2021-2022學(xué)年北京四中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年北京四中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．（4分）空間直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A（﹣2，1，4）關(guān)于點(diǎn)B（﹣2，0，0）的對(duì)稱點(diǎn)為B′，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（）A．（﹣2，﹣1，﹣4） B．（﹣4，﹣1，﹣4） C．（﹣6，1，4） D．2．（4分）已知直線l1：ax+（a+2）y+1＝0，l2：x+ay+2＝0．若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的值是（）A．0 B．2或﹣1 C．0或﹣3 D．﹣33．（4分）橢圓＝1過點(diǎn)（﹣2，），則其焦距為（）A．2 B．2 C．4 D．44．（4分）已知直線l：x﹣y+1＝0和圓C：（x+1）2+（y+2）2＝5交于M，N兩點(diǎn)，則|MN|＝（）A．2 B．4 C． D．5．（4分）已知直線l的方程為（sin70°）x﹣（sin20°）y﹣5＝0，則l的傾斜角是（）A．20° B．160° C．70° D．110°6．（4分）圓心在直線2x+y＝0上，且與直線x+y﹣1＝0相切于點(diǎn)P（2，﹣1）的圓的方程為（）A．（x﹣1）2+（y+2）2＝ B．（x﹣2）2+（y+1）2＝2 C．（x+2）2+（y﹣1）2＝ D．（x﹣1）2+（y+2）2＝27．（4分）橢圓的焦距為2c，若直線y＝2x與橢圓一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰為c，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．8．（4分）“六邊形教室”是四中校友記憶中不可磨滅的一部分．空間中，教室的形狀近似一個(gè)正六棱柱．設(shè)正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中，所有棱長均相等，M、N分別是四邊形EFF1E1，DEE1D1的中心，設(shè)MN與A1B1所成的角為α，D1B與A1B1所成的角為β，則α+β＝（）A．120° B．90° C．75° D．60°9．（4分）若直線mx+ny＝4和圓x2+y2＝4沒有公共點(diǎn)，則過點(diǎn)（m，n）的直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．至多一個(gè) B．0個(gè) C．1個(gè) D．2個(gè)10．（4分）在一平面直角坐標(biāo)系中，已知A（﹣1，6），B（2，﹣6），現(xiàn)沿x軸將坐標(biāo)平面折成60°的二面角，則折疊后A，B兩點(diǎn)間的距離為（）A． B． C． D．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．（5分）與向量方向相同的單位向量是．12．（5分）已知點(diǎn)P（4，2），Q（1，0），則過點(diǎn)Q且與OP（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）平行的直線方程是．13．（5分）若向量，，共面，則m＝．14．（5分）橢圓x2+ky2＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)在圓x2+y2＝4上，則實(shí)數(shù)k＝．15．（5分）橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1和F2，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是．①當(dāng)時(shí)，使得∠F1PF2＝90°的點(diǎn)P有兩個(gè)；②當(dāng)時(shí)，使得∠F1PF2＝90°的點(diǎn)P有四個(gè)；③當(dāng)a＝2b時(shí)，使得△PF1F2是等腰三角形的點(diǎn)P有四個(gè)；④當(dāng)a＞2b時(shí)，使得△PF1F2是等腰三角形的點(diǎn)P有六個(gè)．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16．（12分）已知橢圓C：x2+4y2＝4，斜率為﹣1的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)且．（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）求直線l的方程．17．（14分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝1，M為CC1的中點(diǎn)．（Ⅰ）求平面A1BM與平面ABCD所成銳二面角的余弦值；（Ⅱ）求點(diǎn)D到平面A1BM的距離．18．（14分）已知在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，CD⊥平面PAD，E，F(xiàn)，G，O分別是PC，PD，BC，AD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大??；（Ⅲ）線段PA上是否存在點(diǎn)M，使得直線GM與平面EFG所成角為，若存在，求線段PM的長度；若不存在，說明理由．19．（15分）已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣3，0），，C（3，0）．圓M為△ABC的外接圓．（Ⅰ）求圓M的方程；（Ⅱ）直線l與圓M相切，求直線l與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積最小時(shí)l的方程．20．（15分）已知橢圓C：的離心率e＝，且經(jīng)過點(diǎn)A（0，﹣1）．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)P（0，2）的直線l與橢圓交于C，D兩點(diǎn)．是否存在直線l使得以CD為直徑的圓過點(diǎn)E（﹣1，0）？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．21．（15分）對(duì)于給定的正整數(shù)n，記集合Rn＝{α|α＝（x1，x2，x3，???，xn），xj∈R，j＝1，2，3，???，n}，其中元素α稱為一個(gè)n維向量．特別地，稱為零向量．設(shè)k∈R，α＝（a1，a2，???，an），β＝（b1，b2，???，bn）∈Rn，定義加法和數(shù)乘：α+β＝（a1+b1，a2+b2，???，an+bn），kα＝（ka1，ka2，???，kan）．對(duì)一組向量，，…，（s∈N+，s≥2），若存在一組不全為零的實(shí)數(shù)k1，k2，…，ks，使得k1+k2+???+ks＝，則稱這組向量線性相關(guān)．否則，稱為線性無關(guān)．（Ⅰ）對(duì)n＝3，判斷下列各組向量是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由．①，；②，，；③，，，．（Ⅱ）已知向量，，線性無關(guān)，判斷向量，，是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由．（Ⅲ）已知m（m≥2）個(gè)向量，，…，線性相關(guān)，但其中任意m﹣1個(gè)都線性無關(guān)，證明下列結(jié)論：（?。┤绻嬖诘仁絢1＝（ki∈R，i＝1，2，3，???，m），則這些系數(shù)k1，k2，…，km或者全為零，或者全不為零；（ⅱ）如果兩個(gè)等式k1＝，l1＝（ki∈R，li∈R，i＝1，2，3，???，m）同時(shí)成立，其中l(wèi)1≠0，則．

2021-2022學(xué)年北京四中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．（4分）空間直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A（﹣2，1，4）關(guān)于點(diǎn)B（﹣2，0，0）的對(duì)稱點(diǎn)為B′，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（）A．（﹣2，﹣1，﹣4） B．（﹣4，﹣1，﹣4） C．（﹣6，1，4） D．【分析】在空間直角坐標(biāo)系中，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可．【解答】解：在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣2，1，4）關(guān)于點(diǎn)B（﹣2，0，0）的對(duì)稱點(diǎn)為B′，則點(diǎn)B′坐標(biāo)為（﹣2，﹣1，﹣4）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查空間直角坐標(biāo)系的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．（4分）已知直線l1：ax+（a+2）y+1＝0，l2：x+ay+2＝0．若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的值是（）A．0 B．2或﹣1 C．0或﹣3 D．﹣3【分析】由垂直可得a+a（a+2）＝0，解方程可得．【解答】解：∵直線l1：ax+（a+2）y+1＝0，l2：x+ay+2＝0，且l1⊥l2，∴a+a（a+2）＝0，解得a＝0或a＝﹣3故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的一般式方程和垂直關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．3．（4分）橢圓＝1過點(diǎn)（﹣2，），則其焦距為（）A．2 B．2 C．4 D．4【分析】先由條件把橢圓經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，即可求出待定系數(shù)m，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)橢圓的a，b，c之間的關(guān)系即可求出焦距2c．【解答】解：由題意知，把點(diǎn)（﹣2，）代入橢圓的方程可求得b2＝4，故橢圓的方程為，∴a＝4，b＝2，c＝＝＝2，則其焦距為4．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓方程中a、b、c之間的關(guān)系．4．（4分）已知直線l：x﹣y+1＝0和圓C：（x+1）2+（y+2）2＝5交于M，N兩點(diǎn)，則|MN|＝（）A．2 B．4 C． D．【分析】首先求得圓心到直線的距離，然后計(jì)算弦長即可．【解答】解：圓心（﹣1，﹣2）到直線的距離，則直線與圓相交的弦長為．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的弦長的求解等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．5．（4分）已知直線l的方程為（sin70°）x﹣（sin20°）y﹣5＝0，則l的傾斜角是（）A．20° B．160° C．70° D．110°【分析】由題意利用直線方程求出直線的斜率，再根據(jù)直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，得出結(jié)論．【解答】解：∵直線l的方程為（sin70°）x﹣（sin20°）y﹣5＝0，則l的斜率為＝＝tan70°，故該直線的傾斜角為70°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查求直線的斜率，誘導(dǎo)公式，直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．6．（4分）圓心在直線2x+y＝0上，且與直線x+y﹣1＝0相切于點(diǎn)P（2，﹣1）的圓的方程為（）A．（x﹣1）2+（y+2）2＝ B．（x﹣2）2+（y+1）2＝2 C．（x+2）2+（y﹣1）2＝ D．（x﹣1）2+（y+2）2＝2【分析】由題意確定圓的圓心和半徑即可求得圓的方程．【解答】解：過點(diǎn)P（2，﹣1）且與直線y＝﹣x+1垂直的直線為x﹣y﹣3＝0，由．即圓心C（1，﹣2），半徑，所求圓的方程為（x﹣1）2+（y+2）2＝2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的方程的求解，屬于基礎(chǔ)題．7．（4分）橢圓的焦距為2c，若直線y＝2x與橢圓一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰為c，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【分析】聯(lián)立直線與橢圓的方程，解得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由題意可得a，c的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率的值【解答】解：聯(lián)立，可得x2＝，由題意可得c2＝＝，整理可得：e4﹣6e2+1＝0，解得：e2＝3，e∈（0，1），解得e＝﹣1，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題．8．（4分）“六邊形教室”是四中校友記憶中不可磨滅的一部分．空間中，教室的形狀近似一個(gè)正六棱柱．設(shè)正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中，所有棱長均相等，M、N分別是四邊形EFF1E1，DEE1D1的中心，設(shè)MN與A1B1所成的角為α，D1B與A1B1所成的角為β，則α+β＝（）A．120° B．90° C．75° D．60°【分析】根據(jù)題意畫出圖形，通過平行關(guān)系得MN與A1B1所成的角就是PQ與D1E1所成的角，D1B與A1B1所成的角為∠E1D1B或其補(bǔ)，通過研究幾何關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算，得到結(jié)果．【解答】解：如圖，由圖形特點(diǎn)可得AB∥D1E1，因?yàn)镸、N分別是四邊形EFF1E1，DEE1D1的中心，即分別為FE1，DE1的中點(diǎn)，過點(diǎn)M、N分別作FE1，DE1的垂線，故MN與A1B1所成的角就是PQ與D1E1所成的角，即∠PQE1，因?yàn)椤螾E1Q＝120°，∠QPE1＝∠PQE1＝30°，∴α＝30°，D1B與A1B1所成的角為∠E1D1B或其補(bǔ)，設(shè)六棱柱棱長為2，可求得BE1＝2，BD1＝2，D1E1＝2，即BE12＝BD12+D1E12，所以∠E1D1B＝90°，即β＝90°，所以α+β＝120°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了異面直線所成角的求解，考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等，屬于中檔題．9．（4分）若直線mx+ny＝4和圓x2+y2＝4沒有公共點(diǎn)，則過點(diǎn)（m，n）的直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．至多一個(gè) B．0個(gè) C．1個(gè) D．2個(gè)【分析】先根據(jù)題意可知原點(diǎn)到直線mx+ny﹣4＝0的距離大于等于2求得m和n的范圍可推斷點(diǎn)P（m，n）是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓內(nèi)的點(diǎn)，根據(jù)圓的方程和橢圓方程可知圓x2+y2＝4內(nèi)切于橢圓，進(jìn)而可知點(diǎn)P是橢圓內(nèi)的點(diǎn)，進(jìn)而判斷可得答案．【解答】解：因?yàn)橹本€mx+ny＝4和圓x2+y2＝4沒有公共點(diǎn)，所以原點(diǎn)到直線mx+ny﹣4＝0的距離d＝＞2，所以m2+n2＜4，所以點(diǎn)P（m，n）是在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓內(nèi)的點(diǎn)．∵橢圓的長半軸3，短半軸為2∴圓x2+y2＝4內(nèi)切于橢圓∴點(diǎn)P是橢圓內(nèi)的點(diǎn)∴過點(diǎn)P（m，n）的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)數(shù)為2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與圓、直線與圓錐曲線的關(guān)系，以及點(diǎn)到直線的距離公式，解決此類問題可采用數(shù)形結(jié)合的方法較為直觀．10．（4分）在一平面直角坐標(biāo)系中，已知A（﹣1，6），B（2，﹣6），現(xiàn)沿x軸將坐標(biāo)平面折成60°的二面角，則折疊后A，B兩點(diǎn)間的距離為（）A． B． C． D．【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算，向量的模的運(yùn)算求出結(jié)果．【解答】解：如圖所示：如圖折疊作AC⊥CD，BD⊥CD，則AC＝6，BD＝6，CD＝3，的夾角為60°，故，所以＝，＝36+9+36﹣2×6×0+2×6×6×（﹣）+2×3×0＝81﹣36＝45．故．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，向量的模，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．（5分）與向量方向相同的單位向量是（，，﹣）．【分析】求出向量的模，然后求解單位向量即可．【解答】解：向量，可得＝＝3，所以與向量方向相同的單位向量是：（，，﹣）．故答案為：（，，﹣）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查單位向量的求法，向量的模的計(jì)算，是基礎(chǔ)題．12．（5分）已知點(diǎn)P（4，2），Q（1，0），則過點(diǎn)Q且與OP（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）平行的直線方程是x﹣2y﹣1＝0．【分析】根據(jù)直線平行關(guān)系先求直線的斜率，然后結(jié)合直線的點(diǎn)斜式可求．【解答】解：由題意得直線OP的斜率k＝，所以過點(diǎn)Q且與OP平行的直線方程為y＝（x﹣1），即x﹣2y﹣1＝0．故答案為：x﹣2y﹣1＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線的斜率公式，直線的位置關(guān)系及直線方程的求解，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）若向量，，共面，則m＝7．【分析】由題意設(shè)，代入坐標(biāo)，利用坐標(biāo)相等列出方程組，即可求得m值．【解答】解：∵向量，，共面，∴可設(shè)，即（2，﹣4，m）＝（x，﹣x，2x）+（0，2y，﹣3y）＝（x，2y﹣x，2x﹣3y），則，解得．故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查共面向量基本定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．14．（5分）橢圓x2+ky2＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)在圓x2+y2＝4上，則實(shí)數(shù)k＝．【分析】分橢圓的焦點(diǎn)在x，y軸上，由橢圓的定義可得c的值，即求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，將焦點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程可得k的值．【解答】解：將橢圓的方程x2+ky2＝1化為標(biāo)準(zhǔn)方程：x2+＝1，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a2＝1，b2＝＜1，則c2＜1，焦點(diǎn)不可能在圓x2+y2＝4上，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a2＝，b2＝1，所以c2＝﹣1，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±c），由題意c2＝4，即﹣1＝4，解得：k＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)，及點(diǎn)到賬圓上的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1和F2，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是①④．①當(dāng)時(shí)，使得∠F1PF2＝90°的點(diǎn)P有兩個(gè)；②當(dāng)時(shí)，使得∠F1PF2＝90°的點(diǎn)P有四個(gè)；③當(dāng)a＝2b時(shí)，使得△PF1F2是等腰三角形的點(diǎn)P有四個(gè)；④當(dāng)a＞2b時(shí)，使得△PF1F2是等腰三角形的點(diǎn)P有六個(gè)．【分析】對(duì)于①②，將問題轉(zhuǎn)化為以O(shè)為圓心，c為半徑的圓與橢圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題；對(duì)于③④，利用橢圓對(duì)稱性得到短軸端點(diǎn)滿足題意后，將問題轉(zhuǎn)化為以F1為圓心，2c為半徑的圓與橢圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷問題；由此可得各選項(xiàng)的正誤．【解答】解：對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，F(xiàn)M，則以O(shè)為圓心，c為半徑的圓與橢圓交于短軸兩端點(diǎn)，即使得∠F1PF2＝90°的點(diǎn)P為短軸兩個(gè)端點(diǎn)，①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，則以O(shè)為圓心，c為半徑的圓與橢圓無交點(diǎn)，即使得∠F1PF2＝90°的點(diǎn)P不存在，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)a＝2b時(shí)，若P為短軸端點(diǎn)，則△PF1F2為等腰三角形；假設(shè)|PF1|＝|F1F2|＝2c，則P在以F1為圓心，2c為半徑的圓上，∵，，，橢圓半通徑長為，∴，∴以F1為圓心，2c為半徑的圓與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，即此時(shí)使得△PF1F2是等腰三角形的點(diǎn)P有兩個(gè)；同理可知：若|PF2|＝|F1F2|＝2c，此時(shí)使得△PF1F2是等腰三角形的點(diǎn)P有兩個(gè)；綜上所述：若a＝2b，則使得△PF1F2是等腰三角形的點(diǎn)P有六個(gè)，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)a＞2b時(shí)，若P為短軸端點(diǎn)，則△PF1F2為等腰三角形；假設(shè)|PF1|＝|F1F2|＝2c，則P在以F1為圓心，2c為半徑的圓上，∵a＞2b，∴，離心率；∴，∴a﹣c＜2c，又橢圓半通徑長為，∴以F1為圓心，2c為半徑的圓與橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，此時(shí)使得△PF1F2是等腰三角形的點(diǎn)P有兩個(gè)；同理可知：若|PF2|＝|F1F2|＝2c，此時(shí)使得△PF1F2是等腰三角形的點(diǎn)P有兩個(gè)；綜上所述：若a＞2b，則使得△PF1F2是等腰三角形的點(diǎn)P有六個(gè)，④正確．故答案為：①④．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓與圓的位置關(guān)系，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，屬于中等題．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16．（12分）已知橢圓C：x2+4y2＝4，斜率為﹣1的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)且．（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）求直線l的方程．【分析】（Ⅰ）將橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得a，b的值，進(jìn)而求出c的值，再求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)直線l的方程，與橢圓的方程聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，代入弦長的公式求出弦長，由題意求出參數(shù)的值，可得直線l的方程．【解答】解：（Ⅰ）將橢圓的方程x2+4y2＝4化為標(biāo)準(zhǔn)方程：+y2＝1，所以a2＝4，b2＝1，可得c2＝a2﹣b2＝4﹣1＝3，所以橢圓的離心率e＝＝，所以橢圓的離心率為；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為x＝﹣y+t，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立整理可得：5y2﹣2ty+t2﹣4＝0，則Δ＝4t2﹣4×5×（t2﹣4）＞0，即t2＜5，且y1+y2＝，y1y2＝，所以弦長|AB|＝?＝?＝?，由題意可得＝，解得：t＝±1，符合判別式大于0的條件，所以直線AB的方程為x＝﹣y±1，即直線l的方程x+y±1＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，弦長公式的應(yīng)用，屬于中檔題．17．（14分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝1，M為CC1的中點(diǎn)．（Ⅰ）求平面A1BM與平面ABCD所成銳二面角的余弦值；（Ⅱ）求點(diǎn)D到平面A1BM的距離．【分析】（Ⅰ）在正四棱柱中，DA，DC，DD1兩兩垂直，建立以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面A1BM與平面ABCD的法向量，利用法向量的夾角求得二面角的夾角余弦值；（Ⅱ）利用向量法求得DB與平面A1BM的夾角正弦值，進(jìn)而求得D到平面A1BM的距離．【解答】解：（Ⅰ）在正四棱柱中，DA，DC，DD1兩兩垂直，建立以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則D（0，0，0），D1（0，0，1），A1（2，0，1），B（2，2，0），，則，，設(shè)平面A1BM法向量，則，即，取，因DD1⊥平面ABCD，故取平面ABCD的法向量為，則，平面A1BM與平面ABCD所成銳二面角的余弦值為；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，，則點(diǎn)D到平面A1BM的距離為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量計(jì)算面面角的方法，空間向量計(jì)算點(diǎn)面距離的方法等知識(shí)，屬于中等題．18．（14分）已知在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，CD⊥平面PAD，E，F(xiàn)，G，O分別是PC，PD，BC，AD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大??；（Ⅲ）線段PA上是否存在點(diǎn)M，使得直線GM與平面EFG所成角為，若存在，求線段PM的長度；若不存在，說明理由．【分析】（I）因?yàn)镻O⊥AD，又CD⊥平面PAD，得到PO⊥CD，進(jìn)而證明結(jié)論；（II）以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)分別以O(shè)A、OG、OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，平面EFG的法向量，又平面ABCD的法向量，利用夾角公式求出即可；（III）假設(shè)線段PA上存在點(diǎn)M，設(shè)，由直線GM與平面EFG所成角為，得到關(guān)于λ的方程，解方程判斷即可．【解答】解：（Ⅰ）證明：因?yàn)椤鱌AD是正三角形，O是AD的中點(diǎn)，所以PO⊥AD．又因?yàn)镃D⊥平面PAD，PO?平面PAD，所以PO⊥CD，AD∩CD＝D，AD，CD?平面ABCD，所以PO⊥面ABCD；（Ⅱ）如圖，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)分別以O(shè)A、OG、OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，設(shè)平面EFG的法向量為，由，得令z＝1，則，又平面ABCD的法向量，設(shè)平面EFG與平面ABCD所成銳二面角為θ，所以．所以平面EFG與平面ABCD所成銳二面角為；（Ⅲ）假設(shè)線段PA上存在點(diǎn)M，使得直線GM與平面EFG所成角為，設(shè)，由，所以．所以＝，整理得2λ2﹣3λ+2＝0，無解，所以，不存在這樣的點(diǎn)M．【點(diǎn)評(píng)】考查線面垂直的判定，向量法求二面角和線面所成的角的余弦值，考查運(yùn)算能力，中檔題．19．（15分）已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣3，0），，C（3，0）．圓M為△ABC的外接圓．（Ⅰ）求圓M的方程；（Ⅱ）直線l與圓M相切，求直線l與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積最小時(shí)l的方程．【分析】（Ⅰ）設(shè)出圓的一般方程，代入A，B，C可構(gòu)造方程組求得結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)，利用直線與圓相切和基本不等式可知當(dāng)|a|＝|b|直線l與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積最小，由此得到a，b，進(jìn)而整理得到直線方程．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)圓M方程為：x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），則，解得：，∴圓M方程為：x2+y2﹣9＝0，即x2+y2＝9．（Ⅱ）由題意知：直線l在x，y軸的截距不為零，∴可設(shè)，即bx+ay﹣ab＝0，∵l與M相切，∴，即（當(dāng)且僅當(dāng)|a|＝|b|時(shí)取等號(hào)），∴|ab|≥18，即當(dāng)時(shí)，直線l與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積最小，此時(shí)所有可能的結(jié)果為：或或或，∴l(xiāng)方程為：或或或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的方程的求解，圓中的最值問題等知識(shí)，屬于中等題．20．（15分）已知橢圓C：的離心率e＝，且經(jīng)過點(diǎn)A（0，﹣1）．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)P（0，2）的直線l與橢圓交于C，D兩點(diǎn)．是否存在直線l使得以CD為直徑的圓過點(diǎn)E（﹣1，0）？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．【分析】（Ⅰ）由題意列關(guān)于a，b，c的方程組，求得a與b的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l方程為x＝0，以CD為直徑的圓過點(diǎn)E；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l方程為y＝kx+2，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合已知條件，即可求出當(dāng)以CD為直徑的圓過定點(diǎn)E時(shí)，直線l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由題意，，解得，b＝1，c＝．∴橢圓C的方程為；（Ⅱ）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l方程為x＝0，則直線l與橢圓的交點(diǎn)為（0，±1），又∵E（﹣1，0），∴∠CED＝90°，即以CD為直徑的圓過點(diǎn)E；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l方程為y＝kx+2，C（x1，y1），D（x2，y2），由，得（1+3k2）x2+12kx+9＝0，由Δ＝144k2﹣4×9（1+3k2）＝36k2﹣36＞0，得k＞1或k＜﹣1，∴，，∴y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝k2x1x2+2k（x1+x2）+4．∵以CD為直徑的圓過點(diǎn)E，∴EC⊥ED，即＝0，得（x1+1）（x2+1）+y1y2＝0，∴（1+k2）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5＝0，∴+（2k+1）?+5＝0，解得k＝＞1，即l：y