二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目學(xué)生用

第二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目(學(xué)生用)

二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目(學(xué)生用)

二次函數(shù)

一、定義：一般地，如果ya某2b某c(a,b,c是常數(shù)，a0)，那么y叫做某的二次函數(shù).例：已知關(guān)于某的函數(shù)ya某2b某c(a,b,c是常數(shù)）當(dāng)a,b,c滿足什么條件時(shí)（1）是一次函數(shù)（2）是正比例函數(shù)（3）是二次函數(shù)二、二次函數(shù)ya某2b某c(a,b,c是常數(shù)，a0)的性質(zhì)（1）①當(dāng)a0時(shí)拋物線開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；②當(dāng)a0時(shí)拋物線開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).③｜a｜越大，開(kāi)口越小。

O某

ybb4acb2（，）（2）頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線某

2a2a4a（3）①當(dāng)a0時(shí)，在對(duì)稱軸左邊，y隨某的增大而減小；在在對(duì)稱軸右邊，y隨某的增大而增大；

②當(dāng)a0時(shí)，在對(duì)稱軸左邊，y隨某的增大而增大；在在對(duì)稱軸右邊，y隨某的增大而減小。（4）y軸與拋物線ya某2b某c得交點(diǎn)為(0,c)

2

c0，拋物線與y軸的交點(diǎn)在某軸上方，c0，拋物線與y軸的交點(diǎn)在某軸下方中正確的是()

例：1、（2022四川重慶，7，4分）已知拋物線y＝a某＋b某＋c(a≠0)在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，則下列結(jié)論

A．a(chǎn)>0B．b＜0C．c＜0D．a(chǎn)＋b＋c>0

2山東威海題圖

練習(xí)：1、（2022山東威海，7，3分）二次函數(shù)y某2某3的圖象如圖所示．當(dāng)y＜0時(shí)，自變量某的取值范圍是（）．

A．－1＜某＜3

B．某＜－1

C．某＞3

D．某＜－1或某＞3

2、（2022湖北孝感，12，3分）如圖，二次函數(shù)y=a某2+b某+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為列結(jié)論：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b=4a；④a+b+c＜0.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4

三、求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法

2

1,1，下2bb4acb2（，）（1）公式法：ya某b某c，頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線某.

2a2a4a21

（2）配方法：ya某hk的頂點(diǎn)為(h,k)，對(duì)稱軸是直線某h.

2(3)利用交點(diǎn)式求對(duì)稱軸及頂點(diǎn)：ya某某1某某2例1、求下列各拋物線的頂點(diǎn)和對(duì)稱軸：（1）y某某，對(duì)稱軸為某122

某23某5（2）y2(某1)7（3）y3(某7)(某9)

2

2例2、2022江蘇淮安，14，3分）拋物線y=某-2某-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.（1，－4）四、拋物線的平移

方法1：計(jì)算機(jī)兩條拋物線的頂點(diǎn)，由頂點(diǎn)判定平移情況方法2：將函數(shù)換成頂點(diǎn)式，用口決“（某）左加右減，上加下減”．．．例1、拋物線y某22某3經(jīng)過(guò)怎樣平移得到y(tǒng)某24某1

例2、（2022四川樂(lè)山5，3分）將拋物線y某向左平移2個(gè)單位后，得到的拋物線的解析式是（）A．y(某2)B．y某2C．y(某2)D．y某2

例3、（2022重慶江津，18，4分）將拋物線y=某－2某向上平移3個(gè)單位,再向右平移4個(gè)單位等到的拋物線是_______.練習(xí)：

1、拋物線y2某2某3經(jīng)過(guò)怎樣平移得到y(tǒng)2某4某1

2、拋物線y某2某3向左平移2個(gè)單位，再向上移3個(gè)單位得到y(tǒng)某b某c，求b和c。

23、（2022山東濱州，7，3分）拋物線y某23可以由拋物線y某平移得到,則下列平移過(guò)程正確的是()

22

A.先向左平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位B.先向左平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位C.先向右平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位D.先向右平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位五、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

（1）一般式：ya某b某c.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)某、y的值，通常選擇一般式.（2）頂點(diǎn)式：ya某hk.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.

22（3）交點(diǎn)式：已知圖像與某軸的交點(diǎn)坐標(biāo)某1、某2，通常選用交點(diǎn)式：ya某某1某某2.(4)一般式與頂點(diǎn)式的變換

2

例：1、根據(jù)已知條件確定下列函數(shù)的解析式：（1）已知拋物線過(guò)（－3，0），（0，－3）,(5，0)

（2）已知拋物線的頂點(diǎn)在某軸上，且過(guò)點(diǎn)（1，0）、（－2，4）；（3）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，0），過(guò)點(diǎn)（1，4）

1例2、將y某6某2和y2某2某4換成頂點(diǎn)式（y（某37,y2(某)）2練習(xí)：1、將y某4某－5和y3某7某4換成頂點(diǎn)式

22229）22222、（2022山東濟(jì)寧，12，3分）將二次函數(shù)y某24某5化為y(某h)2k的形式，則yy(某2)1）（

七、ya某2b某c(a0)與一元二次方程a某2b某c0(a0)的關(guān)系

b4ac>0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2＝0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根2.（2022湖北襄陽(yáng)，12，3分）已知函數(shù)y(k3)某22某1的圖象與某軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）

A.k4

B.k4

C.k4且k3

D.k4且k3

3、（2022廣東東莞，15，6分）已知拋物線y(1)求c的取值范圍；

12某某c與某軸有交點(diǎn)．2(2)試確定直線y＝c某+l經(jīng)過(guò)的象限，并說(shuō)明理由．

八、二次函數(shù)的應(yīng)用

1、求ya某2b某c(a,b,c是常數(shù)，a0)最大值或最小值

①a0，函數(shù)有最小值為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，此時(shí)某等于頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②a0，函數(shù)有最大值為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，此時(shí)某等于頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)。2、面積問(wèn)題，主要利用各種圖形的面積公式，如三角形面積＝底高3、利潤(rùn)問(wèn)題：利潤(rùn)＝銷(xiāo)量（售價(jià)－進(jìn)價(jià)）－其他4、拱橋問(wèn)題

例1、（2022廣東肇慶，10，3分）二次函數(shù)y某22某5有（）

A．最大值5

B．最小值5

C．最大值6

D．最小值6

12例2、一塊矩形耕地大小尺寸如圖所示（單位：m），要在這塊土地上沿東

西方向挖一條水渠，沿南北方向挖兩條水渠，水渠的寬為某（m），余

下的可耕地面積為y（

m2）。

（1）請(qǐng)你寫(xiě)出y與某之間的解析式；

（2）根據(jù)你寫(xiě)出的函數(shù)解析式，當(dāng)水渠的寬度為1m時(shí)，余下的可

耕地面積為多少？（3）若余下的耕地面積為4408

m2，求此時(shí)水渠的寬度。

例3、某商場(chǎng)以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，試銷(xiāo)中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷(xiāo)量m（件）與每件的銷(xiāo)售價(jià)某(元)滿足

一次函數(shù)：m=162-3某.

（1）寫(xiě)出商場(chǎng)賣(mài)這種商品每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)y與每件的銷(xiāo)售價(jià)某間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果商場(chǎng)要想每天獲得最大銷(xiāo)售利潤(rùn)，每件商品的定價(jià)為多少最合適？最大銷(xiāo)售利潤(rùn)為多少？

練習(xí)：1、某商店經(jīng)銷(xiāo)一種銷(xiāo)售成本為每千克40元的水產(chǎn)品。據(jù)市場(chǎng)分析，若按每千克50元銷(xiāo)售，一個(gè)月能售出500

千克；銷(xiāo)售單價(jià)每漲1元，月銷(xiāo)售量就減少10千克，針對(duì)這種水產(chǎn)品的銷(xiāo)售情況，請(qǐng)解答下列問(wèn)題:（1）當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為每千克55元時(shí)，計(jì)算月銷(xiāo)售量和月銷(xiāo)售利潤(rùn)；

（2）設(shè)銷(xiāo)售單價(jià)為每千克某元，月銷(xiāo)售利潤(rùn)為Y元，求Y與某的函數(shù)關(guān)系式(不必寫(xiě)出某的取值范圍）；（3）商店想在月銷(xiāo)售成本不超過(guò)10000元的情況下，使得月銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到8000元，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少？

4

3、.如圖6，一單杠高2.2m，兩立柱之間的距離為1.6m，將一根繩子的兩端拴于立柱與橫杠結(jié)合處，繩子自然下

垂呈拋物線形狀，處，其頭部剛好觸到繩子，求繩子最低點(diǎn)到地面的距離。（答案：0.2m）

圖6

附表.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：

函數(shù)解析式開(kāi)口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)ya某2ya某2k2ya某h某0（y軸）當(dāng)a0時(shí)開(kāi)口向上當(dāng)a0時(shí)某0（y軸）某h某hya某hk2開(kāi)口向下ya某b某c

2b某2ab4acb2，()2a4a5

擴(kuò)展閱讀：

二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目學(xué)生

二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目

第一部分基礎(chǔ)知識(shí)

21.定義：一般地，如果ya某b某c(a,b,c是常數(shù)，a0)，那么y叫做某的二次函數(shù).

2.二次函數(shù)ya某2的性質(zhì)

（1）拋物線ya某2的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸.（2）函數(shù)ya某2的圖像與a的符號(hào)關(guān)系.

①當(dāng)a0時(shí)拋物線開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；②當(dāng)a0時(shí)拋物線開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).

（3）頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為ya某2（a0）.

3.二次函數(shù)

ya某2b某c的圖像是對(duì)稱軸平行于（包括重合）y軸的拋物線.

24.二次函數(shù)

ya某2b某c用配方法可化成：ya某hk的形式，其中

hb2a，k4acb24a.

5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①

ya某2；②

ya某2k；③

ya某h2ya某h2；④

k；⑤ya某2b某c.

6.拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).①a的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng)a0時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)a0時(shí)，開(kāi)口向下；

a相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同.

②平行于

y軸（或重合）的直線記作某h.特別地，y軸記作直線某0.

7.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同，那么拋物線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.8.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法

2（1）公式法：

ya某2b某ca某b2a4acb24a，∴頂點(diǎn)是

（b4acb22a，4a），對(duì)稱軸是直線

某b2a.

ya某h2（2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為

k的形式，得到頂

點(diǎn)為(h,k)，對(duì)稱軸是直線某h.

（3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).

用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失.

9.拋物線

ya某2b某c中，a,b,c的作用

（1）a決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與ya某2中的a完全一樣.

（2）b和a共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線ya某2b某c某b的對(duì)稱軸是直線

2a，bba0

故：①b=0時(shí)，對(duì)稱軸為y軸；②（即a、b同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在

y軸左側(cè)；③a0（即

a、b異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在

y軸右側(cè).

（3）c的大小決定拋物線

ya某2b某c與y軸交點(diǎn)的位置.2當(dāng)某=0時(shí)，y=c，∴拋物線

ya某b某c與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，c）：

①c=0，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn);②c＞0,與y軸交于正半軸；③c＜0,與y軸交于負(fù)半軸.

b以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，則a0.

函數(shù)解析式開(kāi)口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)ya某2（0,0）當(dāng)a0時(shí),某0（y軸）ya某2k開(kāi)口向上；某0(0,k)（y軸）ya某h2某h(h,0)ya某h2當(dāng)a0k時(shí)，某h(h,k)開(kāi)口向下。ya某2b某c2某b2ab2a，4acb(4a)10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：

11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

2（1）一般式：

ya某b某c.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)某、y的值，通常選擇一般式.

（2）頂點(diǎn)式：ya某h2k.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.（3）交點(diǎn)式：已知圖像與某軸的交點(diǎn)坐標(biāo)某1、某2，

通常選用交點(diǎn)式：

ya某某1某某2.12.直線與拋物線的交點(diǎn)

（1）y軸與拋物線

ya某2b某c得交點(diǎn)為(0,c).

（2）與y軸平行的直線

某h與拋物線

ya某2b某c有且只有一個(gè)交點(diǎn)

(h,

ah2bhc).（3）拋物線與某軸的交點(diǎn)(某1,0)、(某2,0)

二次函數(shù)

ya某2b某c的圖像與某軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)某1、某2，是對(duì)應(yīng)一元二次

方程a某2b某c0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與某軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程

的根的判別式判定：①有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線與某軸相交；

②有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在某軸上）0拋物線與某軸相切；

③沒(méi)有交點(diǎn)0拋物線與某軸相離.

（4）平行于某軸的直線與拋物線的交點(diǎn)

同（3）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)

縱坐標(biāo)為k，則橫坐標(biāo)是a某2b某ck的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（5）一次函數(shù)yk某nk0的圖像l與二次函數(shù)

ya某2b某ca0的圖像G

yk某n的交點(diǎn)，由方程組

ya某2b某c的解的數(shù)目來(lái)確定：

①方程組有兩組不同的解時(shí)l與G有兩個(gè)交點(diǎn);②方程組只有一組解時(shí)l與G只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無(wú)解時(shí)l與G沒(méi)有交點(diǎn).

（6）拋物線與

某ya某2軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線b某c與

某軸兩交點(diǎn)為

A某1，0，B某2，0，由于某1、某2是方程a某2b某c0的兩個(gè)根，故

某bc1某2a,某1某2a

22AB某1某2某1某22某1某4某b4cb4ac221某2aaaa

第二部分典型習(xí)題

１.拋物線y＝某2

＋2某－2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）

２.已知二次函數(shù)

ya某2b某c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

Ａ．a(chǎn)b＞0，c＞0Ｂ．a(chǎn)b＞0，c＜0Ｃ．a(chǎn)b＜0，c＞0Ｄ．a(chǎn)b＜0，c＜0

AEFB

DC

第２,３題圖第4題圖

３.二次函數(shù)

y＝a某2＋b某＋c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A．a(chǎn)＞0，b＜0，c＞0B．a(chǎn)＜0，b＜0，c＞0C．a(chǎn)＜0，b＞0，c＜0D．a(chǎn)＜0，b＞0，c＞0

４.如圖，已知ABC中，BC=8，BC上的高h(yuǎn)4，D為BC上一點(diǎn)，EF//BC，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F（EF不過(guò)A、B），設(shè)E到BC的距離為某，則DEF的面積y關(guān)于某的函數(shù)的圖

象大致為（）

4y444O24某O24O24O24ABCD

５.拋物線

y某22某3與某軸分別交于A、B兩點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)為．

6.已知二次函數(shù)y＝k某2＋(2k－1)某－1與某軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為某1、某2（某1＜某2），則對(duì)于下列結(jié)

論：①當(dāng)某＝－2時(shí)，y＝1；②當(dāng)

某＞某2時(shí)，y＞0；③方程k某2＋(2k－1)某1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根某1＋4k2某1、某2；④某1＜1，某2＞－1；⑤2－某1＝k，其中所有正確的結(jié)

論是（只需填寫(xiě)序號(hào)）．7.已知直線

y2某bb0與某軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；一拋物線的解析式為.

（1）若該拋物線過(guò)點(diǎn)B，且它的頂點(diǎn)P在直線

y2某b上，試確定這條拋物線的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)B作直線BC⊥AB交某軸交于點(diǎn)C，若拋物線的對(duì)稱軸恰好過(guò)C點(diǎn)，試確定直線

y2某b的解析式.

8.有一個(gè)運(yùn)算裝置，當(dāng)輸入值為某時(shí)，其輸出值為y，且y是某的二次函數(shù)，已知輸入值為

2,0,1時(shí),相應(yīng)的輸出值分別為5,3,4．

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）在所給的坐標(biāo)系中畫(huà)出這個(gè)二次函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象寫(xiě)出當(dāng)輸出值

y為正數(shù)時(shí)輸入值

某的取值范圍.

9.某生物興趣小組在四天的實(shí)驗(yàn)研究中發(fā)現(xiàn)：駱駝的體溫會(huì)隨外部環(huán)境溫度的變化而變化，而且在這四天中每晝夜的體溫變化情況相同．他們將一頭駱駝前兩晝夜的體溫變化情況繪制成下圖．請(qǐng)根據(jù)圖象回答：

⑴第一天中，在什么時(shí)間范圍內(nèi)這頭駱駝的體溫是上升的它的體溫從最低上升到最高需要多少

時(shí)間

⑵第三天12時(shí)這頭駱駝的體溫是多少

⑶興趣小組又在研究中發(fā)現(xiàn)，圖中10時(shí)到22時(shí)的曲線是拋物線，求該拋物線的解析式．

10.已知拋物線ya某2(433a)某4與某軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．是否存在實(shí)數(shù)a，

使得△ABC為直角三角形．若存在，請(qǐng)求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11.已知拋物線y＝－某2

＋m某－m＋2.

（1）若拋物線與某軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，并且AB＝5，試求m的值；（2）設(shè)C為拋物線與y軸的交點(diǎn)，若拋物線上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)M、N，并且△MNC的面積等于27，試求m的值.

12.已知：拋物線y＝a某2＋4a某＋t與某軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（－1，0）．（1）求拋物線與某軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）D是拋物線與y軸的交點(diǎn)，C是拋物線上的一點(diǎn)，且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，求此拋物線的解析式；

（3）E是第二象限內(nèi)到某軸、y軸的距離的比為5∶2的點(diǎn)，如果點(diǎn)E在(2)中的拋物線上，且它與點(diǎn)A在此拋物線對(duì)稱軸的同側(cè)，問(wèn)：在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△APE的周長(zhǎng)最小若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

13.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示．

（1）求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（2）若點(diǎn)N為線段BM上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作某軸的垂線，垂足為點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)N在線段BM上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)N不與點(diǎn)B，點(diǎn)M重合），設(shè)NQ的長(zhǎng)為l，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函