黑龍江省哈爾濱市雙城第三中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

黑龍江省哈爾濱市雙城第三中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為135°，則E的離心率為（） A． B． C． D．參考答案：D【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)． 【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 【分析】根據(jù)△ABM是頂角為135°的等腰三角形，得出|BM|=|AB|=2a，∠MBx=45°，進而求出點M的坐標，再將點M代入雙曲線方程即可求出離心率． 【解答】解：不妨取點M在第一象限，如右圖： 設(shè)雙曲線的方程為：（a＞0，b＞0）， ∵△ABM是頂角為135°的等腰三角形， ∴|BM|=|AB|=2a，∠MBx=45°， ∴點M的坐標為（（+1）a，a）， 又∵點M在雙曲線上， ∴將M坐標代入坐標得﹣=1， 整理上式得，a2=（1+）b2，而c2=a2+b2=（2+）b2， ∴e2==，因此e=， 故選D． 【點評】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，靈活運用幾何關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題． 2.下列定積分計算正確的有（1）

（2）（3）

（4）A.1個

B.2個

C.3個

D.4個參考答案：B3.甲、乙兩人同時從A到B。甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半時間步行，一半時間跑步。如果兩人步行速度、跑步速度均相同，則（）Ａ．甲先到BＢ．乙先到BＣ．兩人同時到BＤ．誰先到無法確定參考答案：B解析：設(shè)甲用時間T，乙用時間2t，步行速度為a，跑步速度為b，距離為s，則T==s；2t＝，∴T－2t=>0∴T>2t4.設(shè)x∈R，則“1＜x＜3”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】由|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3．即可判斷出結(jié)論．【解答】解：由|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3．∴“1＜x＜3”是“|x﹣2|＜1”的充要條件．故選：C．5.一只小蜜蜂在一個棱長為３的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體六個面的距離均大于１，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為

（）A.

B.

C.

D.參考答案：B6.已知，則直線通過(

)

A．第一、二、三象限

B．第一、二、四象限

C．第二、三、四象限

D．第一、三、四象限

參考答案：D7.如果執(zhí)行右邊的程序框圖，那么輸出的S等于

（

）A、2550

B、2500

C、2450

D、2652參考答案：A略8.直線l過點（0，2），被圓截得的弦長為，則直線l的方程是（

）A. B. C. D.或參考答案：D9.已知平面向量，則實數(shù)的值為

(

）A．1

B．-4

C．-1

D．4參考答案：B10.,若,則的值等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.圖（1）為相互成120°的三條線段，長度均為1，圖（2）在第一張圖的線段的前端作兩條與該線段成120°的線段，長度為其一半，圖（3）用圖（2）的方法在每一線段前端生成兩條線段，長度為其一半，重復(fù)前面的作法至第n張圖，設(shè)第n個圖形所有線段長之和為an，則

．

（1）

（2）

（3）

參考答案：12.直線與拋物線交于A、B兩點，且AB中點的橫坐標為2，則k的值為

。參考答案：2略13.△ABC中，b=a,

B=2A，則△ABC為__

三角形參考答案：等腰直角14.已知橢圓C:的離心率為，過右焦點F且斜率為的直線與C相交于A、B兩點，若，則=（

）A.1

B.

C.

D.2參考答案：B略15.設(shè){an}是等比數(shù)列，且，，則{an}的通項公式為_______．參考答案：，【分析】先設(shè)的公比為，根據(jù)題中條件求出公比，進而可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，解得，所以，因此，，.故答案為，16.對于空間三條直線，有下列四個條件：①三條直線兩兩相交且不共點；②三條直線兩兩平行；③三條直線共點；④有兩條直線平行，第三條直線和這兩條直線都相交．其中，使三條直線共面的充分條件有

．參考答案：①④略17.平面上若一個三角形的周長為L,其內(nèi)切圓的半徑為R，則該三角形的面積S＝，類比到空間，若一個四面體的表面積為S，其內(nèi)切球的半徑為R，則該四面體的體積V＝▲.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，已知四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC，PC的中點．（1）證明：AE⊥平面PAD；（2）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．參考答案：【考點】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）通過證明AE⊥BC．PA⊥AE．說明PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，利用直線與平面垂直的判定定理證明AE⊥平面PAD．（2）解：設(shè)AB=2，H為PD上任意一點，連結(jié)AH，EH．由（1）知AE⊥平面PAD，則∠EHA為EH與平面PAD所成的角．（法一）在Rt△ESO中，求出cos∠ESO的值即可．（法二）由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面AEF的一個法向量為，求出平面AFC的一個法向量，利用二面角公式求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值．【解答】（1）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形．∵E為BC的中點，∴AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE．而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD．（2）解：設(shè)AB=2，H為PD上任意一點，連結(jié)AH，EH．由（1）知AE⊥平面PAD，則∠EHA為EH與平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，AE=，∴當AH最短時，∠EHA最大，即當AH⊥PD時，∠EHA最大．此時tan∠EHA===，因此AH=1．又AD=2，∴∠ADH=30°，∴PA=ADtan30°=．（8分）（法一）∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD．過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，過O作OS⊥AF于S，連結(jié)ES，則∠ESO為二面角E﹣AF﹣C的平面角，在Rt△AOE中，EO=AE?sin30°=，AO=AE?cos30°=．又F是PC的中點，如圖，PC==，∴AF=PC=，sin∠SAO==，在Rt△ASO中，SO=AO?sin∠SAO=，∴SE===，在Rt△ESO中，cos∠ESO===，即所求二面角的余弦值為．（12分）（法二）由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點，∴A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F(xiàn)（，，），∴=（，0，0），=（，，）．設(shè)平面AEF的一個法向量為=（x1，y1，z1），則因此，取z1=﹣1，則m=（0，，﹣1），∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，∴BD⊥平面AFC，故為平面AFC的一個法向量．又=（﹣，3，0），∴cos＜，＞===．∵二面角E﹣AF﹣C為銳角，∴所求二面角的余弦值為．（12分）【點評】本題考查直線與平面垂直的判定定理，二面角的求法，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以便利用已知條件得到空間的線面關(guān)系，并且便于建立坐標系利用向量的有關(guān)運算解決空間角等問題．19.如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點E在棱AB上．（Ⅰ）求異面直線D1E與A1D所成的角；（Ⅱ）若二面角D1﹣EC﹣D的大小為45°，求點B到平面D1EC的距離．參考答案：【考點】用空間向量求平面間的夾角；異面直線及其所成的角；點、線、面間的距離計算；二面角的平面角及求法．【分析】解法一：（Ⅰ）連結(jié)AD1．判斷AD1是D1E在平面AA1D1D內(nèi)的射影．得到異面直線D1E與A1D所成的角．（Ⅱ）作DF⊥CE，垂足為F，連結(jié)D1F，說明∠DFD1為二面角D1﹣EC﹣D的平面角，∠DFD1=45°．利用等體積法，求點B到平面D1EC的距離．解法二：分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．（Ⅰ）通過向量的數(shù)量積為0，即可求異面直線D1E與A1D所成的角；（Ⅱ）=（0，0，1）為面DEC的法向量，設(shè)=（x，y，z）為面CED1的法向量，通過二面角D1﹣EC﹣D的大小為45°，求出x、y、z的關(guān)系，結(jié)合，求出平面的法向量，利用求點B到平面D1EC的距離．【解答】解：解法一：（Ⅰ）連結(jié)AD1．由AA1D1D是正方形知AD1⊥A1D．∵AB⊥平面AA1D1D，∴AD1是D1E在平面AA1D1D內(nèi)的射影．根據(jù)三垂線定理得AD1⊥D1E，則異面直線D1E與A1D所成的角為90°．…（Ⅱ）作DF⊥CE，垂足為F，連結(jié)D1F，則CE⊥D1F．所以∠DFD1為二面角D1﹣EC﹣D的平面角，∠DFD1=45°．于是，易得Rt△BCE≌Rt△CDF，所以CE=CD=2，又BC=1，所以．設(shè)點B到平面D1EC的距離為h，則由于，即f'（x），因此有CE?D1F?h=BE?BC?DD1，即，∴．…..…解法二：如圖，分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．（Ⅰ）由A1（1，0，1），得，設(shè)E（1，a，0），又D1（0，0，1），則．∵∴，則異面直線D1E與A1D所成的角為90°．…（Ⅱ）=（0，0，1）為面DEC的法向量，設(shè)=（x，y，z）為面CED1的法向量，則，∴z2=x2+y2．①由C（0，2，0），得，則，即，∴2y﹣z=0②由①、②，可取，又，所以點B到平面D1EC的距離．…20.（13分）、橢圓短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形，焦點到橢圓長軸端點的最短距離為，求此橢圓的標準方程．參考答案：解：當焦點在x軸時，設(shè)橢圓方程為，由題意知a=2c，a-c=解得a=，c=，所以b2=9，所求的橢圓方程為同理，當焦點在y軸時，所求的橢圓方程為.

21.（本小題滿分14分）在的展開式中，把叫做三項式系數(shù)．（Ⅰ）當時，寫出三項式系數(shù)的值；（Ⅱ）二項式的