2022高中數(shù)學(xué)平面向量總復(fù)習(xí)題

平面向量總復(fù)習(xí)題一、選擇題兩個(gè)非零向量的模相等是兩個(gè)向量相等的什么條件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要答案：B2當(dāng)|a|＝|b|≠0且A平行C相交但不垂直

a、b不共線時(shí)，a＋b與B垂直D相等

a－b的關(guān)系是2222解析：∵（a＋b）·（a－b）＝a－b＝|a|－|b|＝0，∴（a＋b）⊥（a－b）．下面有五個(gè)命題，其中正確的命題序號(hào)為①單位向量都相等；②長(zhǎng)度不等且方向相反的兩個(gè)向量不一定是共線向量；③若a，b知足|a|＞|b|且a與b同向，則a＞b；④由于零向量方向不確定，故0不能與任何向量平行；⑤對(duì)于隨意愿量，，必有|a＋|≤||＋|b|abbaA①②③B⑤C③⑤D①⑤解析：①單位向量方向不確定，故不一定相等，所以命題①錯(cuò)誤；②方向相反的向量一定是共線向量，故命題②錯(cuò)誤；③兩向量不能比較大小，故命題③錯(cuò)誤；0與隨意愿量平行，故命題④錯(cuò)誤；⑤命題⑤正確答案：B4下列四式中不能化簡(jiǎn)為PQ的是（）．．AAB(PABQ)B(ABPC)(BAQC)CQCQPCQDPAABBQ解析：A選項(xiàng)中，ABBQAQ,AQPAPAAQPQB選項(xiàng)中，ABBAABAB＝0，PCQCPCCQPQ，PQ＋0＝PQC選項(xiàng)中，QCCQQCQC＝0，－QP＋0＝PQ＋0＝PQ．D選項(xiàng)中，PAABPB,PBBQPQ，（∵PBBQPQ）答案：D的邊長(zhǎng)為1，AB＝，BC＝，AC＝，則＋＋c的模等于（）abcab＋2C22解析：∵ABBCAC，∴a＋b＝c，∴a＋b＋c＝2c，∴|2c|＝22答案：D6如下圖，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，則下列等式中不正確的是．．．AFDDAFABFDDEEF＝0CDEDAECDDADEFD答案：D，b為非零向量，|a＋b|＝|a－b|建立的充要條件是∥b，b有共同的起點(diǎn)與b的長(zhǎng)度相等⊥b解析：|a＋b|＝|a－b||a＋b|2＝|a－b|2（a＋b）2＝（a－b）2a2＋2a·b＋b2a2－2a·b＋b2a·b＝0a⊥b答案：D下面有五個(gè)命題，其中正確命題的序號(hào)是①|(zhì)a|2＝a2；②abba2a

；③（a·b）2＝a2·b2；④（a－b）2＝a2－2a·b＋b2；⑤若a·b＝0，則a＝0或b＝0A①②③B①④C②④D②⑤ab|a||b|cos|b|cosb解析：②|a|2|a|aa2③（a·b）2＝（|a||b|coα）2＝|a|2|b|2co2α，a2·b2＝|a|2·|b|2,∴a·b2≠a2·b2⑤若a·b＝0，則a＝0或b＝0或a⊥b且a≠0，b≠0答案：B分有向線段P1P2成定比為3∶1，則點(diǎn)PP4213P2P14PP413151723322P1P323x21,53yx2y2421217xahxahybkybk22(42)22222|AB|22xxhxxh2510xyyykyyk222(2)24220256633663＋n和b＝－3m＋2n的夾角是36°°解析：∵m·n＝|m||n|co60°＝12

°°，∴|a|＝2(mn)27，|b|＝(3m2n)27∴a·b＝（2m＋n）（－3m＋2n）＝－6m2＋2n2＋m·n＝－6＋2＋1＝－722∴coα＝ab1，∴α＝120°|a||b|2答案：Cx1＝22的圖象按a平移后，函數(shù)解析式為＝x122－1，則a等于（）A（－2，1）B（2，－1）C（1，－1）D（－1，1）1x11(x2)解析：＝22－1，即＋1＝22∴用－2，＋1分別替換了原函數(shù)解析式中的，x2xxx2h2即1，∴yy即k1yy1a＝（2，－1）答案：B19在直角三角形中，A、B為銳角，則inA·inBA有最大值1和最小值02B有最大值1，但無(wú)最小值2C既無(wú)最大值，也無(wú)最小值D有最大值1，但無(wú)最小值解析：∵△ABC為直角三角形，∴B＝－A2inA·inB＝inA·in（－A）＝inA·coA＝1in2A22當(dāng)A＝B＝時(shí)，有最大值1，但無(wú)最小值42答案：B20α、β是銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角，則α＞inβ且coβ＞inαα＜inβ且coβ＜inαα＞inβ且coβ＜inαα＜inβ且coβ＞inα解析：∵α、β是銳角三角形兩內(nèi)角，∴α＋β＞，∴＞α＞－β＞0，222∴inα＞in（－β）2即inα＞coβ，同理inβ＞coα答案：B在△ABC中，inA＜inB是A＜B的A充分不必要條件C充要條件

B必要非充分條件D既不充分也不必要條件解析：由正弦定理可得abasinAsinAsinB，∴sinBb由inA＜inB可得a＜b根據(jù)三角形小邊對(duì)小角可得＜，反之由＜B也可推得in＜inBABAA故inA＜inB是A＜B的充要條件答案：C22在△ABC中，tanA·tanB＞1，則△ABC為A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不能確定解析：∵tanA·tanB＞1＞0，又∵A、B不可能同時(shí)為鈍角，∴tanA＞0，tanB＞0，∴tan（A＋B）＝tanAtanB＜0，tanAtanB90°＜A＋B＜180°，∴0°＜C＜90°，∴△ABC為銳角三角形答案：A在△ABC中，A、B、C相應(yīng)付邊分別為a、b、c，則acoB＋bcoA等于Cab2ab解析：由正弦定理得：sinA＝2RsinB得a＝2RinA，b＝2RinBacoB＋bcoA＝2RinAcoB＋2RcoAinB＝2Rin（A＋B）＝2RinC＝c答案：D24在△ABC中，已知coA＝5，inB＝3，則coC等于135A16B56C16或56D－166565656565解析：由inB＝3，得5co＝±1sin2B＝±4B5但當(dāng)coB＝－4，coA＋coB＜0，C無(wú)解5∴coC＝co［180°－（A＋B）］＝－co（A＋B）＝－（coAcoB－inAinB）＝inAinB－coBcoA＝12·34·51613551365答案：A25在不等邊△ABC中，a為最大邊，如果a2＜b2＋c2，則A的取值范圍是（）°＜A＜180°°＜A＜90°°＜A＜90°°＜A＜90°解析：∵a2＜b2＋c2，∴b2＋c2－a2＞0，∴coA＝b2c2a2＞0，∴A＜90°，2bc又∵a邊最大，∴A角最大∵＋＋＝180°，∴3＞180°，ABCAA＞60°，∴60°＜A＜90°答案：C分BC的比為2，下列結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是分AC的比為－2分BA的比為－33分CB的比為2分AB的比為－13解析：數(shù)形聯(lián)合可得C選項(xiàng)錯(cuò)誤答案：C27在△ABC中，若B＝30°，AB＝23，AC＝2，則△ABC的面積為3B33或33或43解析：inC＝23sin303，22∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30°∴S＝1AB·AC·inA＝23或3△ABC2答案：C28在△ABC中，若inB·inC＝co2A2，則△ABC是A等腰三角形B直角三角形C等邊三角形D等腰直角三角形解析：∵inB·inC＝1cosA2又coA＝co［180°－（B＋C）］＝－co（B＋C）＝－（coBcoC－inBinC）2inBinC＝1－coBcoC＋inBinC，coBcoC＋inBinC＝1co（B－C）＝1，∴B＝C，∴△ABC是等腰三角形答案：A二、解答題，e是兩個(gè)不共線的向量，已知AB＝2e＋e2，CB＝e＋3e2，CD＝2e－e，若121112A、B、D三點(diǎn)共線，求的值剖析：由于A、B、D三點(diǎn)共線，因此存在實(shí)數(shù)λ，使AB＝λBD，而BD＝CD－CB＝e1－4e2，將AB、BD的e1、e2表達(dá)式代入上式，再由向量相等的條件獲得對(duì)于λ、的方程組，便可求得的值解：BD＝CD－CB＝（2e1－e2）－（e1＋3e2）＝e1－4e2，∵A、B、D三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使AB＝λBD，∴2e1＋e＝λ（e－4e）2122，解得＝－8于是可得k4評(píng)述：本題解答重點(diǎn)是應(yīng)用兩個(gè)向量共線的充要條件，要注意兩個(gè)向量共線和三點(diǎn)共線的區(qū)別和聯(lián)系b是兩個(gè)非零向量，當(dāng)a＋tb（t∈R）的模取最小值時(shí)，（1）求t的值；（2）求證b⊥（a＋tb）剖析：利用|a＋tb|2＝（a＋tb）2進(jìn)行變換，可議論相關(guān)|a＋tb|的最小值問(wèn)題，若能算得·（＋tb）＝0，則證了然⊥（＋）babatb1）解：設(shè)a與b的夾角為θ則|a＋tb|2＝（a＋tb）2a2＋2a·tb＋t2b2|a|2＋2t|a||b|coθ＋t2|b|2|b|2t2＋（2|a||b|coθ）t＋|a|2|b|2（t＋|a|coθ）2＋|a|2in2θ|b|∴當(dāng)t＝－|a|coθ＝－|a||b|cosab時(shí)，|a＋tb|有最小值|b||b|2|b|2abab（2）證明：b·（a＋tb）＝b·（a－2·b）＝a·b－2·b·b＝a·b－a·b|b||b|＝0∴b⊥（a＋tb）評(píng)述：對(duì)|a＋tb|變形，能夠從兩個(gè)角度進(jìn)行思考，一是經(jīng)過(guò)|a＋tb|2＝（a＋tb）2的數(shù)量積運(yùn)算；二是通設(shè)坐標(biāo)化思想，進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，進(jìn)而達(dá)到求解求證目的3如下圖，OADB是以向量OA＝a，OB＝b為邊的平行四邊形，又BM＝1BC，CN＝1CD，33試用a，b表示OM,ON,MN解：BAOAOB＝a－b∵BM1BC1BA1（a－b）366∴OMOBBM=b1（a－b）＝1a＋5b666又由OD＝a＋b，得1122＋2bONODODODa32633MNONOM(2a＋2b）－（1a＋5b）＝1a－1b336626評(píng)述：由于，b不共線，因此a，b組成平行四邊形所在平面的一組基底，用它aOADB們能夠表示出這個(gè)平面內(nèi)的任何向量，將所要用a，b表示的向量連同a，b設(shè)法放在一個(gè)三角形或平行四邊形內(nèi)，是解決此類問(wèn)題的常有方法為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且知足|OA|2|BC|2|OB|2|CA|2|OC|2|AB|2．求證：O點(diǎn)是△的垂心ABC證明：設(shè)OA＝a，OB＝b，OCc，則BC＝cbCAac，ABb－a＝－，＝－＝|OA|2＋|BC|2＝|OB|2＋|CA|2＝|OC|2＋|AB|2∴a2＋（c－b）2＝b2＋（a－c）2＝c2＋（b－a）2即c·b＝a·c＝b·a，故AB·OC＝（b－a）·c＝b·c－a·c＝0BC·OA＝（c－b）·a＝c·a－b·a＝0AB⊥OC，BC⊥OA，∴點(diǎn)O是△ABC的垂心5如下圖，圓O內(nèi)兩弦、垂直相交于PAPBPCPD2PO、N分別為圓ABCDO的兩弦AB、CD的中點(diǎn)，連OM、ON，則OM⊥AB，ON⊥CD∵PAPB2PM,PCPD2PN而AB⊥CD，∴四邊形MPNO為矩形∴PMPNPO，∴PAPBPCPD2PO6已知△ABC中，A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC邊上的高為AD，求點(diǎn)D和向量AD的坐標(biāo)解：設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)（，），由AD是BC邊上的高可得AD⊥BC，且B、D、C共線，ADBC0∴CD//DB(x2,y1)(6,3)0∴3)(2y)(3x)(y1)0(x∴∴

6(x2)3(y1)0(x3)(2y)(3x)(y1)02xy30x2y10x1解得y1∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，1），AD＝（－1，2）、b、c分別為△ABC三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊，且2inA－inB，inA－inC，2（inB－inC）成等比數(shù)列求證：2b＝a＋c證明：要證2b＝a＋c，由正弦定理只需證：inB－inA＝inC－inB即可：由已知可得：（inA－inC）2－4（inA－inB）inB－inC）＝0，且inA≠inB，結(jié)構(gòu)方程：inA－inB）2－（inA－inC）＋（inB－inC）＝0，且＝1是方程的根＝（inA－inC）2－4（inA－inB）·（inB－inC）＝0，∴方程有兩相等實(shí)根由韋達(dá)定理可知：sinBsinC＝1sinAsinB∴inB－inC＝inA－inB，故結(jié)論得證，是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)軸，軸正方向上的兩個(gè)單位向量，且AB42，AC34＝i＋＝i＋，證明△ABC是直角三角形，并求它的面積解：BCACAB＝（3i＋4）－（4i＋2）＝－i＋2又i⊥，∴i·＝0∵AB·BC＝（4i＋2）（－i＋2）＝－4i2＋6i·＋42＝0，∴AB⊥BC∴△ABC是直角三角形，∴S＝1AB|·|BC|＝1×25×5＝5229已知△ABC中三內(nèi)角知足A＋C＝2B，112，求coAC的值cosAcosCcosB2解：由A＋C＝2B，可得B＝60°，A＋C＝120°AC2∴A＝60°＋α，C＝60°－α，∴1111cosAcosCcos(60)cos(60)111cos3sin1cos3sin2222coscos1cos23sin2cos234442cosB將B=60°代入得cos22cos234∴22co2α＋coα－32＝02∴（2coα－2）（22coα＋3）＝0∴22coα＋3＞02∴coα＝即co

2AC22210在△中，角、、C的對(duì)邊分別為ABCAB證明：∵a2＝b2＋c2－2bccoA，bsinBcsinC

、、，求證：a2b2sin(AB)abcc2sinC，C＝π－（A＋B）∴a2b212bcosA12sinBcosAc2csinCsinC2sinBcosAsin(AB)2sinBcosAsinCsinCsinAcosBsinBcosAsin(AB)sinCsinC故原等式建立11在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且c為最大邊，若accoA＋bccoB＜4S，其中S為△的面積ABC求證：△ABC為銳角三角形證明：由余弦定理及三角形面積公式accoA＋bccoB＜4S即ac·b2c2a2＋bc·a2c2b2＜2abinC＜2ac