自動控制原理二六

第二節(jié)根軌跡繪制的基本準(zhǔn)則5/17/202312、根軌跡的對稱性：一般物理系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是實數(shù)，其根必為實根或共軛復(fù)根。即位于復(fù)平面的實軸上或?qū)ΨQ于實軸。

用解析法或試探法繪制根軌跡很煩瑣。下面討論的內(nèi)容通過研究根軌跡和開環(huán)零極點的關(guān)系，根軌跡的特殊點，漸近線和其他性質(zhì)將有助于減少繪圖工作量，能夠較迅速地畫出根軌跡的大致形狀和變化趨勢。以下的討論是針對參數(shù)的180度根軌跡的性質(zhì)。根軌跡的連續(xù)性和對稱性1、根軌跡的連續(xù)性：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的某些系數(shù)是增益的函數(shù)。當(dāng)從0到無窮變化時，這些系數(shù)是連續(xù)變化的。故特征方程的根是連續(xù)變化的，即根軌跡曲線是連續(xù)曲線。5/17/202324、根軌跡的起點和終點：

根軌跡方程為：

時為起點，時為終點。根軌跡的支數(shù)和起始點3、根軌跡的支數(shù)：

n階特征方程有n個根。當(dāng)從0到無窮大變化時，n個根在復(fù)平面內(nèi)連續(xù)變化組成n支根軌跡。即根軌跡的支數(shù)等于系統(tǒng)階數(shù)。當(dāng)時，只有時，上式才能成立。而是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點，所以根軌跡起始于開環(huán)極點。n階系統(tǒng)有n個開環(huán)極點，分別是n支根軌跡的起點。5/17/20233

我們稱系統(tǒng)有n-m個無限遠(yuǎn)零點。有限值零點加無窮遠(yuǎn)零點的個數(shù)等于極點數(shù)。

那么，n-m支根軌跡是如何趨于無限遠(yuǎn)呢？根軌跡的起點和終點當(dāng)時，①，上式成立。是開環(huán)傳遞函數(shù)有限值的零點，有m個。故n階系統(tǒng)有m支根軌跡的終點在m個有限零點處。②若n>m，那么剩余的n-m個終點在哪里呢？在無窮遠(yuǎn)處。由根軌跡方程知：當(dāng)時5/17/20234根軌跡的漸近線5.根軌跡的漸近線：若開環(huán)零點數(shù)m小于開環(huán)極點數(shù)n，則當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)增益Kg→∞時趨向無窮遠(yuǎn)處的根軌跡共有n-m條。這n-m條根軌跡趨向無窮遠(yuǎn)的方位可由漸近線決定。由根軌跡方程可得：式中，5/17/20235根軌跡的漸近線當(dāng)Kg→∞，由于m<n，故s→∞滿足根軌跡方程，上式近似為兩邊開n-m次方利用二項式定理當(dāng)時，，令，5/17/20236根軌跡的漸近線設(shè)s=x+jy,利用－1=cos(2k+1)π+jsin(2k+1)π，并根據(jù)德莫弗(DeMoive)代數(shù)定理(cosq+jsinq)n=cos(nq)+jsin(nq)，上式可寫為5/17/20237根軌跡的漸近線這是與實軸交點為－s，斜率為的直線方程。也就是漸近線方程。漸近線與實軸的夾角(稱為漸近線的傾斜角)為5/17/202385.根軌跡的漸近線：漸近線包括兩個內(nèi)容：漸近線的傾角和漸近線與實軸的交點。傾角：設(shè)根軌跡在無限遠(yuǎn)處有一點，則s平面上所有的開環(huán)有限零點和極點到的相角都相等，即為漸近線的傾角。代入根軌跡的相角條件得：規(guī)定：相角逆時針為正，順時針為負(fù)。根軌跡漸近線的傾角5/17/20239漸近線與實軸的交點假設(shè)根軌跡在無限遠(yuǎn)處有一點，則s平面上所有開環(huán)有限零點和極點到的矢量長度都相等?？梢哉J(rèn)為：對無限遠(yuǎn)閉環(huán)極點而言，所有的開環(huán)有限零點、極點都匯集在一起，其位置為，這就是漸近線與實軸的交點。幅值條件：根軌跡漸進(jìn)線與實軸的交點5/17/202310根軌跡漸進(jìn)線與實軸的交點5/17/202311[例4-2]系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試確定根軌跡支數(shù)，起點和終點。若終點在無窮遠(yuǎn)處，求漸近線與實軸的交點和傾角。[解]：根軌跡有3支。起點為開環(huán)極點無有限值零點，所以三支根軌跡都趨向無窮遠(yuǎn)。漸近線與實軸的交點：漸近線與實軸的傾角：零極點分布和漸近線（紅線）如圖所示。5/17/2023126、實軸上的根軌跡：

實軸上具有根軌跡的區(qū)間是：其右方開環(huán)系統(tǒng)的零點數(shù)和極點數(shù)的總和為奇數(shù)。[證明]：例如在實軸上有兩個開環(huán)極點p1、p2，復(fù)平面上有一對共軛極點p3、p4和一對共軛零點z1、z2。先看試驗點s1點：所以s1點滿足根軌跡相角條件，于是[－p2,－p1]為實軸上的根軌跡。實軸上的根軌跡②成對出現(xiàn)的共軛零點z1、z2對實軸上任意試探點構(gòu)成的兩個向量的相角之和為0°；③試探點左邊的極點p2對試探點構(gòu)成的向量的相角為0°；④試探點右邊的極點p1對試探點構(gòu)成的向量的相角為180°；再看s2點：不滿足根軌跡相角條件，所以不是根軌跡上的點。①成對出現(xiàn)的共軛極點p3、p4對實軸上任意試探點構(gòu)成的兩個向量的相角之和為0°；同樣s3點也不是根軌跡上的點。5/17/202313[例4-3]設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試求實軸上的根軌跡。[解]：零極點分布如下：紅線所示為實軸上根軌跡，為：[-10，-5]和[-2，-1]。注意在原點有兩個極點，雙重極點用“”表示。實軸上的根軌跡例題5/17/2023147、根軌跡的會合點和分離點：若干根軌跡在復(fù)平面上某一點相遇后又分開，稱該點為分離點或會合點。實軸上的會合點和分離點如圖所示某系統(tǒng)的根軌跡，由開環(huán)極點出發(fā)的兩支根軌跡，隨著的增大在實軸上A點相遇再分離進(jìn)入復(fù)平面。隨著的繼續(xù)增大，又在實軸上B點相遇并分別沿實軸的左右兩方運動。當(dāng)時，一支根軌跡終止于另一支走向。A、B點稱為根軌跡在實軸上的分離點和會合點。5/17/2023157、根軌跡的會合點和分離點：若干根軌跡在復(fù)平面上某一點相遇后又分開，稱該點為分離點或會合點。一般說來，若實軸上兩相鄰開環(huán)極點之間有根軌跡，則這兩相鄰極點之間必有分離點；如果實軸上相鄰開環(huán)零點（其中一個可為無窮遠(yuǎn)零點）之間有根軌跡，則這相鄰零點之間必有會合點。如果實軸上根軌跡在開環(huán)零點與開環(huán)極點之間，則它們之間可能既無分離點也無會合點，也可能既有分離點也有會合點。實軸上的會合點和分離點5/17/202316[分離點和會合點的求法]：由重根法，求極值法和作圖法等。①重根法：根軌跡在實軸上的分離點或會合點表示這些點是閉環(huán)特征方程的重根點。設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：即[分離角]：在分離點或會合點上，根軌跡的切線和實軸的夾角稱為分離角。與相分離的根軌跡的支數(shù)k有關(guān)：。實軸上的會合點和分離點的求法因閉環(huán)特征方程為：設(shè)時，特征方程有重根，則必同時滿足5/17/202317由此得：即：實軸上的會合點和分離點的求法注意：由上式可求得的點是分離點和會合點必要條件，還需求出這些點對應(yīng)的增益，若增益為大于零的實數(shù)，則所求出的點為分離會合點。5/17/202318②極值法：參見教材p118圖4-11。若以Kg為縱坐標(biāo)，以實軸為橫坐標(biāo)，在根軌跡的分離點和會合點上，Kg具有極值。實軸上的會合點和分離點的求法即5/17/202319③求分離回合點的另一個公式實軸上的會合點和分離點的求法設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：因閉環(huán)特征方程為：即閉環(huán)特征方程為：重根時還滿足5/17/202320實軸上芝的會合羨點和分法離點的誓求法5/4榮/20衡2321[例4-4]單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試確定實軸上根軌跡的會合點和分離點的位置。實軸上根軌跡區(qū)間是：注意怎：分離點保和會合晝點也可令能出現(xiàn)施在復(fù)平動面上，欣由于根衫軌跡對辱稱于實替軸，所摘以，復(fù)世平面上停的分離宗點和會斗合點必塵對稱于扣實軸。顯然性，分掠離回峰合點恩為-述0.岡47麗25躍，而矛-3非.5駐27眉5不輪是分嚷離回騰合點趟。[解]：閉環(huán)特征方程為：5/4把/20掏23228、根邀軌跡的徹出射角季和入射逝角：當(dāng)開環(huán)盒零、非極點呼處于曾復(fù)平痕面上須時，降根軌吵跡離怖開的壯出發(fā)稱角稱指為出稻射角初；根閑軌跡搏趨于倍復(fù)零網(wǎng)點的默終止治角成淚為入僵射角省。如圖：圖中有四個開環(huán)極點，一個開環(huán)零點。 為共軛極點，現(xiàn)計算的出射角。設(shè)為。在離開附近的根軌跡上取一點s1,則s1點應(yīng)滿足相角條件：當(dāng)時，即為離開根軌跡上的出射角，，則：根軌跡框的出射風(fēng)角和入欠射角5/觀4/處20歇2323式中：為除了以外的開環(huán)極點到的矢量的相角；為開環(huán)零點到的矢量的相角。同樣，進(jìn)入復(fù)零點的根軌跡入射角為：式中：為除了以外的開環(huán)零點到的矢量相角；為各開環(huán)極點到的矢量相角。的出射角應(yīng)與的出射角關(guān)于實軸對稱。根軌跡兇的出射祖角和入腿射角5/4威/20獻(xiàn)2324[例4-鍬5]如圖，率試確定率根軌跡鵝離開復(fù)早數(shù)共軛劑極點的棄出射角刊。[解]：根據(jù)對稱性，可知點的出射角為：請根據(jù)相角條件自行計算。相角要注意符號；逆時針為正，順時針為負(fù)；注意矢量的方向。[注意]：5/4所/20校23259、宰根軌驢跡和隨虛軸仆的交每點：根軌跡和虛軸相交時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。則閉環(huán)特征方程至少有一對共軛虛根。這時的增益稱為臨界根軌跡增益。交點和

的求法：

在閉環(huán)特征方程中令

，然后使特征方程的實、虛部為零即可求出

和

。由勞仁斯穩(wěn)闊定判意據(jù)求孤解。根軌跡脹和虛軸局的交點5/4心/20脹2326方法獻(xiàn)一：鄰閉環(huán)皆系統(tǒng)敵的特不征方瘡程為膏：將代入得：[例4-6]開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，試求根軌跡與虛軸的交點和。當(dāng)時，為根軌跡的起點（開環(huán)極點）當(dāng)

時，

，即根軌跡與虛軸的交點為

。5/4切/20塵2327方法二：用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定的值。勞斯陣列為：勞斯感陣列部中某合一行成全為拔零時處，特刮征方洲程可蝦出現(xiàn)消共軛洲虛根故。勞功斯陣解列中價可能趙全為陳零的興行有斬二。共軛虛根為輔助方程

的根。1、令，得臨界增益為：2、令，得（開環(huán)極點）。5/禾4/嚇20芒232810滅、閉更環(huán)系穴統(tǒng)極躬點之妖和與臨之積爺：開環(huán)辜傳遞攏函數(shù)搞為：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：

，即：(1)設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的極點為：

，則(2)閉環(huán)系笛統(tǒng)極點塞之和與際之積5/4具/20監(jiān)2329比較（刊1）、域（2）傲式得：

當(dāng)n-m>=2時，

，即：對于任意的

，閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和，為常數(shù)。表明：當(dāng)

變化時，部分閉環(huán)極點在復(fù)平面上向右移動（變大），則另一些極點必然向左移動（變?。?/p>

閉環(huán)極點之積為：根據(jù)上歉述10溪個性質(zhì)紡（或準(zhǔn)來則），噴可以大末致畫出仇根軌跡扛的形狀奔。為了轟準(zhǔn)確起掀見，可該以用相么角條件惹試探之幣。閉環(huán)系殖統(tǒng)極點抄之和與奔之積當(dāng)有為零的開環(huán)極點：5/播4/詳20邪2330根軌京跡作俘圖步嘆驟一、荒標(biāo)注公開環(huán)眉極點每和零盤點，蕉縱橫鉛坐標(biāo)販用相胖同的梅比例顯尺；二、直實軸訴上的稠根軌陜跡；三、n-叢m條漸近蜘線；四、根錫軌跡的扁出射角豎、入射復(fù)角；五、根抵軌跡與伍虛軸的醋交點；六、根馬軌跡的貢分離點熱、會合謙點；結(jié)合根絨軌跡的憑連續(xù)性顏、對稱效性、根艦軌跡的變支數(shù)、引起始點兔和終點關(guān)，閉環(huán)朝極點與儲閉環(huán)極碌點之和斗及之積砍等性質(zhì)盲畫出根漆軌跡。5/欺4/鑄20暑2331⒊漸近線[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，畫根軌跡。⒋出射角，⒌求與虛軸的交點，此時特征方程為解：⒈求出開環(huán)零極點，即：⒉實軸錫上的根刪軌跡：宋(－∞濤，0]將代入得：5/4拜/20游2332⒍求分淘離會返合點奔：由綿特征犬方程由圖知這兩點并不在根軌跡上，所以并非分離會合點，這也可將代入得為復(fù)數(shù)。5/旱4/上20晃2333⒊漸近線[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，畫根軌跡。⒋出射角，⒌求與虛軸的交點，此時特征