廣東饒平二中高三數(shù)學高考一輪復習不等式的證明

（四）不等式的證明一、知識歸納1．證明不等式的常用方法：（1）比較法①作差比較法步驟：作差—變形—判斷符號②作商比較法步驟：作商—變形—確定與1的大小關系2）解析法：從所要證明的不等式出發(fā)，不斷地用充分條件代替前面的不等式，可簡稱為“執(zhí)果索因”。3）綜合法：由已知條件出發(fā)，依照不等式的基本性質(zhì)或基本不等式，漸漸推理，推導出要求證的不等式。在不等式證明過程中，應側(cè)重與不等式的運算性質(zhì)聯(lián)合使用。幾個重要不等式：①當a，b∈R時，a2+b2≥2ab（當且僅當a=b時等號成立）②當a，b∈R時，a2b2(ab)2（當且僅當a=b時等號成立）22③當ab>0時，ba2（當且僅當a=b時等號成立）ab④當a，b∈R+時，ab2ab（當且僅當a=b時等號成立）等價變形：ab(ab)22⑤當a，b，c∈R時，a2b2c2abbcca2．不等式證明的其他方法：反證法，放縮法，數(shù)學歸納法，鑒識式法，構造法等。二、例題解析：例1已知a，b，cR+，求證a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc26abc例2．已知x,y,a,bR，且x2y21,a2b21，求證：|axby|1例3．（1）已知a,bR，且ab1求證：2a2b3（2）已知a,b是互不相等的正數(shù)，設函數(shù)f(n)anbn，且f(3)f(2)求證：1ab

43例4．已知x＞0，y＞0且x+y＞2，求證1y,1x中最少有一個小于2.xy三、練習題：（一）、選擇題1．若b<0<a,d<c<0,則A．a(chǎn)c<bdabC．a(chǎn)+c>b+dD．a(chǎn)-c>b-dB．dc2．對于0a1，給出以下四個不等式①loga(1a)loga(11)②loga(1a)loga(11)1a1a③a1a1④a1a1aaaa其中成立的是A．①與③B．①與④C．②與③D．②與④3．已知a2,b2,則有A．a(chǎn)babB．a(chǎn)babC．a(chǎn)babD．a(chǎn)bab．R,那么“a2b21”是“ab1ab”的4a,bA．充要條件B．必要但不充分條件C．充分但不用要條件D．既不充分也不用要條件5．已知a,b,c滿足c＜b＜a,且ac＜0,那么以下選項必然成立的是A．a(chǎn)b＞acB．c(b－a)＜0C．cb2＜ab2D．a(chǎn)c(a－c)＞06．已知以下不等式：①x232x(xR)；②a5b5a3b2a2b3(a,bR)；③a2b22(ab1)其中正確的個數(shù)為：A．0B．1C．2D．37．設a＞0,b＞0，則以下不等式中不恒成立的是．．．．A．(ab)(11)≥4B．a(chǎn)3b3≥2ab2abC．a(chǎn)2b22≥2a2bD．a(chǎn)b≥ab8．已知a、bR，則ab，ab，a2b2，2ab中最大的為22ababB．a(chǎn)bC．a(chǎn)2b2D．2abA．22ab（二）、填空題9．a(chǎn)b0，maam的大小關系為_________________。0，則，1，mbb1,則A與B的大小關系是___.10．已知0<2a<1,若A=1+a2,B=111aba②|a|>|b|③a<b11．若<0,已知以下不等式:①a+b<ab④>2,ab.ab其中正確的不等式的序號為（三）、解答題：ab12．已知ab0,cd0，求證：dc13．設0ab且ab1,122請依照從小到大的序次排列,b,2ab,ab（寫出比較過程）.214．求證a2b2c2d2acbd215．已知a、b、c不全相等的正數(shù)，求證：abbccaabc11416．已知a>b>c，求證：≥abbcac17．設0a,b,c1，求證：(11a)b,(1b)c,(1c)a不可以能同時大于418．設f(x)x2bxc（b，c為實數(shù)），方程f(x)x的兩個實數(shù)根為x1,x2，且滿足x10,x2x11。（1）求證：22(2)（2）設，求證：>bbc0tx1f(t)x1.（四）不等式證明參照答案例1已知a，b，cR+，求證a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc26abc證法1：比較法a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2-6abc=a2b-2abc+bc2+ab2-2abc+ac2+a2c-2abc+b2c=b(a-c)2+a(b-c)2+c(a-b)2a，b，cR+且(a-c)20，(b-c)20，(a-b)20}b(a-c)2+a(b-c)2+c(a-b)20從而a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc26abc證法2：解析法要證a2b+ab2a2c+ac2+b2c+bc26abca，b，cR+，故只要證明abacbc6ccbbaa而ac2，bc2，ba2cacbababacbcccbba6a即證原不等式成立證法3：綜合法a，b，cR+ac2，ac2，ba2cacaababacbc6ccbbaa即證原不等式成立例2．已知x,y,a,bR，且x2y21,a2b21，求證：|axby|1解析1：依絕對值的性質(zhì)，只要證明

1axby1，可用綜合法。證明1：axa2x2b2y2axa2x2b2y2,by2by2212又(ax)20a2x22ax，同理b2y22by則1a2x2b2y2axby1axby122即|axby|1證明2：解析法：要證|axby|1，只要證()21axby即(axby)2(a2b2)(x2y2)，兩邊張開即只要證2abxya2y2b2x2即(axby)20故原不等式成立。例3．（1）已知a,bR，且ab1求證：2a2b3（2）已知a,b是互不相等的正數(shù)，設函數(shù)f(n)anbn，且f(3)f(2)求證：1ab43證明：（1）解析法：由ab1得2a2b32a21a322a32a2012a20a1a,bR且ab10a1故原不等式成立。（2）由f(n)anbn，且f(3)f(2)，得a3b3a2b2又a,b是互不相等的正數(shù)，故a2abb2ab(ab)2(ab)ab，由ab0，得2(ab)(a)0ab1b又ab(ab)21(ab)2，則有(ab)2(ab)1(ab)2244得ab4ab4成立。，所以有133例4．已知x＞0，y＞0且x+y＞2，求證1y,1x中最少有一個小于2.xy證明：（反證法）假設1y2,且1x2，xyx0,y0，1x2y，1y2x，則2(xy)2(xy)于是，xy2這與題設x+y＞2矛盾。故命題成立。三、練習題：（一）、選擇題1．C．2．D．3．A．4．C．5．A．6．C．7．B．8．C．（二）、填空題aam10．A<B,.11．①,④,.9．_<b<1___bm（三）、解答題：12．已知ab0,cd0，求證：abdc證明：cd0，110，又ab0，ab0，則abdcdcdc13．設0ab且ab1,請依照從小到大的序次排列1,b,2ab,a2b2（寫出比較過程）.2解：0ab且ab1b1a0a2b22ab2且a2b2(ab)212ab;b(a2b2)a(ba)0,ba2222bba2b212ab214．求證a2b2c2d2acbd2證明：（解析法）要證原不等式成立，只要證明：a2d2b2c22abcd，即證(adbc20因為(adbc)20成立，故原不等式成立。)15．已知a、b、c不全相等的正數(shù)，求證：abbccaabc證明：a,b,cRabab，bcbccaca22，2又a、b、c不全相等，則上述三式的等號不同樣時成立。故有abbcabbccaabcca22216．已知a>b>c，求證：a11≥4cbbca證明：abc,ab0,bc0,ac0(ac)(1b1)[(ab)(bc)](1b1)abcabc2(ab)(bc)214c)(ab)(b17．設0a,b,c1，求證：(1a)b,(1b)c,(1c)a不可以能同時大于14c)a同時大于1證明：（反證法）假設(1a)b,(1b)c,(14則(1a)b1(1b)c1c)a1，，(1222故(1a)b(1b)c(1c)a32但(1a)b(1a)b，(1b)c(1b)c，(1c)a(1c)a222即(1a)b(1b)c(1c)a(1a)b(1b)c(1c)a322故命題成立。18．設f(x)x2bxc（b，c為實數(shù)），方程f(x)x的兩個實數(shù)根為x1,x2，且滿足x10,x2x11。（1）求證：22(2)（2）設，求證：>bbc0tx1f(t)x1.（1）證明：由f(x)x，得x2(b1)xc0，x1x21b,x1x2c(x1x2)2(x1x2)24x