等腰三角形的性質(zhì)定理及判定定理

...wd......wd......wd...一.本周教學(xué)內(nèi)容：等腰三角形的性質(zhì)和判定二.教學(xué)目標(biāo)：〔一〕知識(shí)與技能：〔1〕掌握等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理，并會(huì)靈活運(yùn)用?！?〕能用上述結(jié)論進(jìn)展分析與說(shuō)理，進(jìn)展初步的邏輯思維訓(xùn)練，形成一定的推理能力。〔二〕情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)等腰三角形性質(zhì)定理和判定定理的證明表達(dá)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。三.重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)是等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理難點(diǎn)是利用定理解決實(shí)際問(wèn)題四.教學(xué)過(guò)程：〔一〕知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)1：等腰三角形的性質(zhì)定理1〔1〕文字語(yǔ)言：等腰三角形的兩個(gè)底角相等〔簡(jiǎn)稱(chēng)“等邊對(duì)等角〞〕〔2〕符號(hào)語(yǔ)言：如圖，在△ABC中，因?yàn)锳B=AC，所以∠B=∠C〔3〕證明：取BC的中點(diǎn)D，連接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD〔SSS〕∴∠B=∠C〔全等三角形對(duì)應(yīng)角相等〕〔4〕定理的作用：證明同一個(gè)三角形中的兩個(gè)角相等。知識(shí)點(diǎn)2：等腰三角形性質(zhì)定理2〔1〕文字語(yǔ)言：等腰三角形的頂角平分線(xiàn)，底邊上的中線(xiàn)，底邊上的高，互相重合〔簡(jiǎn)稱(chēng)“三線(xiàn)合一〞〕〔2〕符號(hào)語(yǔ)言：∵AB=AC

∵AB=AC

∵AB=AC∠1=∠2

AD⊥BC

BD=DC∴AD⊥BC，BD=DC

∴∠1=∠2

∴∠1=∠2BD=DC

AD⊥BC〔3〕定理的作用：可證明角相等，線(xiàn)段相等或垂直。說(shuō)明：在等腰三角形中經(jīng)常添加輔助線(xiàn)，雖然“頂角的平分線(xiàn)，底邊上的高、底邊上的中線(xiàn)互相重合，如何添加要根據(jù)具體情況來(lái)定，作時(shí)只作一條，再根據(jù)性質(zhì)得出另兩條〞。知識(shí)3：等腰三角形的判定定理〔1〕文字語(yǔ)言：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等〔簡(jiǎn)寫(xiě)為“等角對(duì)等邊〞〕〔2〕符號(hào)語(yǔ)言：在△ABC中∵∠B=∠C

∴AB=AC〔3〕證明：過(guò)A作AD⊥BC于D，則∠ADB=∠ADC=90°。在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD〔AAS〕∴AB=AC〔4〕定理的作用：證明同一個(gè)三角形中的邊相等。說(shuō)明：①本定理的證明還有其他證明方法〔如作頂角的平分線(xiàn)〕。②證明一個(gè)三角形是等腰三角形的方法有兩種：1、利用定義

2、利用定理?！镜湫屠}分析】根基知識(shí)應(yīng)用題：例1.如圖，P、Q是△ABC邊BC上兩點(diǎn)，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度數(shù)。解：∵AP=PQ=AQ〔〕∴△APQ是等邊三角形〔等邊三角形的定義〕∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°〔等邊三角形的性質(zhì)〕∵AP=BP〔〕∴∠PBA=∠PAB〔等邊對(duì)等角〕又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60°∴∠PBA=∠PAB=30°同理∠QAC=30°∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°解答此類(lèi)題的步驟如下：〔1〕利用等邊對(duì)等角根據(jù)角的度數(shù)求另一個(gè)角的度數(shù)?！?〕利用三角形內(nèi)角和定理，確定等量關(guān)系，借助等式或方程求解。例2.：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分別為AB，BC，AC上的點(diǎn)，且BD=CE，∠DEF=∠B。求證：△DEF是等腰三角形。證明：∵∠B+∠BDE+∠BED=180°〔三角形內(nèi)角和定理〕∠BED+∠DEF+∠FEC=180°〔平角性質(zhì)〕∠B=∠DEF〔〕∴∠BDE=∠FEC〔等角的補(bǔ)角相等〕在△BED和△CFE中∠BDE=∠FEC中〔已證〕BD=CE

〔〕∠B=∠C

〔〕∴△BED≌△CFE〔ASA〕∴DE=EF

〔全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等〕∴△DEF是等腰三角形〔等腰三角形定義〕綜合應(yīng)用題：例3.：如圖，AC和BD相交于點(diǎn)O，AB∥CD，OA=OB，求證：OC=OD證明：∵AB∥CD

〔〕∴∠A=∠C，∠B=∠D

〔兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等〕∵OA=OB

〔〕∴∠A=∠B

〔等邊對(duì)等角〕∴∠C=∠D

〔等量代換〕∴OC=OD

〔等角對(duì)等邊〕例4.如圖，在四邊形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，試判斷DC與AC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。證法一：證明：作DE⊥AB于E∵DA=DBDE⊥AB∴AE=BE=∵AB=2AC∴AE=AC在△AED和△ACD中∴△AED≌△ACD∴∠C=∠AED=90°∴DC與AC的位置關(guān)系為：DC⊥AC證法二：證明：延長(zhǎng)AC到F，使CF=AC，連結(jié)DF∵AB=2AC，AF=2AC∴AB=AF在△ABD和△AFD中∴△ABD≌△AFD∴DF=DB∵DA=DB∴DA=DF又∵AC=CF∴DC⊥AF說(shuō)明：法一是利用了“截長(zhǎng)法〞即在長(zhǎng)線(xiàn)段AB上截取AE=AB法二是利用了“補(bǔ)短法〞即在短線(xiàn)段AC上補(bǔ)足AF=AB，從而到達(dá)解決問(wèn)題的目的。例5.求證：等腰三角形兩腰上的中線(xiàn)相等解：：如以下圖，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的中線(xiàn)求證：BD=CE證明：∵BD，CE是△ABC的中線(xiàn)∴AE=AB，AD=AC∵AB=AC∴AE=AD在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE〔SAS〕∴BD=CE〔全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等〕說(shuō)明：這是一個(gè)證明文字表達(dá)的幾何命題的題目，做這類(lèi)題時(shí)首先要分清題設(shè)，結(jié)論，畫(huà)出草圖，結(jié)合圖形寫(xiě)出：、求證、然后再證明。例6.如圖，點(diǎn)C為線(xiàn)段AB上的一點(diǎn)，△ACM，△BCN是等邊三角形，AN，MC相交于點(diǎn)E，CN與BM相交于點(diǎn)F?！?〕求證AN=BM〔2〕求證△CEF為等邊三角形證明：〔1〕∵△ACM，△CBN是等邊三角形∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠NCB=60°∴∠ACN=∠BCM=120°在△ACN和△MCB中∴△ACN≌MCB〔SAS〕∴AN=BM〔2〕由〔1〕中△ACN≌△MCB∴∠ANC=∠MBC在△CEN和△CFB中∴△CEN≌△CFB〔ASA〕∴CE＝CF又∵∠ECF＝60°∴△CEF為等邊三角形例7.下面是數(shù)學(xué)課堂的一個(gè)學(xué)習(xí)片斷，閱讀后，請(qǐng)答復(fù)下面的問(wèn)題：學(xué)習(xí)等腰三角形有關(guān)內(nèi)容后，蘇教師請(qǐng)同學(xué)們交流討論這樣一個(gè)問(wèn)題：“，等腰三角形ABC的角A等于30°，請(qǐng)你求出其余兩角。〞同學(xué)們經(jīng)片刻的思考與交流后，李明舉手講：“其余兩角30°和120°，〞衛(wèi)華同學(xué)說(shuō)：“其余兩角是75°和75°〞還有一些同學(xué)也提出了不同的看法……〔1〕假設(shè)你也在課堂中，你的意見(jiàn)如何為什么〔2〕通過(guò)上面數(shù)學(xué)問(wèn)題的討論，你有什么感受〔用一句話(huà)表示〕解略【模擬試題】〔答題時(shí)間：25分鐘〕1.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數(shù)為〔〕A.60°

B.120°

C.60°或150°

D.60°或120°2.如圖，△ABC中AB=AC，點(diǎn)D在AC邊上，且BD=BC=AD，則∠A的度數(shù)為〔〕A.30°

B.36°

C.95°

D.70°3.如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于F，假設(shè)BF=AC，那么∠ABC的大小是〔〕A.40°

B.45°

C.50°

D.60°4.聰明的小明用含有30°角的兩個(gè)完全一樣的三角板拼成如以下圖的圖案，并發(fā)現(xiàn)圖中有等腰三角形，請(qǐng)你幫他找出兩個(gè)等腰三角形：。5.如圖，一個(gè)頂角為40°的等腰三角形紙片，剪去頂角后，得到一個(gè)四邊形，則∠1+∠2=度。6.在△ABC中，AB=AC，AB邊的垂直平分線(xiàn)與AC所在直線(xiàn)相交所得的銳角為40°，則底角∠B的大小為。7.如圖，△ABC為等邊三角形，D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，且△DEF是等邊三角形〔1〕除相等的邊以外，請(qǐng)你猜測(cè)還有哪些相等的線(xiàn)段，并證明你的猜測(cè)是正確的?！?〕你所證明相等的線(xiàn)段可以通過(guò)怎么樣的變化相互得到寫(xiě)出變化過(guò)程?！驹囶}答