信號(hào)與系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析

第二章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析2.1引言2.2微分方程的建立與求解2.3起始點(diǎn)的跳變2.4零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)2.5沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)2.6卷積2.7卷積的性質(zhì)2.8用算子符號(hào)表示微分方程目前一頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)2.1引言系統(tǒng)在時(shí)域中數(shù)學(xué)模型的建立微分方程：輸入-輸出法——高階微分方程系統(tǒng)分析的任務(wù)是對(duì)給定的系統(tǒng)模型和輸入信號(hào)求系統(tǒng)的輸出響應(yīng)系統(tǒng)分析的方法：時(shí)域分析方法頻域分析方法目前二頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)本章主要內(nèi)容：系統(tǒng)時(shí)域分析法：1、微分方程的求解直接求解微分方程；零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的概念和求解。2、根據(jù)單位沖激響應(yīng)求系統(tǒng)的響應(yīng)；卷積積分。3、算子符號(hào)表示法。目前三頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)2.2系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型（微分方程）的建立例2-1圖2-1所示為RLC并聯(lián)電路的，求并聯(lián)電路的端電壓v(t)與激勵(lì)源iS(t)間的關(guān)系iS(t)iRiCiLRLC+-v(t)目前四頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)電阻：電感：電容：目前五頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)例：輸入激勵(lì)是電流源iS(t),試列出電流iL(t)及R1上電壓u1(t)為輸出響應(yīng)變量的方程式。目前六頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)目前七頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)目前八頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)目前九頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)例：如圖所示電路，試分別列出電流i1(t)、電流i2(t)和電壓uO(t)的數(shù)學(xué)模型。

目前十頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)目前十一頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)目前十二頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)目前十三頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)2.3用時(shí)域經(jīng)典法求解微分方程設(shè)激勵(lì)信號(hào)為e(t)，系統(tǒng)響應(yīng)為r(t)，則可以用一高階的微分方程表示復(fù)雜的系統(tǒng)。目前十四頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)完全解由齊次解與特解組成。齊次解：齊次方程的解。齊次方程：齊次解的形式是形如的線性組合。目前十五頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)——微分方程的特征方程特征方程的n個(gè)根，，…，稱為微分方程的特征根目前十六頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)1、在特征根各不相同(無(wú)重根)的情況下，微分方程的齊次解：2、若特征方程有重根，為k階重根，則相應(yīng)于的微分方程的齊次解將有k項(xiàng)，為：目前十七頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)例2-3求解微分方程的齊次解。解：特征方程：特征根：齊次解：目前十八頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)1、求微分方程的齊次解。2、求微分方程的齊次解。

答案：答案：目前十九頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)3、求微分方程的齊次解。答案：目前二十頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)4、求微分方程的齊次解。答案：目前二十一頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)特解：特解的函數(shù)形式與激勵(lì)的函數(shù)形式有關(guān)。自由項(xiàng)：將激勵(lì)代入微分方程右端，化簡(jiǎn)后的函數(shù)式目前二十二頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)目前二十三頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)注意：1、表中的B、D是待定系統(tǒng)。2、若自由項(xiàng)由幾種函數(shù)組合，則特解也為其相應(yīng)的組合。3、若表中所列特解與齊次解重復(fù)，則應(yīng)在特解中增加一項(xiàng)：t倍乘表中特解。若這種重復(fù)形式有k次，則依次增加倍乘t，t2，…，tk諸項(xiàng)。例如：齊次解：激勵(lì)：特解：目前二十四頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)例2-4給定微分方程如果已知：(1)e(t)=t2；(2)e(t)=et，分別求兩種情況下此方程的特解。解：(1)將e(t)=t2代入方程右端，得自由項(xiàng)t2+2t

特解rp(t)=B1

t2+B2t+B3將特解代入原微分方程，得：目前二十五頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)等式兩端各對(duì)應(yīng)冪次的系統(tǒng)相等，可得：特解為：目前二十六頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)(2)將e(t)=et代入方程右端，得自由項(xiàng)2et

特解rp(t)=Bet將特解代入原微分方程，得：

Bet+2Bet+3Bet=2Bet

特解為：目前二十七頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)1、求微分方程的特解。2、求微分方程的特解。

答案：答案：目前二十八頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)3、求微分方程的特解。答案：目前二十九頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)完全解=齊次解+特解邊界條件：在(0+≤t≤∞)內(nèi)任一時(shí)刻t0(通常為0+)時(shí)r(t)及其各階導(dǎo)數(shù)(最高為n-1階)的值。即由此可確定Ai，得到完全解。目前三十頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)線性常系數(shù)微分方程的經(jīng)典解法：1、通過(guò)特征方程寫出齊次解(含待定系數(shù))；2、通過(guò)自由項(xiàng)寫的特解，并代入原方程中確定特解的待定系數(shù)；3、完全解=齊次解(含待定系數(shù))+特解，根據(jù)邊界條件列方程組，求齊次解中的系數(shù)。目前三十一頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)特征方程的根稱為系統(tǒng)的“固有頻率”，決定齊次解的形式。齊次解——自由響應(yīng)。特解——強(qiáng)迫響應(yīng)目前三十二頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)2.4起始點(diǎn)的跳變

——從0-到0+狀態(tài)的轉(zhuǎn)變系統(tǒng)加入激勵(lì)之前的狀態(tài)：——起始狀態(tài)(0-狀態(tài))系統(tǒng)加入激勵(lì)之后的狀態(tài)：——初始條件(0+狀態(tài)，導(dǎo)出的起始狀態(tài))目前三十三頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)對(duì)于一個(gè)具體的電網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)的0-狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲(chǔ)能元件的儲(chǔ)能情況，即電容上的起始電壓和電感中的起始電流。當(dāng)電路中沒(méi)有沖激電流(或階躍電壓)強(qiáng)迫作用于電容以及沒(méi)有沖激電壓(或階躍電流)強(qiáng)迫作用于電感，則換路期間電容兩端的電壓和流過(guò)電感中的電流不會(huì)發(fā)生突變。目前三十四頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)例2-6如圖所示RC一階電路，電路中無(wú)儲(chǔ)能，起始電壓和電流都為0，激勵(lì)信號(hào)e(t)=u(t)，求t>0系統(tǒng)的響應(yīng)——電阻兩端電壓解：根據(jù)KVL和元件特性寫出微分方程當(dāng)輸入端激勵(lì)信號(hào)發(fā)生跳變時(shí)，電容二端電壓保持連續(xù)值，仍等于0，而電阻兩端電壓將產(chǎn)生跳變，即

特征根：齊次解：特解：0代入起始條件：

完全解：

目前三十五頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)當(dāng)系統(tǒng)已經(jīng)用微分方程表示時(shí)，系統(tǒng)的0-狀態(tài)到0+狀態(tài)有沒(méi)有跳變決定于微分方程右端自由項(xiàng)是否包含及其各階導(dǎo)數(shù)。它的原理是根據(jù)t=0時(shí)刻微分方程左右兩端的及其各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡相等。目前三十六頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)解法二：用匹配法

將代入得（2-1）為保持方程左右兩端各階奇異函數(shù)平衡，可以判斷，等式左端最高階項(xiàng)應(yīng)包含，所以在0點(diǎn)發(fā)生跳變。將（2-1）兩端同時(shí)做積分得

目前三十七頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)例2-7電路如圖，在激勵(lì)信號(hào)電流源的作用下，求電感支路電流。激勵(lì)信號(hào)接入之前系統(tǒng)中無(wú)儲(chǔ)能，各支路電流解：根據(jù)KCL和電路元件約束性得左端二階導(dǎo)數(shù)含有項(xiàng)，則一階導(dǎo)數(shù)在0點(diǎn)發(fā)生跳變，在0點(diǎn)沒(méi)有跳變。兩端做積分得

目前三十八頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)目前三十九頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)系統(tǒng)的特征方程：由于在t>0+時(shí)刻之后為零，因而特解為零，完全解為齊次解，利用初始條件代入式子求得系數(shù)

目前四十頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)為簡(jiǎn)化一下推導(dǎo)，引入符號(hào)考慮到電路耗能與儲(chǔ)能的不同相對(duì)條件，分成以下幾種情況給出的表達(dá)式（1）電阻等幅正弦振蕩

目前四十一頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)（2）產(chǎn)生衰減振蕩，電阻R越大衰減越慢，R較小時(shí)，衰減很快，以致不能產(chǎn)生振蕩，即以下兩種情況（3）（4）目前四十二頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)將元件電壓電流關(guān)系、基爾霍夫定律用于給定電系統(tǒng)列寫微分方程將聯(lián)立微分方程化為一元高階微分方程齊次解Aeαt(系數(shù)A待定)求特解已定系數(shù)的完全解----系統(tǒng)之響應(yīng)完全解=齊次解+特解(系數(shù)A待定)0-狀態(tài)0+狀態(tài)目前四十三頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)2.5零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)完全響應(yīng)的分解：1、自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)2、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)目前四十四頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)零輸入響應(yīng)：沒(méi)有外加激勵(lì)信號(hào)的作用，只有起始狀態(tài)(起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能)所產(chǎn)生的響應(yīng)。記作rzi(t)零狀態(tài)響應(yīng)：不考慮起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能的作用(起始狀態(tài)等于零)，由系統(tǒng)的外加激勵(lì)信號(hào)所產(chǎn)生的響應(yīng)。記作rzs(t)目前四十五頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)系統(tǒng)方程：零輸入響應(yīng)：，無(wú)特解。

r(k)(0+)=r(k)(0-)零狀態(tài)響應(yīng)：目前四十六頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)目前四十七頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)例2-8已知系統(tǒng)方程式若起始狀態(tài)為激勵(lì)信號(hào)，求系統(tǒng)的自由響應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)以及完全響應(yīng)。解：方程式的齊次解是：，由激勵(lì)信號(hào)求出特解是1。則完全響應(yīng)表達(dá)式為由方程式兩端奇異函數(shù)平衡條件判斷出在起始點(diǎn)無(wú)跳變，自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)

目前四十八頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)求零輸入響應(yīng)齊次解為：初始條件則：于是：求零狀態(tài)響應(yīng)先求出對(duì)兩邊求積分得r(t)的一階導(dǎo)數(shù)有跳變，r(t)為連續(xù)，所以代入得：A=-1，目前四十九頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)將自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)目前五十頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)的線性的擴(kuò)展：1、響應(yīng)的可分解性：系統(tǒng)響應(yīng)可以分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。2、在LTI系統(tǒng)中，重點(diǎn)研究零狀態(tài)響應(yīng)3、為求解零狀態(tài)響應(yīng)，可以利用卷積方法求解4、零狀態(tài)線性：當(dāng)起始狀態(tài)為零時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對(duì)于外加激勵(lì)信號(hào)呈線性，稱為零狀態(tài)線性。5、零輸入線性：當(dāng)外加激勵(lì)為零時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對(duì)于各起始狀態(tài)呈線性關(guān)系，稱為零輸入線性。6、把激勵(lì)信號(hào)與起始狀態(tài)都視為系統(tǒng)的外施作用，則系統(tǒng)的完全響應(yīng)對(duì)兩種外施作用也呈線性。目前五十一頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)例：給定系統(tǒng)微分方程系統(tǒng)的激勵(lì)為，起始狀態(tài)為，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)，并指出其零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、自由響應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng)各分量。目前五十二頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)解：1)求齊次解特征方程為：特征根為：齊次解為：目前五十三頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)2)求特解自由項(xiàng)為：特解為：目前五十四頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)3)求完全解完全解為：利用沖激函數(shù)匹配法判斷跳變：目前五十五頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)完全響應(yīng)為：自由響應(yīng)為：強(qiáng)迫響應(yīng)為：目前五十六頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)4)求零輸入響應(yīng)目前五十七頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)5)求零狀態(tài)響應(yīng)利用沖激函數(shù)匹配法判斷跳變：目前五十八頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)目前五十九頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)2.6沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)h(t)：系統(tǒng)在單位沖激信號(hào)δ(t)的激勵(lì)下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。階躍響應(yīng)g(t)：系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)u(t)的激勵(lì)下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。目前六十頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)目前六十一頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)n>m時(shí)n≤m時(shí)，表達(dá)式還將含有δ(t)及其相應(yīng)階的導(dǎo)數(shù)δ(m-n)(t)、δ(m-n-1)(t)、…、δ’(t)。系數(shù)可以通過(guò)沖激函數(shù)匹配法求出目前六十二頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)目前六十三頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)2.6卷積卷積積分指的是兩個(gè)具有相同自變量t的函數(shù)f1(t)與f2(t)相卷積后成為第三個(gè)相同自變量t的函數(shù)f(t)。這個(gè)關(guān)系表示為做變量代換可得目前六十四頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)線性時(shí)不變系統(tǒng)中，δ(t)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)為h(t)則δ(t-τ)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)為h(t-τ)e(τ)δ(t-τ)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)為e(τ)h(t-τ)作用于系統(tǒng)時(shí)，響應(yīng)為目前六十五頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)目前六十六頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)卷積的運(yùn)算：011021-21、改換圖形中的橫坐標(biāo)；2、把其中的一個(gè)信號(hào)反褶；目前六十七頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)0113、把反褶后的信號(hào)做位移，移位量是t，t>0圖形右移；t<0圖形左移；t4、兩信號(hào)重疊總分相乘；5、完成相乘后圖形的積分。目前六十八頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)011tt-2目前六十九頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)011tt-2目前七十頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)目前七十一頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)目前七十二頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)2.7卷積的性質(zhì)(一)卷積代數(shù)1.交換律

f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)證：

令令例目前七十三頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)

2.分配律f1(t)*［f2(t)+f3(t)］=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)證目前七十四頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)目前七十五頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)

3.結(jié)合律f1(t)*［f2(t)*f3(t)］=［f1(t)*f2(t)］*f3(t)證目前七十六頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)目前七十七頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)(二)卷積的微分與積分與信號(hào)的運(yùn)算相似，卷積也有微分、積分性質(zhì)，但與信號(hào)的微分、積分運(yùn)算有所區(qū)別。(1)微分目前七十八頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)證由卷積的第二種形式，同理可證目前七十九頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)

(2)積分目前八十頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)證同理可證目前八十一頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)應(yīng)用類似的推導(dǎo)，可導(dǎo)出卷積的高階導(dǎo)數(shù)和多重積分的運(yùn)算規(guī)律。若s(t)=f1(t)*f2(t)

則s(i)(t)=f(j)1(t)*f(i-j)2(t)其中,i、j取正整數(shù)時(shí)為導(dǎo)數(shù)的階次；i、j取負(fù)整數(shù)時(shí)為重積分的階次。目前八十二頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)例目前八十三頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)(三)與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積

(1)f(t)*δ(t)=f(t)

證

從f(t)與δ(t)卷積結(jié)果可知δ(t)是卷積的單位元。目前八十四頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)(2)f(t)*δ(t-t0)=f(t-t0)

證

目前八十五頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)目前八十六頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)(3)(4)目前八十七頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)Next目前八十八頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)011021011021目前八十九頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)021目前九十頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)021目前九十一頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)目前九十二頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)目前九十三頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)011021目前九十四頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于二十二點(diǎn)目前九十五頁(yè)\總數(shù)一百一十