2021年北京市石景山區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

第1頁（共1頁）2021年北京市石景山區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．（4分）已知集合A＝{1，3，5}，B＝{x|x2﹣16＜0}，則A∩B＝（）A．{1，3} B．{3，5} C．{1，3，5} D．（0，4）2．（4分）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且最小正周期T＝π的是（）A． B．f（x）＝x3 C．f（x）＝2sinxcosx D．f（x）＝sinx3．（4分）復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，0） C．（0，+∞） D．（1，+∞）4．（4分）一幾何體的直觀圖和主視圖如圖所示，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是（）A． B． C． D．5．（4分）“直線l垂直于平面α內(nèi)無數(shù)條直線”是“直線l垂直于平面α”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．（4分）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，∠ABC＝60°，則＝（）A．﹣a2 B．﹣a2 C．a(chǎn)2 D．a(chǎn)27．（4分）過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若F是線段AB的中點(diǎn)，則|AB|＝（）A．1 B．2 C．3 D．48．（4分）“回文數(shù)”是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．如22，121，3443等．那么在四位數(shù)中，回文數(shù)共有（）A．81個(gè) B．90個(gè) C．100個(gè) D．900個(gè)9．（4分）已知，若|f（x）|≥ax在x∈[﹣1，1]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞﹣1]∪[0，+∞） B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[﹣1，0）10．（4分）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年證明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．在平面直角坐標(biāo)系中作△ABC，AB＝AC＝4，點(diǎn)B（﹣1，3），點(diǎn)C（4，﹣2），且其“歐拉線”與圓M：（x﹣a）2+（y﹣a+3）2＝r2相切．則圓M上的點(diǎn)到直線x﹣y+3＝0的距離的最小值為（）A． B． C． D．6二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．（5分）雙曲線的離心率為．12．（5分）已知函數(shù)f（x）＝|lnx|，若，，c＝f（2），則a，b，c從小到大排序?yàn)椋?3．（5分）如圖，如果每個(gè)橫行上兩數(shù)字之和相等，每個(gè)豎列上兩個(gè)數(shù)字之和相等，請(qǐng)寫出一組滿足要求的不全相等的a11，a12，a21，a22的值．a(chǎn)11＝，a12＝，a21＝，a22＝．14．（5分）在銳角△ABC中，a＝3，c＝5，a＝2bsinA，則B＝，b＝．15．（5分）海水受日月的引力，會(huì)發(fā)生潮汐現(xiàn)象．在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛?cè)牒降溃M(jìn)入港口，落潮時(shí)返回海洋．某興趣小組通過AI技術(shù)模擬在一次潮汐現(xiàn)象下貨船出入港口的實(shí)驗(yàn)：首先，設(shè)定水深y（單位：米）隨時(shí)間x（單位：小時(shí)）的變化規(guī)律為y＝0.8sinωx+2（ω∈R），其中0≤x≤；然后，假設(shè)某虛擬貨船空載時(shí)吃水深度（船底與水面的距離）為0.5米，滿載時(shí)吃水深度為2米，卸貨過程中，隨著貨物卸載，吃水深度以每小時(shí)0.4米的速度減小；并制定了安全條例，規(guī)定船底與海底之間至少要有0.4米的安全間隙．在此次模擬實(shí)驗(yàn)中，若貨船滿載進(jìn)入港口，那么以下結(jié)論正確的是．①若，貨船在港口全程不卸貨，則該船在港口至多能停留4個(gè)小時(shí)；②若，該貨船進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則該船在港口至多能停留4個(gè)小時(shí)；③若ω＝1，貨船于x＝1時(shí)進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則時(shí)，船底離海底的距離最大；④若ω＝1，貨船于x＝1時(shí)進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則時(shí)，船底離海底的距離最大．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16．（13分）如圖，在五面體ABCDEF中，面ABCD為正方形，面ABFE∩面CDEF＝EF，AD⊥ED，CD⊥EA．（Ⅰ）求證：CD∥平面ABFE；（Ⅱ）若EF＝ED，CD＝2EF＝2，求平面ADE與平面BCF所成的銳二面角的大?。?7．（13分）已知有限數(shù)列{an}共有30項(xiàng){an}（n∈N*，n≤30），其中前20項(xiàng)成公差為d的等差數(shù)列，后11項(xiàng)成公比為q的等比數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn．從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（Ⅰ）d，q的值；（Ⅱ）數(shù)列中的最大項(xiàng)．條件①：a2＝4，S5＝30，a21＝20；條件②：S3＝0，a20＝﹣36，a22＝﹣9；條件③：S1＝48，a21＝20，a24＝160．18．（14分）某大型連鎖超市的市場(chǎng)部為了比較線下、線上這兩種模式的銷售情況，從某地區(qū)眾多門店中隨機(jī)抽取8家門店，對(duì)其線下和線上這兩種銷售模式下的日營業(yè)額（單位：萬元）進(jìn)行調(diào)查．調(diào)查結(jié)果如下：門店1門店2門店3門店4門店5門店6門店7門店8線下日營業(yè)額96.5199.514.516.520.512.5線上日營業(yè)額11.591217192321.515若某門店一種銷售模式下的日營業(yè)額不低于15萬元，則稱該門店在這種銷售模式下的日營業(yè)額達(dá)標(biāo)；否則就稱該門店在此種銷售模式下的日營業(yè)額不達(dá)標(biāo)．若某門店的日營業(yè)總額（線上和線下兩種銷售模式下的日營業(yè)額之和）不低于30萬元，則稱該門店的日營業(yè)總額達(dá)標(biāo)；否則就稱該門店的日營業(yè)總額不達(dá)標(biāo)．（各門店的營業(yè)額之間互不影響）（Ⅰ）從8個(gè)樣本門店中隨機(jī)抽取3個(gè)，求抽取的3個(gè)門店的線下日營業(yè)額均達(dá)標(biāo)的概率；（Ⅱ）若從該地區(qū)眾多門店中隨機(jī)抽取3個(gè)門店，記隨機(jī)變量X表示抽到的日營業(yè)總額達(dá)標(biāo)的門店個(gè)數(shù)．以樣本門店的日營業(yè)總額達(dá)標(biāo)的頻率作為一個(gè)門店的日營業(yè)總額達(dá)標(biāo)的概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）線下日營業(yè)額和線上日營業(yè)額的樣本平均數(shù)分別記為μ1和μ2，線下日營業(yè)額和線上日營業(yè)額的樣本方差分別記為S12和S22．試判斷μ1和μ2的大小，以及S12和S22的大小．（結(jié)論不要求證明）19．（15分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F（1，0），且經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（2，0）．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）M和N是橢圓C上兩個(gè)不同的點(diǎn)，四邊形AMBN是平行四邊形，直線AM、AN分別交y軸于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，求四邊形APFQ面積的最小值．20．（15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，求f（x）在x＝0處的切線方程；（Ⅱ）已知f（x）≤1對(duì)任意x∈R恒成立，求a的值．21．（15分）由m個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的有限集M＝{a1，a2，a3，…，am}（其中a1＜a2＜a3＜…＜am），記P（M）＝a1+a2+…+am，特別規(guī)定P（?）＝0，若集合M滿足：對(duì)任意的正整數(shù)k≤P（M），都存在集合M的兩個(gè)子集A，B，使得k＝P（A）﹣P（B）成立，則稱集合M為“滿集”．（Ⅰ）分別判斷集合M1＝{1，2}與M2＝{2，3}是否為“滿集”，請(qǐng)說明理由；（Ⅱ）若集合M為“滿集”，求a1的值；（Ⅲ）若a1，a2，a3，…，am是首項(xiàng)為1公比為2的等比數(shù)列，判斷集合M是否為“滿集”，并說明理由．

2021年北京市石景山區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．（4分）已知集合A＝{1，3，5}，B＝{x|x2﹣16＜0}，則A∩B＝（）A．{1，3} B．{3，5} C．{1，3，5} D．（0，4）【分析】先求出集合B，然后由集合交集的定義求解即可．【解答】解：因?yàn)锽＝{x|x2﹣16＜0}＝{x|﹣4＜x＜4}，又集合A＝{1，3，5}，所以A∩B＝{1，3}．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合交集的求解，同時(shí)考查了一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．2．（4分）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且最小正周期T＝π的是（）A． B．f（x）＝x3 C．f（x）＝2sinxcosx D．f（x）＝sinx【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和周期性，三角函數(shù)的性質(zhì)，得出結(jié)論．【解答】解：由于函數(shù)f（x）＝不是周期函數(shù)，故排除A；由于f（x）＝x3不是周期函數(shù)，故排除B；由于f（x）＝2sinxcosx＝sin2x為奇函數(shù)，且是周期函數(shù)，周期為＝π，故C滿足條件；由于f（x）＝sinx是奇函數(shù)，且周期為2π，故D錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性，三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．3．（4分）復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，0） C．（0，+∞） D．（1，+∞）【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)＝＝a+i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（a，1）位于第一象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，+∞），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（4分）一幾何體的直觀圖和主視圖如圖所示，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是（）A． B． C． D．【分析】通過幾何體結(jié)合三視圖的畫圖方法，判斷選項(xiàng)即可．【解答】解：幾何體的俯視圖，輪廓是矩形，幾何體的上部的棱都是可見線段，所以C、D不正確；幾何體的上部的棱與正視圖方向垂直，所以A不正確．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三視圖的畫法，幾何體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．5．（4分）“直線l垂直于平面α內(nèi)無數(shù)條直線”是“直線l垂直于平面α”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)線面垂直的定義以及充分條件和必要條件的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【解答】解：若直線l垂直于平面α，則直線l垂直于平面α內(nèi)無數(shù)條直線成立，即必要性成立，反之若直線l垂直于平面α內(nèi)無數(shù)條直線，則無法判斷直線l垂直于平面α，即充分性不成立，即“直線l垂直于平面α內(nèi)無數(shù)條直線”是“直線l垂直于平面α”的必要不充分條件，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用線面垂直的定義是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．6．（4分）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，∠ABC＝60°，則＝（）A．﹣a2 B．﹣a2 C．a(chǎn)2 D．a(chǎn)2【分析】由已知可求，，根據(jù)＝（）?＝代入可求【解答】解：∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，∠ABC＝60°，∴＝a2，＝a×a×cos60°＝，則＝（）?＝＝故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的定義的簡(jiǎn)單運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)試題7．（4分）過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若F是線段AB的中點(diǎn)，則|AB|＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用拋物線的性質(zhì)求解即可．【解答】解：F是線段AB的中點(diǎn)，由拋物線的對(duì)稱性，可知，AB⊥x軸，拋物線y2＝4x，可得p＝2，所以|AB|＝2p＝4．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．8．（4分）“回文數(shù)”是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．如22，121，3443等．那么在四位數(shù)中，回文數(shù)共有（）A．81個(gè) B．90個(gè) C．100個(gè) D．900個(gè)【分析】由題意只需排列前兩位即可，第一位有9種排法，第二位有10種排法，由此即可求解．【解答】解：4位回文數(shù)只需排列前兩位數(shù)字，后面數(shù)字即可確定，又因?yàn)榈谝晃徊荒転?，因此第一位有9種排法，第二位有10種排法，所以共有9×10＝90種排法，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列組合的簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，涉及到回文數(shù)的定義，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（4分）已知，若|f（x）|≥ax在x∈[﹣1，1]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞﹣1]∪[0，+∞） B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[﹣1，0）【分析】先畫出函數(shù)和|f（x）|的圖象；利用圖象再結(jié)合答案即可解決本題．【解答】解：函數(shù)的圖象如圖：|f（x）|的圖象如圖：因?yàn)閨f（x）|≥ax在x∈[﹣1，1]上恒成立，所以y＝ax的圖象應(yīng)在y＝|f（x）|的圖象的下方，故須斜率為負(fù)，或?yàn)?．當(dāng)斜率為負(fù)時(shí)，排除答案A，C；當(dāng)a＝0，y＝0滿足要求，排除D．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的圖象．其中涉及到二次函數(shù)，一次函數(shù)，分段函數(shù)以及帶絕對(duì)值的函數(shù)的圖象，是對(duì)函數(shù)的大匯總，在畫整體帶絕對(duì)值的函數(shù)圖象時(shí)，注意起翻折原則是x軸上方的保持不變，x軸下方的沿x軸對(duì)折．10．（4分）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年證明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．在平面直角坐標(biāo)系中作△ABC，AB＝AC＝4，點(diǎn)B（﹣1，3），點(diǎn)C（4，﹣2），且其“歐拉線”與圓M：（x﹣a）2+（y﹣a+3）2＝r2相切．則圓M上的點(diǎn)到直線x﹣y+3＝0的距離的最小值為（）A． B． C． D．6【分析】由題意知，△ABC的“歐拉線”是BC的垂直平分線，由B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出BC中垂線的方程，再利用平行線間的距離公式求得“歐拉線”與直線x﹣y+3＝0的距離，即可得解．【解答】解：∵AB＝AC＝4，∴BC邊上的高線、垂直平分線和中線合一，即△ABC的“歐拉線”是BC的垂直平分線，∵B（﹣1，3），C（4，﹣2），∴kBC＝＝﹣1，中點(diǎn)為（，），∴BC垂直平分線所在的直線方程為y﹣＝1×（x﹣），即x﹣y﹣1＝0，∴“歐拉線”與直線x﹣y+3＝0平行，∴圓M上的點(diǎn)到直線x﹣y+3＝0的距離的最小值為此平行線間的距離d＝＝2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，兩條直線的垂直關(guān)系，平行線間的距離公式等，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．（5分）雙曲線的離心率為．【分析】通過雙曲線方程求出a，b，c的值然后求出離心率即可．【解答】解：因?yàn)殡p曲線，所以a＝4，b＝3，所以c＝，所以雙曲線的離心率為：e＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的基本性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，考查計(jì)算能力．12．（5分）已知函數(shù)f（x）＝|lnx|，若，，c＝f（2），則a，b，c從小到大排序?yàn)閏＜b＜a．【分析】根據(jù)條件可得出a＝ln8，b＝ln4，c＝ln2，然后根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出a，b，c的大小關(guān)系．【解答】解：，c＝|ln2|＝ln2，∵ln2＜ln4＜ln8，∴c＜b＜a．故答案為：c＜b＜a．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）如圖，如果每個(gè)橫行上兩數(shù)字之和相等，每個(gè)豎列上兩個(gè)數(shù)字之和相等，請(qǐng)寫出一組滿足要求的不全相等的a11，a12，a21，a22的值．a(chǎn)11＝1，a12＝2，a21＝2，a22＝1（答案不唯一）．【分析】根據(jù)條件建立方程關(guān)系，進(jìn)行作差即可得到結(jié)論．【解答】解：由題意知a11+a12＝a21+a22，a11+a21＝a12+a22，則兩式相減得a12﹣a21＝a21﹣a12，即a12＝a21，a11＝a22，則不妨取a12＝a21＝2，a11＝a22＝1，故答案為：1，2，2，1．答案不唯一【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．14．（5分）在銳角△ABC中，a＝3，c＝5，a＝2bsinA，則B＝，b＝．【分析】由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式，結(jié)合sinA≠0，可求sinB＝，結(jié)合B為銳角，可求B＝，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可求b的值．【解答】解：因?yàn)閍＝2bsinA，所以由正弦定理可得sinA＝2sinBsinA，因?yàn)閟inA≠0，所以sinB＝，因?yàn)锽為銳角，所以B＝，因?yàn)閍＝3，c＝5，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB＝27+25﹣2×＝7，所以b＝．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）海水受日月的引力，會(huì)發(fā)生潮汐現(xiàn)象．在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛?cè)牒降?，進(jìn)入港口，落潮時(shí)返回海洋．某興趣小組通過AI技術(shù)模擬在一次潮汐現(xiàn)象下貨船出入港口的實(shí)驗(yàn)：首先，設(shè)定水深y（單位：米）隨時(shí)間x（單位：小時(shí)）的變化規(guī)律為y＝0.8sinωx+2（ω∈R），其中0≤x≤；然后，假設(shè)某虛擬貨船空載時(shí)吃水深度（船底與水面的距離）為0.5米，滿載時(shí)吃水深度為2米，卸貨過程中，隨著貨物卸載，吃水深度以每小時(shí)0.4米的速度減??；并制定了安全條例，規(guī)定船底與海底之間至少要有0.4米的安全間隙．在此次模擬實(shí)驗(yàn)中，若貨船滿載進(jìn)入港口，那么以下結(jié)論正確的是①④．①若，貨船在港口全程不卸貨，則該船在港口至多能停留4個(gè)小時(shí)；②若，該貨船進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則該船在港口至多能停留4個(gè)小時(shí)；③若ω＝1，貨船于x＝1時(shí)進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則時(shí)，船底離海底的距離最大；④若ω＝1，貨船于x＝1時(shí)進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則時(shí)，船底離海底的距離最大．【分析】分析船底離海底的距離為y﹣2＝0.8sinωx＝f1（x）≥0.4，求解即可判斷選項(xiàng)①；由船底離海底的距離，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷選項(xiàng)②；船底離海底的距離f3（x）＝0.8sinx+0.4（x﹣1），利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，即可判斷選項(xiàng)③④．【解答】解：對(duì)于①，貨船在港口全程不卸貨，則吃水恒為2米，所以船離海底為y﹣2＝0.8sinωx＝f1（x），當(dāng)f1（x）≥0.4時(shí)，，則，解得1≤x≤5，所以最多停留時(shí)間為5﹣1＝4小時(shí)，故選項(xiàng)①正確；對(duì)于②，貨船進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則吃水深度為h2＝2﹣0.4x且2﹣0.4x≥0.5，解得，此時(shí)船離海底，所以，所以f2（x）在上單調(diào)遞增，且當(dāng)x＝1時(shí)，f2（1）＝0.8＞0.4，由，，此段時(shí)間都可以停靠，又f2（1）＝0.8＞0.4，所以6﹣1＝5＞4，故選項(xiàng)②錯(cuò)誤；對(duì)于③和④，貨船于x＝1時(shí)進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則吃水深度h3＝2﹣0.4（x﹣1），1≤x≤π，所以f3（x）＝0.8sinx+0.4（x﹣1），則f3′（x）＝0.8cosx+0.4＝0，解得，當(dāng)時(shí)，f3′（x）＞0，則f3（x）單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，f3′（x）＜0，則f3（x）單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，f3（x）取得最大值，所以船底離海底的距離最大，故選項(xiàng)③錯(cuò)誤，選項(xiàng)④正確．故答案為：①④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，涉及了導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，得到船底離海底的距離的關(guān)系式，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16．（13分）如圖，在五面體ABCDEF中，面ABCD為正方形，面ABFE∩面CDEF＝EF，AD⊥ED，CD⊥EA．（Ⅰ）求證：CD∥平面ABFE；（Ⅱ）若EF＝ED，CD＝2EF＝2，求平面ADE與平面BCF所成的銳二面角的大小．【分析】（Ⅰ）證明CD∥AB，然后證明CD∥平面ABFE．（Ⅱ）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DE分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．求出平面ADE的法向量，平面BCF的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解平面ADE與平面BCF所成銳二面角的大小即可．【解答】（Ⅰ）證明：在五面體ABCDEF中，因?yàn)槊鍭BCD是正方形，所以CD∥AB．又因?yàn)锳B?平面ABFE，CD?平面ABFE，所以CD∥平面ABFE．（Ⅱ）解：因?yàn)槊鍭BCD是正方形，所以CD⊥AD．又因?yàn)镃D⊥AE．又AD∩AE＝A，所以CD⊥平面ADE又因?yàn)镈E?平面ADE，所以CD⊥DE．因?yàn)槊鍭BCD是正方形，所以CD⊥AD．又因?yàn)锳D⊥DE，所以以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DE分別為x，y，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)镃D＝2EF＝2，EF＝ED，D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，1）．由（Ⅰ）CD∥平面ABFE，CD?平面CDEF，平面CDEF∩平面ABFE＝EF，所以CD∥EF．所以．可得F（0，1，1）．由題意知平面ADE的法向量為設(shè)平面BCF的法向量為．由得令y＝1，得z＝1，x＝0，所以設(shè)平面ADE與平面BCF所成銳二面角為θ．cosθ＝．所以平面ADE與平面BCF所成銳二面角為【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行的判斷定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．17．（13分）已知有限數(shù)列{an}共有30項(xiàng){an}（n∈N*，n≤30），其中前20項(xiàng)成公差為d的等差數(shù)列，后11項(xiàng)成公比為q的等比數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn．從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（Ⅰ）d，q的值；（Ⅱ）數(shù)列中的最大項(xiàng)．條件①：a2＝4，S5＝30，a21＝20；條件②：S3＝0，a20＝﹣36，a22＝﹣9；條件③：S1＝48，a21＝20，a24＝160．【分析】（Ⅰ）由所選條件列出q與d的方程組，即可求解出d，q的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）分別求出前20項(xiàng)中的最大項(xiàng)與后11項(xiàng)中的最大項(xiàng)，即可求得數(shù)列中的最大項(xiàng)．【解答】當(dāng)選擇條件①時(shí)：解：（Ⅰ）因?yàn)閧an}的前20項(xiàng)成等差數(shù)列，a2＝4，S5＝30，所以解得．所以a20＝2+19×2＝40．因?yàn)閿?shù)列{an}后11項(xiàng)成公比為q的等比數(shù)列，所以．綜上，．（Ⅱ）{an}的前20項(xiàng)成等差數(shù)列，d＞0．所以前20項(xiàng)為遞增數(shù)列．即：前20項(xiàng)的最大項(xiàng)為a20＝40．?dāng)?shù)列{an}的后11項(xiàng)成等比數(shù)列，，所以后11項(xiàng)是遞減數(shù)列．即：后11項(xiàng)的最大項(xiàng)為a20＝40綜上，數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為第20項(xiàng)，其值為40．當(dāng)選擇條件②時(shí)：解：（Ⅰ）因?yàn)閧an}的前20項(xiàng)成等差數(shù)列，S3＝0，a20＝﹣36，所以所以因?yàn)閿?shù)列{an}后11項(xiàng)成公比為q的等比數(shù)列，a20＝﹣36，又因?yàn)閍22＝﹣9，所以．綜上，．（Ⅱ）{an}的前20項(xiàng)成等差數(shù)列，d＜0．所以前20項(xiàng)為遞減數(shù)列．前20項(xiàng)的最大項(xiàng)為a1＝2．因?yàn)椋甶．當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)20≤n≤30時(shí)，an＜0．此時(shí)，數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為第1項(xiàng)，其值為2；ⅱ．當(dāng)時(shí)，，后11項(xiàng)的最大項(xiàng)為a21＝18．此時(shí)，數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為第21項(xiàng)，其值為18．綜上，當(dāng)時(shí)，數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為第1項(xiàng)，其值為2；當(dāng)時(shí)，數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為第21項(xiàng)，其值為18．當(dāng)選擇條件③時(shí)：解：（Ⅰ）因?yàn)閿?shù)列{an}后11項(xiàng)成公比為q的等比數(shù)列，a21＝20，a24＝160，所以，解得q＝2．所以．又因?yàn)閧an}的前20項(xiàng)成等差數(shù)列，S1＝a1＝48，所以．綜上，d＝﹣2，q＝2．（Ⅱ）{an}的前20項(xiàng)成等差數(shù)列，d＜0．所以前20項(xiàng)為遞減數(shù)列．前20項(xiàng)的最大項(xiàng)為a1＝48．{an}的后11項(xiàng)成等比數(shù)列，而a20＝10，q＝2，，所以后11項(xiàng)為遞增數(shù)列．后11項(xiàng)的最大項(xiàng)為a30＝10240，綜上，數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為第30項(xiàng)，其值為10240．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差、等比數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于中檔題．18．（14分）某大型連鎖超市的市場(chǎng)部為了比較線下、線上這兩種模式的銷售情況，從某地區(qū)眾多門店中隨機(jī)抽取8家門店，對(duì)其線下和線上這兩種銷售模式下的日營業(yè)額（單位：萬元）進(jìn)行調(diào)查．調(diào)查結(jié)果如下：門店1門店2門店3門店4門店5門店6門店7門店8線下日營業(yè)額96.5199.514.516.520.512.5線上日營業(yè)額11.591217192321.515若某門店一種銷售模式下的日營業(yè)額不低于15萬元，則稱該門店在這種銷售模式下的日營業(yè)額達(dá)標(biāo)；否則就稱該門店在此種銷售模式下的日營業(yè)額不達(dá)標(biāo)．若某門店的日營業(yè)總額（線上和線下兩種銷售模式下的日營業(yè)額之和）不低于30萬元，則稱該門店的日營業(yè)總額達(dá)標(biāo)；否則就稱該門店的日營業(yè)總額不達(dá)標(biāo)．（各門店的營業(yè)額之間互不影響）（Ⅰ）從8個(gè)樣本門店中隨機(jī)抽取3個(gè)，求抽取的3個(gè)門店的線下日營業(yè)額均達(dá)標(biāo)的概率；（Ⅱ）若從該地區(qū)眾多門店中隨機(jī)抽取3個(gè)門店，記隨機(jī)變量X表示抽到的日營業(yè)總額達(dá)標(biāo)的門店個(gè)數(shù)．以樣本門店的日營業(yè)總額達(dá)標(biāo)的頻率作為一個(gè)門店的日營業(yè)總額達(dá)標(biāo)的概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）線下日營業(yè)額和線上日營業(yè)額的樣本平均數(shù)分別記為μ1和μ2，線下日營業(yè)額和線上日營業(yè)額的樣本方差分別記為S12和S22．試判斷μ1和μ2的大小，以及S12和S22的大小．（結(jié)論不要求證明）【分析】（Ⅰ）設(shè)“抽取的3個(gè)門店的線下日營業(yè)額均達(dá)標(biāo)”為事件A，利用古典概型的概率公式求解即可．（Ⅱ）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3．求解概率，得到分布列，然后求解期望即可．（Ⅲ）利用表格數(shù)據(jù)，判斷．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)“抽取的3個(gè)門店的線下日營業(yè)額均達(dá)標(biāo)”為事件A，由題意知，8個(gè)樣本門店中線下日營業(yè)額達(dá)標(biāo)的有3家，所以．所以抽取的3個(gè)門店的線下日營業(yè)額均達(dá)標(biāo)的概率為．（Ⅱ）由題意，8個(gè)樣本門店中線下日營業(yè)總額達(dá)標(biāo)的有4家，所以從該地區(qū)眾多門店中任選1個(gè)門店，日營業(yè)總額達(dá)標(biāo)的概率為．依題意，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3.；；；．所以隨機(jī)變量X的分布列為：X0123P其數(shù)學(xué)期望．（Ⅲ）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．19．（15分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F（1，0），且經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（2，0）．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）M和N是橢圓C上兩個(gè)不同的點(diǎn)，四邊形AMBN是平行四邊形，直線AM、AN分別交y軸于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，求四邊形APFQ面積的最小值．【分析】（Ⅰ）由右焦點(diǎn)為F（1，0），且經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（2，0），列方程組，解得a，b，進(jìn)而可得答案．（Ⅱ）因?yàn)樗倪呅蜛MBN是平行四邊形，推出AB與MN的中點(diǎn)重合，所以M、N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．設(shè)M（x1，y1），則N（﹣x1，﹣y1），寫出直線AM的方程，進(jìn)而可得P點(diǎn)坐標(biāo)，同理寫出直線AN的方程，得Q點(diǎn)的坐標(biāo)，再計(jì)算四邊形APFQ面積的最小值，即可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知a＝2，c＝1，所以b2＝a2﹣c2＝3．所以橢圓C的方程為．（Ⅱ）因?yàn)樗倪呅蜛MBN是平行四邊形，所以AB與MN的中點(diǎn)重合，所以M、N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．設(shè)M（x1，y1），則N（﹣x1，﹣y1）．（x1≠±2且y1≠0），直線AM的方程為，令x＝0，得，即，又，直線AN的方程為，令x＝0，得，即．四邊形APFQ面積為，，因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以，．所以．所以．所以當(dāng)時(shí)，．所以四邊形APFQ面積的最小值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程，直線與橢圓的相交問題，解題中需要一定的計(jì)算能力，屬于中檔題．20．（15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，求f（x）在x＝0處的切線方程；（Ⅱ）已知f（x）≤1對(duì)任意x∈R恒成立，求a的值．【分析】（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，求出切線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解切線方程．（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）在R內(nèi)單調(diào)遞減，求出零點(diǎn)，當(dāng)a＜0時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，當(dāng)a＞0時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解最值，然后推出a的值即可．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，，，所以f（0）＝1，f'（0）＝﹣2切線l的斜率為k＝f'（0）＝﹣2．所以f（x）在x＝0處的切線方程為y＝﹣2x+1．（Ⅱ）依題意，f（x）≤1對(duì)任意x∈R恒成立，，當(dāng)a＝0時(shí)，，由于ex＞0，則f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在R內(nèi)單調(diào)遞減，因?yàn)閒（0）＝1，故當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1，不符合題意．當(dāng)a≠0時(shí)，令f'（x）＝0，得當(dāng)a＜0時(shí)，，因?yàn)閒（0）＝1，那么x，f'（x），f（x）的變化情況如下表：xf'（x）﹣0+f（x）單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以結(jié)合f（x）的單調(diào)性知：當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1，不符合題意．當(dāng)a＞0時(shí)，x，f'（x），f（x）的變化情況如下表：xf'（x）+0﹣f（x）單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減當(dāng)0＜a＜1時(shí)，，因?yàn)閒（0）＝1，所以結(jié)合f（x）的單調(diào)性知當(dāng)時(shí)，f（x）＞1，不符合