材料力學(xué)講義三

Additionalremarksforbending第十二章彎曲的幾個補(bǔ)充問題§12–1非對稱彎曲

(Unsymmetricalbending）

§12–2

開口薄壁桿件的切應(yīng)力彎曲中心

(Shearstressofopenthin-wallmembers.Flexural

center)第十二章彎曲的幾個補(bǔ)充問題

(Additionalremarksforbending）BA§12-1非對稱彎曲(Unsymmetricalbending)一、非對稱彎曲(Unsymmetricalbending)

橫向力雖然通過截面的彎曲中心，但與形心主慣性平面存在一定夾角。在這種情況下，梁彎曲后的軸線不在力的作用平面內(nèi)，這種彎曲變形稱為斜彎曲.yzxFyFzF二、斜彎曲的分析方法

(Analysismethodforunsymmetricalbending)2.疊加(Superposition)對兩個平面彎曲進(jìn)行研究，然后將計算結(jié)果疊加起來FzFyyzFjBAyzxFyFzF1.分解(Resolution)

將外載沿橫截面的兩個形心主軸分解，于是得到兩個正交的平面彎曲梁在垂直縱向?qū)ΨQ面xy面內(nèi)發(fā)生平面彎曲。z軸為中性軸yxz撓曲線梁的軸線對稱軸垂直縱向?qū)ΨQ面xyz梁的軸線對稱軸水平縱向?qū)ΨQ面梁在水平縱向?qū)ΨQ面xz平面內(nèi)彎曲，y軸為中性軸。撓曲線

三、梁內(nèi)任意橫截面上的內(nèi)力分析

(Analysisofinternalforceonanycrosssection)BAFyFzyzxxMy

=Fz

x=Fxsin(使梁在xz平面內(nèi)彎曲，y為中性軸)Mz

=Fy

x=Fxcos(使梁在xy平面內(nèi)彎曲，z為中性軸)mmmmzyMyxMz

四、橫截面上的應(yīng)力分析（Stressanalysisofcrosssections)

mmzyMyxMz1.與My

相應(yīng)的正應(yīng)力為(ThebendingnormalstresscorrespondingtoMy)2.與Mz

相應(yīng)的正應(yīng)力為(ThebendingnormalstresscorrespondingtoMz)C點處的正應(yīng)力(ThenormalstressatpointC)C(y,z)五、橫截面上中性軸的位置(Locationofneutralaxisoncrosssection)中性軸上的正應(yīng)力為零假設(shè)點e(z0

,y0

)為中性軸上任意一點zyxMzOe(z0,y0)中性軸方程為中性軸是一條通過橫截面形心的直線(theneutralaxisisalinewhichcrossthecentroidofanarea)

中性軸My中性軸的位置由它與y軸的夾角確定

zyx中性軸

公式中角度

是橫截面上合成彎矩

M的矢量與y軸的夾角。

橫截面上合成彎矩M為y0yzO

公式中角度y

是橫截面上合成彎矩

M的矢量與y軸的夾角.M中性軸MzMyyxyM中性軸

z

yO

討論：（1）一般情況下，截面的IzIy,故中性軸與合成彎矩M所在平面不垂直，此為斜彎曲的受力特征。所以撓曲線與外力（合成彎矩）所在面不共面,此為斜彎曲的變形特征。z

（2）對于圓形、正方形等Iy=Iz

的截面，有=y，梁發(fā)生平面彎曲(planebending)，正應(yīng)力可用合成彎矩M按正應(yīng)力計算公式計算。梁的撓曲線一般仍是一條空間曲線，故梁的撓曲線方程仍應(yīng)分別按兩垂直面內(nèi)的彎曲來計算，不能直接用合成彎矩進(jìn)行計算。中性軸

z

yOMyzy中性軸六、最大正應(yīng)力分析（Analysisofmaximumnormalstress)

作平行于中性軸的兩直線分別與橫截面周邊相切于D1、D2兩點，D1、D2

兩點分別為橫截面上最大拉應(yīng)力點和最大壓應(yīng)力點。D2D1OD1D2zyzyO中性軸中性軸

對于矩形、工字形等有兩個相互垂直的對稱軸的截面，梁橫截面的最大正應(yīng)力發(fā)生在截面的棱角處?？筛鶕?jù)梁的變形情況，直接確定截面上最大拉、壓應(yīng)力點的位置，無需定出中性軸。D2D1O七、強(qiáng)度條件(Strengthcondition)斜彎曲的危險點處于單向應(yīng)力狀態(tài)，所以強(qiáng)度條件為強(qiáng)度條件的應(yīng)用設(shè)計截面強(qiáng)度校核確定許可載荷八、斜彎曲的撓度(Deflectionofunsymmetricalbending)分別求出Fy

引起的撓度wy

和Fz

引起的撓度wz方法：疊加原理wzwywy總撓度為w總撓度與軸的夾角為y

xABCzyF2=2kNF1=1kN

0.5m

0.5m

4080zyO

ad

b

c例題1矩形截面的懸臂梁承受荷載如圖所示.試確定危險截面上危險點所在的位置，計算梁內(nèi)最大正應(yīng)力的值.解:（1）外力分析梁在F2的作用下將在xOz

平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲(y

為中性軸）故此梁的變形為兩個相互垂直平面彎曲的組合----斜彎曲梁在F1的作用下將在xOy平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲（z為中性軸）

xABCzyF2=2kNF1=1kN

0.5m0.5m

（2冠）嘉繪制宜彎矩敵圖繪出Mz(x)圖繪出My(x)蕩圖A截面斬為梁煌的危殃險截泰面Mz=娃1聞kN碑·mMy=宰1路kN奇·mxA宣B超CzyF2=2逼kNF1=1孩kN0.別5m0.半5m1kN·mxMz(x)圖1kN·mxMy(x)圖Mz使A截面陣上部張受拉觸，下做部受凡壓My使A截面巾前部坐受拉擊，后衛(wèi)部受指壓zyxMyzyxMzzyx（3厭）獄應(yīng)力纏分析D1是最膚大拉芬應(yīng)力豪點D2是最暮大壓撲應(yīng)力察點兩點裳正應(yīng)陽力的掙絕對肝值相感等拉壓拉壓D2D18040zyzyxMyzyxMz拉壓拉壓（4能）中店性軸社的位保置8040zy中性軸（5諒）繪晝制總示應(yīng)力氣分布病圖8040zy中性軸D1D2+-D1=7洞.0沈2D2=-惱7.雪02拉壓例題兇2合20肯a號披工字島形懸略臂梁阿受集鍋度為q的均堵布荷區(qū)載和畝集中彼力F=qa/2史作花用,歷力F作用納在yO摩z平面有內(nèi).辣已知寧鋼的隱許用維應(yīng)力[]=隊16卸0M化Pa滅，a=1陡m。試求腔此梁擊的許努可荷婆載集傍度可[q].40°FqaaACByz解：潤將力F向y軸和z軸分淋解Fy與均禽布荷練載q使梁在xy平面擋內(nèi)產(chǎn)歌生彎后曲(z為中用性軸漁)Fz使梁在xz平面幕內(nèi)產(chǎn)比生彎逐曲(y為中鹿性軸日)z40°FqaaACByFyFzFzACBxz面qFyACBxy面DD0.處61右7abcda0.古45第6qa20.拜26傍6qa20.敞38舞3qa2Mz圖adcb0.321qa20.642qa20.444qa2My圖（1孕）拼畫彎攤矩圖A、D兩截潛面可仁能是碌危險倒截面MzA=挎0.風(fēng)26鋒6qa2MzD=團(tuán)0.旦45悅6qa2MyA=尾0.泥64志2qa2MyD=鑄0.下44騰4qa2A截面D截面（2雞）計心算應(yīng)水力查工族字鋼敞表姓20需a開號A截面D截面梁的量危險民點在A截面諷棱角治處§12考–2開口錦薄壁跟桿件打的切頸應(yīng)力識彎騾曲中彎心(S棍he寇ar竿s各tr誕es師s寺of南o江pe瓣n樂th抖in艙-w傍al出l濱m振em肅be嘩rs扇.Fl托ex顏ur畜alce殊nt滑er貸)一、寄非對歉稱截字面梁南平面架彎曲奏的條姥件(C餐on轎di樸ti暑on寧s幼o(hù)f吐p嘉la屑ne煎b鮮en孔di治ng淺f斧or慢u桂ns魚ym主me抹tr悠ic翻al杰b謎ea剃ms缺)前面磨討論濱的平暗面彎宅曲,施僅限饒于梁翠至少漏有一牌個縱餃向?qū)しQ面宰,外稿力均帶作用趣在該儀對稱理面內(nèi)姻且垂宇直于滲軸線每.對于荒非對歡稱截繡面梁晝.橫少截面巨上有天一對醋形心酷主慣相性軸y,z,形倦心主碑慣性劣軸y,z與軸封線x組成走兩個查形心灑主慣戶性平傘面xO也y,xO澆z形心主慣性平面y,z軸為形心主慣性軸zxy1.始實體陷梁（B雄od恨y程be腰am喂s)當(dāng)橫免向外搖力作斃用在伏形心抽主慣巴性平踏面的射平面脖內(nèi),梁發(fā)腫生平拐面彎扶曲.否則煉將會它伴隨蛾著扭技轉(zhuǎn)變不形.但由品于實貍體構(gòu)榴件抗賀扭剛笑度很脈大.扭轉(zhuǎn)船變形巖很小,其帶興來的拘影響轎可以度忽略個不計.2.寒開口局薄壁眉截面嬸梁(O詠pe劣n丘th紡in市-w扛al原l大s限ec懇ti吊on具s)對于茶開口蓋薄壁閉截面墨梁,即使盆橫向矮力作到用于躲形心擴(kuò)主慣歡性平分面內(nèi)健(非紅對稱糊平面注),則梁技除發(fā)那生彎化曲變爛形外,還將眠發(fā)生棵扭轉(zhuǎn)個變形.只有炊當(dāng)橫傍向力拐的作誦用線駕平行巴于形躲心主畜慣性趟平面茫并通微過某維個特漫定點辰時,梁才程只發(fā)綱生平強(qiáng)面彎條曲,而無適扭轉(zhuǎn)卸變形.這個減特定貓點稱優(yōu)為橫度截面柳的彎曲是中心(S短he念ar絮c跳en膛te層r問or荒f蝕le覺xu獅ra標(biāo)l訂ce汪nt聲er浸),用A表示.3.罩彎曲層中心販的確薦定（D抗et位er等mi罪na柔t(yī)i偏on紗o總f桿th茅e池sh輩ea懶r左ce行nt額er紙)（1膝）彎曲肚中心(S爆he史ar膀c怒en默te碰r鴉or糕f面le斜xu懇ra葵l墳ce罵nt邪er咳)切應(yīng)擦力合甜力的敲作用林點就級是截邀面彎煮曲中厭心(使桿便不發(fā)伶生扭臭轉(zhuǎn)的兇橫擠向力畫作用瞧點)月.（2魔）彎曲里中心拒的位缸置(Lo線ca減ti開on盲o掩f猴th特e享sh算ea款r糠ce按nt初er隔)（b?。┚呤子幸徽Z個對君稱軸紡的截廁面,熄其彎州曲中品心一業(yè)定在欲這個擦對接稱軸焰上.（c雀）若殿截面劉的中碧線是甩由若膊干相粗交于虎一點慕的直河線段倦所組驚成，晉則此撓交喪點就起是截垮面的龜彎曲遼中心視.AAA（a惕）具表有兩斬個對陡稱軸首或反促對稱重軸的聰截面娘,其奶彎曲飼中心戲與形橋心重?fù)魏?例3倡試賤畫出壁下列禽各薄抱壁截紗面彎暴曲中褲心的魂大致椅位置兔;卸若剪敵力FS的方軍向垂弄直向返下,樸試畫誤出切劑應(yīng)力彎流的維方向躁.AAAAAAAAAA例題精4京一接槽鋼微制成擱的梁籌受方總向平擴(kuò)行于溝其腹找板的攝橫向摧荷載扁作用跳.鋼歉槽截柴面簡除化后聰?shù)某咪N寸見遇圖.（2涂）確跡定橫腔截面沉上剪磁力作逼用線李的位吊置（1果）分蜻析橫樓截面蕩上腹篇板,咱翼緣閥兩部抱分切應(yīng)茂力t和t1的變蠻化規(guī)暫律q(x)F1F2tyOmtyzdhbh1h′b′dy1y1δδ解：（1）分析腹板上切應(yīng)力的變化規(guī)律腹板驢上切律應(yīng)力宵沿高棗度按情二次籃拋物炮線規(guī)芝律變疊化.tyOmtyzdhbh1h′b′dy1y1δδ（2表）橫籃截面巖翼緣雙上的借切應(yīng)駝力q(x)F1F2mmnnxdxFSMFSM+dMnmmndxxs1nmnmdxs11沿翼呢緣厚徑度用裳縱向袍截面AC截出扛一體卻積元豪素C-m在C-m的兩伯個截險面D-m,C-n上蹲分別凝有由侄法向?qū)憙?nèi)力莫元素在C-m的兩木個截演面D-m,C-n上分園別有進(jìn)由法主向內(nèi)始力元捐素組旁成的傷拉力FN1*,FN1違1*.mnOzydxmDCAξdAAξDmCdxδB由于背翼緣碌很薄確,故彩可認(rèn)孫為1,11,沿呈翼緣拼厚度盯保持醉不變悉,且霉其值溫與翼邪緣中折線上錢的正虹應(yīng)力蚊相同部.δ為翼緣厚度ξ為從翼緣外端到所取縱截面AC間的長度mnOzydxmDCAξAξDmCdxδBdAA*所以監(jiān)在AC截面汪上一慕定存諸在著臺切向窯內(nèi)力龜元素顯dFS’，因為妥翼緣稱橫截持面也倆是狹躺長矩凱形,引故可池采用忍切應(yīng)客力沿陪壁厚睛不變騾及其喇方向紐奉平行嚴(yán)于翼儲緣長沈度的隊假設(shè)膊.由于根據(jù)偶剪應(yīng)龍力互舞等定革理,監(jiān)橫截走面上膽的切應(yīng)幟力和AC上的蹤蝶切應(yīng)摘力如鄙圖所譯示.AξDmCdxδB平衡它方程Fx=水0經(jīng)過整理,即得AξDmCdxδB由切應(yīng)力互等定理可知得橫截面上的切應(yīng)力mnOzydxmDCAξ式中FS—為夕橫截圈面上輝的剪姨力Iz—為整些個橫薄截面院對其干中性東軸的漲慣性澆矩h’泊—為截享面兩身翼緣側(cè)中線詢間的