2021-2022學(xué)年上海市浦東新區(qū)進(jìn)才中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2021-2022學(xué)年上海市浦東新區(qū)進(jìn)才中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷一.填空題1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{3，4，5}，則A∩B＝．2．（5分）若2x＝3，則實(shí)數(shù)x的值為．3．（5分）當(dāng)x＜0時(shí)，式子|x|++的值為．4．（5分）已知﹣1＜a＜1，1＜b＜3，則a﹣b的取值范圍是．5．（5分）不等式＞1的解集為．6．（5分）設(shè)a是實(shí)數(shù)，若x＝1是x＞a的一個(gè)充分條件，則a的取值范圍是．7．（5分）不等式|2x﹣1|＜x+2的解集為．8．（5分）若關(guān)于x的一元二次不等式x2﹣ax+1≤0的解集為?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．9．（5分）若關(guān)于x的不等式|x﹣2|+|x﹣a|≥a在R上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．10．（5分）已知a＞0，b＞0且a+b＝3．式子的最小值是．11．（5分）若不等式組的解集為M，且M∩Z中有2021個(gè)元素，則k的取值范圍是．12．（5分）若實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足4x+4y＝2x+1+2y+1，則S＝2x+2y的取值范圍是．二.選擇題13．（5分）已知a＞b，c＞d，下列不等式中不一定成立的是（）A．a(chǎn)﹣d＞b﹣c B．a(chǎn)+d＞b+c C．a(chǎn)﹣c＞b﹣c D．a(chǎn)﹣c＜a﹣d14．（5分）如果實(shí)數(shù)a、b同號(hào)，則下列命題中正確的是（）A．a(chǎn)2+b2＞2ab B．a(chǎn)+b≥2 C．+＞ D．≥215．（5分）已知集合A、B非空，且A?B，則下列式子中一定是空集的為（）A．∩B B．A∩ C．∩ D．∪16．（5分）定義A﹣B＝{x|x∈A且x?B}，設(shè)A、B、C是某集合的三個(gè)子集，且滿(mǎn)足（A﹣B）∪（B﹣A）?C，則A?（C﹣B）∪（B﹣C）是A∩B∩C＝?的（）A．充要條件 B．充分非必要條件 C．必要非充分條件 D．既非充分也非必要條件三、解答題.17．（10分）已知全集為R，集合A＝{x|0＜2x+a≤3}，B＝{x|﹣＜x＜2}，若A∩B＝A，且A≠?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．18．（10分）已知一元二次方程x2﹣mx+m+1＝0的兩實(shí)根為x1、x2，且x12+x22＝1，求實(shí)數(shù)m的值．19．（10分）某新建居民小區(qū)預(yù)建一面積為700m2的矩形綠地，并在綠地四周鋪設(shè)人行道，設(shè)計(jì)要求綠地外南北兩側(cè)人行道寬3m，東西兩側(cè)人行道寬4m（如圖所示）．問(wèn)：如何設(shè)計(jì)綠地的長(zhǎng)度和寬度，才能使人行道的占地面積最??？并求出此時(shí)人行道的占地面積．（結(jié)果精確到0.1m）20．（10分）（1）已知x＞0，x≠1，試比較x3+與x2+的大小，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)a＞b＞c，a+b+c＝1，且a2+b2+c2＝1，證明：c＜0．21．（10分）已知集合A為非空數(shù)集，定義：S＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，T＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}．（1）若集合A＝{1，3}，直接寫(xiě)出集合S、T；（2）若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，且T＝A，寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的集合A，并說(shuō)明理由；（3）若集合A?{x|0≤x≤2020，x∈N}，S∩T＝?，記|A|為集合A中元素的個(gè)數(shù)，求|A|的最大值．

2021-2022學(xué)年上海市浦東新區(qū)進(jìn)才中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一.填空題1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{3，4，5}，則A∩B＝{3，4}．【分析】利用交集定義直接求解．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{3，4，5}，∴A∩B＝{3，4}．故答案為：{3，4}．【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意交集定義的合理運(yùn)用．2．（5分）若2x＝3，則實(shí)數(shù)x的值為log23．【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式之間轉(zhuǎn)化的方法可解決此題．【解答】解：∵2x＝3，∴x＝log23．故答案為：log23．【點(diǎn)評(píng)】本題考查指數(shù)式與對(duì)數(shù)式之間轉(zhuǎn)化，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）當(dāng)x＜0時(shí)，式子|x|++的值為0．【分析】由x＜0得|x|＝﹣x，＝|x|＝﹣x，＝x，代入即可．【解答】解：∵x＜0，∴|x|＝﹣x，＝|x|＝﹣x，＝x，∴|x|++＝﹣x﹣x+2x＝0，故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根式及絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）已知﹣1＜a＜1，1＜b＜3，則a﹣b的取值范圍是（﹣4，0）．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的可加性，即可求解．【解答】解：∵1＜b＜3，∴﹣3＜﹣b＜﹣1，又∵﹣1＜a＜1，∴﹣4＜a﹣b＜0，故a﹣b的取值范圍為（﹣4，0）．故答案為：（﹣4，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）不等式＞1的解集為{x|0＜x＜1}．【分析】將不等式＞1移項(xiàng)后通分，即可求得不等式的解集．【解答】解：∵＞1，∴﹣1＝＞0，∴＞0，∴0＜x＜1．∴不等式的解集為{x|0＜x＜1}．故答案為：{x|0＜x＜1}．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的解法，移項(xiàng)后通分是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）設(shè)a是實(shí)數(shù)，若x＝1是x＞a的一個(gè)充分條件，則a的取值范圍是（﹣∞，1）．【分析】利用充分條件的定義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為{1}?{x|x＞a}，由子集的定義求解即可．【解答】解：因?yàn)閤＝1是x＞a的一個(gè)充分條件，則{1}?{x|x＞a}，所以a＜1，則a的取值范圍是（﹣∞，1）．故答案為：（﹣∞，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充分條件與必要條件定義的理解與應(yīng)用，集合子集定義的理解與應(yīng)用，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）不等式|2x﹣1|＜x+2的解集為（﹣，3）．【分析】直接利用絕對(duì)值不等式公式解決：|x|＜a等價(jià)于﹣a＜x＜a，最后求并集即可．【解答】解：不等式|2x﹣1|＜x+2，可化為﹣x﹣2＜2x﹣1＜x+2，∴﹣＜x＜3，故答案為：（﹣，3）．【點(diǎn)評(píng)】考查了絕對(duì)值不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)熟練掌握．8．（5分）若關(guān)于x的一元二次不等式x2﹣ax+1≤0的解集為?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣2，2）．【分析】根據(jù)判別式列出不等式求得a的取值范圍．【解答】解：關(guān)于x的一元二次不等式x2﹣ax+1≤0的解集為?，則Δ＝a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣2，2）．故答案為：（﹣2，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．9．（5分）若關(guān)于x的不等式|x﹣2|+|x﹣a|≥a在R上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，1]．【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義|x﹣2|+|x﹣a|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到2和a對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，它的最小值等于|a﹣2|，可得答案．【解答】解：|x﹣2|+|x﹣a|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到2和a對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，它的最小值等于|a﹣2|，由不等式|x﹣2|+|x﹣a|≥a恒成立知，a≤|a﹣2|，解得：a≤1故答案為：（﹣∞，1]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，求出|x﹣2|+|x﹣a|的最小值，是解題的關(guān)鍵．10．（5分）已知a＞0，b＞0且a+b＝3．式子的最小值是2．【分析】令a+2019＝x，b+2020＝y(tǒng)，則x＞2019，y＞2020且x+y＝4042，然后利用乘1法，結(jié)合基本不等式可求．【解答】解：令a+2019＝x，b+2020＝y(tǒng)，則x＞2019，y＞2020且x+y＝4042，∴，∴，＝，當(dāng)且僅當(dāng)且x+y＝4042，即x＝y(tǒng)＝2021，a＝2，b＝1時(shí)成立．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用基本不等式求解最值，換元法的應(yīng)用是求解問(wèn)題的關(guān)鍵．11．（5分）若不等式組的解集為M，且M∩Z中有2021個(gè)元素，則k的取值范圍是[﹣2023，﹣2022）∪（2023，2024]．【分析】直接利用一元二次不等式組的解法和集合的交集的運(yùn)算關(guān)系求出k的取值范圍．【解答】解：，整理得：，當(dāng)k＞0時(shí)，，由于M∩Z中有2021個(gè)元素，所以當(dāng)k∈（2023，2024]時(shí)，滿(mǎn)足條件；當(dāng)k＜0時(shí)，，由于M∩Z中有2021個(gè)元素，所以當(dāng)k∈[﹣2023，﹣2022）時(shí)，滿(mǎn)足條件；綜上所述：k的取值范圍為[﹣2023，﹣2022）∪（2023，2024]．故答案為：[﹣2023，﹣2022）∪（2023，2024]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：一元二次不等式組的解法，集合的交集的運(yùn)算關(guān)系，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．12．（5分）若實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足4x+4y＝2x+1+2y+1，則S＝2x+2y的取值范圍是（2，4]．【分析】根據(jù)指數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合基本不等式可把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于s的不等關(guān)系式，進(jìn)而可求出s的取值范圍．【解答】解：∵4x+4y＝（2x+2y）2﹣2??2x2y＝s2﹣2?2x2y，2x+1+2y+1＝2（2x+2y）＝2s，故原式變形為s2﹣2?2x2y＝2s，即2?2x2y＝s2﹣2s，∵0＜2?2x2y≤2?（）2，即0＜s2﹣2s≤，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝2y，即x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào)；解得2＜s≤4，故答案為（2，4]．【點(diǎn)評(píng)】利用基本不等式，構(gòu)造關(guān)于某個(gè)變量的不等式，解此不等式便可求出該變量的取值范圍，再驗(yàn)證等號(hào)是否成立，便可確定該變量的最值，這是解決最值問(wèn)題或范圍問(wèn)題的常用方法，應(yīng)熟練掌握．二.選擇題13．（5分）已知a＞b，c＞d，下列不等式中不一定成立的是（）A．a(chǎn)﹣d＞b﹣c B．a(chǎn)+d＞b+c C．a(chǎn)﹣c＞b﹣c D．a(chǎn)﹣c＜a﹣d【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：對(duì)于A，∵a＞b，c＞d，∴a+c＞b+d，∴a﹣d＞b﹣c，故A恒成立，對(duì)于B，令a＝1，b＝0，c＝1，d＝0，滿(mǎn)足a＞b，c＞d，但a+d＝b+c，故B不一定成立，對(duì)于C，∵a＞b，﹣c＝﹣c，∴a﹣c＞b﹣c，故C恒成立，對(duì)于D，∵c＞d，∴﹣c＜﹣d，∴a﹣c＜a﹣d，故D恒成立．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，掌握特殊值法是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）如果實(shí)數(shù)a、b同號(hào)，則下列命題中正確的是（）A．a(chǎn)2+b2＞2ab B．a(chǎn)+b≥2 C．+＞ D．≥2【分析】用特殊值法可排除選項(xiàng)A，B，C，例如A：取a＝b，B和C：取a＜0，b＜0；利用基本不等式可證明選項(xiàng)D．【解答】解：選項(xiàng)A，當(dāng)a＝b時(shí)，a2+b2＝2ab，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)，a+b＜0，而＞0，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)，+＜0，而＞0，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，因?yàn)閷?shí)數(shù)a、b同號(hào)，所以＞0，＞0，所以+≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b時(shí)，等號(hào)成立，故D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式的應(yīng)用，理解“一正二定三相等”的含義是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）已知集合A、B非空，且A?B，則下列式子中一定是空集的為（）A．∩B B．A∩ C．∩ D．∪【分析】由題意畫(huà)出韋恩圖判斷即可．【解答】解：由韋恩圖知B對(duì)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的包含關(guān)系，屬于容易題．16．（5分）定義A﹣B＝{x|x∈A且x?B}，設(shè)A、B、C是某集合的三個(gè)子集，且滿(mǎn)足（A﹣B）∪（B﹣A）?C，則A?（C﹣B）∪（B﹣C）是A∩B∩C＝?的（）A．充要條件 B．充分非必要條件 C．必要非充分條件 D．既非充分也非必要條件【分析】作出示意圖，由于（A﹣B）∪（B﹣A）?C，可知兩個(gè)陰影部分均為?，根據(jù)新定義結(jié)合集合并集的運(yùn)算以及充分條件與必要條件的定義判斷即可．【解答】解：如圖由于（A﹣B）∪（B﹣A）?C，可知兩個(gè)陰影部分均為?，于是A＝Ⅰ∪Ⅳ∪Ⅴ，B＝Ⅲ∪Ⅳ∪Ⅴ，C＝Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅲ∪Ⅴ，（1）若A∩B∩C＝?，則Ⅴ＝?，所以A＝Ⅰ∪Ⅳ，而（C﹣B）∪（B﹣C）＝Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅳ，所以A?（C﹣B）∪（B﹣C）成立，（2）反之，若A?（C﹣B）∪（B﹣C），則由于（C﹣B）∪（B﹣C）＝Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅳ，A＝Ⅰ∪Ⅳ∪Ⅴ，所以（Ⅰ∪Ⅳ∪Ⅴ）?（Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅳ），所以Ⅴ＝?，所以A∩B∩C＝?，故A?（C﹣B）∪（B﹣C）是A∩B∩C＝?的充要條件，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、集合之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．三、解答題.17．（10分）已知全集為R，集合A＝{x|0＜2x+a≤3}，B＝{x|﹣＜x＜2}，若A∩B＝A，且A≠?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【分析】求出集合A，由A∩B＝A，且A≠?，得A?B，列出不等式組，能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：∵全集為R，集合A＝{x|0＜2x+a≤3}＝{x|＜x≤}，B＝{x|﹣＜x＜2}，A∩B＝A，且A≠?，∴A?B，∴，解得﹣1＜a≤1，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣1，1]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．18．（10分）已知一元二次方程x2﹣mx+m+1＝0的兩實(shí)根為x1、x2，且x12+x22＝1，求實(shí)數(shù)m的值．【分析】由題意可得x1+x2＝m，x1x2＝m+1，進(jìn)行變形后代入即可求解．【解答】解：由題意可得x1+x2＝m，x1x2＝m+1，則x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝m2﹣2（m+1）＝1，解得m＝﹣1或m＝3，當(dāng)m＝﹣1時(shí)，Δ＝m2﹣4（m+1）＝1＞0，符合，當(dāng)m＝3時(shí)，Δ＝m2﹣4（m+1）＝﹣7＜0，舍去，綜上：m＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程根的存在條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．19．（10分）某新建居民小區(qū)預(yù)建一面積為700m2的矩形綠地，并在綠地四周鋪設(shè)人行道，設(shè)計(jì)要求綠地外南北兩側(cè)人行道寬3m，東西兩側(cè)人行道寬4m（如圖所示）．問(wèn)：如何設(shè)計(jì)綠地的長(zhǎng)度和寬度，才能使人行道的占地面積最小？并求出此時(shí)人行道的占地面積．（結(jié)果精確到0.1m）【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：設(shè)矩形綠地的長(zhǎng)度為x，寬為，人行道的占地面積S，則S＝＝＝≈414.4，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故綠地的長(zhǎng)為≈30.5米，寬為23米時(shí)，人行道的占地面積最小為414.4平方米．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，掌握基本不等式公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．20．（10分）（1）已知x＞0，x≠1，試比較x3+與x2+的大小，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)a＞b＞c，a+b+c＝1，且a2+b2+c2＝1，證明：c＜0．【分析】（1）利用作差法，分類(lèi)討論比較大小即可；（2）將原問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造二次方程即可證得題中的結(jié)論．【解答】（1）解：，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，x﹣1＜0，，所以，即，當(dāng)x＞1時(shí)，x﹣1＞0，，所以，即，綜上：．（2）證明：由a+b＝1﹣c得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（1﹣c）2﹣2ab＝1﹣c2．∴ab＝c2﹣c．因此構(gòu)造以a、b為根的一元二次方程x2﹣（1﹣c）x+c2﹣c＝0．令f（x）＝x2﹣（1﹣c）x+c2﹣c．由a、b∈R及a＞b＞c，得，解得，所以c＜0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作差法比較大小，分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，條件不等式的證明等知識(shí)，屬于中等題．21．（10分）已知集合A為非空數(shù)集，定義：S＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，T＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}．（1）若集合A＝{1，3}，直接寫(xiě)出集合S、T；（2）若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，且T＝A，寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的集合A，并說(shuō)明理由；（3）若集合A?{x|0≤x≤2020，x∈N}，S