浙江省杭州市淳安中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

浙江省杭州市淳安中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.tan(－390°)的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A2.如圖所示，陰影部分的面積是的函數(shù)．則該函數(shù)的圖象是（

）參考答案：A3.（5分）若直線l：ax+by+1=0始終平分圓M：x2+y2+4x+2y+1=0的周長(zhǎng)，則（a﹣2）2+（b﹣2）2的最小值為（） A． B． 5 C． 2 D． 10參考答案：B考點(diǎn)： 圓方程的綜合應(yīng)用．專題： 計(jì)算題．分析： 本題考查的是直線與圓性質(zhì)及其綜合應(yīng)用，由已知條件我們可以判定直線必過(guò)圓M：x2+y2+4x+2y+1=0的圓心，則不難求出（a，b）表示的點(diǎn)在平面直線直角坐標(biāo)系中的位置，分析表達(dá)式（a﹣2）2+（b﹣2）2的幾何意義，找出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出答案．解答： 解：∵直線l：ax+by+1=0始終平分圓M：x2+y2+4x+2y+1=0的周長(zhǎng)∴直線必過(guò)圓M：x2+y2+4x+2y+1=0的圓心即圓心（﹣2，﹣1）點(diǎn)在直線l：ax+by+1=0上則2a+b﹣1=0則（a﹣2）2+（b﹣2）2表示點(diǎn)（2，2）至直線2a+b﹣1=0點(diǎn)的距離的平方則其最小值d2==5故選B點(diǎn)評(píng)： 直線的性質(zhì)與圓的方程都是高考必須要考的知識(shí)點(diǎn)，此題巧妙地將直線與圓性質(zhì)融合在一起進(jìn)行考查，題目有一定的思維含量但計(jì)算量不大，所以題型設(shè)置為選擇題，該試題立足基礎(chǔ)考查了學(xué)生思維能力與運(yùn)算能力以及靈活運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)處理相關(guān)問(wèn)題的能力，有一定的選拔作用同時(shí)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有產(chǎn)生較好地導(dǎo)向作用．4.已知，那么等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：

D

解析：令5.已知三個(gè)變量y1，y2，y3隨變量x變化數(shù)據(jù)如下表：

x12468…y1241664256…y214163664…y30122.5853…

則反映y1，y2，y3隨x變化情況擬合較好的一組函數(shù)模型是（

）A．

B．C.

D．參考答案：B故選：B

6.給出定義：若m﹣＜x≤m+（其中m為整數(shù)），則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即{x}=m．在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)f（x）=x﹣{x}的三個(gè)判斷：①y=f（x）的定義域是R，值域是（﹣，]；

②點(diǎn)（k，0）是y=f（x）的圖象的對(duì)稱中心，其中k∈Z；③函數(shù)y=f（x）在（，]上是增函數(shù)．則上述判斷中所有正確的序號(hào)是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】依據(jù)函數(shù)定義，得到f（x）=x﹣{x}∈（﹣，]，再對(duì)三個(gè)命題逐個(gè)驗(yàn)證后，即可得到正確結(jié)論．【解答】解：在①中，由題意知，{x}﹣＜x≤{x}+，則得到f（x）=x﹣{x}∈（﹣，]，則命題①為真命題；在②中，由于k∈Z時(shí)，f（k）=k﹣{k}=k﹣k=0，但由于f（x）∈（﹣，]，故函數(shù)不是中心對(duì)稱圖形，故命題②為假命題；在③中，由于{x}﹣＜x≤{x}+，則得到f（x）=x﹣{x}為分段函數(shù)，且在（﹣，]，（，]上為增函數(shù)，故命題③為真命題．故答案為①③．故選：B．7.函數(shù)y＝＋1的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象大致是()參考答案：C略8.函數(shù)的最小正周期為π，若其圖象向左平移個(gè)單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象（

）A.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.關(guān)于直線對(duì)稱 D.關(guān)于直線對(duì)稱參考答案：C【分析】由函數(shù)的最小正周期得，由函數(shù)圖像平移后為奇函數(shù)可得，得到函數(shù)的解析式,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸.【詳解】函數(shù)的最小正周期為，則.其圖象向左平移個(gè)單位可得,平移后函數(shù)是奇函數(shù)，則有,又，則.函數(shù)的解析式為,令,解得,則函數(shù)的對(duì)稱中心為.選項(xiàng)錯(cuò)誤.令，解得函數(shù)的對(duì)稱軸為.當(dāng)時(shí)，.選C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)解析式求函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心時(shí)利用了整體代換的思想，解題中注意把握.求解過(guò)程中不要忽略了三角函數(shù)的周期性.9.函數(shù)的部分圖象如右圖，則，可以取的一組值是（

）.A.

B.

C.

D.參考答案：D略10.設(shè)兩條直線的方程分別為x+y+a=0和x+y+b=0，已知a、b是關(guān)于x的方程x2+x+c=0的兩個(gè)實(shí)根，且0≤c≤，則這兩條直線間距離的最大值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式．【分析】利用方程的根，求出a，b，c的關(guān)系，求出平行線之間的距離表達(dá)式，然后求解距離的最值．【解答】解：因?yàn)閍，b是方程x2+x+c=0的兩個(gè)實(shí)根，所以a+b=﹣1，ab=c，兩條直線之間的距離d=，所以d2==，因?yàn)?≤c≤，所以≤1﹣4c≤1，即d2∈[，]，所以兩條直線之間的距離的最大值是．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知集合M={（x，y）|x+y=3}，N={（x，y）|x﹣y=5}，則M∩N等于．參考答案：｛（4，-1）｝由題意可得：，解得：∴M∩N=｛（4，-1）｝

12.已知以x,y為自變量的目標(biāo)函數(shù)z＝kx＋y(k＞0)的可行域如圖陰影部分（含邊界），且A(1,2)，B(0,1)，C(,0)，D(,0)，E(2,1)，若使z取最大值時(shí)的最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè)，則k＝________．參考答案：113.已知為常數(shù)，，在區(qū)間上的最大值是2，則

參考答案：1略14.已知，若不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a﹣1，a]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（2，+∞）【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題；分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】畫出f（x）的圖象，由圖象可知函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，則原不等式轉(zhuǎn)化為2x＞a在[a﹣1，a]上恒成立，解得即可．【解答】解：畫出f（x）的圖象，如圖所示，由圖象可知函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，∵不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a﹣1，a]上恒成立，∴x+a＞2a﹣x在[a﹣1，a]上恒成立；即2x＞a在[a﹣1，a]上恒成立，故2（a﹣1）＞a，解得，a＞2，故答案為：（2，+∞）15.

.參考答案：;

16.已知f（x）=3kx3+﹣2（k∈R），f（lg7）=1（k∈R），則f（lg）= ．參考答案：﹣5【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)的值．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用已知條件求出k，然后求解f（lg）．【解答】解：f（x）=3kx3+﹣2（k∈R），f（lg7）=1（k∈R），可得3klg37+﹣2=1，可得3klg37+=3．f（lg）=f（﹣lg7）=﹣（3klg37+）﹣2=﹣5．故答案為：﹣5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值的求法，整體代入法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．17.是棱長(zhǎng)為的正方體的四個(gè)頂點(diǎn)，且三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形，則其全面積為．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題14分）設(shè)全集為實(shí)數(shù)集R，，，.(1)求及;(2)如果，求的取值范圍.參考答案：略19.在△ABC中，a、b、c分別為三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，且(1)求角A；(2)若且求△ABC的面積。參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）整理得：，再由余弦定理可得，問(wèn)題得解。（2）由正弦定理得：，，，再代入即可得解?！驹斀狻浚?）由題意，得，∴；（2）由正弦定理，得，,∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正、余弦定理及三角形面積公式，考查了轉(zhuǎn)化思想及化簡(jiǎn)能力，屬于基礎(chǔ)題。20.某公司是一家專做某產(chǎn)品國(guó)內(nèi)外銷售的企業(yè)，第一批產(chǎn)品在上市40天內(nèi)全部售完，該公司對(duì)第一批產(chǎn)品的銷售情況進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，其調(diào)查結(jié)果如下：圖①中的折線是國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的銷售情況；圖②中的拋物線是國(guó)外市場(chǎng)的銷售情況；圖③中的折線是銷售利潤(rùn)與上市時(shí)間的關(guān)系（國(guó)內(nèi)外市場(chǎng)相同）．（1）求該公司第一批產(chǎn)品日銷售利潤(rùn)Q（t）（單位：萬(wàn)元）與上市時(shí)間t（單位：天）的關(guān)系式，（2）求該公司第一批新產(chǎn)品上市后，從哪一天開(kāi)始國(guó)內(nèi)市場(chǎng)日銷售利潤(rùn)不小于國(guó)外市場(chǎng)？參考答案：見(jiàn)解析【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）運(yùn)用一次函數(shù)的解析式可得f（t），再設(shè)g（t）=at（t﹣40），代入（20，60），即可得到g（t）；設(shè)每件產(chǎn)品A的銷售利潤(rùn)為q（t），求得q（t），可得Q（t）=q（t）?[f（t）+g（t）]；（2）由題意可得國(guó)內(nèi)外銷售利潤(rùn)q（t）與上市時(shí)間t相同，要使國(guó)內(nèi)市場(chǎng)日銷售利潤(rùn)不小于國(guó)外市場(chǎng)，只需國(guó)內(nèi)市場(chǎng)銷售量f（t）不小于國(guó)外市場(chǎng)日銷售量g（t）．討論t的范圍：①當(dāng)0≤t≤30時(shí)，②當(dāng)30＜t≤40時(shí)，解不等式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）由圖①得函數(shù)的解析式為：f（t）=，設(shè)國(guó)外市場(chǎng)的日銷售量g（t）=at（t﹣40），g（20）=20a?（﹣20）=60，解得a=﹣，則g（t）=﹣t2+6t（0≤t≤40）．設(shè)每件產(chǎn)品A的銷售利潤(rùn)為q（t），則q（t）=，從而這家公司的日銷售利潤(rùn)Q（t）的解析式為：Q（t）=q（t）?[f（t）+g（t）]=；（2）由題意可得國(guó)內(nèi)外銷售利潤(rùn)q（t）與上市時(shí)間t相同，要使國(guó)內(nèi)市場(chǎng)日銷售利潤(rùn)不小于國(guó)外市場(chǎng)，只需國(guó)內(nèi)市場(chǎng)銷售量f（t）不小于國(guó)外市場(chǎng)日銷售量g（t）．①當(dāng)0≤t≤30時(shí)，令f（t）≥g（t），則2t≥﹣t2+6t，解得≤t≤30；②當(dāng)30＜t≤40時(shí)，令h（t）=f（t）﹣g（t）=t2﹣12t+240，由h（t）≥h（40）=0，可得30＜t≤40．由①②可得該公司第一批新產(chǎn)品上市后，從27開(kāi)始國(guó)內(nèi)市場(chǎng)日銷售利潤(rùn)不小于國(guó)外市場(chǎng)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用題的解法，考查不等式的解法，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．21.已知函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)榧螦，函數(shù)g（x）=lg（﹣x2+2x+m）的定義域?yàn)榧螧．（1）當(dāng)m=3時(shí)，求A∩（?RB）（2）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求實(shí)數(shù)m的值．參考答案：【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算；交集及其運(yùn)算；對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域．【分析】（1）先分別求出函數(shù)f（x）和g（x）的定義域，再求出集合B的補(bǔ)集，再根據(jù)交集的定義求出所求；（2）先求出集合A，再根據(jù)A∩B的范圍以及結(jié)合函數(shù)g（x）的特點(diǎn)確定出集合B，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系求出m的值．【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)榧螦={x|﹣1＜x≤5}（1）函數(shù)g（x）=lg（﹣x2+2x+3）的定義域?yàn)榧螧={x|﹣1＜x＜3}CRB={x|x≤﹣1或x≥3}∴A∩（?RB）=[3，5]（2）∵A∩B={x|﹣1＜x＜4}，A={x|﹣1＜x≤5}而﹣x2+2x+m=0的兩根之和為2∴B={x|﹣2＜x＜4}∴m=8答：實(shí)數(shù)m的值為822.（12分）已知點(diǎn)P（2，0）及圓C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）若直線l過(guò)點(diǎn)P且與圓心C的距離為1，求直線l的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線ll與圓C交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)|MN|=4時(shí)，求以線段MN為直徑的圓Q的方程；（3）設(shè)直線ax﹣y+1=0與圓C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)a，使得過(guò)點(diǎn)P（2，0）的直線l2垂直平分弦AB？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：考點(diǎn)： 直線與圓的位置關(guān)系．專題： 計(jì)算題；直線與圓．分析： （1）分兩種情況：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線l的斜率為k，由P的坐標(biāo)和設(shè)出的k寫出直線l的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出P到直線l的距離d，讓d等于1列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P寫出直線l的方程即可；當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，得到在線l的方程，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證符合題意；（2）由利用兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心C到P的距離，再根據(jù)弦長(zhǎng)|MN|的一半及半徑，利用勾股定理求出弦心距d，發(fā)現(xiàn)|CP|與d相等，所以得到P為MN的中點(diǎn)，所以以MN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)即為P的坐標(biāo)，半徑為|MN|的一半，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可；（3）把已知直線的方程代入到圓的方程中消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，因?yàn)橹本€與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以得到△＞0，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍，利用反證法證明：假設(shè)符合條件的a存在，由直線l2垂直平分弦AB得到圓心必在直線l2上，根據(jù)P與C的坐標(biāo)即可求出l2的斜率，然后根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為﹣1，即可求出直線ax﹣y+1=0的斜率，進(jìn)而求出a的值，經(jīng)過(guò)判斷求出a的值不在求出的范圍中，所以假設(shè)錯(cuò)誤，故這樣的a不存在．解答： （1）設(shè)直線l的斜率為k（k存在）則方程為y﹣0=k（x﹣2）．又圓C的圓心為（3，﹣2），半徑r=3，由=1，解得k=﹣．所以直線方程為y=﹣（x﹣2），即3x+4y﹣6=0；當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=2，經(jīng)驗(yàn)證x=2也滿足條件；（2）由于|CP|=，而弦心距d=，所以d=|CP|=，所以P為MN的中點(diǎn)，所以所求圓的圓心坐標(biāo)為（2，0），半徑為|MN|=2，故以MN為直徑的圓Q的方程為（x﹣2）2+y2=4；（3）把直線ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圓