2022年江蘇省淮安市碼頭中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2022年江蘇省淮安市碼頭中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，且函數(shù)f（x+）是偶函數(shù)，下列判斷正確的是（）A．函數(shù)f（x）的最小正周期為2πB．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）d對(duì)稱(chēng)C．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=﹣對(duì)稱(chēng)D．函數(shù)f（x）在[，π]上單調(diào)遞增參考答案：D【考點(diǎn)】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；正弦函數(shù)的圖象．【分析】由題意可求f（x）的周期T，利用周期公式可求ω，函數(shù)f（x+）是偶函數(shù)，可得+φ=kπ+，k∈Z，又|φ|＜，解得φ，可得解析式f（x）=sin（2x+），利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可判斷求解．【解答】解：函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離等于，∴函數(shù)f（x）的周期T=π，故A錯(cuò)誤；∵ω＞0∴ω=2，∴函數(shù)f（x+）的解析式為：f（x）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），∵函數(shù)f（x+）是偶函數(shù)，∴+φ=kπ+，k∈Z，又|φ|＜，解得：φ=．∴f（x）=sin（2x+）．∴由2x+=kπ，k∈Z，解得對(duì)稱(chēng)中心為：（﹣，0），k∈Z，故B錯(cuò)誤；由2x+=kπ+，k∈Z，解得對(duì)稱(chēng)軸是：x=，k∈Z，故C錯(cuò)誤；由2kπ≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ，kπ]，k∈Z，故D正確．故選：D．2.設(shè)橢圓（m＞0，n＞0）的右焦點(diǎn)與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為（）A． B．C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】先求出拋物線的焦點(diǎn)，確定橢圓的焦點(diǎn)在x軸，然后對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可得到答案．【解答】解：∵拋物線的焦點(diǎn)為（2，0），橢圓焦點(diǎn)在x軸上，排除A、C，由排除D，故選B3.已知向量，則以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為(

)A．

B．

C.4

D．8

參考答案：B4.如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一條線段，且EF=b＜a，若Q是A1D1上的定點(diǎn)，P在C1D1上滑動(dòng)，則四面體PQEF的體積（）A．是變量且有最大值 B．是變量且有最小值C．是變量無(wú)最大最小值 D．是常量參考答案：D【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】根據(jù)等底同高的三角形面積相等及P到平面QEF的距離是定值，結(jié)合棱錐的體積公式，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵因?yàn)镋F定長(zhǎng)，Q到EF的距離就是Q到CD的距離也為定長(zhǎng)，即底和高都是定值，∴△QEF的面積是定值，∵C1D1∥平面QEF，P在C1D1上滑動(dòng)，∴P到平面QEF的距離是定值．即三棱錐的高也是定值，于是體積固定．∴三棱錐P﹣QEF的體積是定值．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)棱錐的體積及點(diǎn)到平面的距離，其中線面平行時(shí)直線上到點(diǎn)到平面的距離相等是解答本題的關(guān)鍵．5.用反證法證明命題：“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，應(yīng)假設(shè)（

）A．三個(gè)內(nèi)角都不大于60°

B．三個(gè)內(nèi)角都大于60°

C．三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60°

D．三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°參考答案：B命題的反面是：三個(gè)內(nèi)角都大于，故選B.

6.某班上午有五節(jié)課，計(jì)劃安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)各一節(jié)，要求語(yǔ)文與化學(xué)相鄰，且數(shù)學(xué)不排第一節(jié)，則不同排法的種數(shù)為（

）A.24 B.36 C.42 D.48參考答案：B【分析】先用捆綁法將語(yǔ)文與化學(xué)看成一個(gè)整體，考慮其順序；將這個(gè)整體與英語(yǔ)，物理全排列，分析排好后的空位數(shù)目，再在空位中安排數(shù)學(xué)，最后由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.【詳解】由題得語(yǔ)文和化學(xué)相鄰有種順序；將語(yǔ)文和化學(xué)看成整體與英語(yǔ)物理全排列有種順序，排好后有4個(gè)空位，數(shù)學(xué)不在第一節(jié)有3個(gè)空位可選，則不同的排課法的種數(shù)是，故選B.7.已知向量，，若向量與向量互相垂直，則實(shí)數(shù)的值是（

）．A． B． C． D．參考答案：D∵，，∴，，∵與互相垂直，∴，解得：．故選．8.如圖，四棱柱的底面是正方形，側(cè)棱平面

，且，則異面直線所成角的余弦值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D9.已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）的圖象如圖所示，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則不等式（x﹣1）f′（x）＜0的解集為（）A．（﹣∞，）∪（1，2） B．（﹣1，1）∪（1，3） C．（﹣1，）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】先由（x﹣1）f'（x）＜0，分成x﹣1＞0且f'（x）＜0或x﹣1＜0且f'（x）＞0兩種情況分別討論即可【解答】解：當(dāng)x﹣1＞0，即x＞1時(shí)，f'（x）＜0，即找在f（x）在（1，+∞）上的減區(qū)間，由圖象得，1＜x＜2；當(dāng)x﹣1＜0時(shí)，即x＜1時(shí)，f'（x）＞0，即找f（x）在（﹣∞，1）上的增區(qū)間，由圖象得，x＜．故不等式解集為（﹣∞，）∪（1，2）故選：A．10.從雙曲線的左焦點(diǎn)引圓的切線，切點(diǎn)為，延長(zhǎng)交雙曲線右支于點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與

的大小關(guān)系為

（

）

A.

B.C.

D.不確定參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一項(xiàng)“過(guò)關(guān)游戲”的規(guī)則規(guī)定：在第n關(guān)要拋一顆骰子n次，如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于，則算過(guò)關(guān)。則連過(guò)前3關(guān)的概率為_(kāi)________.參考答案：

解析：由于骰子是均勻正方體，所以拋擲后各點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的可能性是相等的．設(shè)事件An為“第n次過(guò)關(guān)失敗”，則對(duì)立事件Bn為“第n次過(guò)關(guān)成功”第n次游戲中，基本事件總數(shù)為6n

第1關(guān)：事件Al所含基本事件數(shù)為2(即出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1和2兩種情況)．所以過(guò)此關(guān)的概率為P(B1)=1－

P(A1)=；

第2關(guān)：事件A2所含基本事件數(shù)為方程x+y=a當(dāng)a分別取2、3、4時(shí)的正整數(shù)解組數(shù)之和，即6個(gè)．所以過(guò)此關(guān)概率為P(B2)=1－P(A2)=；

第3關(guān)：事件A3所含基本事件數(shù)為方程x+y+z=a當(dāng)a分別取3、4、5、6、7、8時(shí)的正整數(shù)解組數(shù)之和，即56個(gè)．所以過(guò)此關(guān)概率為P(B3)=1－P(A3)=；

故連過(guò)三關(guān)的概率為P(B1)×P(B2)×P(B3)=12.一枚骰子（形狀為正方體，六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的玩具）先后拋擲兩次，骰子向上的點(diǎn)數(shù)依次為．則的概率為

▲

．參考答案：略13.若n為正偶數(shù)，則被9除所得的余數(shù)是________．參考答案：0原式=又n為正偶數(shù)，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，故余數(shù)為014.下面的程序輸出的結(jié)果=

參考答案：1715.已知函數(shù),則

▲

.參考答案：016.設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)

.參考答案：試題分析：考點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算17.如圖，由編號(hào)，，…，，…（且）的圓柱自下而上組成．其中每一個(gè)圓柱的高與其底面圓的直徑相等，且對(duì)于任意兩個(gè)相鄰圓柱，上面圓柱的高是下面圓柱的高的一半．若編號(hào)1的圓柱的高為，則所有圓柱的體積的和為_(kāi)______________（結(jié)果保留）．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（Ⅰ）證明：平面PQC⊥平面DCQ（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】MJ：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；LY：平面與平面垂直的判定；MN：向量語(yǔ)言表述面面的垂直、平行關(guān)系；MR：用空間向量求平面間的夾角．【分析】首先根據(jù)題意以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz；（Ⅰ）根據(jù)坐標(biāo)系，求出、、的坐標(biāo)，由向量積的運(yùn)算易得?=0，?=0；進(jìn)而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得證明；（Ⅱ）依題意結(jié)合坐標(biāo)系，可得B、、的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面的PBC的法向量與平面PBQ法向量，進(jìn)而求出cos＜，＞，根據(jù)二面角與其法向量夾角的關(guān)系，可得答案．【解答】解：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz；（Ⅰ）依題意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）；則=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，﹣1，0），所以?=0，?=0；即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，故PQ⊥平面DCQ，又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；（Ⅱ）依題意，有B（1，0，1），=（1，0，0），=（﹣1，2，﹣1）；設(shè)=（x，y，z）是平面的PBC法向量，則即，因此可取=（0，﹣1，﹣2）；設(shè)是平面PBQ的法向量，則，可取=（1，1，1），所以cos＜，＞=﹣，故二面角角Q﹣BP﹣C的余弦值為﹣．19.（10分）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于點(diǎn)E，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1E⊥EB．（1）求證：A1D⊥DC；（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）判斷在線段EB上是否存在一點(diǎn)P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的性質(zhì)；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）由題意知EA1，EB，ED兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明A1D⊥DC．（2）求出平面A1BE的一個(gè)向量和平面A1BC的一個(gè)法向量，利用向量法能求出二面角E﹣A1B﹣C的余弦值．（3）設(shè)=λ（0≤λ≤1），===（﹣2，2λ，0），求出平面A1DP的法向量和平面A1BC法向量，利用向量法能求出在線段EB上存在一點(diǎn)P，使平面A1DP⊥平面A1BC．【解答】證明：（1）∵在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于點(diǎn)E，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1E⊥EB．∴由題意知EA1，EB，ED兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得DE=2，從而A1（2，0，0），B（0，2，0），C（0，4，2），D（0，0，2），∴=（﹣2，0，2），=（0，4，0），∵?=0，∴A1D⊥DC．解：（2）平面A1BE的一個(gè)向量=（0，0，1），=（2，﹣2，0），=（0，2，2），設(shè)平面A1BC的一個(gè)法向量為=（x，y，z），則，令z=1，則=（﹣，﹣，1），∴cos＜＞==，∴二面角E﹣A1B﹣C的余弦值為﹣．（3）若存在一點(diǎn)P，使平面A1DP⊥平面A1BC，設(shè)=λ（0≤λ≤1），===（﹣2，2λ，0），=（﹣2，0，2），設(shè)平面A1DP的法向量=（a，b，c），則，令c=λ，則=（），則平面A1BC法向量=（﹣，1），∵平面A1DP⊥平面A1BC，∴=﹣3λ﹣3+λ=0，解得λ=﹣，與0≤λ≤1矛盾，∴在線段EB上存在一點(diǎn)P，使平面A1DP⊥平面A1BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查線段比值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．20.設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且bn=2﹣Sn；數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a5=9，a7=13．（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若cn=bnan（n=1，2，3，…），Tn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，求Tn．參考答案：【分析】（I）先計(jì)算b1，再判斷{bn}為等比數(shù)列，從而得出通項(xiàng)公式；（II）求出an，cn，利用錯(cuò)位相減法求和．【解答】解：（Ⅰ）令n=1得b1=2﹣b1，∴b1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，bn﹣bn﹣1=Sn﹣1﹣Sn=﹣bn，∴bn=bn﹣1，∴{bn}是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，∴bn=．（Ⅱ）數(shù)列{an}的公差為d，則d=（a7﹣a5）=2，∴an=a5+（n﹣5）d=2n﹣1，∴cn=，∴Tn=1++++…+，①∴=+++…+，②①﹣②得：=1+1+++…+﹣=1+﹣=3﹣，∴Tn=6﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的判斷，等差數(shù)列的性質(zhì)，錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題．21.(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)若，求函數(shù)的值域.參考答案：(Ⅰ).當(dāng)時(shí)，或； 2分當(dāng)時(shí)，. 4分∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和；函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為。 6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知；.又因?yàn)?10分所以函數(shù)的值域?yàn)?12分22.（本小題滿(mǎn)分10分）已知實(shí)數(shù)列是公比小于1的等比數(shù)列，其中，且，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）若角始邊在軸的正半軸，終邊過(guò)點(diǎn)，求的值．參考答案：解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由成等差數(shù)列，得，即，

··········2分解得：，或（舍去）．······················································································4分故．································