中考中的開放型問題

中考中的開放型問題蛟川書院滕麗問題背景約束條件結(jié)論應(yīng)用解決策略與方式條件開放、結(jié)論開放、設(shè)計開放、信息處理開放、解法開放、條件多變開放等條件開放型這類題目一般給出了問題的部分條件,在題目要求的結(jié)論下,補充或者另設(shè)一些條件,使得符合題意.解決這類問題一般運用逆向思維,從結(jié)論及部分條件出發(fā),逆向推出所需的條件.(05福州)如圖,點C、D在線段AB上,PC=PD.請你添加一個條件,使圖中存在全等三角形,并給予證明.所添條件為______,得到的一對全等三角形是__________.證明:結(jié)論開放型這類問題是在給定條件下探索結(jié)論的多樣性，主要考查學(xué)生的發(fā)散性思維和所學(xué)的基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力.鼓勵學(xué)生從多角度、多層次、多側(cè)面地思考問題，發(fā)展學(xué)生的求異思維，對于發(fā)揮學(xué)生的主體精神，培養(yǎng)學(xué)生的個性很有益處。(05濟寧)結(jié)合生活中的實例，(1-15%)x可以解釋為_______.(05南昌)已知拋物線y=,與x軸的交點為A，B（B在A的右邊），與y軸的交點為C.(1)寫出m=1時與拋物線有關(guān)的三個正確結(jié)論;(2)當(dāng)點B在原點的右邊,點C在原點的下方,是否存在△BOC為等腰三角形的情形,若存在求出m的值;若不存在,說明理由.(3)請你提出一個對于任意m都能成立的正確命題(說明:根據(jù)提出問題的水平層次,得分略有差異).設(shè)計開放型這類題目的編制一般背景新穎、形式活潑，通過添畫、分割、剪拼等方式，讓學(xué)生在充滿探索的過程中感受數(shù)學(xué)創(chuàng)造的樂趣.設(shè)計型問題主要考查學(xué)生動手能力和實踐能力.解決此類問題時,要先思考,后動手,防止盲目嘗試.這類試題是近年來出現(xiàn)的一種題型,代表一種命題的新思路.這類試題往往利用給定的幾個基本圖形,要求設(shè)計一個有意義的圖形,這類題要求有良好的動手能力,豐富的想象能力和創(chuàng)造能力.(05安徽)下圖是一個10×10格點正方形組成的網(wǎng)格,△ABC是格點三角形（頂點在網(wǎng)格交點處），(1)在圖中畫出與△ABC相似的格點△DEF與△PMN,且△DEF與△ABC的相似比2,△PMN與△ABC的相似比是;(2)在圖中用與△ABC,△DEF,△PMN全等的格點三角形(每個三角形至少使用一次),拼出你熟悉的圖案,并為你設(shè)計的圖案配一句貼切的解說詞.ABABEDCF光線EDABFC圖1圖2AB(05泰州)(1)高為12.6米的教學(xué)樓ED前有一棵大樹AB(圖1).某一時刻測得大樹AB、教學(xué)樓ED在陽光下的投影長BC=2.4米，DF=7.2米，求大樹AB的高度．(2)用皮尺、高為h米的測角儀，請你設(shè)計另一種測量大樹AB高度的方案，要求：①在圖2上，畫出你設(shè)計的測量方案示意圖，并將應(yīng)測數(shù)據(jù)標(biāo)記在圖上；②根據(jù)你所畫的示意圖和標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計算大樹AB高度（用字母表示）．一般限定條件、限定測量工具,設(shè)計一個可行的方案,對某一物體的長度進(jìn)行測量并計算.大多以建立直角三角形模型進(jìn)行求解,須注意的是設(shè)計的方案應(yīng)是具有可操作性的.ABMNGαhmABhmαABGMNEFhβαmABmhαβ

若改成測量小山高度時,因要測量出測角儀到山底的距離比較困難,此時方案二比方案一優(yōu)越.HAGBDCαγnm方案2圖bM(05淮安市金湖實驗區(qū))課題研究:現(xiàn)有邊長為120的正方形鐵皮.準(zhǔn)備將它設(shè)計成一個水槽,使能通過的水流量最大.初三(1)班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過討論,在水流速度一定的情況下,水槽的橫截面越大,通過水槽的水流量越大.他們設(shè)計了不同的方案.(1)方案①把它折成橫截面為直角三角形的水槽,∠ABC=90度,設(shè)AB=x,該水槽的橫截面面積為y,寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,計算x取何值時y最大,并求這個最大值.方案②把它折成橫截面為等腰梯形的水槽.若∠ABC=120度,求出梯形ABCD面積的最大值,并與①中的最大值比較.(2)假如你是該興趣小組中的成員,請你再提供兩種方案,使水槽的橫截面面積更大.該題目以“課題研究”為題材,形式新穎,考查學(xué)生的創(chuàng)造能力和創(chuàng)新思維能力,有利于培養(yǎng)學(xué)生研究問題的習(xí)慣.本題可以設(shè)計如下方案:半圓正八邊形的一半正十邊形的一半

（05安徽）下面是數(shù)學(xué)課堂的一個學(xué)習(xí)片段,閱讀后,請回答下面的問題:學(xué)習(xí)等腰三角形有關(guān)內(nèi)容后,張老師請同學(xué)們交流討論這樣的一個問題:“已知等腰三角形ABC的角A等于30度,請你求出其余兩角”.

同學(xué)們經(jīng)過片刻的思考與交流后,李明同學(xué)舉手講:“其余兩角是30度和120度”；王華同學(xué)說：“其余兩角是75度和75度”，還有一些同學(xué)也提出了不同的看法…(1)假如你也在課堂中，你的意見如何？為什么？(2)通過上面數(shù)學(xué)問題的討論，你有什么感受？（用一句話表示）信息處理開放型該題真實地再現(xiàn)了生動活潑的課堂片段，以討論的方式呈現(xiàn)，要求學(xué)生把自己的觀點表達(dá)出來，減輕了考生的心理壓力.同時考查了學(xué)生思維的批判性.(05泰州)春蘭集團對應(yīng)聘者甲、乙、丙進(jìn)行面試，并從專業(yè)知識、工作經(jīng)驗、儀表形象三方面給應(yīng)聘者打分，每一方面滿分20分，最后的打分制成條形統(tǒng)計圖（如圖）．

(1)利用圖中提供的信息，在專業(yè)知識方面3人得分的極差是多少？在儀表形象方面誰最有優(yōu)勢？

(2)如果專業(yè)知識、工作經(jīng)驗、儀表形象三個方面的重要性之比為10∶7∶3，那么作為人事主管，你應(yīng)該錄用哪一位應(yīng)聘者？為什么？(3)在(2)的條件下，你對落聘者有何建議？甲乙丙甲乙丙甲乙丙對統(tǒng)計圖表的觀察應(yīng)重在對信息的理解解釋.解決與統(tǒng)計圖有關(guān)的實際問題時,要根據(jù)不同統(tǒng)計圖的特點認(rèn)識并回答問題,如折線統(tǒng)計圖的“變化”,扇形統(tǒng)計圖的“比例”.（05河南）空投物資用的某種降落傘的軸截面如圖所示，△ABG是等邊三角形，C、D是以AB為直徑的半圓O的兩個三等分點。CG、DG分別交AB于點E、F.試判斷點E、F分別位于所在線段的什么位置？并證明你結(jié)論（證一種情況即可）解法開放型本題是集探索、猜想、判斷、證明于一體的開放題，難度不大，但改變了過去給出結(jié)論，讓學(xué)生去證明的固定模式，激活了學(xué)生的思維.(05麗水）如圖，AB是⊙O的直徑，CB、CE分別切⊙O于點B、D，CE與BA的延長線交于點E，連結(jié)OC、OD．（1）求證：△OBC≌△ODC；（2）已知DE=a，AE=b，BC=c，請你思考后，選用以上適當(dāng)?shù)臄?shù)，設(shè)計出計算⊙O半徑r的一種方案：①你選用的已知數(shù)是____________；②寫出求解過程（結(jié)果用字母表示）根據(jù)條件，欲求圓半徑的方法很多，選擇不同的數(shù)據(jù)則應(yīng)用的幾何定理也不同，求解過程也不一樣。但盲目選擇也會給解題帶來麻煩，且有的方法解不出結(jié)果來，這就要求學(xué)生在解題過程中不因循守舊，通過積極思考，優(yōu)化解題策略。條件多變開放題對某一問題進(jìn)行改造，如改變某一條件或幾個條件或把圖形平移、旋轉(zhuǎn)后，再對原來的結(jié)論進(jìn)行重新探索。常用類比猜想的方法，思考時通過聯(lián)想相似題目的解題思路與方法，比較異同并以此來尋求解題的途徑。（05煙臺）(1)如圖1，直線MN與⊙O相交，且與⊙O的直徑AB垂直，垂足為P，過P的直線與⊙O交于C、D兩點，直線AC交MN于點E.求證：PC·PD=PE·PF.(2)如圖2,若直線MN與⊙O相離.(1)中的其余條件不變,那么(1)中的結(jié)論還成立嗎?(3)如圖3,直線MN與⊙O相離,且與⊙O的直徑AB垂直，垂足為P.請按要求畫出圖形,畫⊙O的割線PCD(PC<PD),直線BC與MN交于點E，直線BD與MN交于點F.(1)中的結(jié)論是否成立?圖1圖2圖3圖3(05江西)在邊長為2的正方形ABCD中，O、E分別是AD、AB的中點，點F是以O(shè)為圓心、OE為半徑的圓弧與DC的交點，點P在弧EF上運動，連結(jié)OP，并延長交直線BC于點K.(1)當(dāng)P從E運動到F時，點K運動了多少？(2)過點P作弧EF的切線，當(dāng)該切線不與BC平行時，設(shè)它與射線AB、直線BC分別交于點M、G.①當(dāng)K與B重合時，BG：BM的值是多少？②在P運動過程中，是否存在BG:BM=3的情況？若存在，求出BK的值；若不存在，試說明理由.(3)一般地，是否存在BG：BM=n（n為正整數(shù)）的情況？試提出你的猜想（不要求證明）HN謝謝！請批評指正(05年河北課改)四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點，直角三角板的一條直角邊經(jīng)過點D，且直角頂點E在AB邊上滑動（點E不與點A、B重合），另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點F.(1)如圖1，當(dāng)點E在AB邊的中點位置時；①通過測量DE，EF的長度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是______；②連結(jié)點E與AD邊的中點N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是____；③請證明你的上述兩猜想.(2)如圖2，當(dāng)點E在AB邊上的任意位置時，請在AD邊上找點N，使得NE=BF，進(jìn)而猜想此時DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系.(05泰州)圖1是邊長分別為4√3和3的兩個正三角形ABC和C’D’E’疊放在一起(C與C’重合).(1)固定△ABC將△C’D’E’繞點C順時針旋轉(zhuǎn)30度得到△CDE，連結(jié)AD、BE,CE的延長線交AB于F,在圖2中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系?(2)圖2中△CDE在線段CF上沿著CF方向以每秒1個單位的速度平移,平移后的△CDE設(shè)為△PQR(圖3),設(shè)△PQR移動的時間為x秒,△PQR與△AFC重疊部分的面積為y，求y與x之間的解析式.(3)圖1中△C’D’E’固定，將△ABC移動，使頂點C落在C’E’的中點，邊BC交D’E’于點M，邊AC交D’C’于點N,∠ACC’=α（30度＜α＜90度),圖4中C’N·E’M的值是否隨α的變化而變化？若沒有變化，請求值；若有變化，請說明理由.圖1圖2圖3圖4AACBCBAFEDPFCBBARQNMGD’D’E’C’E’（05溫州）小明家用瓷磚裝修衛(wèi)生間，還有一塊墻角面未完工(如圖甲所示)，他想在現(xiàn)有的六塊瓷磚余料中(如圖乙所示)挑選2塊或3塊余料進(jìn)行鋪設(shè)，請你幫小明設(shè)計兩種不同的鋪設(shè)方案(在下面圖丙、圖丁中畫出鋪設(shè)示意圖，并標(biāo)出所選用每塊余料的編號)。⑵

AB＝2BC（或者∠C＝90°，∠A＝30°），中位線EF.⑶方法一：∠B＝90°且AB＝2BC，中位線EF.方法二：AB＝AC且∠BAC＝90°，中線（或高）AD.⑷方法一：不妨設(shè)∠B＞∠C，在BC邊上取一點D，作∠GDB＝∠B交AB于G，過AC的中點E作EF∥GD交BC于F，則EF為剪切線.方法二：不妨設(shè)∠B＞∠C，分別取AB、AC的中點D、E，過D、E作BC的垂線，G、H為垂足，在HC上截取HF＝GB，連結(jié)EF，則EF為剪切線.方法三：不妨設(shè)∠B＞∠C，作高AD，在DC上截取DG＝DB，連結(jié)AG，過AC的中點E作EF∥AG交BC于F，則EF為剪切線.(05青島)如圖,在△ABC中,∠BAC與∠ABC的平分線相交于點E,直線AE交△ABC的外接圓于D,連結(jié)BD,CD,CE,∠BDA=60度,求證:△BDE是等邊三角形.下面是小鵬和小明的解題思路:他們都用到三角形的外角與內(nèi)角關(guān)系及角平分線的性質(zhì),但小鵬先證第一類：找規(guī)律問題這類問題要求大家通過觀察,分析,比較,概括,總結(jié)出題設(shè)反映的某種規(guī)律,進(jìn)而利用這個規(guī)律解決相關(guān)問題(05濟南)某區(qū)在改革學(xué)生學(xué)習(xí)方式的研究中對某校七年級的600名學(xué)生進(jìn)行了“你喜歡什么樣的學(xué)習(xí)方式”的問卷調(diào)查（如右表）.調(diào)查者根據(jù)統(tǒng)計的數(shù)據(jù)制作了如下的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)圖中的有關(guān)信息回答下列問題(1)請將每種學(xué)習(xí)方式中選擇“最喜歡”的人數(shù)填入下表;(2)根據(jù)圖中的信息請你提出一個問題.

．(7分)中，

學(xué)

，作

（1）

的人數(shù)填入下表；

（2）根據(jù)圖中的信息，請你提出一個問題．

代號

學(xué)習(xí)方式

最喜歡

喜歡

一般

不喜歡

1

老師講學(xué)生聽

2

老師提出問題

學(xué)生探索思考

3

自己獨立思考

發(fā)現(xiàn)問題

4

小組共同討論

解決問題

5

開展各種數(shù)學(xué)

活動及小競賽