2020-2021學年廣東省深圳市高二（下）期末數(shù)學模擬試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學年廣東省深圳市高二（下）期末數(shù)學模擬試卷一、單項選擇題：本題共8道小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|x＜5}，B＝{y|y＝2x}，則A∩B＝（）A．（﹣∞，5） B．（0，5） C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，3，4}2．（5分）已知復數(shù)z滿足z（1+i）＝2i（i為虛數(shù)單位），則z的模為（）A． B． C．2 D．33．（5分）安排4名記者到3家公司做采訪，每位記者去一家公司，每家公司至少安排一名記者，不同的安排方法共有（）A．16種 B．18種 C．36種 D．81種4．（5分）半徑為的球O中有一內(nèi)接圓柱，當該圓柱的側(cè)面積取得最大值時，則圓柱的體積為（）A．π B．2π C．4π D．8π5．（5分）某藝術(shù)機構(gòu)隨機調(diào)查了50名學員，其中報名插花藝術(shù)或瑜伽的學員共有30名，報名插花藝術(shù)的學員共有15名，報名瑜伽的學員共有25名，報名插花藝術(shù)且瑜伽的學員人數(shù)與該藝術(shù)機構(gòu)學員的總數(shù)比值的估計值為（）A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.256．（5分）為了衡量星星的明暗程度，公元前二世紀古希臘天文學家喜帕恰斯提出了星等這個概念．星等的數(shù)值越小，星星就越亮．1850年，由于光度計在天體光度測量的應(yīng)用，英國天文學家普森又提出了亮度的概念，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），其中星等為mk的星的亮度為Ek（k＝1，2）．已知小熊座的“北極星”與大熊座的“玉衡”的星等分別為2.02和1.77，且當|x|較小時，10x≈1+2.3x+2.7x2，則“玉衡”與“北極星”的亮度之比大約為（）A．1.28 B．1.26 C．1.24 D．1.227．（5分）已知直角梯形ABCD，A＝90°，AB∥CD，AD＝DC＝AB＝1，P是BC邊上的一點，則的取值范圍為（）A．[﹣1，1] B．[0，2] C．[﹣2，2] D．[﹣2，0]8．（5分）設(shè)函數(shù)，則不等式f（2x）﹣f（3x﹣2）＞0的解集為（）A． B．（0，2） C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）已知圓錐曲線C的一個焦點為F（0，1），則C的方程可以為（）A．y2＝4x B． C． D．（多選）10．（5分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A．直線是f（x）圖象的一條對稱軸 B．f（x）圖象的對稱中心為，k∈Z C．f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．將f（x）的圖象向左平移個單位長度后，可得到一個奇函數(shù)的圖象（多選）11．（5分）已知a＞0，b＞0，則下列結(jié)論正確的是（）A．若a＞b，則a3+b3＞a2b+ab2 B．若a+b2＝1，則 C．若loga2020＞logb2020＞0，則 D．若a＞1，則（多選）12．（5分）如圖，正六棱柱ABCDEF﹣A'B'C'D'E'F'的所有棱長均為1，點M為對角線A'D上的動點，設(shè)過M且與A'D垂直的平面截此正六棱柱所得截面為σ，則下列說法正確的有（）A．σ可以為△AB'F' B．σ可以為四邊形 C．σ可以為五邊形 D．σ的面積最大值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知等差數(shù)列{an}，a1+a5＝a2+3，則S7＝．14．（5分）橢圓的一個焦點是圓M：（x﹣3）2+y2＝1的圓心，且C的長軸長為10，則該橢圓的離心率等于．15．（5分）據(jù)氣象臺監(jiān)測，在海濱城市A附近的海面有一臺風．臺風中心位于A東偏南45°方向、距離城市的海面P處，并以25km/h的速度向西偏北15°方向移動，則臺風中心小時后距離城市A最近．如果臺風侵襲范圍為圓形區(qū)域，半徑150km，臺風移動的方向與速度不變，那么該城市（填“會”或“不會”）受臺風侵襲．16．（5分）3σ準則又稱為拉依達準則，它是先假設(shè)一組檢測數(shù)據(jù)只含有隨機誤差，對其進行計算處理得到標準偏差，按一定概率確定一個區(qū)間，認為凡超過這個區(qū)間的誤差，就不屬于隨機誤差而是粗大誤差，含有該誤差的數(shù)據(jù)應(yīng)予以剔除．對于正態(tài)分布的隨機誤差，落在±3σ之外的概率只有0.27%，它在有限次測量中發(fā)生的可能性很小，故存在3σ準則.3σ準則是最常用也是最簡單的粗大誤差判別準則．為估計某精密儀器的測量誤差，取其n次結(jié)果的平均值得，為誤差使εn在（﹣0.3，0.3）的概率不小于0.9973，至少要測量次．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下列問題中并解答．問題：在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，，且____．（1）求tanA；（2）若△ABC的最大邊長為4，求△ABC的面積．18．（12分）已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an+1﹣Sn＝2，其中n∈N*．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）在an與an+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成一個公差為dn的等差數(shù)列，求數(shù)列前n+1項的和Tn+1．19．（12分）2020年5月14日，中國經(jīng)濟“雙循環(huán)”首次提出——“要深化供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革，充分發(fā)揮中國超大規(guī)模市場優(yōu)勢和內(nèi)需潛力，構(gòu)建國內(nèi)國際雙循環(huán)相互促進的新發(fā)展格局”．為了解國內(nèi)不同年齡段的民眾服裝消費的基本情況，某服裝貿(mào)易公司從其網(wǎng)站數(shù)據(jù)庫中隨機抽取了1000條客戶信息進行分析，這些客戶一年的服裝消費金額數(shù)據(jù)如表所示．消費（千元）年齡段[0，4）[4，8）[8，12]年輕180120100中年7015595老年50125105（1）若從這1000位客戶中隨機選一人，請估算該客戶的消費期望；（2）把一年服裝消費金額滿8千元稱為“高消費”，否則稱為“低消費”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，判斷能否有99%的把握認為服裝消費的高低與年齡有關(guān)？低消費高消費合計年輕人中老年人合計附表及公式：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.050.0100.0050.001k03.8416.6357.87910.82820．（12分）如圖，在四面體ABCD中，△BCD為等邊三角形，點M，N分別為棱BD，CD的中點，且AD＝AM＝BM．（1）證明：AN⊥BD；（2）若二面角A﹣BD﹣C的大小為，求二面角A﹣MN﹣D的余弦值．21．（12分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0），動直線l經(jīng)過C的焦點F，且與C交于A、B兩點．當F為線段AB中點時，|AB|＝4．（1）求拋物線方程；（2）問：在x軸上是否存在點Q（異于點F），滿足？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．22．（12分）設(shè)函數(shù)，．（1）求f（x）的極大值點；（2）若f（x1）＝f（x2），且x1≠x2，求證：x1+x2＜0．

2020-2021學年廣東省深圳市高二（下）期末數(shù)學模擬試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本題共8道小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|x＜5}，B＝{y|y＝2x}，則A∩B＝（）A．（﹣∞，5） B．（0，5） C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，3，4}【分析】利用交集定義直接求解．【解答】解：∵集合A＝{x∈Z|x＜5}，B＝{y|y＝2x}＝{y|y＞0}，∴A∩B＝{1，2，3，4}．故選：C．【點評】本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．（5分）已知復數(shù)z滿足z（1+i）＝2i（i為虛數(shù)單位），則z的模為（）A． B． C．2 D．3【分析】利用復數(shù)模的運算性質(zhì)求解即可．【解答】解：因為z（1+i）＝2i，則|z||1+i|＝|2i|，即|z|?＝2，所以|z|＝．故選：A．【點評】本題考查了復數(shù)模的求解，解題的關(guān)鍵是掌握復數(shù)模的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）安排4名記者到3家公司做采訪，每位記者去一家公司，每家公司至少安排一名記者，不同的安排方法共有（）A．16種 B．18種 C．36種 D．81種【分析】根據(jù)題意，分2步進行分析：①將4名記者分為3組，②將分好后的三組全排列，安排到三家公司，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：①將4名記者分為3組，有C42＝6種分組方法，②將分好后的三組全排列，安排到三家公司，有A33＝6種安排方法，則有6×6＝36種安排方法，故選：C．【點評】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）半徑為的球O中有一內(nèi)接圓柱，當該圓柱的側(cè)面積取得最大值時，則圓柱的體積為（）A．π B．2π C．4π D．8π【分析】根據(jù)圓柱的底面為球的截面，由球的截面性質(zhì)得出圓柱的高h、底面半徑r與球的半徑R之間的關(guān)系，用h和r表示出圓柱的側(cè)面積，利用基本不等式求最值，再計算對應(yīng)圓柱的體積．【解答】解：畫出球內(nèi)接圓柱的軸截面，如圖所示：設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r，側(cè)面積為S，則（）2+r2＝R2，解得h＝2．所以圓柱的側(cè)面積為S＝2πrh＝4πr?＝4π≤4π?＝2πR2，當且僅當r2＝R2﹣r2時取等號，此時球內(nèi)接圓柱底面半徑為r＝R＝1，高為h＝R＝2．圓柱的體積為：V＝πr2h＝π?12?2＝2π．故選：B．【點評】本題考查了球與圓柱的組合體應(yīng)用問題，也考查了利用基本不等式求最值問題，是中檔題．5．（5分）某藝術(shù)機構(gòu)隨機調(diào)查了50名學員，其中報名插花藝術(shù)或瑜伽的學員共有30名，報名插花藝術(shù)的學員共有15名，報名瑜伽的學員共有25名，報名插花藝術(shù)且瑜伽的學員人數(shù)與該藝術(shù)機構(gòu)學員的總數(shù)比值的估計值為（）A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.25【分析】由集合原理先求出報名插花藝術(shù)且瑜伽的學員，即可求得答案．【解答】解：由題意根據(jù)集合原理可知，報名插花藝術(shù)且瑜伽的學員有15+25﹣30＝10名，10÷50＝0.2，所以報名插花藝術(shù)且瑜伽的學員人數(shù)與該藝術(shù)機構(gòu)學員的總數(shù)比值的估計值為0.2．故選：C．【點評】本題考查了用樣本數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）為了衡量星星的明暗程度，公元前二世紀古希臘天文學家喜帕恰斯提出了星等這個概念．星等的數(shù)值越小，星星就越亮．1850年，由于光度計在天體光度測量的應(yīng)用，英國天文學家普森又提出了亮度的概念，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），其中星等為mk的星的亮度為Ek（k＝1，2）．已知小熊座的“北極星”與大熊座的“玉衡”的星等分別為2.02和1.77，且當|x|較小時，10x≈1+2.3x+2.7x2，則“玉衡”與“北極星”的亮度之比大約為（）A．1.28 B．1.26 C．1.24 D．1.22【分析】把已知數(shù)據(jù)代入公式計算．【解答】解：由題意2.02﹣1.77＝2.5（lgE2﹣lgE1），可得，∴．故選：B．【點評】本題考查數(shù)學新文化，考查閱讀理解能力．解題關(guān)鍵是在新環(huán)境中抽象出數(shù)學知識，用數(shù)學的思想解決問題．7．（5分）已知直角梯形ABCD，A＝90°，AB∥CD，AD＝DC＝AB＝1，P是BC邊上的一點，則的取值范圍為（）A．[﹣1，1] B．[0，2] C．[﹣2，2] D．[﹣2，0]【分析】P在BC上，不妨設(shè)，則（其中0≤λ≤1），把轉(zhuǎn)化為關(guān)于λ的函數(shù)求解即可．【解答】解：因為P在BC上，不妨設(shè)，則（其中0≤λ≤1）所以＝（）?＝?+＝（1﹣λ）?+?＝（1﹣λ）?+?（1﹣λ）＝（1﹣λ）×2××cos135°+λ（1﹣λ）×（）2＝﹣2（1﹣λ）+2λ（1﹣λ）＝﹣2λ2+4λ﹣2＝﹣2（λ﹣1）2，因為0≤λ≤1，所以﹣2（λ﹣1）2∈[﹣2，0]，故選：D．【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．8．（5分）設(shè)函數(shù)，則不等式f（2x）﹣f（3x﹣2）＞0的解集為（）A． B．（0，2） C． D．【分析】先判斷函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，然后利用導數(shù)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，利用奇偶性以及單調(diào)性將不等式等價轉(zhuǎn)化為|2x|＞|3x﹣2|，求解即可．【解答】解：因為函數(shù)，則f（﹣x）＝＝，故函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，當x＞0時，f'（x）＝，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，不等式f（2x）﹣f（3x﹣2）＞0，即f（2x）＞f（3x﹣2），等價于f（|2x|）＞f（|3x﹣2|），所以|2x|＞|3x﹣2|，解得．，所以不等式f（2x）﹣f（3x﹣2）＞0的解集為．故選：C．【點評】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷與應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，含有絕對值的不等式的解法，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）已知圓錐曲線C的一個焦點為F（0，1），則C的方程可以為（）A．y2＝4x B． C． D．【分析】由題意可得焦點在y軸上，可得A不正確，將B中的方程寫成標準形式可得B正確，由m的范圍，將C中的方程寫成標準形式，可得C正確，D中由m的范圍，如果分母相等時可得曲線為圓，所以D不正確．【解答】解：由焦點坐標在y軸，而A中焦點在x軸上，可得A不正確，B中標準形式為x2＝4y，所以可得焦點坐標為（0，1），所以B正確；C中，因為m∈（0，1），所以m﹣1＜0，所以雙曲線的標準形式為﹣＝1，且c2＝m+1﹣m＝1，所以可得C正確；D中，因為m∈（0，1），所以當m＝1﹣m時，即m＝，此時曲線為圓，所以D不正確；故選：BC．【點評】本題考查圓錐曲線的標準方程的寫法及焦點坐標的求法和命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A．直線是f（x）圖象的一條對稱軸 B．f（x）圖象的對稱中心為，k∈Z C．f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．將f（x）的圖象向左平移個單位長度后，可得到一個奇函數(shù)的圖象【分析】由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得A＝2，?＝﹣，∴ω＝2．結(jié)合五點法作圖，可得2×+φ＝，∴φ＝，即f（x）＝2sin（2x+）．令x＝，求得f（x）＝﹣2，為最小值，故直線是f（x）圖象的一條對稱軸，故A正確；令x＝﹣+kπ，求得f（x）＝0，f（x）圖象的對稱中心為，k∈Z，故B正確；在區(qū)間上，2x+∈[﹣，']，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，故C正確；將f（x）的圖象向左平移個單位長度后，可得到y(tǒng)＝2sin（2x+）的圖象，故D錯誤，故選：ABC．【點評】本題主要考查由函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．（多選）11．（5分）已知a＞0，b＞0，則下列結(jié)論正確的是（）A．若a＞b，則a3+b3＞a2b+ab2 B．若a+b2＝1，則 C．若loga2020＞logb2020＞0，則 D．若a＞1，則【分析】利用作差法判斷A，利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷B，利用構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性判斷C，利用基本不等式判斷D．【解答】解：A：∵a＞b，∴（a3+b3）﹣（a2b+ab2）＝（a﹣b）2（a+b）＞0，∴A正確，B：∵a+b2＝1，a＞0，b＞0，∴0＜b＜1，∴a﹣b＝﹣b2﹣b+1∈（﹣1，1），∴2a﹣b∈（，2），∴B錯誤，C：由loga2020＞logb2020＞0，則1＜a＜b，設(shè)函數(shù)f（x）＝，f′（x）＝，則f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，所以f（a）＜f（b），即＜，則有ea﹣b，∴C正確，D：若a＞1，則a+＝a﹣1++1≥2+1＝3，當且僅當a﹣1＝，即a＝2時取等號，∴a+≥3，∴D正確．故選：ACD．【點評】本題考查了命題真假的判定，涉及到不等式的性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性，屬于中檔題．（多選）12．（5分）如圖，正六棱柱ABCDEF﹣A'B'C'D'E'F'的所有棱長均為1，點M為對角線A'D上的動點，設(shè)過M且與A'D垂直的平面截此正六棱柱所得截面為σ，則下列說法正確的有（）A．σ可以為△AB'F' B．σ可以為四邊形 C．σ可以為五邊形 D．σ的面積最大值為【分析】利用線面垂直的判定定理即可判斷選項A，將平面AB'F'沿直線A'D方向平移，分析變化過程中σ的形狀，即可判斷選項B，C，當截面σ為矩形時，其投影面積最大，截面σ的面積最大，求解即可判斷選項D．【解答】解：∵四邊形A'ABB'為正方形，∴AB'⊥BA'，連接BD，在正六棱柱ABCDEF﹣A'B'C'D'E'F'中，∠ABC＝∠BCD＝120°，則∠DBC＝30°，∴∠ABD＝90°，∴AB⊥BD，∵B'B⊥BD，AB∩B'B＝B，∴BD⊥平面ABB'A'，∵AB'?平面ABB'A'，∴AB'⊥BD，∵BD∩BA'＝B，∴AB'⊥平面A'BD，∴A'D⊥AB'，∵B'F'⊥A'D，∴A'D⊥平面AB'F'，故選項A正確；由題意可知，截面σ與平面AB'F'平行或重合，亦可視為將平面AB'F'沿直線A'D方向平移，若將平面AB'F'向點A'平移，則σ為三角形；若將平面AB'F'向點D平移，則σ的形狀變化過程為：等腰三角形→六邊形→矩形（四邊形）→六邊形→等腰三角形，故選項B正確，選項C錯誤；因為截面σ與底面ABCDEF所成的角相等，欲使截面σ的面積最大，只需考慮其在底面ABCDEF的投影面積最大，故當截面σ為矩形時，其投影面積最大，設(shè)B'C'和E'F'的中點分別為P，Q，則矩形BPQF面積為，即σ的面積最大值為，故選項D正確．故選：ABD．【點評】本題主要考查了空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等，屬于中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知等差數(shù)列{an}，a1+a5＝a2+3，則S7＝21．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的等差中項，即可求解．【解答】解：∵{an}為等差數(shù)列，∴2a1+4d＝a1+d+3，化簡可得，a1+3d＝3，即a4＝3，∴S7＝7a4＝7×3＝21．故答案為：21．【點評】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的等差中項，需要學生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）橢圓的一個焦點是圓M：（x﹣3）2+y2＝1的圓心，且C的長軸長為10，則該橢圓的離心率等于．【分析】由圓M的方程可得圓心M的坐標，由題意可得橢圓中的c的值，再由長軸長可得a的值，進而求出橢圓的離心率．【解答】解：由圓M的方程可得圓心M（3，0），所以由題意可得c＝3，由題意2a＝10，所以a＝5，所以橢圓的離心率e＝＝，故答案為：．【點評】本題考查橢圓的離心率的求法及由圓的方程可得圓心坐標的方法，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）據(jù)氣象臺監(jiān)測，在海濱城市A附近的海面有一臺風．臺風中心位于A東偏南45°方向、距離城市的海面P處，并以25km/h的速度向西偏北15°方向移動，則臺風中心12小時后距離城市A最近．如果臺風侵襲范圍為圓形區(qū)域，半徑150km，臺風移動的方向與速度不變，那么該城市不會（填“會”或“不會”）受臺風侵襲．【分析】由題意畫出圖形，求解三角形可得臺風中心距A最近時，臺風中心B距A與P的距離，可得臺風中心距離城市A最近的時間；進一步判斷城市A是否受到臺風影響．【解答】解：如圖，臺風中心沿PB由P向B行駛，當臺風中心距A最近時，AB⊥PB，由題意可知，∠APB＝30°，又AP＝200km，∴AB＝200×sin30°＝100km，PB＝×cos30°＝300km，而風速為25km/h，∴h．即臺風中心12小時后距離城市A最近；∵臺風侵襲范圍為圓形區(qū)域的半徑150km，且＞150，∴該城市不會受到臺風侵襲．故答案為：12；不會．【點評】本題考查解三角形在實際問題中的應(yīng)用，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．16．（5分）3σ準則又稱為拉依達準則，它是先假設(shè)一組檢測數(shù)據(jù)只含有隨機誤差，對其進行計算處理得到標準偏差，按一定概率確定一個區(qū)間，認為凡超過這個區(qū)間的誤差，就不屬于隨機誤差而是粗大誤差，含有該誤差的數(shù)據(jù)應(yīng)予以剔除．對于正態(tài)分布的隨機誤差，落在±3σ之外的概率只有0.27%，它在有限次測量中發(fā)生的可能性很小，故存在3σ準則.3σ準則是最常用也是最簡單的粗大誤差判別準則．為估計某精密儀器的測量誤差，取其n次結(jié)果的平均值得，為誤差使εn在（﹣0.3，0.3）的概率不小于0.9973，至少要測量10次．【分析】利用正態(tài)分布的意義以及正態(tài)分布曲線的對稱性進行分析求解即可．【解答】解：由題意，正態(tài)分布的隨機誤差落在±3σ之外的概率只有0.27%，所以落在（﹣3σ，3σ）的概率為0.9973，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，要使誤差εn在（﹣0.3，0.3）的概率不小于0.9973，則，解得n≥10．故答案為：10．【點評】本題考查了正態(tài)分布曲線的特點以及曲線所表示的意義，解題的關(guān)鍵是利用正態(tài)分布曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下列問題中并解答．問題：在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，，且____．（1）求tanA；（2）若△ABC的最大邊長為4，求△ABC的面積．【分析】（1）利用余弦定理消去邊，得到A、B兩角余弦值的關(guān)系；聯(lián)立條件①或②或③、內(nèi)角和公式，利用三角恒等變換解出tanA；（2）利用“大角對大邊“得c＝4，利用正弦定理得a，b的值，再求面積．【解答】解：（1）由有（*），則A、B都是銳角（2分）若選①，則；又由（*）有，由＝又sin2A+cos2A＝1且A是銳角，可得，，所以．（6分）若選②，則，又由（*）有，又sin2A+cos2A＝1，可得，所以（6分）若選③，由正弦定理有，則，則C＝135°，由（*）有，故．（6分）（2）由①②③都可得，，，，，（8分）因為sinA＜sinB＜sinC，所以a＜b＜c，所以最長邊c＝4，由正弦定理有，則，（10分）所以△ABC的面積為．（12分）【點評】本題主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等變換等知識，滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、方程等思想，意在考查學生的邏輯推理，數(shù)學運算等核心素養(yǎng)．18．（12分）已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an+1﹣Sn＝2，其中n∈N*．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）在an與an+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成一個公差為dn的等差數(shù)列，求數(shù)列前n+1項的和Tn+1．【分析】（1）直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項公式；（2）利用（1）的結(jié)論，進一步利用乘公比錯位相減法在數(shù)列求和中的應(yīng)用求出數(shù)列的和．【解答】解：（1）（解法一）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，已知an+1﹣Sn＝2，當n≥2時，an﹣Sn﹣1＝2，兩式相減可得an+1﹣an﹣（Sn﹣Sn﹣1）＝0，即an+1＝2an，則q＝2，當n＝1時，得a2﹣a1＝2，即a1q﹣a1＝2，解得a1＝2，故等比數(shù)列{an}的通項公式為．（解法二）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，已知an+1﹣Sn＝2，當n＝1時，得a2﹣a1＝2，即a1q﹣a1＝2，當n＝2時，得a3﹣s2＝2，即，兩式相除可得q2﹣2q＝0，因為q≠0，所以q＝2，a1＝2，故等比數(shù)列{an}的通項公式為．（2）若在an與an+1之間插入n個數(shù)，使這n+2個數(shù)組成一個公差為dn的等差數(shù)列，則an+1＝an+（n+2﹣1）dn，即為2n+1﹣2n＝（n+1）dn，整理得，所以，（解法一），即，，兩式相減，得，故數(shù)列前n+1項的和．（解法二），即，，兩式相減得：，所以，故數(shù)列前n+1項的和．【點評】本題主要考查數(shù)列通項an與前n項和Sn的關(guān)系、等比數(shù)列的定義、等比等差數(shù)列的通項公式、錯位相減法求和，考察了學生的運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)．19．（12分）2020年5月14日，中國經(jīng)濟“雙循環(huán)”首次提出——“要深化供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革，充分發(fā)揮中國超大規(guī)模市場優(yōu)勢和內(nèi)需潛力，構(gòu)建國內(nèi)國際雙循環(huán)相互促進的新發(fā)展格局”．為了解國內(nèi)不同年齡段的民眾服裝消費的基本情況，某服裝貿(mào)易公司從其網(wǎng)站數(shù)據(jù)庫中隨機抽取了1000條客戶信息進行分析，這些客戶一年的服裝消費金額數(shù)據(jù)如表所示．消費（千元）年齡段[0，4）[4，8）[8，12]年輕180120100中年7015595老年50125105（1）若從這1000位客戶中隨機選一人，請估算該客戶的消費期望；（2）把一年服裝消費金額滿8千元稱為“高消費”，否則稱為“低消費”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，判斷能否有99%的把握認為服裝消費的高低與年齡有關(guān)？低消費高消費合計年輕人中老年人合計附表及公式：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.050.0100.0050.001k03.8416.6357.87910.828【分析】（1）求出ξ的可能取值，求出概率，再求解期望即可．（2）利用已知條件求解聯(lián)列表，然后求解K2，即可判斷結(jié)果．【解答】解：（1）隨機選一人，設(shè)該客戶的消費額為ξ千元，則ξ的可能取值為：2，6，10，依題意可得，，，，所以該客戶的消費期望是：千元．（2）2×2列聯(lián)表如下：低消費高消費合計年輕人300100400中老年人400200600合計7003001000，因為7.937＞6.635，所以有99%的把握認為服裝消費的高低與年齡有關(guān)．【點評】該題在國內(nèi)經(jīng)濟“雙循環(huán)”的大背景下，選取學生熟知的服裝消費分析消費者的消費現(xiàn)狀，并以此提供決策依據(jù)．本題試圖考察隨機變量的分布列與數(shù)學期望，2×2列聯(lián)表以及獨立性檢驗．并以此檢驗學生的數(shù)學抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)．20．（12分）如圖，在四面體ABCD中，△BCD為等邊三角形，點M，N分別為棱BD，CD的中點，且AD＝AM＝BM．（1）證明：AN⊥BD；（2）若二面角A﹣BD﹣C的大小為，求二面角A﹣MN﹣D的余弦值．【分析】（1）不妨設(shè)O為MD的中點，且OD＝a，則BD＝4a，AD＝BM＝2a，連接AO，NO，MC，通過△AOD∽△BAD，證明AO⊥BD，MC⊥BD，推出ON∥MC，證明ON⊥BD，證明BD⊥平面AON，然后證明AN⊥BD．（2）建立如圖所示空間直角坐標系O﹣xyz，說明∠AON為二面角A﹣BD﹣C的平面角，求出平面AMN的一個法向量，平面DMN的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角A﹣MN﹣D的余弦值即可．【解答】（1）證明：如圖1，不妨設(shè)O為MD的中點，且OD＝a，則BD＝4a，AD＝BM＝2a，連接AO，NO，MC，∵點M為棱BD的中點，且AM＝BM，∴BA⊥AD，即，………………（1分）∵，且∠ADO＝∠BDA，∴△AOD∽△BAD，∴，即AO⊥BD，………………（2分）又∵△BCD為等邊三角形，點M為棱BD的中點，∴MC⊥BD，……………（3分）∵點O，N分別為MD，CD的中點，∴ON∥MC，∴ON⊥BD，…………………（4分）∵AO，ON?平面AON，且AO∩ON＝O，∴BD⊥平面AON，…………（5分）又∵AN?平面AON，∴AN⊥BD．…………………（6分）（2）解：建立如圖所示空間直角坐標系O﹣xyz，由（1）可知，∠AON為二面角A﹣BD﹣C的平面角，且，若二面角A﹣BD﹣C的大小為，則，……（7分）∴，M（a，0，0），，……（8分）∴，，不妨設(shè)平面AMN的一個法向量為，則解得令y＝1，則，……（10分）顯然為平面DMN的一個法向量，∴，……（11分）二面角A﹣MN﹣D的大小