2021-2022學(xué)年北京171中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2021-2022學(xué)年北京171中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1．（4分）若數(shù)組＝（﹣2，1，3）和＝（1，﹣，x）滿足＝﹣2，則實(shí)數(shù)x等于（）A．﹣3 B．﹣2 C． D．2．（4分）關(guān)于橢圓C：＝1，有下列四個(gè)命題：甲：m＝4；乙：n＝9；丙：C的焦距為6；?。篊的焦點(diǎn)在x軸上．如果只有一個(gè)假命題，則該命題是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁3．（4分）設(shè)第一象限的點(diǎn)P（m，n）為拋物線y2＝8x上一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，若|PF|＝6，則n＝（）A． B．4 C． D．324．（4分）已知點(diǎn)A（x，5）關(guān)于點(diǎn)（1，y）的對(duì)稱點(diǎn)（﹣2，﹣3），則點(diǎn)P（x，y）到原點(diǎn)的距離是（）A．4 B． C． D．5．（4分）兩平行直線l1：3x+2y+1＝0與l2：6mx+4y+m＝0之間的距離為（）A．0 B． C． D．6．（4分）已知四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓0）上，則a＝（）A．8 B．6 C．4 D．27．（4分）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2（2，0），點(diǎn)P為雙曲線右支上的一點(diǎn)，且|F1F2|＝2|PF2|，△PF1F2的周長(zhǎng)為10，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C．y＝±2x D．8．（4分）直線l經(jīng)過(guò)A（2，1）、B（1，m2）（m∈R）兩點(diǎn)，那么直線l的傾斜角的取值范圍是（）A．[0，π） B． C． D．9．（4分）若雙曲線C：的一條漸近線被以焦點(diǎn)為圓心的圓x2+y2﹣4x＝0所截得的弦長(zhǎng)為，則b＝（）A．1 B． C． D．210．（4分）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M在橢圓C上，當(dāng)△MF1F2的面積最大時(shí)，△MF1F2內(nèi)切圓半徑為（）A．3 B．2 C． D．二、填空題11．（4分）直線的傾斜角為．12．（4分）過(guò)圓x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0內(nèi)一點(diǎn)M（3，0）作圓的割線l，使它被該圓截得的線段最短，則直線l的方程是．13．（4分）已知方程（m﹣2）x2+my2＝1表示雙曲線，則m的取值范圍是．14．（4分）若點(diǎn)P是拋物線x2＝4y上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A（2，3），則|PA|+|PF|的最小值為．15．（4分）曲線與直線y＝x+b恰有2個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍為．16．（4分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，點(diǎn)P在側(cè)面BB1C1C的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)．若D1O⊥OP，則△D1C1P面積的最大值為．三、解答題17．（18分）在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝2BC，∠ABC＝60°，AC⊥FB．（Ⅰ）求證：AC⊥平面FBC；（Ⅱ）線段ED上是否存在點(diǎn)Q，使平面EAC⊥平面QBC？證明你的結(jié)論．18．（14分）已知兩點(diǎn)D（4，2），M（3，0）及圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝5．l為經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的一條動(dòng)直線．（1）若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，求證：直線l與圓C相切；（2）若直線l與圓C相交于兩點(diǎn)A，B，從下列條件中選擇一個(gè)作為已知，求△ABD的面積．條件①：直線l平分圓C；條件②：直線l的斜率為﹣3．19．（18分）已知橢圓C：+＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)M（0，2）是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，△F1MF2是等腰直角三角形．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）求直線y＝x+1被橢圓C截得的弦長(zhǎng)．20．（18分）已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，﹣1），離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若直線y＝k（x﹣1）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，線段PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)B（1，0），求證：點(diǎn)M不在以AB為直徑的圓上．21．（18分）已知集合Sn＝{X|X＝（x1，x2，…，xn），xi∈{0，1}，i＝1，2，…，n}（n≥2）對(duì)于A＝（a1，a2，…an，），B＝（b1，b2，…bn，）∈Sn，定義A與B的差為A﹣B＝（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…|an﹣bn|）；A與B之間的距離為（Ⅰ）證明：?A，B，C∈Sn，有A﹣B∈Sn，且d（A﹣C，B﹣C）＝d（A，B）；（Ⅱ）證明：?A，B，C∈Sn，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)（Ⅲ）設(shè)P?Sn，P中有m（m≥2）個(gè)元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為．證明：≤．

2021-2022學(xué)年北京171中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題1．（4分）若數(shù)組＝（﹣2，1，3）和＝（1，﹣，x）滿足＝﹣2，則實(shí)數(shù)x等于（）A．﹣3 B．﹣2 C． D．【分析】根據(jù)可得出（﹣2，1，3）＝（﹣2，1，﹣2x），然后即可求出x的值．【解答】解：∵，∴（﹣2，1，3）＝（﹣2，1，﹣2x），∴﹣2x＝3，解得．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量坐標(biāo)的數(shù)乘運(yùn)算，相等向量的坐標(biāo)關(guān)系，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（4分）關(guān)于橢圓C：＝1，有下列四個(gè)命題：甲：m＝4；乙：n＝9；丙：C的焦距為6；?。篊的焦點(diǎn)在x軸上．如果只有一個(gè)假命題，則該命題是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】利用題中的條件，假設(shè)甲乙都對(duì)，根據(jù)邏輯關(guān)系可以推出矛盾，進(jìn)而可以確定選項(xiàng)．【解答】解：當(dāng)甲乙為真命題時(shí)，橢圓方程為，橢圓的焦距為：2c＝2，且焦點(diǎn)在y軸上，此時(shí)丙和丁都是假命題，不符合題意，因此甲和乙有一個(gè)是假命題．當(dāng)乙，丙和丁是真命題時(shí)，b＝＝3，2c＝6，∴a2＝b2+c2＝9+9＝18，此時(shí)橢圓方程為：，符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的性質(zhì)，學(xué)生的邏輯推理能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（4分）設(shè)第一象限的點(diǎn)P（m，n）為拋物線y2＝8x上一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，若|PF|＝6，則n＝（）A． B．4 C． D．32【分析】由拋物線的方程可得準(zhǔn)線方程，由拋物線的性質(zhì)，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離可得m的值，將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程可得n的值．【解答】解：由拋物線的方程可得準(zhǔn)線方程x＝﹣2，由拋物線的性質(zhì)可得|PF|＝m+2＝6，所以m＝4，將P的坐標(biāo)代入拋物線的方程：n2＝8×4，所以n＝±4，又因?yàn)镻在第一象限，所以n＝4，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的性質(zhì)，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，屬于基礎(chǔ)題．4．（4分）已知點(diǎn)A（x，5）關(guān)于點(diǎn)（1，y）的對(duì)稱點(diǎn)（﹣2，﹣3），則點(diǎn)P（x，y）到原點(diǎn)的距離是（）A．4 B． C． D．【分析】由A（x，5）關(guān)于點(diǎn)（1，y）的對(duì)稱點(diǎn)（﹣2，﹣3），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式列出方程即可求出x與y的值，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出P到原點(diǎn)的距離即可．【解答】解：根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到，解得，所以P的坐標(biāo)為（4，1）則點(diǎn)P（x，y）到原點(diǎn)的距離d＝＝故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)求值，是一道基礎(chǔ)題．5．（4分）兩平行直線l1：3x+2y+1＝0與l2：6mx+4y+m＝0之間的距離為（）A．0 B． C． D．【分析】由兩條直線平行可得：﹣＝﹣，解得m，利用平行線之間的距離公式即可得出．【解答】解：由兩條直線平行可得：﹣＝﹣，解得m＝1．l2：6mx+4y+m＝0即3x+2y+＝0，平行線之間的距離＝＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（4分）已知四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓0）上，則a＝（）A．8 B．6 C．4 D．2【分析】由于P3，P4關(guān)于軸對(duì)稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過(guò)P3，P4兩點(diǎn)，C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1，然后求出a，b，即可．【解答】解：由于P3，P4關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過(guò)P3，P4兩點(diǎn)，所以．又由＞＝1知，C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在上，所以b＝1．因此a2＝4，所以a＝2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，橢圓方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題．7．（4分）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2（2，0），點(diǎn)P為雙曲線右支上的一點(diǎn)，且|F1F2|＝2|PF2|，△PF1F2的周長(zhǎng)為10，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C．y＝±2x D．【分析】易知F1F2|＝2c＝4，|PF2|＝2，再由△PF1F2的周長(zhǎng)為可求得|PF1|＝4，然后結(jié)合雙曲線的定義和b＝，分別得a和b的值，而漸近線方程為y＝±x，得解．【解答】解：∵右焦點(diǎn)F2（2，0），∴c＝2，|F1F2|＝2c＝4，∵|F1F2|＝2|PF2|，∴|PF2|＝2，∵△PF1F2的周長(zhǎng)為10，∴|F1F2|+|PF1|+|PF2|＝4+|PF1|+2＝10，∴|PF1|＝4，由雙曲線的定義知，|PF1|﹣|PF2|＝4﹣2＝2a，∴a＝1，∴b＝＝＝，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的定義與幾何性質(zhì)，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（4分）直線l經(jīng)過(guò)A（2，1）、B（1，m2）（m∈R）兩點(diǎn)，那么直線l的傾斜角的取值范圍是（）A．[0，π） B． C． D．【分析】設(shè)直線AB的傾斜角為θ，0≤θ＜π，根據(jù)斜率的計(jì)算公式，可得AB的斜率為K＝＝1﹣m2，進(jìn)而可得K的范圍，由傾斜角與斜率的關(guān)系，可得tanθ≤1，進(jìn)而由正切函數(shù)的圖象分析可得答案．【解答】解：設(shè)直線AB的傾斜角為θ，0≤θ＜π，根據(jù)斜率的計(jì)算公式，可得AB的斜率為K＝＝1﹣m2，易得k≤1，由傾斜角與斜率的關(guān)系，可得tanθ≤1，由正切函數(shù)的圖象，可得θ的范圍是，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的傾斜角，要求學(xué)生結(jié)合斜率的計(jì)算公式，結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系，進(jìn)行分析求解．9．（4分）若雙曲線C：的一條漸近線被以焦點(diǎn)為圓心的圓x2+y2﹣4x＝0所截得的弦長(zhǎng)為，則b＝（）A．1 B． C． D．2【分析】先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心和半徑，從而得到雙曲線的右焦點(diǎn)，然后利用直線與圓的弦長(zhǎng)，由勾股定理和點(diǎn)到直線的距離公式，求解即可．【解答】解：由圓的方程x2+y2﹣4x＝0，可得（x﹣22）+y2＝4，故圓心為（2，0），半徑為2，所以雙曲線的右焦點(diǎn)為（2，0），則c＝2，又雙曲線的漸近線bx﹣ay＝0被圓截得的弦長(zhǎng)為，則圓心到漸近線的距離d＝，又a2+b2＝c2＝4，解得b＝1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．10．（4分）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M在橢圓C上，當(dāng)△MF1F2的面積最大時(shí)，△MF1F2內(nèi)切圓半徑為（）A．3 B．2 C． D．【分析】由三角形面積最大得M的位置，從而可求三角形的三條邊長(zhǎng)，通過(guò)＝（|MF1|+|MF2|+|F1F2|）?r，即可求出內(nèi)切圓的半徑．【解答】解：由橢圓C：，得a＝5，b＝3，c＝，當(dāng)△MF1F2的面積最大時(shí)，M為橢圓C的短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，不妨設(shè)為上頂點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△MF1F2內(nèi)切圓半徑為r，則|MF1|＝|MF2|＝a＝5，|F1F2|＝2c＝8，|OM|＝b＝3，則＝（|MF1|+|MF2|+|F1F2|）?r＝，解得r＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，解答該題的關(guān)鍵是三角形面積的兩種表示方法，是中檔題．二、填空題11．（4分）直線的傾斜角為60°．【分析】根據(jù)所給的直線的斜率，得到直線的傾斜角的正切值，根據(jù)角的范圍，得到角的大小．【解答】解：∵直線的斜率是，∴直線的傾斜角的正切值是，∵α∈[0°，180°]，∴α＝60°，故答案為：60°【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的傾斜角和直線的斜率之間的關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是知道兩者之間的關(guān)系，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．12．（4分）過(guò)圓x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0內(nèi)一點(diǎn)M（3，0）作圓的割線l，使它被該圓截得的線段最短，則直線l的方程是x+y﹣3＝0．【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心A的坐標(biāo)，由垂徑定理得到與直徑AM垂直的弦最短，根據(jù)A和M的坐標(biāo)求出直線AM的斜率，利用兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為﹣1，求出直線l的斜率，由求出的斜率及M的坐標(biāo)，即可得到直線l的方程．【解答】解：將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x﹣1）2+（y+2）2＝9，∴圓心A坐標(biāo)為（1，﹣2），又M（3，0），∵直線AM的斜率為＝1，∴直線l的斜率為﹣1，則直線l的方程為y＝﹣（x﹣3），即x+y﹣3＝0．故答案為：x+y﹣3＝0．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，以及直線的點(diǎn)斜式方程，根據(jù)垂徑定理得到與直徑AM垂直的弦最短是解本題的關(guān)鍵．13．（4分）已知方程（m﹣2）x2+my2＝1表示雙曲線，則m的取值范圍是（0，2）．【分析】由方程（m﹣2）x2+my2＝1表示雙曲線，可得（m﹣2）m＜0，求解得答案．【解答】解：∵方程（m﹣2）x2+my2＝1表示雙曲線，∴（m﹣2）m＜0，即0＜m＜2，∴m的取值范圍是（0，2）．故答案為：（0，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程與幾何性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．14．（4分）若點(diǎn)P是拋物線x2＝4y上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A（2，3），則|PA|+|PF|的最小值為4．【分析】由拋物線的定義可得，|PF|等于點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離，這|PA|+|PF|的最小值為點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離，即可得出答案．【解答】解：由拋物線的定義可得，|PF|等于點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離，所以|PA|+|PF|的最小值為點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的定義，屬于中檔題．15．（4分）曲線與直線y＝x+b恰有2個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍為[2，2）．【分析】由題意可得直線y＝x+b與半圓x2+y2＝4（y≥0）有公共點(diǎn)，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合從而得到b的取值范圍．【解答】解：由題意條件轉(zhuǎn)化為直線y＝x+b與半圓x2+y2＝4（y≥0）恰有2個(gè)公共點(diǎn)，如圖所示：當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A（0，2），B（﹣2，0）時(shí)，可得0＝﹣2+b，求得b＝2．當(dāng)直線和半圓相切于點(diǎn)B時(shí)，由圓心到直線的距離等于半徑可得＝2，求得b＝2，或b＝﹣2（舍去），故b的取值范圍是[2，2），故答案為：[2，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．16．（4分）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，點(diǎn)P在側(cè)面BB1C1C的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)．若D1O⊥OP，則△D1C1P面積的最大值為．【分析】由題意作出圖形，由直線與平面垂直的判定定理求出點(diǎn)P的軌跡，求出點(diǎn)P到棱C1D1的最大值，代入三角形的面積公式求解即可．【解答】解：由正方體的性質(zhì)可知，當(dāng)P位于點(diǎn)C時(shí)，D1O⊥OC，當(dāng)點(diǎn)P位于BB1的中點(diǎn)P1時(shí)，DD1＝2，DO＝BO＝，BP1＝B1P1＝1，B1D1＝，求得，，所以，故OD1⊥OP1，又OP1∩OC＝O，所以D1O⊥平面OP1C，故點(diǎn)P的軌跡在線段P1C上，由C1P1＝CP1＝，可得∠C1CP1為銳角，而CC1＝2＜，故點(diǎn)P到棱C1D1的最大值為，所以△D1C1P面積的最大值為＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方體結(jié)構(gòu)特征的理解和應(yīng)用，考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡的求解，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)P的軌跡，考查了空間想象能力與轉(zhuǎn)化化歸能力，屬于中檔題．三、解答題17．（18分）在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝2BC，∠ABC＝60°，AC⊥FB．（Ⅰ）求證：AC⊥平面FBC；（Ⅱ）線段ED上是否存在點(diǎn)Q，使平面EAC⊥平面QBC？證明你的結(jié)論．【分析】（I）利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，再利用已知AC⊥FB和線面垂直的判定定理即可證明；（II）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量是否垂直即可．【解答】（Ⅰ）證明：∵AB＝2BC，∠ABC＝60°，在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BCcos60°＝3BC2，∴AC2+BC2＝4BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°．∴AC⊥BC．又∵AC⊥FB，F(xiàn)B∩BC＝B，∴AC⊥平面FBC．（Ⅱ）線段ED上不存在點(diǎn)Q，使平面EAC⊥平面QBC．證明如下：因?yàn)锳C⊥平面FBC，所以AC⊥FC．因?yàn)镃D⊥FC，所以FC⊥平面ABCD．所以CA，CF，CB兩兩互相垂直，如圖建立的空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz．在等腰梯形ABCD中，可得CB＝CD．設(shè)BC＝1，所以，．所以，．設(shè)平面EAC的法向量為＝（x，y，z），則，所以取z＝1，得＝（0，2，1）．假設(shè)線段ED上存在點(diǎn)Q，設(shè)，所以．設(shè)平面QBC的法向量為＝（a，b，c），則所以取c＝1，得＝．要使平面EAC⊥平面QBC，只需，即，此方程無(wú)解．所以線段ED上不存在點(diǎn)Q，使平面EAC⊥平面QBC．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了線面、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理、通過(guò)距離空間直角坐標(biāo)系利用兩個(gè)平面的法向量解決面面垂直等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力．18．（14分）已知兩點(diǎn)D（4，2），M（3，0）及圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝5．l為經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的一條動(dòng)直線．（1）若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，求證：直線l與圓C相切；（2）若直線l與圓C相交于兩點(diǎn)A，B，從下列條件中選擇一個(gè)作為已知，求△ABD的面積．條件①：直線l平分圓C；條件②：直線l的斜率為﹣3．【分析】根據(jù)題意，圓心C（2，3），半徑．（1）求出直線l的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離等于半徑，即可證明結(jié)果；（2）選擇條件①：直線l平分圓C，可得直線l的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求出點(diǎn)D（4，2）到直線l的距離根據(jù)面積公式即可求出結(jié)果；選擇條件②：直線l的斜率為﹣3，求出直線l的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求出點(diǎn)D（4，2）到直線l的距離根據(jù)面積公式即可求出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)題意，圓心C（2，3），半徑．（1）若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，則直線l的方程為2x﹣y﹣6＝0．圓心C（2，3）到直線l的距離為，所以直線l與圓C相切．（2）選擇條件①：直線l平分圓C，此時(shí)，直線l過(guò)圓心C（2，3），方程為．點(diǎn)D（4，2）到直線l的距離，所以，．選擇條件②：直線l的斜率為﹣3，直線l的方程為3x+y﹣9＝0，此時(shí)，圓心C在直線l上，．點(diǎn)D（4，2）到直線l的距離，所以，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的綜合應(yīng)用，涉及直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．19．（18分）已知橢圓C：+＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)M（0，2）是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，△F1MF2是等腰直角三角形．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）求直線y＝x+1被橢圓C截得的弦長(zhǎng)．【分析】（Ⅰ）利用頂點(diǎn)坐標(biāo)求出b的值，由△F1MF2是等腰直角三角形，求出c的值，從而得到a的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）聯(lián)立直線與橢圓的方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由題意，點(diǎn)M（0，2）是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，所以b＝2，又△F1MF2是等腰直角三角形，所以c＝b＝2，則a2＝b2+c2＝8，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+＝1；（Ⅱ）設(shè)直線y＝x+1被橢圓C截得的弦長(zhǎng)的端點(diǎn)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），直線y＝x+1與橢圓+＝1聯(lián)立，消去y整理得3x2+4x﹣6＝0，所以x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣2，由弦長(zhǎng)公式可得|AB|＝＝＝，所以直線y＝x+1被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，在解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，一般會(huì)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，利用根與系數(shù)關(guān)系和“設(shè)而不求”的方法進(jìn)行研究，屬于中檔題．20．（18分）已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，﹣1），離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若直線y＝k（x﹣1）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，線段PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)B（1，0），求證：點(diǎn)M不在以AB為直徑的圓上．【分析】（Ⅰ）利用已知條件列出求出a，b然后得到橢圓方程．（Ⅱ）證明：設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0）．聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理以及線段PQ的中點(diǎn)為M，結(jié)合向量的數(shù)量積，判斷點(diǎn)M不在以AB為直徑的圓上．【解答】（Ⅰ）解：由題意可知解得所以橢圓C的方程為．（Ⅱ）證明：設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0）．由得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0，所以Δ＝（﹣8k2）2﹣4×（4k2+1）（4k2﹣4）＝48k2+16．所以當(dāng)k為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有Δ＞0．所以，．因?yàn)榫€段PQ的中點(diǎn)為M，所以，，因?yàn)锽（1，0），所以，．所以＝＝＝＝．又因?yàn)閗≠0，，所以，所以點(diǎn)M不在以AB為直徑的圓上．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．21．（18分）已知集合Sn＝{X|X＝（x1，x2，…，xn），xi∈{0，1}，i＝1，2，…，n}（n≥2）對(duì)于A＝（a1，a2，…an，），B＝（b1，b2，…bn，）∈Sn，定義A與B的差為A﹣B＝（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…|an﹣bn|）；A與B之間的距離為（Ⅰ）證明：?A，B，C∈Sn，有A﹣B∈Sn，且d（A﹣C，B﹣C）＝d（A，B）；（Ⅱ）證明：?A，B，C∈Sn，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)（Ⅲ）設(shè)P?Sn，P中有m（m≥2）個(gè)元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為．證明：≤．【分析】（Ⅰ）因?yàn)槊總€(gè)數(shù)位上都是0或者1，取差的絕對(duì)值仍然是0或者1，符合Sn的要求．然后是減去C的數(shù)位，不管減去的是0還是1，每一個(gè)a和每一個(gè)b都是同時(shí)減去的，因此不影響他們?cè)鹊牟睿á颍┫缺容^A和B有幾個(gè)不同（因?yàn)榫嚯x就是不同的有幾個(gè)），然后比較A和C有幾個(gè)不同，這兩者重復(fù)的（就是某一位上A和B不同，A和C不同，那么這一位上B和C就相同）去掉兩次（因?yàn)樵谇皟纱伪容^中各計(jì)算了一次），剩下的就是B和C的不同數(shù)目，很容易得到這樣的關(guān)系式：h＝k+l﹣2i，從而三者不可能同為奇數(shù)．（Ⅲ）首先理解P中會(huì)出現(xiàn)?m2個(gè)距離，所以平均距離就是距離總和再除以?m2，而距離的總和仍然可以分解到每個(gè)數(shù)位上，第一位一共產(chǎn)生了多少個(gè)不同，第二位一共產(chǎn)生了多少個(gè)不同，如此下去，直到第n位．然后