河南省鄭州市登封實驗中學高二數(shù)學理模擬試題含解析

河南省鄭州市登封實驗中學高二數(shù)學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.拋物線y2=4x經(jīng)過焦點的弦的中點的軌跡方程是（）A．y2=x﹣1 B．y2=2（x﹣1） C． D．y2=2x﹣1參考答案：B【考點】拋物線的簡單性質；軌跡方程．【分析】先根據(jù)拋物線方程求得焦點坐標，進而設出過焦點弦的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達定理表示出x1+x2，進而根據(jù)直線方程求得y1+y2，進而求得焦點弦的中點的坐標的表達式，消去參數(shù)k，則焦點弦的中點軌跡方程可得．【解答】解：由題知拋物線焦點為（1，0）設焦點弦方程為y=k（x﹣1）代入拋物線方程得所以k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0由韋達定理：x1+x2=所以中點橫坐標：x==代入直線方程中點縱坐標：y=k（x﹣1）=．即中點為（，）消參數(shù)k，得其方程為y2=2x﹣2故選B．2.若

（

）A、-3

B、-

C、3

D、參考答案：A略3.過圓x2+y2-2x+4y-4=0內(nèi)一點M（3，0）作直線，使它被該圓截得的線段最短，則直線的方程是（

）

A．x+y-3=0

B．x-y-3=0C．x+4y-3=0

D．x-4y-3=0參考答案：A略4.如圖，到的距離分別是和，與所成的角分別是和，若，則(

)

A．

B．

C．

D．與大小不確定參考答案：A5.下列說法正確的是（

）A.一條直線的斜率為，則這條直線的傾斜角是.B.過點A和點B的直線的方程為.C.若兩直線平行，則它們的斜率相等.D.若兩直線斜率之積等于－1，則兩直線垂直.參考答案：D略6.已知（1+x）10=a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a10（1﹣x）10，則a8=（）A．﹣180 B．180 C．45 D．﹣45參考答案：B【考點】二項式定理．【分析】將1+x寫成2﹣（1﹣x）；利用二項展開式的通項公式求出通項，令1﹣x的指數(shù)為8，求出a8．【解答】解：∵（1+x）10=[2﹣（1﹣x）]10∴其展開式的通項為Tr+1=（﹣1）r210﹣rC10r（1﹣x）r令r=8得a8=4C108=180故選B7.對“a、b、c至少有一個是正數(shù)”的反設是

（

） A．a(chǎn)、b、c至少有一個是負數(shù) B.a、b、c至少有一個是非正數(shù) C．a(chǎn)、b、c都是非正數(shù)

D.a、b、c都是正數(shù)

參考答案：C略8.已知命題p：“?x0∈R，x03＞x0”，則命題￢p為（）A．?x∈R，x3＞x B．?x∈R，x3＜x C．?x∈R，x3≤x D．?x0∈R，x03≤x0參考答案：C【考點】命題的否定．【分析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，即可得到所求命題的否定．【解答】解：由特稱命題的否定為全稱命題，可得命題p：“?x0∈R，x03＞x0”，則命題￢p為”?x∈R，x3≤x”．故選：C．9.在有限數(shù)列{an}中，Sn是{an}的前n項和，若把稱為數(shù)列{an}的“優(yōu)化和”，現(xiàn)有一個共2006項的數(shù)列{an}：a1，a2，a3，…，a2006-，若其“優(yōu)化和”為2007，則有2007項的數(shù)列1，a1，a2，a3，…，a2006-的“優(yōu)化和”為（

）

A．2005

B．2006

C．2007

D．2008參考答案：C10.已知命題，，則

（

）A.

B.C.

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知拋物線

=4與直線交于A、B兩點，那么線段AB的中點的坐標是__參考答案：(4,2)12.已知x>0，y>0，且x+4y=1,則的最小值為

▲

參考答案：13.方程的實根個數(shù)是

參考答案：1略14.已知Z是復數(shù)，|Z﹣2+i|=，則|z|的取值范圍．參考答案：[，]【考點】A8：復數(shù)求模．【分析】由題意畫出圖形，求出圓心到原點的距離，數(shù)形結合得答案．【解答】解：|Z﹣2+i|=的幾何意義為復平面內(nèi)動點Z到定點P（2，﹣1）的距離為的軌跡，如圖：∵|OP|=，∴|z|的最小值為，最大值為．取值范圍為[，]．故答案為：[，]．15..（本小題共14分）對、，已知下列不等式成立：①②③④（1）用類比的方法寫出（2）若、，證明：（3）將上述不等式推廣到一般情形，請寫出你所得結論的數(shù)學表達式（不必證明）.

參考答案：解：（1）類比得到：（或或）……………4分

（2）=

……………8分又，，∴.

……………10分（3）一般情形為：

略16.已知的三邊長為，內(nèi)切圓半徑為（用），則；類比這一結論有：若三棱錐的內(nèi)切球半徑為，則三棱錐體積

.參考答案：17.與圓外切，且與y軸相切的動圓圓心的軌跡方程為 或

．參考答案：，解析：由圓錐曲線的定義，圓心可以是以(2,0)為焦點、

為準線的拋物線上的點；若切點是原點，則圓心在x軸負半軸上．所以軌跡方程為

，或三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.函數(shù)角度看，可以看成是以r為自變量的函數(shù)，其定義域是.（1）證明：（2）試利用1的結論來證明：當n為偶數(shù)時，的展開式最中間一項的二項式系數(shù)最大；當n為奇數(shù)時的展開式最中間兩項的二項式系數(shù)相等且最大.參考答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）先根據(jù)組合數(shù)公式求出、，計算的值，從而證得結論；（2）設，由（1）可得，令，可得（等號不成立），故有當時，成立；當時，成立.故最大，當為奇數(shù)時，同理可證，從而證得結論.【詳解】（1）因為，又因為，所以.則成立.（2）設，因為，，所以.令，所以，則（等號不成立），所以時，成立，反之，當時，成立.所以最大，即展開式最中間一項的二項式系數(shù)最大；當為奇數(shù)時，設，其最中間有兩項且，由（1）知，顯然，，令，可得，，當時，，且這兩項為二項展開式最中間兩項的系數(shù)，所以時，成立；由對稱性可知：當時，成立，又，故當為奇數(shù)時，的展開式最中間兩項的二項式系數(shù)相等且最大.【點睛】本題主要考查組合及組合數(shù)公式，二項式定理的應用以及二項式系數(shù)的性質，令，求出的范圍是解本題的關鍵，考查學生的計算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.19.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為：(為參數(shù))，以原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.(1)求直角坐標系下曲線與曲線的方程；(2)設為曲線上的動點，求點到上點的距離的最大值，并求此時點的坐標.參考答案：(1)由曲線，可得，兩式兩邊平方相加得：.即曲線在直角坐標系下的方程為.由曲線，即，所以，即曲線在直角坐標系下的方程為.(2)由(1)知橢圓與直線無公共點，橢圓上的點到直線的距離為，∴當即時，的最大值為.此時點的坐標為.20.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，是否存在過點（1，－1）的直線與函數(shù)的圖象相切？若存在，有多少條？若不存在，說明理由．參考答案：（1）由題意．

當時，函數(shù)的定義域為，，則，，則，此時函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，當時，函數(shù)的定義域為，，則，，則，此時函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。（2）假設存在這樣的切線，設其中一個切點，∴切線方程：，將點坐標代入得：，即，

①設，則．令，則或。（0,1）1（1,2）2+0-0+遞增極大值遞減極小值遞增所以在區(qū)間，上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在處取得極大值，在處取得極小值，所以在上恒成立，即在上無解。因為，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，根據(jù)零點定理，在區(qū)間上有且僅有一個實數(shù)根，即方程①有且僅有一解，故符合條件的切線有且僅有一條．略21.已知點N（1，2），過點N的直線交雙曲線于A、B兩點，且

（1）求直線AB的方程；

（2）若過N的直線l交雙曲線于C、D兩點，且，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？參考答案：解析：（1）設直線AB：代入得

（＊）

令A（x1，y1），B（x2，y2），則x1、x2是方程的兩根

∴

且

∵

∴

N是AB的中點

∴

∴

k=1

∴AB方程為：y=x+1

（2）將k=1代入方程（＊）得