2020-2021學(xué)年上海交大附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學(xué)年上海交大附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題1．（3分）復(fù)數(shù)的虛部為．2．（3分）直線l1：（t∈R），l2：ax+y+3＝0，若l1⊥l2，則a＝．3．（3分）已知變量x，y滿足約束條件，則z＝3x+y的最大值為．4．（3分）若方程x2+（k+3i）x+k+4＝0有實數(shù)根，則實數(shù)k的取值是．5．（3分）拋物線y＝4x2的準線方程為．6．（3分）若圓錐底面半徑為1，高為，則其側(cè)面積為．7．（3分）已知三棱錐A﹣BCD中，AB＝CD＝，AC＝BC＝AD＝BD＝，則三棱錐A﹣BCD的體積是．8．（3分）在北緯45°東經(jīng)30°有一座城市A，在北緯45°東經(jīng)120°有一座城市B，設(shè)地球半徑為R，則A、B兩地之間的距離是．9．（3分）P是雙曲線上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為焦點，若|PF1|＝7，則|PF2|＝．10．（3分）設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1|＝1，|z2|＝2，，則|z1﹣z2|＝．11．（3分）已知異面直線a，b所成角為70°，過空間定點P與a，b成55°角的直線共有條．12．（3分）三角形ABC的AB邊在平面α內(nèi)，C在平面α外，AC和BC分別與面α成30°和45°的角，且平面ABC與平面α成60°的二面角，那么∠ACB的大小為．二、選擇題13．（3分）設(shè)復(fù)數(shù)z＝a+bi（其中a、b∈R，i為虛數(shù)單位），則“a＝0”是“z為純虛數(shù)”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件14．（3分）已知P1（a1，b1）與P2（a2，b2）是直線y＝kx+1（k為常數(shù)）上兩個不同的點，則關(guān)于l1：a1x+b1y﹣1＝0和l2：a2x+b2y﹣1＝0的交點情況是（）A．存在k，P1，P2使之無交點 B．存在k，P1，P2使之有無窮多交點 C．無論k，P1，P2如何，總是無交點 D．無論k，P1，P2如何，總有唯一交點15．（3分）平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1的六個面都是菱形，那么點A1在面AB1D1上的射影一定是△AB1D1的________心，點A1在面BC1D上的射影一定是△BC1D的________心．（）A．外心、重心 B．內(nèi)心、垂心 C．外心、垂心 D．內(nèi)心、重心16．（3分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為CC1的中點，P在底面ABCD內(nèi)運動，且滿足∠DPD1＝∠CPM，則點P的軌跡為（）A．圓的一部分 B．橢圓的一部分 C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分三、解答題17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC為等腰直角三角形，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，M是側(cè)棱CC1上一點，設(shè)MC＝h．（1）若BM⊥A1C，求h的值；（2）若h＝2，求直線BA1與平面ABM所成的角．18．已知方程x2+x+p＝0有兩個根x1，x2，p∈R．（1）若|x1﹣x2|＝3，求實數(shù)p的值；（2）若|x1|+|x2|＝3，求實數(shù)p的值．19．《九章算術(shù)》是古代中國乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，書本記載了一種名為“芻甍”的五面體（如圖1）．其中四邊形ABCD為矩形，EF∥AB，△EAD和△FBC是三角形，“芻甍”字面意思為茅草屋頂．圖2是一棟農(nóng)村別墅，為全新的混凝土結(jié)構(gòu)．它由上部屋頂和下部主體兩部分組成．如圖3，屋頂五面體為“芻甍”，其中前后兩坡屋面ABEF和CDEF是全等的等腰梯形，左右兩坡屋面EAD和FBC是全等的三角形，點F在平面ABCD和BC上射影分別為H，M，已知HM＝5米，BC＝10米，梯形ABEF的面積是△FBC面積的2.2倍．設(shè)．（1）求屋頂面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知上部屋頂造價由屋頂面積確定，造價為600元/平方米，下部主體造價由高度確定，造價為9600元/米．現(xiàn)欲造一棟上、下總高度為6米的別墅，試問：當(dāng)θ為何值時，總造價最低？20．如圖，已知長方體ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直線BD與平面AAB1B所成的角為30°，AE垂直BD于E．（1）若F為棱A1B1上的動點，試確定F的位置使得AE∥平面BC1F，并說明理由；（2）若F為棱A1B1上的中點；求點A到平面BDF的距離；（3）若F為棱A1B1上的動點（端點A1，B1除外），求二面角F﹣BD﹣A的大小的取值范圍．21．設(shè)曲線E是焦點在x軸上的橢圓，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2，M是曲線上的任意一點，且點M到兩個焦點距離之和為4．（1）求E的標(biāo)準方程；（2）設(shè)橢圓上，判斷以PF2（F2為橢圓右焦點）為直徑的圓與以橢圓E的長軸為直徑的圓的位置關(guān)系并說明理由；（3）設(shè)點N（λ，μ）為曲線E上確定的一個點，若直線l2：y＝kx+m與曲線E交于兩點C，D（C，D異于點N），且滿足，請問直線l2是否恒過定點？若過定點，求出定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由．

2020-2021學(xué)年上海交大附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題1．（3分）復(fù)數(shù)的虛部為1．【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則直接求解．【解答】解：復(fù)數(shù)＝＝1+i，∴復(fù)數(shù)的虛部為1．故答案為：1．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的虛部的求法，考查復(fù)數(shù)的運算法則等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．（3分）直線l1：（t∈R），l2：ax+y+3＝0，若l1⊥l2，則a＝．【分析】先求出直線l1的直角坐標(biāo)方程，再由直線與直線垂直的性質(zhì)能求出a的值．【解答】解：∵直線l1：（t∈R），∴直線l1的直角坐標(biāo)方程為2x﹣y+6＝0．，∵l2：ax+y+3＝0，l1⊥l2，∴2a﹣1＝0，解得a＝．故答案為：．【點評】本題考查實數(shù)值的求法，考查直線與直線垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．3．（3分）已知變量x，y滿足約束條件，則z＝3x+y的最大值為11．【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到最大值．【解答】解：不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖由z＝3x+y得y＝﹣3x+z，平移直線y＝﹣3x+z，則由圖象可知當(dāng)直線y＝﹣3x+z經(jīng)過點A時直線y＝﹣3x+z的截距最大，此時z最大，由得，即A（3，2），此時z＝3×3+2＝11，故答案為：11．【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．4．（3分）若方程x2+（k+3i）x+k+4＝0有實數(shù)根，則實數(shù)k的取值是﹣4．【分析】推導(dǎo)出（x02+kx0+4+k）+3x0i＝0，從而x02+kx0+4+k＝0，且3x0＝0，由此能求出k的值．【解答】解：∵方程x2+（k+3i）x+k+4＝0有實數(shù)根，設(shè)x0是方程x2+（k+3i）x+k+4＝0的實數(shù)根，∴（x02+kx0+4+k）+3x0i＝0∴x02+kx0+4+k＝0，且3x0＝0，解得k＝﹣4．故答案為：﹣4．【點評】本題考查實數(shù)值的求法，考查復(fù)數(shù)性質(zhì)、運算法則等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．5．（3分）拋物線y＝4x2的準線方程為．【分析】先把拋物線方程整理成標(biāo)準方程，進而求得p，再根據(jù)拋物線性質(zhì)得出準線方程．【解答】解：整理拋物線方程得x2＝y(tǒng)，∴p＝∵拋物線方程開口向上，∴準線方程是y＝﹣故答案為：．【點評】本題主要考查拋物線的標(biāo)準方程和簡單性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．6．（3分）若圓錐底面半徑為1，高為，則其側(cè)面積為2π．【分析】先求圓錐的母線，然后直接利用圓錐側(cè)面積公式求解即可．【解答】解：圓錐的高位，底面半徑為1，所以圓錐的母線為：2，圓錐的側(cè)面積：×2π×2＝2π故答案為：2π．【點評】本題考查圓錐的側(cè)面積公式，是基礎(chǔ)題．7．（3分）已知三棱錐A﹣BCD中，AB＝CD＝，AC＝BC＝AD＝BD＝，則三棱錐A﹣BCD的體積是．【分析】由題意畫出圖形，取CD中點O，連接AO，BO，可證CD⊥平面ABO，求出三角形ABO的面積，由V＝求三棱錐A﹣BCD的體積．【解答】解：如圖，AB＝CD＝，AC＝BC＝AD＝BD＝，取CD的中點O，連接AO，BO，可得AO⊥CD，BO⊥CD，又AO∩BO＝O，則CD⊥平面AOB，在△ACD中，求得AO＝，在△BCD中，同理求得BO＝，又AB＝，∴＝1．∴三棱錐A﹣BCD的體積是V＝．故答案為：．【點評】本題考查多面體體積的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，考查運算求解能力，是中檔題．8．（3分）在北緯45°東經(jīng)30°有一座城市A，在北緯45°東經(jīng)120°有一座城市B，設(shè)地球半徑為R，則A、B兩地之間的距離是．【分析】由已知中在北緯450東經(jīng)300有一座城市A，在北緯450東經(jīng)1200有一座城市B，設(shè)地球半徑為R，我們可以求出北緯45°的緯線圈半徑，及連接AB兩點的弦的長，進而求出A，B兩地與地球球心O連線的夾角∠AOB，代入弦長公式即可得到答案．【解答】解：由已知地球半徑為R，則北緯45°的緯線圈半徑為又∵兩座城市的經(jīng)度分別為東經(jīng)30°和東經(jīng)120°故連接兩座城市的弦長L＝＝R則A，B兩地與地球球心O連線的夾角∠AOB＝則A、B兩地之間的距離是故答案為：【點評】本題考查的知識點是球面距離及相關(guān)計算，要計算球面兩點的球面距離要有兩個關(guān)鍵的幾何量，一是球的半徑R，一是A，B兩地與地球球心O連線的夾角∠AOB．9．（3分）P是雙曲線上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為焦點，若|PF1|＝7，則|PF2|＝13．【分析】利用雙曲線的定義即可得解，注意需要根據(jù)P、F1、F2三點是否能構(gòu)成三角形來對所得結(jié)果進行檢驗．【解答】解：由雙曲線的定義知，||PF1|﹣|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝|PF1|±6＝7±6＝1或13，∵焦距|F1F2|＝2c＝2×＝10，∴當(dāng)|PF2|＝1時，|PF1|+|PF2|＝8＜10，不能構(gòu)成三角形，舍去，∴|PF2|＝13．故答案為：13．【點評】本題考查雙曲線的定義與幾何性質(zhì)，熟練掌握a、b、c的含義與關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．10．（3分）設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1|＝1，|z2|＝2，，則|z1﹣z2|＝．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到對應(yīng)向量的表示，再結(jié)合向量的平行四邊形法則以及余弦定理即可求解．【解答】解：設(shè)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量為，z1+z2對應(yīng)的向量為，如圖所示，因為，所以|z1+z2|＝2，所以，又因為∠OZ1Z3+∠Z1OZ2＝180°，所以，所以＝1+4+1＝6，所以，故|z1﹣z2|＝．故答案為：．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的模的計算，涉及了復(fù)數(shù)的幾何意義的理解和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將|z1﹣z2|轉(zhuǎn)化為向量的模進行求解．11．（3分）已知異面直線a，b所成角為70°，過空間定點P與a，b成55°角的直線共有3條．【分析】根據(jù)條件先將直線a，b平移至過點P，然后根據(jù)直線a，b所成角的角平分線以及直線a，b所在平面的垂線分析判斷即可．【解答】解：將直線a，b平移，使兩直線經(jīng)過點P，如下圖所示：設(shè)直線a，b所成角的角平分線為c，過點P垂直于直線a，b所在平面的直線為d，因為a，b所成角為70°，當(dāng)直線l經(jīng)過點P且直線l在直線a，b所在平面內(nèi)且垂直于直線c，此時直線l與直線a，b所成的角均為，當(dāng)直線l在直線c，d所在平面內(nèi)時，若l繞著點P旋轉(zhuǎn)，此時l與直線a，b所成角相等，且所成角從變化到90°，再從90°變化到35°，所以此時滿足條件的l有2條，綜上所述，過空間定點P與a，b成55°角的直線共有3條．故答案為：3．【點評】本題考查了異面直線所成的角，掌握異面直線所成角的定義，直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．12．（3分）三角形ABC的AB邊在平面α內(nèi)，C在平面α外，AC和BC分別與面α成30°和45°的角，且平面ABC與平面α成60°的二面角，那么∠ACB的大小為90°或arccos．【分析】從C向平面作垂線CD，連接AD，BD，作CE⊥AB，連接DE，根據(jù)三垂線定理，DE⊥AB，設(shè)CD＝h，∠CBD＝45°，BC＝h，∠CAD＝30°，AC＝2CD＝2h，∠CED是二面角的平面角，∠CED＝60°，CE＝，由勾股定理求出∠ACB的大小；另一種是∠B是鈍角，CE在三角形ABC之外，AB＝AE﹣BE＝，由余弦定理，求出∠ACB的大小．【解答】解：從C向平面作垂線CD，連接AD，BD，作CE⊥AB，連接DE，根據(jù)三垂線定理，DE⊥AB，設(shè)CD＝h，∠CBD＝45°，BC＝h，∠CAD＝30°，AC＝2CD＝2h，∠CED是二面角的平面角，∠CED＝60°，CE＝h，根據(jù)勾股定理，AE＝h，BE＝h，AB＝AE+BE＝h，根據(jù)勾股定理逆定理，AB2＝BC2+AC2，（h）2＝（h）2+（2h）2，∴∠ACB＝90°，另一種是∠B是鈍角，CE在三角形ABC之外，AB＝AE﹣BE＝h，根據(jù)余弦定理，AB2＝AC2+BC2﹣2AC×BC×cosC，（h）2＝（2h）2+（h）2﹣2×2h×hcosC，cos∠ACB＝，∴∠ACB＝arccos．綜上，∠ACB的大小為90°或arccos．【點評】本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何的綜合問題，解題時要認真審題，仔細解答，注意勾股定理和余弦定理的靈活運用．二、選擇題13．（3分）設(shè)復(fù)數(shù)z＝a+bi（其中a、b∈R，i為虛數(shù)單位），則“a＝0”是“z為純虛數(shù)”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可得當(dāng)a＝0，且b≠0時，z為純虛數(shù)，再根據(jù)充分條件，必要條件的定義可以判斷．【解答】解：復(fù)數(shù)z＝a+bi（其中a、b∈R，i為虛數(shù)單位），當(dāng)a＝0，且b≠0時，z為純虛數(shù)，則“a＝0”是“z為純虛數(shù)”必要非充分條件，故選：B．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的概念，以及充分條件，必要條件，屬于基礎(chǔ)題．14．（3分）已知P1（a1，b1）與P2（a2，b2）是直線y＝kx+1（k為常數(shù)）上兩個不同的點，則關(guān)于l1：a1x+b1y﹣1＝0和l2：a2x+b2y﹣1＝0的交點情況是（）A．存在k，P1，P2使之無交點 B．存在k，P1，P2使之有無窮多交點 C．無論k，P1，P2如何，總是無交點 D．無論k，P1，P2如何，總有唯一交點【分析】判斷直線的斜率存在，通過點在直線上，推出a1，b1，P2，a2，b2的關(guān)系，然后求解方程組的解即可．【解答】解：P1（a1，b1）與P2（a2，b2）是直線y＝kx+1（k為常數(shù)）上兩個不同的點，直線y＝kx+1的斜率存在，∴k＝，即a1≠a2，并且b1＝ka1+1，b2＝ka2+1，∴a2b1﹣a1b2＝ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1＝a2﹣a1，，解得：（a1b2﹣a2b1）x＝b2﹣b1，即（a1﹣a2）x＝b2﹣b1．∴方程組有唯一解．故選：D．【點評】本題考查兩條直線的交點情況的判斷，考查直線方程性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．15．（3分）平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1的六個面都是菱形，那么點A1在面AB1D1上的射影一定是△AB1D1的________心，點A1在面BC1D上的射影一定是△BC1D的________心．（）A．外心、重心 B．內(nèi)心、垂心 C．外心、垂心 D．內(nèi)心、重心【分析】推導(dǎo)出A1A＝A1B1＝A1D1，從而B點A1在面AB1D1上的射影O到A、B1、D1三點的距離相等，進而得到點A1在面AB1D1上的射影O一定是△AB1D1的外心；設(shè)A1在平面BDC1中的射影為M，連接A1C1、A1M，C1M，則C1M是A1C1在平面BDC1中的射影，由三垂線定理得C1M⊥BD，同理可證明BM⊥DC1，DM⊥BC1，從而點A1在面BC1D上的射影一定是△BC1D的垂心．【解答】解：∵平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1的六個面都是菱形，∴A1A＝A1B1＝A1D1，∴B點A1在面AB1D1上的射影O到A、B1、D1三點的距離相等，∴點A1在面AB1D1上的射影O一定是△AB1D1的外心；設(shè)A1在平面BDC1中的射影為M，連接A1C1、A1M，C1M，則C1M是A1C1在平面BDC1中的射影，∵平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1的六個面都是菱形，∴BD∥B1D1，A1C1⊥B1D1，∴A1C1⊥BD，∴由三垂線定理得C1M⊥BD，同理可證明BM⊥DC1，DM⊥BC1，∴點A1在面BC1D上的射影一定是△BC1D的垂心．故選：C．【點評】本題考查線三角形五心的判斷，考查射影、三垂線定理等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力和創(chuàng)新意識，考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想．16．（3分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為CC1的中點，P在底面ABCD內(nèi)運動，且滿足∠DPD1＝∠CPM，則點P的軌跡為（）A．圓的一部分 B．橢圓的一部分 C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分【分析】先確定PD＝2PC，再在平面ABCD內(nèi)以D為原點建立平面直角坐標(biāo)系，求出P的軌跡方程，即可得到結(jié)論．【解答】解：∵∠DPD1＝∠CPM，M為CC1的中點，∴∴在平面ABCD內(nèi)以D為原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DC＝1，P（x，y），∵∴PD＝2PC∴∴∵P在底面ABCD內(nèi)運動，∴軌跡為圓的一部分故選：A．【點評】本題考查立體幾何中的軌跡問題，考查學(xué)生的計算能力，確定P的軌跡方程是關(guān)鍵．三、解答題17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC為等腰直角三角形，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，M是側(cè)棱CC1上一點，設(shè)MC＝h．（1）若BM⊥A1C，求h的值；（2）若h＝2，求直線BA1與平面ABM所成的角．【分析】（1）建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)＝0計算h的值；（2）求出平面ABM的法向量，計算cos＜，＞，再根據(jù)線面角與向量夾角的關(guān)系得出答案．【解答】解：（1）以A為原點，以AB，AC，AA1為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，則B（2，0，0），A1（0，0，4），C（0，2，0），M（0，2，h），∴＝（﹣2，2，h），＝（0，2，﹣4），若BM⊥A1C，則＝0，即4﹣4h＝0，∴h＝1．（2）當(dāng)h＝2時，M（0，2，2），＝（﹣2，2，2），＝（2，0，0），＝（﹣2，0，4），設(shè)平面ABM的法向量為＝（x，y，z），則，即，令z＝1可得＝（0，﹣1，1）．∴cos＜，＞＝＝＝，設(shè)直線BA1與平面ABM所成的角為θ，則sinθ＝|cos＜，＞|＝，∴θ＝．【點評】本題考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．18．已知方程x2+x+p＝0有兩個根x1，x2，p∈R．（1）若|x1﹣x2|＝3，求實數(shù)p的值；（2）若|x1|+|x2|＝3，求實數(shù)p的值．【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合題意列出方程，求解即可；（2）對x1，x2為兩個實根和x1，x2為兩個共軛虛根兩種情況進行討論，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．【解答】解：（1）因為方程x2+x+p＝0有兩個根x1，x2，p∈R，則x1+x2＝﹣1，x1x2＝p，因為|x1﹣x2|＝3，所以，即，可得|1﹣4p|＝9，解得；（2）①當(dāng)x1，x2為兩個實根時，Δ＝1﹣4p≥0，所以，所以，所以，即，所以1+2p+2|p|＝9，解得p＝﹣2；②當(dāng)x1，x2為兩個共軛虛根時，即時，|x1|+|x2|＝3，即，所以，由韋達定理可得，；綜上所述，．【點評】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，涉及了完全平方式以及共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對當(dāng)x1，x2分類討論．19．《九章算術(shù)》是古代中國乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，書本記載了一種名為“芻甍”的五面體（如圖1）．其中四邊形ABCD為矩形，EF∥AB，△EAD和△FBC是三角形，“芻甍”字面意思為茅草屋頂．圖2是一棟農(nóng)村別墅，為全新的混凝土結(jié)構(gòu)．它由上部屋頂和下部主體兩部分組成．如圖3，屋頂五面體為“芻甍”，其中前后兩坡屋面ABEF和CDEF是全等的等腰梯形，左右兩坡屋面EAD和FBC是全等的三角形，點F在平面ABCD和BC上射影分別為H，M，已知HM＝5米，BC＝10米，梯形ABEF的面積是△FBC面積的2.2倍．設(shè)．（1）求屋頂面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知上部屋頂造價由屋頂面積確定，造價為600元/平方米，下部主體造價由高度確定，造價為9600元/米．現(xiàn)欲造一棟上、下總高度為6米的別墅，試問：當(dāng)θ為何值時，總造價最低？【分析】（1）在Rt△FHM中，F(xiàn)M＝，從而有S△FBC＝，而屋頂面積S＝2（S△FBC+S梯形ABEF），代入相關(guān)數(shù)據(jù)，進行運算即可；（2）先求得下部主體的高度為6﹣5tanθ，再將總造價y表示成關(guān)于θ的函數(shù)，即y＝9600×（+6），設(shè)f（θ）＝，要使總造價最低，則f（θ）最小，然后利用導(dǎo)數(shù)求f（θ）的最小值，即可．【解答】解：（1）在Rt△FHM中，F(xiàn)M＝＝，∴S△FBC＝FM?BC＝×10＝，∵梯形ABEF的面積是△FBC面積的2.2倍，即S梯形ABEF＝2.2S△FBC，∴屋頂面積S＝2（S△FBC+S梯形ABEF）＝2×3.2S△FBC＝2×3.2×＝，．（2）在Rt△FHM中，F(xiàn)H＝HM?tanθ＝5tanθ，∴下部主體的高度為6﹣5tanθ，∴總造價y＝×600+（6﹣5tanθ）×9600＝9600×（+6﹣）＝9600×（+6），設(shè)f（θ）＝，要使總造價最低，則f（θ）最小，f'（θ）＝＝，令f'（θ）＝0，則sinθ＝，∵，∴θ＝，當(dāng)θ∈（0，）時，f'（θ）＜0，f（θ）單調(diào)遞減，當(dāng)θ∈（，）時，f'（θ）＞0，f（θ）單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，f（θ）取得最小值，故當(dāng)時，總造價最低．【點評】本題考查函數(shù)的實際應(yīng)用，涉及三角函數(shù)模型，以及利用導(dǎo)數(shù)解決最值問題，考查學(xué)生的空間立體感、邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．20．如圖，已知長方體ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直線BD與平面AAB1B所成的角為30°，AE垂直BD于E．（1）若F為棱A1B1上的動點，試確定F的位置使得AE∥平面BC1F，并說明理由；（2）若F為棱A1B1上的中點；求點A到平面BDF的距離；（3）若F為棱A1B1上的動點（端點A1，B1除外），求二面角F﹣BD﹣A的大小的取值范圍．【分析】（1）延長AE交CD于點M，在C1D1上取點N，證明AM∥A1N，利用平行線的性質(zhì)分析即可得到答案；（2）將點A到平面BDF的距離轉(zhuǎn)化為棱錐的高，然后再用等體積法即可求得點A到平面BDF的距離；（3）利用二面角的平面角的定義，先找到二面角的平面角∠FQP，然后設(shè)B1F＝x（0＜x＜2），求出平面角的正切值即可得到答案．【解答】解：（1）當(dāng)時，AE∥平面AC1F，證明如下：延長AE交CD于點M，因為AD⊥平面ABB1A1，所以∠DBA就是直線BD與平面ABB1A1所成的角，即∠DBA＝30°，所以AD＝ABtan30°＝，由AE⊥BD，所以∠DAE＝30°，DM＝ADtan30°＝，在C1D1上取點N，使得，連結(jié)MN，A1N，因為，則，又A1F∥C1N，所以A1FC1N是平行四邊形，則A1N∥FC1，D1N＝DM，D1N∥DM，則D1NMD是平行四邊形，所以MN∥DD1∥AA1，MN＝DD1＝AA1，所以A1AMN是平行四邊形，所以AM∥A1N，所以AM∥C1F，又AM?平面BC1F，C1F?平面BC1F，所以AM∥平面BC1F，即AE∥平面BC1F；（2）因為，所以，由長方體的性質(zhì)可得，，所以BF2+FD2＝BD2，所以BF⊥DF，所以，設(shè)點A到平面BDF的距離為h，則由VA﹣BDF＝VF﹣ABD可得，，所以，故點A到平面BDF的距離為；（3）作FP⊥AB，垂足為P，作PQ⊥BD于Q，連結(jié)FQ，則FP⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以FP⊥BD，同理FP⊥PQ，因為FP∩PQ＝P，F(xiàn)P，PQ?平面FPQ，所以BD⊥平面FPQ，而FQ?平面FPQ，所以BD⊥FQ，所以∠FQP是二面角F﹣BD﹣A的平面角，設(shè)B1F＝x（0＜x＜2），則由BB1FP是矩形可得BP＝x，F(xiàn)P＝BB1＝1，則PQ＝BPsin30°＝，所以，又∠FQP是銳角，所以∠FQP，所以二面角F﹣BD﹣A的大小的取值范圍為．【點評】本題考查了線面平行的性質(zhì)定理與判定定理的應(yīng)用，涉及了等體積法求點到面的距離、二面角的求解，綜合性強，對學(xué)生綜合應(yīng)用知識分析問題和解決問題的能力有較高的要求．21．設(shè)曲線E是焦點在x軸上的橢圓，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2，M是曲線上的任意一點，且點M到兩個焦點距離之和為4．（1）求E的標(biāo)準方程；（2）設(shè)橢圓上，判斷以PF2（F2為橢圓右焦點）為直徑的圓與以橢圓E的長軸為直徑的圓的位置關(guān)系并說明理由；（3）設(shè)點N（λ，μ）為曲線E上確定的一個點，若直線