第五講多元函數(shù)的微分學(xué)課程加持續(xù)

第五講多元函數(shù)的微分學(xué)本題型包括如下幾個(gè)方面的問1、用定義求偏導(dǎo)數(shù)和全抽象函數(shù)(選擇題具體分塊函數(shù)在分界點(diǎn)2、初等函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和3、求抽象4、由方程所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分5、含抽象函數(shù)的方程所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全6、由方程組所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo) fx,

f

x,y0fx0,y0

fx,

fx0,

yfx0,y0 2、若zfx0xy0yfx0y0AxByofxy在點(diǎn)x0y0AxBy稱為zfxy在點(diǎn)x0y0的全微分記為dz，即dzAxByfxx0,y0Afyx0,y0B3zfxy在點(diǎn)x0y0的可微的充分必要條件z[fx(x0,y0)xfy(x0,y0)

0函數(shù)zfxy在x0y0全書三，P109[例

f(x,x2極限存在但不連續(xù)(C)偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微

連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在可微

答案2(2012-1)f(xy)在(00)處連續(xù),若極限limfxy存在,f(xy)在(00)處可微

x若極限limfxy存在,f(xy)在(00)

x2f(xy)在(00)處可微,則極限limfxy

xf(xy)在(00)處可微,則極限limfxy

x2答案全書一，P133[例6]；全書二，P143[例2 x2 23zfx,y

，則在(0,0)zfx,

x2y2 （D）可微答案全書一，P134[例7]；全書二，P143[例(x2y2)4、fx,y)

x2

,x2y2

x2y2fx,y的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(0,0處都不連續(xù)fx,y在點(diǎn)(0,0處可微全書三，P109[例例5 函數(shù)f(x,y) |xy|在點(diǎn)（0，0）是否連續(xù)？偏導(dǎo)數(shù)是否存在？是否可微全書一，P138[例1]；全書二，P148[例x2例6、設(shè)f(x,y) 2x3 求f(0,0),fx21 【解】f(0,0)df(x, (2x) 2

f(0,0)df(0,

(3

3

全書一，P138[例2]；全書二，P148[例xzy7fx,yzxzy

，則df(1,1,1) 【解f(1,1,1)df

(

1.

f(1,1,1)df(1,

(1

1

f(1,1,1)df(1,1,

0

全書三，P111[例 例8、設(shè)f(x,y)x2 y2x

2fy，求xxy解：f x

2xarctan

y x 1yx2x2

( y)x

y x2y1(y2y2xarctanyx2 2

11

x yx y(x)

1(y)x

x2 y全書三，P111[例x2y2x2y2

2u 2u 2u求x2y2全書一，P139[例4]；全書二，P149[例 10設(shè)z(1

y2)xy， 【解一】z(1x2y2)xyexyln(1x2y2z

y(1x2y2)xy[ln(1x2y2)

2x2 ].1x22x(1x2y2)xy[ln(1x2y2)

1x2y2]全書二，P153[例

2 2f例11、設(shè)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足

2 2又g(x,y) (x2y2

【解gyfxf

gxfyf 2g

y22

2 22 2gx22

2

y22ff

2

2

(x2

y2

2

(x2

y2

2

x2

y2 全書三，P113[例 例12、設(shè)uf ),f有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，

2u 分析：由一階全微分形式的不變性及全微分的四則運(yùn)算法全書一，P140[例5]；全書二，P149[例13若函數(shù)zfx,y滿足2zfy(x,1x1,fx,y)等

2fx,1)x

y2(x1)yy2(x1)y

y2(x1)yy2(x1)y2答案全書三，P116[例14、設(shè)ufx,yxyz，函數(shù)zzx,yfgxuyz z

zg(xyzt)dtz解：

vxyzt, g(xyzt)dt

g(v)dvzxy xyzxy

g(v)dv

xyz 兩邊對(duì)x求偏導(dǎo) g(z)z yg(xy)exyzy(zx yg(xy) yzexy z xg(xy)xzexy g(z)xyexy g(z)xyexy u f fy(zxz),u f fx(z yz

xuyu xfyf 全書一，P141[例7]；全書二，P150[例7]；全書三，P120[例15、已知(axy3y2cosx)dx(1bysinx3x2y2為某一函數(shù)fx,y) bycosx6xy2比較系數(shù)a2b

2ycos全書一，P142[例12]；全書二，P153[例15]；全書三，P118[例2u 2u 2u例16、設(shè)函數(shù)uf(x,y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足等式 0a，b的值，使等式在變換xay,xby

2u0

多元函數(shù)的極值與最會(huì)求二元函數(shù)的極值會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求多元函數(shù)的條件極值會(huì)求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值會(huì)解決簡單的應(yīng)用問題考題形1、二元函數(shù)的極抽象函具體函顯函數(shù)zfx,y隱函數(shù)Fx,yz)0zfx,y3）函數(shù)未知，根據(jù)已知先求出z f(x,y)2、多元函數(shù)的條件極值(最值日乘數(shù)3、有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的最4、實(shí)際問設(shè)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又f′x(x0,y0)=0,f′y(x0,y0)=0，令A(yù)fxx(x0,y0),Bfxy(x0,y0),Cfyy(x0,y0則（1）B2-AC>0時(shí)，(x0,y0)不是極值（2）B2-AC<0時(shí)，(x0,y0)為極值且當(dāng)A<0時(shí),(x0,y0)為極大值點(diǎn),A>0時(shí)，(x0,y0)為極小值(3)B2-AC=0時(shí)，(x0,y0)是否為極值點(diǎn)待定2 日乘數(shù)zfx,y在條件x,y0下的可能極值點(diǎn)，先令Fx,yfx,yx, ，解方程組Fxfxx,yxx,yFfx,yx,y0x,y Fx,y則其x，y就是可能極值點(diǎn)的坐標(biāo)。3、有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的最zfxy在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，邊界曲線為x,y全書二,P163[例4]；全書三,P122[例1.已知函f(x,y)在點(diǎn)(0,0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù),且

f(x,y)

1,x0, (x2y2 點(diǎn)(0,0)不是f(x,y)的極值點(diǎn). 點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極大值點(diǎn)

點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極小值點(diǎn)

根據(jù)所給條件無法判斷點(diǎn)(0,0)是否為f(x,y)的極值點(diǎn)全書一,P150[例2]；全書二,P162[例2]；全書三,P125[例例2、設(shè)f(x,y)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) g(x,y)f(exy,x2y2),(x1)2y2f(x,y)1x(x1)2y2證明g(x, 在(0,0)取得極值,判斷此極值是極大值還是極小值,并求出此極值全書二,P162[例3.zx4y4x22xyy2全書三,P123[例4.z=z(x,y)x26xy10y22yzz218z=z(x,y的極值點(diǎn)與極值【解x26xy10y22yzz2180兩邊分x,y求偏導(dǎo)2x6y2yz2zz 6x20y2z2yz2zz z

x3y x3令z

得3x10yz

zx

x將上式代入x26xy10y22yzz2180,可得y

或y2x6y22x6y2yz2zz 2z z 2z6x20y2z2yz2zz06x20y2z2yz2zz0 2z 62x2yxy2x 2z 方程②y 2z z 2z 202y2y2yy22y 2zy2 2A

1 B 2

2

5 C C

(9,3,3)

xy

(9,3,3)

y2

(9,3,3) B2AC10A10點(diǎn)(9，3)處取極小值為z(93) 同理，點(diǎn)(-9，-3)z(93)全書一,P149[例極大值為全書三,P123[例6.已知函fx,yfxy(x,y4xy,fx(x,04x,f(0yylnfx,y的極值全書一,P152[例5]；全書二,P164[例6]；全書三,P125[例7求函數(shù)ux2y2z2zx2y2xyz4下的最大和最小值解：Fx,yz)x2y2z2(zx2y2xyz4)F(x,y,z)2y2y

x2,x Fz(x,y,z)2z

y2,yF(x,y,z)zx2y2

z z (2)2(2)282 121222 全書三,P124[例8、x22xy3y28y0xy8解：橢圓上任意一點(diǎn)P(xy到直xy