河南省開封市第十七中學2023年高考數學試題二模試題及參考答案

河南省開封市第十七中學2023年高考數學試題二模試題及參考答案注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復數，其中，，是虛數單位，則（）A． B． C． D．2．已知函數的圖像上有且僅有四個不同的關于直線對稱的點在的圖像上，則的取值范圍是()A． B． C． D．3．把滿足條件（1），，（2），，使得的函數稱為“D函數”，下列函數是“D函數”的個數為（）①②③④⑤A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．已知橢圓+=1(a>b>0)與直線交于A，B兩點，焦點F(0，-c)，其中c為半焦距，若△ABF是直角三角形，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．5．已知函數，則（）A． B．1 C．-1 D．06．在直角梯形中，，，，，點為上一點，且，當的值最大時，()A． B．2 C． D．7．tan570°=（）A． B．- C． D．8．定義在R上的偶函數滿足，且在區(qū)間上單調遞減，已知是銳角三角形的兩個內角，則的大小關系是（）A． B．C． D．以上情況均有可能9．甲、乙、丙三人參加某公司的面試，最終只有一人能夠被該公司錄用，得到面試結果以后甲說：丙被錄用了；乙說：甲被錄用了；丙說：我沒被錄用.若這三人中僅有一人說法錯誤，則下列結論正確的是（）A．丙被錄用了 B．乙被錄用了 C．甲被錄用了 D．無法確定誰被錄用了10．已知命題：“關于的方程有實根”，若為真命題的充分不必要條件為，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知，若對任意，關于x的不等式（e為自然對數的底數）至少有2個正整數解，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合U＝{1,3,5,9}，A＝{1,3,9}，B＝{1,9}，則?U(A∪B)＝________.14．在平面直角坐標系中，已知點，，若圓上有且僅有一對點，使得的面積是的面積的2倍，則的值為_______.15．設，則_____，（的值為______．16．在中，角，，的對邊分別是，，，若，，則的面積的最大值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數的單調區(qū)間；（3）判斷函數的零點個數.18．（12分）已知曲線的參數方程為（為參數）.以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）若過點的直線與交于，兩點，與交于，兩點，求的取值范圍.19．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）寫出的普通方程和的直角坐標方程；（2）設點在上，點在上，求的最小值以及此時的直角坐標.20．（12分）一酒企為擴大生產規(guī)模，決定新建一個底面為長方形的室內發(fā)酵館，發(fā)酵館內有一個無蓋長方體發(fā)酵池，其底面為長方形(如圖所示)，其中.結合現有的生產規(guī)模，設定修建的發(fā)酵池容積為450米，深2米.若池底和池壁每平方米的造價分別為200元和150元，發(fā)酵池造價總費用不超過65400元（1）求發(fā)酵池邊長的范圍；（2）在建發(fā)酵館時，發(fā)酵池的四周要分別留出兩條寬為4米和米的走道（為常數）.問:發(fā)酵池的邊長如何設計，可使得發(fā)酵館占地面積最小.21．（12分）已知圓上有一動點，點的坐標為，四邊形為平行四邊形，線段的垂直平分線交于點.（Ⅰ）求點的軌跡的方程；（Ⅱ）過點作直線與曲線交于兩點，點的坐標為，直線與軸分別交于兩點，求證：線段的中點為定點，并求出面積的最大值.22．（10分）已知函數（1）已知直線：，：.若直線與關于對稱，又函數在處的切線與垂直，求實數的值；（2）若函數，則當，時，求證：①；②.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】試題分析：由,得,則，故選D.考點：1、復數的運算；2、復數的模.2、D【解析】

根據對稱關系可將問題轉化為與有且僅有四個不同的交點；利用導數研究的單調性從而得到的圖象；由直線恒過定點，通過數形結合的方式可確定；利用過某一點曲線切線斜率的求解方法可求得和，進而得到結果.【詳解】關于直線對稱的直線方程為：原題等價于與有且僅有四個不同的交點由可知，直線恒過點當時，在上單調遞減；在上單調遞增由此可得圖象如下圖所示：其中、為過點的曲線的兩條切線，切點分別為由圖象可知，當時，與有且僅有四個不同的交點設，，則，解得：設，，則，解得：，則本題正確選項：【點睛】本題考查根據直線與曲線交點個數確定參數范圍的問題；涉及到過某一點的曲線切線斜率的求解問題；解題關鍵是能夠通過對稱性將問題轉化為直線與曲線交點個數的問題，通過確定直線恒過的定點，采用數形結合的方式來進行求解.3、B【解析】

滿足（1）（2）的函數是偶函數且值域關于原點對稱，分別對所給函數進行驗證.【詳解】滿足（1）（2）的函數是偶函數且值域關于原點對稱，①不滿足（2）；②不滿足（1）；③不滿足（2）；④⑤均滿足（1）（2）.故選：B.【點睛】本題考查新定義函數的問題，涉及到函數的性質，考查學生邏輯推理與分析能力，是一道容易題.4、A【解析】

聯立直線與橢圓方程求出交點A，B兩點，利用平面向量垂直的坐標表示得到關于的關系式，解方程求解即可.【詳解】聯立方程，解方程可得或，不妨設A(0，a)，B(-b，0)，由題意可知，·=0，因為，，由平面向量垂直的坐標表示可得，，因為，所以a2-c2=ac，兩邊同時除以可得，，解得e=或（舍去），所以該橢圓的離心率為.故選：A【點睛】本題考查橢圓方程及其性質、離心率的求解、平面向量垂直的坐標表示；考查運算求解能力和知識遷移能力；利用平面向量垂直的坐標表示得到關于的關系式是求解本題的關鍵；屬于中檔題、常考題型.5、A【解析】

由函數，求得，進而求得的值，得到答案.【詳解】由題意函數，則，所以，故選A.【點睛】本題主要考查了分段函數的求值問題，其中解答中根據分段函數的解析式，代入求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.6、B【解析】

由題，可求出，所以，根據共線定理，設，利用向量三角形法則求出，結合題給，得出，進而得出，最后利用二次函數求出的最大值，即可求出.【詳解】由題意，直角梯形中，，，，，可求得，所以·∵點在線段上，設，則，即，又因為所以，所以，當時，等號成立.所以.故選：B.【點睛】本題考查平面向量線性運算中的加法運算、向量共線定理，以及運用二次函數求最值，考查轉化思想和解題能力.7、A【解析】

直接利用誘導公式化簡求解即可．【詳解】tan570°=tan（360°+210°）=tan210°=tan（180°+30°）=tan30°=．故選：A．【點睛】本題考查三角函數的恒等變換及化簡求值，主要考查誘導公式的應用，屬于基礎題.8、B【解析】

由已知可求得函數的周期，根據周期及偶函數的對稱性可求在上的單調性，結合三角函數的性質即可比較．【詳解】由可得，即函數的周期，因為在區(qū)間上單調遞減，故函數在區(qū)間上單調遞減，根據偶函數的對稱性可知，在上單調遞增，因為，是銳角三角形的兩個內角，所以且即，所以即，．故選：．【點睛】本題主要考查函數值的大小比較，根據函數奇偶性和單調性之間的關系是解決本題的關鍵．9、C【解析】

假設若甲被錄用了，若乙被錄用了，若丙被錄用了，再逐一判斷即可.【詳解】解：若甲被錄用了，則甲的說法錯誤，乙，丙的說法正確，滿足題意，若乙被錄用了，則甲、乙的說法錯誤，丙的說法正確，不符合題意，若丙被錄用了，則乙、丙的說法錯誤，甲的說法正確，不符合題意，綜上可得甲被錄用了，故選：C.【點睛】本題考查了邏輯推理能力，屬基礎題.10、B【解析】命題p：，為，又為真命題的充分不必要條件為，故11、B【解析】

構造函數（），求導可得在上單調遞增,則,問題轉化為,即至少有2個正整數解,構造函數,,通過導數研究單調性,由可知，要使得至少有2個正整數解,只需即可,代入可求得結果.【詳解】構造函數（），則（），所以在上單調遞增，所以，故問題轉化為至少存在兩個正整數x，使得成立，設，，則，當時，單調遞增；當時，單調遞增.，整理得.故選:B.【點睛】本題考查導數在判斷函數單調性中的應用,考查不等式成立問題中求解參數問題,考查學生分析問題的能力和邏輯推理能力,難度較難.12、B【解析】

由題意得出的值，進而利用離心率公式可求得該雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由題意可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：B.【點睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率，利用公式計算較為方便，考查計算能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、{5}【解析】易得A∪B＝A＝{1,3,9}，則?U(A∪B)＝{5}．14、【解析】

寫出所在直線方程，求出圓心到直線的距離，結合題意可得關于的等式，求解得答案．【詳解】解：直線的方程為，即．圓的圓心到直線的距離，由的面積是的面積的2倍的點，有且僅有一對，可得點到的距離是點到直線的距離的2倍，可得過圓的圓心，如圖：由，解得．故答案為：．【點睛】本題考查直線和圓的位置關系以及點到直線的距離公式應用，考查數形結合的解題思想方法，屬于中檔題．15、7201【解析】

利用二項展開式的通式可求出；令中的，得兩個式子，代入可得結果.【詳解】利用二項式系數公式，，故，，故（=，故答案為：720；1.【點睛】本題考查二項展開式的通項公式的應用，考查賦值法，是基礎題.16、【解析】

化簡得到，，根據余弦定理和均值不等式得到，根據面積公式計算得到答案.【詳解】，即，，故.根據余弦定理：，即.當時等號成立，故.故答案為：.【點睛】本題考查了三角恒等變換，余弦定理，均值不等式，面積公式，意在考查學生的綜合應用能力和計算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）答案見解析（3）答案見解析【解析】

（1）設曲線在點，處的切線的斜率為，可求得，，利用直線的點斜式方程即可求得答案；（2）由（Ⅰ）知，，分時，，三類討論，即可求得各種情況下的的單調區(qū)間為；（3）分與兩類討論，即可判斷函數的零點個數．【詳解】（1），，設曲線在點，處的切線的斜率為，則，又，曲線在點，處的切線方程為：，即；（2）由（1）知，，故當時，，所以在上單調遞增；當時，，；，，；的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，；當時，同理可得的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，；綜上所述，時，單調遞增為，無遞減區(qū)間；當時，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，；當時，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，；（3）當時，恒成立，所以無零點；當時，由，得：，只有一個零點．【點睛】本題考查利用導數研究曲線上某點的切線方程，利用導數研究函數的單調性，考查分類討論思想與推理、運算能力，屬于中檔題．18、(1)見解析;(2).【解析】試題分析：（1）利用平方法消去參數，即可得到的普通方程，兩邊同乘以利用即可得的直角坐標方程；（2）設直線的參數方程為（為參數），代入，利用韋達定理、直線參數方程的幾何意義以及三角函數的有界性可得結果.試題解析：（1）曲線的普通方程為，曲線的直角坐標方程為；（2）設直線的參數方程為（為參數）又直線與曲線：存在兩個交點，因此.聯立直線與曲線：可得則聯立直線與曲線：可得，則即19、（1）：，：；（2），此時.【解析】試題分析：（1）的普通方程為，的直角坐標方程為；（2）由題意，可設點的直角坐標為到的距離當且僅當時，取得最小值，最小值為，此時的直角坐標為.試題解析：（1）的普通方程為，的直角坐標方程為.（2）由題意，可設點的直角坐標為，因為是直線，所以的最小值即為到的距離的最小值，.當且僅當時，取得最小值，最小值為，此時的直角坐標為.考點：坐標系與參數方程.【方法點睛】參數方程與普通方程的互化：把參數方程化為普通方程，需要根據其結構特征，選取適當的消參方法，常見的消參方法有：代入消參法；加減消參法；平方和（差）消參法；乘法消參法；混合消參法等．把曲線的普通方程化為參數方程的關鍵：一是適當選取參數；二是確?；セ昂蠓匠痰牡葍r性．注意方程中的參數的變化范圍．20、（1）（2）當時，，米時，發(fā)酵館的占地面積最小；當時，時，發(fā)酵館的占地面積最小；當時，米時，發(fā)酵館的占地面積最小.【解析】

（1）設米，總費用為，解即可得解；（2）結合（1）可得占地面積結合導函數分類討論即可求得最值.【詳解】（1）由題意知:矩形面積米，設米，則米，由題意知:，得，設總費用為，則，解得:，又，故，所以發(fā)酵池邊長的范圍是不小于15米，且不超過25米；（2）設發(fā)酵館的占地面積為由（1）知:，①時，，在上遞增，則，即米時，發(fā)酵館的占地面積最小；②時，，在上遞減，則，即米時，發(fā)酵館的占地面積最?。虎蹠r，時，，遞減；時，遞增，因此，即時，發(fā)酵館的占地面積最??；綜上所述：當時，，米時，發(fā)酵館的占地面積最小；當時，時，發(fā)酵館的占地面積最小；當時，米時，發(fā)酵館的占地面積最小.【點睛】此題考查函數模型的應用，關鍵在于根據題意恰當地建立模型，利用函數性質討論最值取得的情況.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）4.【解析】

（Ⅰ）先畫出圖形，結合垂直平分線和平行四邊形性質可得為一定值，，故可確定點軌跡為橢圓（），進而求解；（Ⅱ）設直線方程為，點坐標分別為，聯立直線與橢圓方程得，，分別由點斜式求得直線KA的方程