專題43 排列組合（原卷版）

專題43排列組合【題型歸納目錄】題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡(jiǎn)和計(jì)算題型二：直接法題型三：間接法題型四：捆綁法題型五：插空法題型六：定序問(wèn)題（先選后排）題型七：列舉法題型八：多面手問(wèn)題題型九：錯(cuò)位排列題型十：涂色問(wèn)題題型十一：分組問(wèn)題題型十二：分配問(wèn)題題型十三：隔板法題型十四：數(shù)字排列題型十五：幾何問(wèn)題題型十六：分解法模型與最短路徑問(wèn)題題型十七：排隊(duì)問(wèn)題題型十八：構(gòu)造法模型和遞推模型題型十九：環(huán)排問(wèn)題【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】知識(shí)點(diǎn)1、排列與排列數(shù)（1）定義：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列．從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示．（2）排列數(shù)的公式：．特例：當(dāng)時(shí)，；規(guī)定：．（3）排列數(shù)的性質(zhì)：①；②；③．（4）解排列應(yīng)用題的基本思路：通過(guò)審題，找出問(wèn)題中的元素是什么，是否與順序有關(guān)，有無(wú)特殊限制條件（特殊位置，特殊元素）．注意：排列數(shù)公式的兩種不同表達(dá)形式本質(zhì)是一樣的，但作用略有不同，常用于具體數(shù)字計(jì)算；而在進(jìn)行含字母算式化簡(jiǎn)或證明時(shí)，多用．知識(shí)點(diǎn)2、組合與組合數(shù)（1）定義：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合．從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示．（2）組合數(shù)公式及其推導(dǎo)求從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，可以按以下兩步來(lái)考慮：第一步，先求出從這個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)；第二步，求每一個(gè)組合中個(gè)元素的全排列數(shù)；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到；因此．這里，，且，這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式．因?yàn)?，所以組合數(shù)公式還可表示為：．特例：．注意：組合數(shù)公式的推導(dǎo)方法是一種重要的解題方法！在以后學(xué)習(xí)排列組合的混合問(wèn)題時(shí)，一般都是按先取后排（先組合后排列）的順序解決問(wèn)題．公式常用于具體數(shù)字計(jì)算，常用于含字母算式的化簡(jiǎn)或證明．（3）組合數(shù)的主要性質(zhì)：①；②．（4）組合應(yīng)用題的常見(jiàn)題型：=1\*GB3①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型=2\*GB3②“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的題型知識(shí)點(diǎn)3、排列和組合的區(qū)別組合：取出的元素地位平等，沒(méi)有不同去向和分工．排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同．注意：排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問(wèn)題，它們之間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問(wèn)題，需要考慮順序的是排列問(wèn)題．排列是在組合的基礎(chǔ)上對(duì)入選的元素進(jìn)行排隊(duì)，因此，分析解決排列組合綜合問(wèn)題的基本思維是“先組合，后排列”．知識(shí)點(diǎn)4、解決排列組合綜合問(wèn)題的一般過(guò)程1、認(rèn)真審題，確定要做什么事；2、確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類或是分步與分類同時(shí)進(jìn)行，弄清楚分多少類及多少步；3、確定每一步或每一類是排列（有序）問(wèn)題還是組合（無(wú)序）問(wèn)題，元素總數(shù)是多少及取出多少個(gè)元素；4、解決排列組合綜合性問(wèn)題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略．【方法技巧與總結(jié)】1、如圖，在圓中，將圓分等份得到個(gè)區(qū)域，，，，，現(xiàn)取種顏色對(duì)這個(gè)區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個(gè)區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有種．2、錯(cuò)位排列公式3、數(shù)字排列問(wèn)題的解題原則、常用方法及注意事項(xiàng)（1）解題原則：排列問(wèn)題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問(wèn)題，有限制條件的排列問(wèn)題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位子上，或某個(gè)位子不排某些元素，解決該類排列問(wèn)題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個(gè)位子安排的元素影響到另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)分類討論．4、定位、定元的排列問(wèn)題，一般都是對(duì)某個(gè)或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問(wèn)題通常以三種途徑考慮：（1）以元素為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊元素的排法問(wèn)題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊位置的排法問(wèn)題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計(jì)算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．5、解決相鄰問(wèn)題的方法是“捆綁法”，其模型為將n個(gè)不同元素排成一排，其中某k個(gè)元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這k個(gè)元素“捆綁在一起”，看成一個(gè)整體，當(dāng)作一個(gè)元素同其他元素一起排列，共有種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進(jìn)行排列，共有種排法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有種．6、解決不相鄰問(wèn)題的方法為“插空法”，其模型為將個(gè)不同元素排成一排，其中某個(gè)元素互不相鄰（），求不同排法種數(shù)的方法是：先將（）個(gè)元素排成一排，共有種排法；然后把個(gè)元素插入個(gè)空隙中，共有種排法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有·種．【典例例題】題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡(jiǎn)和計(jì)算例1．（2022·山東·高密三中高三階段練習(xí)）已知n，m為正整數(shù)，且，則在下列各式中錯(cuò)誤的是（

）A．； B．； C．； D．例2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高三開(kāi)學(xué)考試）已知，為正整數(shù)，且，則在下列各式中，正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③；④A．1 B．2 C．3 D．4例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10例4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的值為（

）A．3 B．3或4 C．4 D．4或5例5．（多選題）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的可能取值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3例6．（多選題）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列等式正確的是（

）A． B．C． D．例7．（多選題）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列等式中，正確的是（

）A． B．C． D．例8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解下列不等式或方程(1)(2)例9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）計(jì)算：；（2）計(jì)算：；（3）解方程：.例10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）利用組合數(shù)公式證明．題型二：直接法例11．甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都沒(méi)有得到冠軍．”對(duì)乙說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的．”從這兩個(gè)回答分析，5人的名次排列方式共有（

）種A．54 B．72 C．96 D．120例12．某校開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)時(shí)進(jìn)行勞動(dòng)技能比賽，通過(guò)初選，選出共6名同學(xué)進(jìn)行決賽，決出第1名到第6名的名次（沒(méi)有并列名次），和去詢問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)說(shuō)“很遺?，你和都末拿到冠軍；對(duì)說(shuō)“你當(dāng)然不是最差的”.試從這個(gè)回答中分析這6人的名次排列順序可能出現(xiàn)的結(jié)果有（

）A．720種 B．600種 C．480種 D．384種例13．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則不同的排法有（

）A．24種 B．6種 C．4種 D．12種例14．某學(xué)校要從5名男教師和3名女教師中隨機(jī)選出3人去支教，則抽取的3人中，女教師最多為1人的選法種數(shù)為（

）．A．10 B．30 C．40 D．46題型三：間接法例15．將7個(gè)人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，則不同的站法有（

）．A．1860種 B．3696種 C．3600種 D．3648種例16．某學(xué)校計(jì)劃從包含甲?乙?丙三位教師在內(nèi)的10人中選出5人組隊(duì)去西部支教，若甲?乙?丙三位教師至少一人被選中，則組隊(duì)支教的不同方式共有（

）A．21種 B．231種 C．238種 D．252種例17．中園古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂(lè)”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動(dòng)；“書(shū)”指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“六藝”講座活動(dòng)，每周安排一次講座，共講六次.講座次序要求“射”不在第一次，“數(shù)”和“樂(lè)”兩次不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（

）A．408種 B．240種 C．1092種. D．120種例18．紅五月，某校團(tuán)委決定舉辦慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年“百年榮光，偉大夢(mèng)想”聯(lián)歡會(huì)，經(jīng)過(guò)初賽，共有6個(gè)節(jié)目進(jìn)入決賽，其中2個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目，1個(gè)朗誦類節(jié)目，1個(gè)戲曲類節(jié)目．演出時(shí)要求同類節(jié)目不能相鄰，則演出順序的排法總數(shù)是（

）A． B． C． D．題型四：捆綁法例19．（2022·四川·樹(shù)德懷遠(yuǎn)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（理））甲、乙等5人去北京天安門游玩，在天安門廣場(chǎng)排成一排拍照留念，則甲和乙相鄰且都不站在兩端的排法有（

）A．12種 B．24種 C．48種 D．120種例20．（2022·四川成都·高三開(kāi)學(xué)考試（理））某一天的課程表要排入語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物六門課，如果數(shù)學(xué)只能排在第一節(jié)或者最后一節(jié)，物理和化學(xué)必須排在相鄰的兩節(jié)，則共有（

）種不同的排法A． B． C． D．例21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，則甲、乙相鄰的排法有（

）A．72種 B．60種 C．48種 D．36種例22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）3位教師和4名學(xué)生站一排，3位教師必須站在一起，共有（

）種站法．A．144 B．360 C．480 D．720例23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某晚會(huì)上需要安排4個(gè)歌舞類節(jié)目和2個(gè)語(yǔ)言類節(jié)目的演出順序，要求語(yǔ)言類節(jié)目之間有且僅有2個(gè)歌舞類節(jié)目，則不同的演出方案的種數(shù)為（

）．A．72 B．96 C．120 D．144題型五：插空法例24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2022年2月4日，中國(guó)北京第24屆奧林匹克冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式以二十四節(jié)氣的方式開(kāi)始倒計(jì)時(shí)創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾．衡陽(yáng)市某中學(xué)為了弘揚(yáng)我國(guó)二十四節(jié)氣文化，特制作出“立春”、“驚蟄”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六張知識(shí)展板分別放置在六個(gè)并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“春分”兩塊展板相鄰，且“清明”與“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式有多少種？（

）A．24 B．48 C．144 D．244例25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）高中數(shù)學(xué)新教材有必修一和必修二，選擇性必修有一?二?三共5本書(shū)，把這5本書(shū)放在書(shū)架上排成一排，必修一?必修二不相鄰的排列方法種數(shù)是（

）A．72 B．144 C．48 D．36例26．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）五聲音階是中國(guó)古樂(lè)的基本音階，故有成語(yǔ)“五音不全”．中國(guó)古樂(lè)中的五聲音階依次為：宮、商、角、徽、羽，如果用上這五個(gè)音階，排成一個(gè)五音階音序，且商、角不相鄰，徽位于羽的左側(cè)，則可排成的不同音序有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．72種例27．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））馬路上有編號(hào)為1，2，3…，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有（

）種A．15 B．20 C．10 D．9例28．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某等候區(qū)有7個(gè)座位（連成一排），甲、乙、丙三人隨機(jī)就坐，因受新冠疫情影響，要求他們每?jī)扇酥g至少有一個(gè)空位，則不同的坐法有（

）A．4種 B．10種 C．20種 D．60種例29．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為迎接新年到來(lái)，某中學(xué)2022作“唱響時(shí)代強(qiáng)音，放飛青春夢(mèng)想”元旦文藝晚會(huì)如期舉行.校文娛組委員會(huì)要在原定排好的8個(gè)學(xué)生節(jié)目中增加2個(gè)教師節(jié)目，若保持原來(lái)的8個(gè)節(jié)目的出場(chǎng)順序不變，則不同排法的種數(shù)為(

)A．36 B．45 C．72 D．90題型六：定序問(wèn)題（先選后排）例30．滿足，且的有序數(shù)組共有（

）個(gè).A． B． C． D．例31．五人并排站成一排，如果必須站在的右邊，（可以不相鄰）那么不同的排法有（

）A．120種 B．90種 C．60種 D．24種例32．DNA是形成所有生物體中染色體的一種雙股螺旋線分子，由稱為堿基的化學(xué)成分組成它看上去就像是兩條長(zhǎng)長(zhǎng)的平行螺旋狀鏈，兩條鏈上的堿基之間由氫鍵相結(jié)合．在DNA中只有4種類型的堿基，分別用A、C、G和T表示，DNA中的堿基能夠以任意順序出現(xiàn)兩條鏈之間能形成氫鍵的堿基或者是A-T，或者是C-G，不會(huì)出現(xiàn)其他的聯(lián)系因此，如果我們知道了兩條鏈中一條鏈上堿基的順序，那么我們也就知道了另一條鏈上堿基的順序．如圖所示為一條DNA單鏈模型示意圖，現(xiàn)在某同學(xué)想在堿基T和堿基C之間插入3個(gè)堿基A，2個(gè)堿基C和1個(gè)堿基T，則不同的插入方式的種數(shù)為（

）A．20 B．40 C．60 D．120例33．某次演出有5個(gè)節(jié)目，若甲、乙、丙3個(gè)節(jié)目間的先后順序已確定，則不同的排法有（

）A．120種 B．80種 C．20種 D．48種例34．某次數(shù)學(xué)獲獎(jiǎng)的6名高矮互不相同的同學(xué)站成兩排照相，后排每個(gè)人都高于站在他前面的同學(xué)，則共有多少種站法（

）A．36 B．90 C．360 D．720例35．花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國(guó)傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時(shí)代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色.如圖，現(xiàn)有懸掛著的8盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數(shù)為（

）A．2520 B．5040 C．7560 D．10080例36．如圖所示，某貨場(chǎng)有兩堆集裝箱，一堆2個(gè)，一堆3個(gè)，現(xiàn)需要全部裝運(yùn)，每次只能從其中一堆取最上面的一個(gè)集裝箱，則在裝運(yùn)的過(guò)程中不同取法的種數(shù)是（）A．6 B．10 C．12 D．24題型七：列舉法例37．三人互相傳球，由甲開(kāi)始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過(guò)5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有（

）A．6種 B．8種 C．10種 D．16種例38．三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下.由甲開(kāi)始踢，經(jīng)過(guò)4次傳遞后，毽子又被踢回甲，則不同的傳遞方式共有（

）A．4種 B．5種 C．6種 D．12種例39．設(shè)，，，那么滿足的所有有序數(shù)組的組數(shù)為（

）A．45 B．46 C．47 D．48例40．從集合中任意選擇三個(gè)不同的數(shù)，使得這三個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列有（

）個(gè)A．98 B．56 C．84 D．49例41．工人在安裝一個(gè)正六邊形零件時(shí)，需要固定如圖所示的六個(gè)位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€(gè)螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個(gè)螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________．題型八：多面手問(wèn)題例42．我校去年11月份，高二年級(jí)有10人參加了赴日本交流訪問(wèn)團(tuán)，其中3人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．現(xiàn)要從中選6人上臺(tái)表演，3人唱歌，3人跳舞，有種不同的選法．A． B． C． D．例43．某國(guó)際旅行社現(xiàn)有11名對(duì)外翻譯人員，其中有5人只會(huì)英語(yǔ)，4人只會(huì)法語(yǔ)，2人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)法語(yǔ)，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語(yǔ)翻譯，4人當(dāng)法語(yǔ)翻譯，則共有（

）種不同的選法A．225 B．185 C．145 D．110例44．“賽龍舟”是端午節(jié)的習(xí)俗之一，也是端午節(jié)最重要的節(jié)日民俗活動(dòng)之一，在我國(guó)南方普遍存在端午節(jié)臨近，某單位龍舟隊(duì)欲參加今年端午節(jié)龍舟賽，參加訓(xùn)練的8名隊(duì)員中有3人只會(huì)劃左槳，3人只會(huì)劃右槳，2人既會(huì)劃左槳又會(huì)劃右槳．現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（

）A．26種 B．30種 C．37種 D．42種例45．某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左舷，4人只會(huì)劃右舷，2人既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（

）A．56種 B．68種C．74種 D．92種題型九：錯(cuò)位排列例46．編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)人分別去坐編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)座位，其中有且只有兩個(gè)人的編號(hào)與座位號(hào)一致的坐法有（

）A．10種 B．20種 C．30種 D．60種例47．將編號(hào)為、、、、、的小球放入編號(hào)為、、、、、的六個(gè)盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球的編號(hào)相同，則不同的放法種數(shù)為（

）A． B． C． D．例48．若5個(gè)人各寫一張卡片（每張卡片的形狀、大小均相同），現(xiàn)將這5張卡片放入一個(gè)不透明的箱子里，并攪拌均勻，再讓這5人在箱子里各摸一張，恰有1人摸到自己寫的卡片的方法數(shù)有（

）A．20 B．90 C．15 D．45題型十：涂色問(wèn)題例49．（2022·陜西·寶雞市陳倉(cāng)高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（理））某兒童游樂(lè)園有5個(gè)區(qū)域要涂上顏色，現(xiàn)有四種不同顏色的油漆可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則符合條件的涂色方案有（）種A．36

B．48

C．54

D．72例50．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）隨機(jī)給如圖所示的四塊三角形區(qū)域涂色，有紅、黃、藍(lán)、綠、黑這5種顏色供選擇，則“任意兩個(gè)有公共邊的三角形所涂顏色不同”的概率為（

）A． B． C． D．例51．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）無(wú)蓋正方體容器的五個(gè)面上分別標(biāo)有A、B、C、D、E五個(gè)字母，現(xiàn)需要給容器的5個(gè)表面染色，要求有公共棱的面不能染同一種顏色，現(xiàn)有5種不同的顏色可供選擇，則不同的染色方案有（

）種．A．420 B．340 C．300 D．120例52．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，如圖，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)為（

）A． B． C． D．例53．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在一個(gè)正六邊形的六個(gè)區(qū)域涂色（如圖），要求同一區(qū)域同一種顏色，相鄰的兩塊區(qū)域（有公共邊）涂不同的顏色，現(xiàn)有種不同的顏色可供選擇，則不同涂色方案有（）A．種 B．種 C．種 D．種例54．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））用種不同的顏色對(duì)正四棱錐的條棱染色，每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的棱的顏色各不相同，不同的染色方案共有多少種A． B． C． D．例55．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））用紅、黃、藍(lán)三種顏色之一去涂圖中標(biāo)號(hào)為的個(gè)小正方形（如圖1），使得任意相鄰（有公共邊的）小正方形所涂顏色都不相同，且標(biāo)號(hào)為“、、”的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有123456789A．種 B．種 C．種 D．種題型十一：分組問(wèn)題例56．為了貫徹落實(shí)中央新疆工作座談會(huì)和全國(guó)對(duì)口支援新疆工作會(huì)議精神，促進(jìn)邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)發(fā)展，我市教育系統(tǒng)選派了三位男教師和兩位女教師支援新疆，這五名教師被分派到三個(gè)不同地方對(duì)口支援，每位教師只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少去一人，其中兩位女教師分派到同一個(gè)地方，則不同的分派方法有（

）A．18種 B．36種 C．68種 D．84種例57．2021年春節(jié)期間電影《你好，李煥英》因“搞笑幽默不庸俗，真心實(shí)意不煽情”深受熱棒，某電影院指派5名工作人員進(jìn)行電影調(diào)查問(wèn)卷，每個(gè)工作人員從編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)影廳選一個(gè)，可以多個(gè)工作人員進(jìn)入同一個(gè)影廳，若所有5名工作人員的影廳編號(hào)之和恰為10，則不同的指派方法種數(shù)為（

）A．91 B．101 C．111 D．121例58．2019年實(shí)驗(yàn)中學(xué)要給三個(gè)班級(jí)補(bǔ)發(fā)8套教具，先將其分成3堆，其中一堆4個(gè)，另兩堆每堆2個(gè)，一共有多少種不同分堆方法（

）A． B．C． D．例59．有本不同的書(shū).(1)分給甲、乙、丙、丁四人，每人本，有幾種分法？(2)若堆依次為本，本，本，本，有幾種分法？(3)若平均分成堆，有幾種方法（只要求列出算式）？例60．已知有6本不同的書(shū).（1）分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？題型十二：分配問(wèn)題例61．2022年北京冬奧會(huì)速度滑冰?花樣滑冰?冰球三個(gè)項(xiàng)目競(jìng)賽中，甲，乙，丙，丁，戊五名同學(xué)各自選擇一個(gè)項(xiàng)目開(kāi)展志自愿者服務(wù)，則甲和乙均選擇同一個(gè)項(xiàng)目，且三個(gè)項(xiàng)目都有人參加的不同方案總數(shù)是（

）A．18 B．27 C．36 D．48例62．現(xiàn)將5名志愿者全部分派到A、B、C三個(gè)居民小區(qū)參加抗擊新冠病毒知識(shí)宣傳，要求每個(gè)小區(qū)至少1人，志愿者甲安排到A小區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為（

）．A．56 B．50 C．62 D．36例63．將4名志愿者分配到3個(gè)不同的北京冬奧場(chǎng)館參加接待工作，每個(gè)場(chǎng)館至少分配一名志愿者的方案種數(shù)為_(kāi)_______．（用數(shù)字作答）例64．設(shè)有99本不同的書(shū)（用排列數(shù)、組合數(shù)作答）.(1)分給甲、乙、丙3人，甲得96本，乙得2本，丙得1本，共有多少種不同的分法？(2)分給甲、乙、丙3人，甲得93本，乙、丙各得3本，共有多少種不同的分法？(3)平均分給甲、乙、丙3人，共有多少種不同的分法？(4)分給甲、乙、丙3人，一人得96本，一人得2本，一人得1本，共有多少種不同的分法？(5)分給甲、乙、丙3人，一人得93本，另兩人各得3本，共有多少種不同的分法？(6)分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，共有多少種不同的分法？(7)平均分成3份，共有多少種不同的分法？(8)分成3份，一份93本，另兩份各3本，共有多少種不同的分法？例65．(1)個(gè)不同的小球放入編號(hào)為的個(gè)盒子中，一共有多少種不同的放法？(2)個(gè)不同的小球放入編號(hào)為的個(gè)盒子中，恰有個(gè)空盒的放法共有多少種？例66．將封信全部投入個(gè)郵筒：(1)不加任何限制，有多少種不同的投法？(2)每個(gè)郵筒至少投一封信，有多少種不同的投法？題型十三：隔板法例67．將9個(gè)志愿者名額全部分配給3個(gè)學(xué)校，則每校至少一個(gè)名額且各校名額互不相同的分配方法總數(shù)是（

）A．16 B．18 C．27 D．28例68．展開(kāi)式為多項(xiàng)式，則其展開(kāi)式經(jīng)過(guò)合并同類項(xiàng)后的項(xiàng)數(shù)一共有（

）A．12項(xiàng) B．24項(xiàng) C．39項(xiàng) D．78項(xiàng)例69．7個(gè)相同的小球放入，，三個(gè)盒子，每個(gè)盒子至少放一球，共有（

）種不同的放法．A．60種 B．36種 C．30種 D．15種例70．將10本完全相同的科普知識(shí)書(shū)，全部分給甲?乙?丙3人，每人至少得2本，則不同的分法數(shù)為（

）A．720種 B．420種 C．120種 D．15種例71．方程的非負(fù)整數(shù)解有（

）A．組 B．136組 C．190組 D．68組例72．若方程，其中，則方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為A．10 B．15 C．20 D．30題型十四：數(shù)字排列例73．（2022·重慶南開(kāi)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）公元五世紀(jì)，數(shù)學(xué)家祖沖之估計(jì)圓周率的范圍是：，為紀(jì)念祖沖之在圓周率方面的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國(guó)數(shù)學(xué)的偉大成就．小明是個(gè)數(shù)學(xué)迷，他在設(shè)置手機(jī)的數(shù)字密碼時(shí)，打算將圓周率的前6位數(shù)字3，1，4，1，5，9進(jìn)行某種排列得到密碼．如果排列時(shí)要求數(shù)字9不在最后一位，那么小明可以設(shè)置的不同密碼有（

）個(gè)．A．600 B．300 C．360 D．180例74．（2022·河北·青龍滿族自治縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）用數(shù)字1，2，3，4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．12 C．16 D．18例75．（2022·山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校高三階段練習(xí)（理））若從1，2，3，…，9這9個(gè)整數(shù)中取出4個(gè)不同的數(shù)排成一排，依次記為a，b，c，d，則使得a×b×c＋d為奇數(shù)的不同排列方法有（

）A．1224 B．1800 C．1560 D．840例76．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)字“”中，各位數(shù)字相加和為，稱該數(shù)為“長(zhǎng)久四位數(shù)”，則用數(shù)字組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字且大于的“長(zhǎng)久四位數(shù)”有（

）個(gè)A． B．C． D．例77．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）用數(shù)字、、組成五位數(shù)，且數(shù)字、、至少都出現(xiàn)一次，這樣的五位數(shù)共有（

）個(gè)A． B． C． D．例78．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（

）A．210個(gè) B．300個(gè)C．464個(gè) D．600個(gè)題型十五：幾何問(wèn)題例79．（2022·河南·鶴壁高中高三階段練習(xí)（理））若一個(gè)正方體繞著某直線旋轉(zhuǎn)不到一周后能與自身重合，那么這樣的直線的條數(shù)為（

）A． B． C． D．例80．以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的個(gè)數(shù)為（

）A．70 B．64 C．60 D．58例81．從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)作為頂點(diǎn)，可得到四面體的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．例82．在正方體的個(gè)頂點(diǎn)中，以任意個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐，共有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)例83．正方體，是棱的中點(diǎn)，在任意兩個(gè)中點(diǎn)的連線中，與平面平行的直線有幾條（

）A．36 B．21 C．12 D．6題型十六：分解法模型與最短路徑問(wèn)題例84．5400的正約數(shù)有（

）個(gè)A．48 B．46 C．36 D．38例85．有一種走“方格迷宮”游戲，游戲規(guī)則是每次水平或豎直走動(dòng)一個(gè)方格，走過(guò)的方格不能重復(fù)，只要有一個(gè)方格不同即為不同走法．現(xiàn)有如圖的方格迷宮，圖中的實(shí)線不能穿過(guò)，則從入口走到出口共有多少種不同走法？A．6 B．8 C．10 D．12例86．如圖，某城市中，、兩地有整齊的道路網(wǎng)，若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿途中路線前進(jìn)，則從到不同的走法共有A．10 B．13 C．15 D．25例87．如圖，螞蟻從A沿著長(zhǎng)方體的棱以的方向行走至B，不同的行走路線有A．6條 B．7條 C．8條 D．9條例88．如圖，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著水平面的線條爬行到點(diǎn)，再由點(diǎn)沿著置于水平面的正方體的棱爬行至頂點(diǎn)，則它可以爬行的不同的最短路徑有（

）條A．40 B．60 C．80 D．120例89．如圖所示為某市各旅游景點(diǎn)的分布圖，圖中一支箭頭表示一段有方向的路，試計(jì)算順著箭頭方向，從A到H可走的不同的旅游路線的條數(shù)為A．14 B．15 C．16 D．17例90．如圖，在某城市中，M，N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中，，，是道路網(wǎng)中位于一條對(duì)角線上的4個(gè)交匯處.今在道路網(wǎng)M，N處的甲?乙兩人分別要到N，M處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，直到到達(dá)N，M處為止，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．甲從M到達(dá)N處的走法種數(shù)為120B．甲從M必須經(jīng)過(guò)到達(dá)N處的走法種數(shù)為9C．甲，兩人能在處相遇的走法種數(shù)為36D．甲，乙兩人能相遇的走法種數(shù)為164題型十七：排隊(duì)問(wèn)題例91．4個(gè)男同學(xué)，3個(gè)女同學(xué)站成一排．(1)3個(gè)女同學(xué)必須相鄰，有多少種不同的排法？(2)任何兩個(gè)女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法？(3)3個(gè)女同學(xué)站在中間三個(gè)位置上的不同排法有多少種？(4)其中甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，則有多少種不同的排法？(5)若3個(gè)女同學(xué)身高互不相等，女同學(xué)從左到右按高矮順序排，有多少種不同的排法？例92．在班級(jí)活動(dòng)中，4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目：（寫出必要的數(shù)學(xué)式，結(jié)果用數(shù)字作答）（1）三名女生不能相鄰，有多少種不同的站法？（2）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少種不同的排法？（3）甲乙丙三人按高低從左到右有多少種不同的排法？（甲乙丙三位同學(xué)身高互不相等）（4）從中選出2名男生和2名女生表演分四個(gè)不同角色朗誦，有多少種選派方法？例93．在班級(jí)活動(dòng)中，4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目：（寫出必要的數(shù)學(xué)式，結(jié)果用數(shù)字作答）（1）三名女生不能相鄰，有多少種不同的站法？（2）四名男生相鄰有多少種不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少種不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低從左到右有多少種不同的排法？（甲乙丙三位同學(xué)身高互不相等）（5）從中選出2名男生和2名女生表演分四個(gè)不同角色朗誦，有多少種選派方法？（6）現(xiàn)在有7個(gè)座位連成一排，僅安排4個(gè)男生就坐，恰好有兩個(gè)空座位相鄰的不同坐法共有多少種？題型十八：構(gòu)造法模型和遞推模型例94．賈同學(xué)、王同學(xué)、文同學(xué)三人在操場(chǎng)踢球,每次傳球,傳球者將球隨機(jī)將傳給另外兩位同學(xué)之一,足球最開(kāi)始在文同學(xué)腳下,則:①次傳球之后,共有___________種可能的傳球方法;②次傳球之后,足球回到文同學(xué)腳下的傳球方法有___________種.例95．一只螞蟻從一個(gè)正四面體的頂點(diǎn)出發(fā)，每次從一個(gè)頂點(diǎn)爬行到另一個(gè)頂點(diǎn)，則螞蟻爬行五次還在點(diǎn)的爬行方法種數(shù)是__________．例96．把圓分成個(gè)不相等的扇形，并且用紅、黃、藍(lán)三種顏色給扇形染色，但不允許相鄰的扇形有相同的顏色，問(wèn)共有多少種染色法？例97．（1）求方程的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)；（2）某火車站共設(shè)有4個(gè)安檢入口，每個(gè)入口每次只能進(jìn)入1位乘客，求一個(gè)4人小組進(jìn)站的不同方案種數(shù)．題型十九：環(huán)排問(wèn)題例98．21個(gè)人按照以下規(guī)則表演節(jié)目：他們圍坐成一圈，按順序從1到3循環(huán)報(bào)數(shù)，報(bào)數(shù)字“3”的人出來(lái)表演節(jié)目，并且表演過(guò)的人不再參加報(bào)數(shù)．那么在僅剩兩個(gè)人沒(méi)有表演過(guò)節(jié)目的時(shí)候，共報(bào)數(shù)的次數(shù)為A．19 B．38 C．51 D．57例99．A，B，C，D，E，F(xiàn)六人圍坐在一張圓桌周圍開(kāi)會(huì)，A是會(huì)議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有（

）A．60種 B．48種 C．30種 D．24種例100．現(xiàn)有一圓桌，周邊有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)座位，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)坐在一起探討一個(gè)數(shù)學(xué)課題，每人只能坐一個(gè)座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有（

）．A．6種 B．8種 C．12種 D．16種例101．5個(gè)女孩與6個(gè)男孩圍成一圈，任意2個(gè)女孩中間至少站1個(gè)男孩，則不同排法有______種（填數(shù)字）．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2022·甘肅白銀·高三開(kāi)學(xué)考試（理））6名志愿者要到，，三個(gè)社區(qū)進(jìn)行志愿服務(wù)，每個(gè)志愿者只去一個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去社區(qū)，則不同的安排方法共有（

）A．105種 B．144種 C．150種 D．210種2．（2022·江西·南昌二中高三開(kāi)學(xué)考試（理））2022年3月中旬，新冠肺炎疫情突襲南昌，南昌市統(tǒng)一指揮，多方攜手、眾志成城，構(gòu)筑起抗擊疫情的堅(jiān)固堡壘．某小區(qū)有小王、小張等5位中學(xué)生積極參加社區(qū)志愿者，他們被分派到測(cè)溫和掃碼兩個(gè)小組，若小王和小張不同組，且他們所在的兩個(gè)組都至少需要2名中學(xué)生志愿者，則不同的分配方案種數(shù)有（

）A．8 B．10 C．12 D．143．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）用紅、黃、藍(lán)3種顏色給如圖所示的6個(gè)相連的圓涂色，若每種顏色只能涂2個(gè)圓，且相鄰2個(gè)圓所涂顏色不能相同，則不同的涂法種數(shù)為（

）A．24 B．30 C．36 D．424．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲乙丙丁四個(gè)同學(xué)星期天選擇到東湖公園，西湖茶經(jīng)樓，歷史博物館和北湖公園其中一處去參觀游玩，其中茶經(jīng)樓必有人去，則不同的參觀方式共有（

）種.A．24 B．96 C．174 D．1755．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若分配甲、乙、丙、丁四個(gè)人到三個(gè)不同的社區(qū)做志愿者，每個(gè)社區(qū)至少分配一人，每人只能去一個(gè)社區(qū)．若甲分配的社區(qū)已經(jīng)確定，則乙與甲分配到不同社區(qū)的概率是（

）A． B． C． D．6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）近日，各地有序開(kāi)展新冠疫苗加強(qiáng)針接種工作，某社區(qū)疫苗接種點(diǎn)為了更好的服務(wù)市民，決定增派5名醫(yī)務(wù)工作者參加登記?接種?留觀3項(xiàng)工作，每人參加1項(xiàng)，接種工作至少需要2人參加，登記?留觀至少1人參加，則不同的安排方式有（

）A．50 B．80 C．140 D．1807．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將6個(gè)不同的乒乓球全部放入兩個(gè)不同的球袋中，每個(gè)球袋中至少放1個(gè)，則不同的放法有（

）A．82種 B．62種 C．112種 D．84種8．（2022·四川省成都市第八中學(xué)校高三階段練習(xí)（理））甲?乙?丙等七人相約到電影院看電影《長(zhǎng)津湖》，恰好買到了七張連號(hào)的電影票，若甲?乙兩人必須相鄰，且丙坐在七人的正中間，則不同的坐法的種數(shù)為（

）A．240 B．192 C．96 D．489．（2022·安徽·合肥一中模擬預(yù)測(cè)（理））某校有5名大學(xué)生打算前往觀看冰球，速滑，花滑三場(chǎng)比賽，每場(chǎng)比賽至少有1名學(xué)生且至多2名學(xué)生前往，則甲同學(xué)不去觀看冰球比賽的方案種數(shù)有（

）A．48 B．54