形 D． 可能是鈍角三角形，也可能是銳角三角形參考答案：C9.數列{an}滿足：存在正整數T，對于任意正整數n都有an＋T＝an成立，則稱數列{an}為周期數列，周期為T.已知數列{an}滿足a1＝m(m＞0)，則下列結論中錯誤的是()A．若m＝，則a5＝3 B．若a3＝2，則m可以取3個不同的值C．若m＝，則數列{an}是周期為3的數列 D．?m∈Q且m≥2，使得數列{an}是周期數列參考答案：D10.已知函數，各項均不相等的數列滿足．令．給出下列三個命題：(1)存在不少于3項的數列，使得；(2)若數列的通項公式為，則對恒成立；(3)若數列是等差數列，則對恒成立．其中真命題的序號是（

）（A）(1)(2)

（B）(1)(3)

（C）(2)(3)

（D）(1)(2)(3)參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，為單位向量，，且，則________．參考答案：【分析】根據向量的夾角公式及數量積的運算計算即可求解.【詳解】因為，又，所以，故答案為：【點睛】本題主要考查了向量數量積的定義，運算法則，性質，向量的夾角公式，屬于中檔題.12.在等比數列中，各項都是正數，且成等差數列，則公比=_____________.參考答案：略13.已知一個關于的二元線性方程組的增廣矩陣是，則=__________.參考答案：6略14.已知log2（x+y）=log2x+log2y，則+的最小值是．參考答案：25【考點】7G：基本不等式在最值問題中的應用；4H：對數的運算性質．【分析】利用導數的運算法則化簡已知條件，化簡所求的表達式，利用基本不等式求解最值即可．【解答】解：log2（x+y）=log2x+log2y，可得x，y＞0，x+y=xy．+=4++9+=13+=4y+9x=（4y+9x）（）=13+≥13+2=25．當且僅當x=，y=時表達式取得最小值．故答案為：25．15.已知數列{an}是等差數列,數列{bn}是等比數列,且對任意的,都有.

（Ⅰ）若{bn}的首項為4,公比為2,求數列{an+bn}的前n項和Sn;

（Ⅱ）若，試探究:數列{bn}中是否存在某一項,它可以表示為該數列中其它項的和？若存在,請求出該項；若不存在,請說明理由．參考答案：解:（Ⅰ）因為,所以當時,,兩式相減,得,而當n=1時,,適合上式,從而,……3分又因為{bn}是首項為4,公比為2的等比數列,即,所以，…………4分從而數列{an+bn}的前項和；………6分（Ⅱ）因為，,所以，…….8分

假設數列{bn}中第k項可以表示為該數列中其它項的和,即,從而,易知,(*)……………9分又,所以,此與(*)矛盾,從而這樣的項不存在．…………………12分

16.已知命題p：方程的兩實數根的符號相反；命題q：，若命題“”是假命題，則實數m的取值范圍是________參考答案：[-4,0]略17.已知函數在處取得極值，且函數在區(qū)間上是減函數，則實數的取值范圍為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題滿分14分）己知函數，在上單凋遞增，在(一1，2)上單調遞減，不等式的解集為(I)求函數的解析式；(II)若函數，求的單調區(qū)間.參考答案：略19.已知橢圓C：的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，直線與以橢圓C的右焦點為圓心，以為半徑的圓相切。（1）求橢圓的方程。（2）若過橢圓的右焦點作直線交橢圓于兩點，交y軸于點，且求證：為定值參考答案：【知識點】直線與圓錐曲線的綜合問題．H8【答案解析】（1）（2）解析：（1）由題意：以橢圓C的右焦點為圓心，以為半徑的圓的方程為,∴圓心到直線的距離…………*∵橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，b=c,代入*式得b=1∴

故所求橢圓方程為………4分

（2）由題意：直線的斜率存在，所以設直線方程為,則將直線方程代入橢圓方程得：…………6分設，則…………①…………8分由∴即：，

…………10分==-4∴…………12分【思路點撥】（1）由題意：以橢圓C的右焦點為圓心，以為半徑的圓的方程為,∴圓心到直線的距離，由此結合已知條件能求出橢圓方程．（2）設直線L方程為y=k（x-1），代入橢圓方程得：，由此利用韋達定理結合已知條件能證明λ1+λ2為定值.20.如圖，在正△ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE相交于點F．（Ⅰ）求證：A，E，F，D四點共圓；（Ⅱ）若正△ABC的邊長為2，求，A，E，F，D所在圓的半徑．參考答案：考點：分析法和綜合法．專題：計算題；證明題．分析：（I）依題意，可證得△BAD≌△CBE，從而得到∠ADB=∠BEC?∠ADF+∠AEF=π，即可證得A，E，F，D四點共圓；（Ⅱ）取AE的中點G，連接GD，可證得△AGD為正三角形，GA=GE=GD=，即點G是△AED外接圓的圓心，且圓G的半徑為．解答： （Ⅰ）證明：∵AE=AB，∴BE=AB，∵在正△ABC中，AD=AC，∴AD=BE，又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE，∴△BAD≌△CBE，∴∠ADB=∠BEC，即∠ADF+∠AEF=π，所以A，E，F，D四點共圓．…（Ⅱ）解：如圖，取AE的中點G，連接GD，則AG=GE=AE，∵AE=AB，∴AG=GE=AB=，∵AD=AC=，∠DAE=60°，∴△AGD為正三角形，∴GD=AG=AD=，即GA=GE=GD=，所以點G是△AED外接圓的圓心，且圓G的半徑為．由于A，E，F，D四點共圓，即A，E，F，D四點共圓G，其半徑為．…點評：本題考查利用綜合法進行證明，著重考查全等三角形的證明與四點共圓的證明，突出推理能力與分析運算能力的考查，屬于難題．21.（本題滿分15分）設函數，其中

（1）求當時，曲線在點處的切線的斜率；

（2）求函數的單調區(qū)間與極值；

（3）已知函數有3個不同的零點，分別為0、、，且，若對任意的，恒成立，求的取值范圍。參考答案：（1）

（2）減區(qū)間為，；增區(qū)間為

函數在處取得極小值，

函數在處取得極大值，

（3）由題意得，所以方程

有兩個相異的實根，故，且，解得（舍去），或，因為所以，故（ⅰ）若，則，而不合題意；（ⅱ）若，對任意的，有，則，又，所以在上的最小值為0。于是對任意的，恒成立的充要條件為，解得，綜上。略22.（