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二項式定理111111111112334465510101166151520(a+b)的n次方展開式的系數(shù)的規(guī)律楊輝三角:表中除“1”以外的每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)之和(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6二項式系數(shù)的性質(zhì)11121133114641151010511615201561
這樣的二項式系數(shù)表,早在我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里就已經(jīng)出現(xiàn)了,在這本書里,記載著類似右面的表:1、什么是楊輝三角?二項式(a+b)n展開式的二項式系數(shù),當n依次取1,2,3...時,列出的一張表,叫做二項式系數(shù)表,因它形如三角形,南宋的楊輝對其有過深入研究,所以我們又稱它為楊輝三角.2、楊輝三角蘊含的二項式性質(zhì)(1)表中每個數(shù)都是組合數(shù),第n行的第r+1個數(shù)是.(2)三角形的兩條斜邊上都是數(shù)字1,而其余的數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)字相加,也就是(3)楊輝三角具有對稱性、等距性(對稱美),即(4)第n行的和,即(5)偶數(shù)項的二項式系數(shù)和=奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=(6)若n為偶數(shù),則中間項的二項式系數(shù)最大;若n為奇數(shù),則中間項兩項的二項式系數(shù)最大。
南宋末年錢塘人,是當時有名的數(shù)學家和教育家,楊輝一生編寫的數(shù)學書很多,但散佚嚴重。楊輝生活在浙江杭州一帶,曾當過地方官,到過蘇州、臺州等地,他每到一處都會有人慕名前來請教數(shù)學問題。3、介紹楊輝——古代數(shù)學家的杰出代表楊輝
本課課題《二項式定理》就是研究(a+b)的平方,(a+b)的三次方……(a+b)的n次方的乘法展開式的規(guī)律,法國數(shù)學家帕斯卡在17世紀發(fā)現(xiàn)了它,國外把這一規(guī)律稱為帕斯卡三角。其實,我國數(shù)學家楊輝早在1261年在他的《詳解九章算法》中就有了相應的圖表。4.觀察楊輝三角所蘊含的數(shù)量關(guān)系,及有趣的數(shù)字排列規(guī)律(1)計算楊輝三角中各行數(shù)字的和,看有何規(guī)律:
第0行1=1
第1行1+1=2第2行1+2+1=4=22第3行1+3+3+1=8=23第4行1+4+6+4+1=16=24第5行1+5+10+10+5+1=32=25...第n行問題前n項(含第0行)所有數(shù)的和與第n行所有數(shù)的和有何關(guān)系?結(jié)論:(1)第n行數(shù)字的和為2n.
(2)前n行(含第0行)所有數(shù)的和為2n–1,它恰好比第n行的和2n小1.猜想:
沒有大膽的猜想,就不能有偉大的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明。
------牛頓
二項式定理的證明
數(shù)學歸納法證:需要證明證畢11121133114641151010511615201561
與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等性質(zhì)1:對稱性性質(zhì)2:增減性與最大值先增后減當n是偶數(shù)時,中間的一項取得最大值;當n是奇數(shù)時,中間的兩項和相等,且同時取得最大值。二項式系數(shù)的性質(zhì)11121133114641151010511615201561性質(zhì)3:各二項式系數(shù)的和
也就是說,(a+b)n的展開式中的各個二項式系數(shù)的和為2n?2n賦值法nnnrrnrnnnnnnnnbaCbaCbaC
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