微積分第1章d1補(bǔ)充4二項(xiàng)式定理

二項(xiàng)式定理111111111112334465510101166151520（a+b）的n次方展開式的系數(shù)的規(guī)律楊輝三角:表中除“1”以外的每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)之和(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)11121133114641151010511615201561

這樣的二項(xiàng)式系數(shù)表，早在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里就已經(jīng)出現(xiàn)了，在這本書里，記載著類似右面的表：1、什么是楊輝三角？二項(xiàng)式（a+b）n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)n依次取1，2，3．．．時，列出的一張表，叫做二項(xiàng)式系數(shù)表，因它形如三角形，南宋的楊輝對其有過深入研究，所以我們又稱它為楊輝三角．2、楊輝三角蘊(yùn)含的二項(xiàng)式性質(zhì)（1）表中每個數(shù)都是組合數(shù)，第n行的第r+1個數(shù)是．（2）三角形的兩條斜邊上都是數(shù)字1，而其余的數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)字相加，也就是（3）楊輝三角具有對稱性、等距性（對稱美），即（4）第n行的和，即（5）偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=（6）若n為偶數(shù)，則中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大;若n為奇數(shù)，則中間項(xiàng)兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大。

南宋末年錢塘人，是當(dāng)時有名的數(shù)學(xué)家和教育家，楊輝一生編寫的數(shù)學(xué)書很多，但散佚嚴(yán)重。楊輝生活在浙江杭州一帶，曾當(dāng)過地方官，到過蘇州、臺州等地，他每到一處都會有人慕名前來請教數(shù)學(xué)問題。3、介紹楊輝——古代數(shù)學(xué)家的杰出代表?xiàng)钶x

本課課題《二項(xiàng)式定理》就是研究（a+b）的平方，（a+b）的三次方……（a+b）的n次方的乘法展開式的規(guī)律，法國數(shù)學(xué)家帕斯卡在17世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了它，國外把這一規(guī)律稱為帕斯卡三角。其實(shí)，我國數(shù)學(xué)家楊輝早在1261年在他的《詳解九章算法》中就有了相應(yīng)的圖表。4．觀察楊輝三角所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，及有趣的數(shù)字排列規(guī)律（1）計算楊輝三角中各行數(shù)字的和，看有何規(guī)律：

第0行1=1

第1行1＋1＝2第2行1＋2＋1＝4＝22第3行1＋3＋3＋1＝8＝23第4行1＋4＋6＋4＋1＝16＝24第5行1＋5＋10＋10＋5＋1＝32＝25．．．第n行問題前n項(xiàng)（含第0行）所有數(shù)的和與第n行所有數(shù)的和有何關(guān)系？結(jié)論:(1)第n行數(shù)字的和為2n．

(2)前n行(含第0行)所有數(shù)的和為2n–1，它恰好比第n行的和2n小1．猜想：

沒有大膽的猜想，就不能有偉大的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明。

------牛頓

二項(xiàng)式定理的證明

數(shù)學(xué)歸納法證:需要證明證畢11121133114641151010511615201561

與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等性質(zhì)1：對稱性性質(zhì)2：增減性與最大值先增后減當(dāng)n是偶數(shù)時，中間的一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間的兩項(xiàng)和相等，且同時取得最大值。二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)11121133114641151010511615201561性質(zhì)3：各二項(xiàng)式系數(shù)的和

也就是說,(a+b)n的展開式中的各個二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n？2n賦值法nnnrrnrnnnnnnnnbaCbaCbaC