高中數(shù)學參數(shù)方程大題(帶答案)

參數(shù)方程極坐標系解答題1．已知曲線C：1，直線l：（t為參數(shù)）（Ⅰ）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的一般方程．（Ⅱ）過曲線C上隨意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求的最大值與最小值．考點：參數(shù)方程化成一般方程；直線與圓錐曲線的關(guān)系．專題：坐標系和參數(shù)方程．分析：（Ⅰ）聯(lián)想三角函數(shù)的平方關(guān)系可取2θ、3θ得曲線C的參數(shù)方程，干脆消掉參數(shù)t得直線l的一般方程；（Ⅱ）設(shè)曲線C上隨意一點P（2θ，3θ）．由點到直線的距離公式得到P到直線l的距離，除以30°進一步得到，化積后由三角函數(shù)的范圍求得的最大值與最小值．解答：解：（Ⅰ）對于曲線C：1，可令2θ、3θ，故曲線C的參數(shù)方程為，（θ為參數(shù)）．對于直線l：，由①得：﹣2，代入②并整理得：2﹣6=0；（Ⅱ）設(shè)曲線C上隨意一點P（2θ，3θ）．P到直線l的距離為．則，其中α為銳角．當（θ+α）=﹣1時，取得最大值，最大值為．當（θ+α）=1時，取得最小值，最小值為．點評：本題考查一般方程與參數(shù)方程的互化，訓練了點到直線的距離公式，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．2．已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點處，極軸與x軸的正半軸重合，直線l的極坐標方程為：，曲線C的參數(shù)方程為：（α為參數(shù)）．（I）寫出直線l的直角坐標方程；（Ⅱ）求曲線C上的點到直線l的距離的最大值．考點：參數(shù)方程化成一般方程．專題：坐標系和參數(shù)方程．分析：（1）首先，將直線的極坐標方程中消去參數(shù)，化為直角坐標方程即可；（2）首先，化簡曲線C的參數(shù)方程，然后，依據(jù)直線與圓的位置關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解．解答：解：（1）∵直線l的極坐標方程為：，∴ρ（θ﹣θ）=，∴，∴x﹣1=0．（2）依據(jù)曲線C的參數(shù)方程為：（α為參數(shù)）．得（x﹣2）22=4，它表示一個以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓，圓心到直線的距離為：，∴曲線C上的點到直線l的距離的最大值=．點評：本題重點考查了直線的極坐標方程、曲線的參數(shù)方程、與其之間的互化等學問，屬于中檔題．3．已知曲線C1：（t為參數(shù)），C2：（θ為參數(shù)）．（1）化C1，C2的方程為一般方程，并說明它們分別表示什么曲線；（2）若C1上的點P對應(yīng)的參數(shù)為，Q為C2上的動點，求中點M到直線C3：（t為參數(shù)）距離的最小值．考點：圓的參數(shù)方程；點到直線的距離公式；直線的參數(shù)方程．專題：計算題；壓軸題；轉(zhuǎn)化思想．分析：（1）分別消去兩曲線參數(shù)方程中的參數(shù)得到兩曲線的一般方程，即可得到曲線C1表示一個圓；曲線C2表示一個橢圓；（2）把t的值代入曲線C1的參數(shù)方程得點P的坐標，然后把直線的參數(shù)方程化為一般方程，依據(jù)曲線C2的參數(shù)方程設(shè)出Q的坐標，利用中點坐標公式表示出M的坐標，利用點到直線的距離公式表示出M到已知直線的距離，利用兩角差的正弦函數(shù)公式化簡后，利用正弦函數(shù)的值域即可得到距離的最小值．解答：解：（1）把曲線C1：（t為參數(shù)）化為一般方程得：（4）2+（y﹣3）2=1，所以此曲線表示的曲線為圓心（﹣4，3），半徑1的圓；把C2：（θ為參數(shù)）化為一般方程得：1，所以此曲線方程表述的曲線為中心是坐標原點，焦點在x軸上，長半軸為8，短半軸為3的橢圓；（2）把代入到曲線C1的參數(shù)方程得：P（﹣4，4），把直線C3：（t為參數(shù)）化為一般方程得：x﹣2y﹣7=0，設(shè)Q的坐標為Q（8θ，3θ），故M（﹣2+4θ，2θ）所以M到直線的距離，（其中α=，α=）從而當θ=，θ=﹣時，d取得最小值．點評：此題考查學生理解并運用直線和圓的參數(shù)方程解決數(shù)學問題，敏捷運用點到直線的距離公式與中點坐標公式化簡求值，是一道綜合題．4．在直角坐標系中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立直角坐標系，圓C的極坐標方程為，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l和圓C交于A，B兩點，P是圓C上不同于A，B的隨意一點．（Ⅰ）求圓心的極坐標；（Ⅱ）求△面積的最大值．考點：參數(shù)方程化成一般方程；簡潔曲線的極坐標方程．專題：坐標系和參數(shù)方程．分析：（Ⅰ）由圓C的極坐標方程為，化為ρ2=，把代入即可得出．（）把直線的參數(shù)方程化為一般方程，利用點到直線的距離公式可得圓心到直線的距離d，再利用弦長公式可得2，利用三角形的面積計算公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）由圓C的極坐標方程為，化為ρ2=，把代入可得：圓C的一般方程為x22﹣220，即（x﹣1）2+（1）2=2．∴圓心坐標為（1，﹣1），∴圓心極坐標為；（Ⅱ）由直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)），把代入﹣1+2t可得直線l的一般方程：，∴圓心到直線l的距離，∴2，點P直線距離的最大值為，．點評：本題考查了把直線的參數(shù)方程化為一般方程、極坐標化為直角坐標方程、點到直線的距離公式、弦長公式、三角形的面積計算公式，考查了推理實力與計算實力，屬于中檔題．5．在平面直角坐標系中，橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù)）．以o為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．求橢圓上點到直線距離的最大值和最小值．考點：橢圓的參數(shù)方程；橢圓的應(yīng)用．專題：計算題；壓軸題．分析：由題意橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù)），直線的極坐標方程為．將橢圓和直線先化為一般方程坐標，然后再計算橢圓上點到直線距離的最大值和最小值．解答：解：將化為一般方程為（4分）點到直線的距離（6分）所以橢圓上點到直線距離的最大值為，最小值為．（10分）點評：此題考查參數(shù)方程、極坐標方程與一般方程的區(qū)分和聯(lián)系，兩者要會相互轉(zhuǎn)化，依據(jù)實際狀況選擇不同的方程進行求解，這也是每年高考必考的熱點問題．6．在直角坐標系中，直線I的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），若以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ（θ+）．（1）求直線I被曲線C所截得的弦長；（2）若M（x，y）是曲線C上的動點，求的最大值．考點：參數(shù)方程化成一般方程．專題：計算題；直線與圓；坐標系和參數(shù)方程．分析：（1）將曲線C化為一般方程，將直線的參數(shù)方程化為標準形式，利用弦心距半徑半弦長滿意的勾股定理，即可求弦長．（2）運用圓的參數(shù)方程，設(shè)出M，再由兩角和的正弦公式化簡，運用正弦函數(shù)的值域即可得到最大值．解答：解：（1）直線I的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），消去t，可得，341=0；由于ρ（θ+）=（），即有ρ2=ρθ﹣ρθ，則有x22﹣0，其圓心為（，﹣），半徑為，圓心到直線的距離，故弦長為2=2=；（2）可設(shè)圓的參數(shù)方程為：（θ為參數(shù)），則設(shè)M（，），則（），由于θ∈R，則的最大值為1．點評：本題考查參數(shù)方程化為標準方程，極坐標方程化為直角坐標方程，考查參數(shù)的幾何意義與運用，考查學生的計算實力，屬于中檔題．7．選修4﹣4：參數(shù)方程選講已知平面直角坐標系，以O(shè)為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，P點的極坐標為，曲線C的極坐標方程為．（Ⅰ）寫出點P的直角坐標與曲線C的一般方程；（Ⅱ）若Q為C上的動點，求中點M到直線l：（t為參數(shù)）距離的最小值．考點：參數(shù)方程化成一般方程；簡潔曲線的極坐標方程．專題：坐標系和參數(shù)方程．分析：（1）利用ρθ，ρθ即可得出；（2）利用中點坐標公式、點到直線的距離公式與三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出，解答：解（1）∵P點的極坐標為，∴=3，=．∴點P的直角坐標把ρ222，ρθ代入可得，即∴曲線C的直角坐標方程為．（2）曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的一般方程為x﹣2y﹣7=0設(shè)，則線段的中點．則點M到直線l的距離.，∴點M到直線l的最小距離為．點評：本題考查了極坐標與直角坐標的互化、中點坐標公式、點到直線的距離公式、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)學問與基本技能方法，考查了計算實力，屬于中檔題．8．在直角坐標系中，圓C的參數(shù)方程（φ為參數(shù)）．以O(shè)為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．（Ⅰ）求圓C的極坐標方程；（Ⅱ）直線l的極坐標方程是ρ（θ+）=3，射線：θ=與圓C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求線段的長．考點：簡潔曲線的極坐標方程；直線與圓的位置關(guān)系．專題：直線與圓．分析：（I）圓C的參數(shù)方程（φ為參數(shù)）．消去參數(shù)可得：（x﹣1）22=1．把ρθ，ρθ代入化簡即可得到此圓的極坐標方程．（）由直線l的極坐標方程是ρ（θ+）=3，射線：θ=．可得一般方程：直線l，射線．分別與圓的方程聯(lián)立解得交點，再利用兩點間的距離公式即可得出．解答：解：（I）圓C的參數(shù)方程（φ為參數(shù)）．消去參數(shù)可得：（x﹣1）22=1．把ρθ，ρθ代入化簡得：ρ=2θ，即為此圓的極坐標方程．（）如圖所示，由直線l的極坐標方程是ρ（θ+）=3，射線：θ=．可得一般方程：直線l，射線．聯(lián)立，解得，即Q．聯(lián)立，解得或．∴P．∴2．點評：本題考查了極坐標化為一般方程、曲線交點與方程聯(lián)立得到的方程組的解的關(guān)系、兩點間的距離公式等基礎(chǔ)學問與基本方法，屬于中檔題．9．在直角坐標系中，曲線C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ（θ+）=4．（1）求曲線C1的一般方程與曲線C2的直角坐標方程；（2）設(shè)P為曲線C1上的動點，求點P到C2上點的距離的最小值，并求此時點P的坐標．考點：簡潔曲線的極坐標方程．專題：坐標系和參數(shù)方程．分析：（1）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系把參數(shù)方程化為直角坐標方程，利用直角坐標和極坐標的互化公式ρθ、ρθ，把極坐標方程化為直角坐標方程．（2）求得橢圓上的點到直線﹣8=0的距離為，可得d的最小值，以與此時的α的值，從而求得點P的坐標．解答：解：（1）由曲線C1：，可得，兩式兩邊平方相加得：，即曲線C1的一般方程為：．由曲線C2：得：，即ρθ+ρθ=8，所以﹣8=0，即曲線C2的直角坐標方程為：﹣8=0．（2）由（1）知橢圓C1與直線C2無公共點，橢圓上的點到直線﹣8=0的距離為，∴當時，d的最小值為，此時點P的坐標為．點評：本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．10．已知直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），圓C的極坐標方程為ρ=2（θ+）．（Ⅰ）求圓心C的直角坐標；（Ⅱ）由直線l上的點向圓C引切線，求切線長的最小值．考點：簡潔曲線的極坐標方程．專題：計算題．分析：（I）先利用三角函數(shù)的和角公式綻開圓C的極坐標方程的右式，再利用直角坐標與極坐標間的關(guān)系，即利用ρθ，ρθ，ρ222，進行代換即得圓C的直角坐標方程，從而得到圓心C的直角坐標．（）欲求切線長的最小值，轉(zhuǎn)化為求直線l上的點到圓心的距離的最小值，故先在直角坐標系中算出直線l上的點到圓心的距離的最小值，再利用直角三角形中邊的關(guān)系求出切線長的最小值即可．解答：解：（I）∵，∴，∴圓C的直角坐標方程為，即，∴圓心直角坐標為．（5分）（）∵直線l的一般方程為，圓心C到直線l距離是，∴直線l上的點向圓C引的切線長的最小值是（10分）點評：本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區(qū)分，能進行極坐標和直角坐標的互化．11．在直角坐標系中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標系，直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），曲線C1的方程為ρ（ρ﹣4θ）=12，定點A（6，0），點P是曲線C1上的動點，Q為的中點．（1）求點Q的軌跡C2的直角坐標方程；（2）直線l與直線C2交于A，B兩點，若≥2，求實數(shù)a的取值范圍．考點：簡潔曲線的極坐標方程；參數(shù)方程化成一般方程．專題：坐標系和參數(shù)方程．分析：（1）首先，將曲線C1化為直角坐標方程，然后，依據(jù)中點坐標公式，建立關(guān)系，從而確定點Q的軌跡C2的直角坐標方程；（2）首先，將直線方程化為一般方程，然后，依據(jù)距離關(guān)系，確定取值范圍．解答：解：（1）依據(jù)題意，得曲線C1的直角坐標方程為：x22﹣412，設(shè)點P（x′，y′），Q（x，y），依據(jù)中點坐標公式，得，代入x22﹣412，得點Q的軌跡C2的直角坐標方程為：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，（2）直線l的一般方程為：，依據(jù)題意，得，解得實數(shù)a的取值范圍為：[0，]．點評：本題重點考查了圓的極坐標方程、直線的參數(shù)方程，直線與圓的位置關(guān)系等學問，考查比較綜合，屬于中檔題，解題關(guān)鍵是精確運用直線和圓的特定方程求解．12．在直角坐標系中以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標系．圓C1，直線C2的極坐標方程分別為ρ=4θ，ρ（）=2．（Ⅰ）求C1與C2交點的極坐標；（Ⅱ）設(shè)P為C1的圓心，Q為C1與C2交點連線的中點，已知直線的參數(shù)方程為（t∈R為參數(shù)），求a，b的值．考點：點的極坐標和直角坐標的互化；直線與圓的位置關(guān)系；參數(shù)方程化成一般方程．專題：壓軸題；直線與圓．分析：（I）先將圓C1，直線C2化成直角坐標方程，再聯(lián)立方程組解出它們交點的直角坐標，最終化成極坐標即可；（）由（I）得，P與Q點的坐標分別為（0，2），（1，3），從而直線的直角坐標方程為x﹣2=0，由參數(shù)方程可得﹣+1，從而構(gòu)造關(guān)于a，b的方程組，解得a，b的值．解答：解：（I）圓C1，直線C2的直角坐標方程分別為x2+（y﹣2）2=4，﹣4=0，解得或，∴C1與C2交點的極坐標為（4，）．（2，）．（）由（I）得，P與Q點的坐標分別為（0，2），（1，3），故直線的直角坐標方程為x﹣2=0，由參數(shù)方程可得﹣+1，∴，解得﹣1，2．點評：本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程、把參數(shù)方程化為一般方程的方法，方程思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13．在直角坐標系中，l是過定點P（4，2）且傾斜角為α的直線；在極坐標系（以坐標原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸，取相同單位長度）中，曲線C的極坐標方程為ρ=4θ（Ⅰ）寫出直線l的參數(shù)方程，并將曲線C的方程化為直角坐標方程；（Ⅱ）若曲線C與直線相交于不同的兩點M、N，求的取值范圍．解答：解：（I）直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．曲線C的極坐標方程ρ=4θ可化為ρ2=4ρθ．把ρθ，ρθ代入曲線C的極坐標方程可得x22=4x，即（x﹣2）22=4．（）把直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）代入圓的方程可得：t2+4（αα）4=0．∵曲線C與直線相交于不同的兩點M、N，∴△=16（αα）2﹣16＞0，∴αα＞0，又α∈[0，π），∴．又t12=﹣4（αα），t1t2=4．∴12124αα，∵，∴，∴．∴的取值范圍是．點評：本題考查了直線的參數(shù)方程、圓的極坐標方程、直線與圓相交弦長問題，屬于中檔題．14．在直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，⊙C的極坐標方程為ρ=2θ．（Ⅰ）寫出⊙C的直角坐標方程；（Ⅱ）P為直線l上一動點，當P到圓心C的距離最小時，求P的直角坐標．考點：點的極坐標和直角坐標的互化．專題：坐標系和參數(shù)方程．分析：（I）由⊙C的極坐標方程為ρ=2θ．化為ρ2=2，把代入即可得出；．（）設(shè)P，又C．利用兩點之間的距離公式可得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出．解答：解：（I）由⊙C的極坐標方程為ρ=2θ．∴ρ2=2，化為x22=，配方為=3．（）設(shè)P，又C．∴≥2，因此當0時，取得最小值2．此時P（3，0）．點評：本題考查了極坐標化為直角坐標方程、參數(shù)方程的應(yīng)用、兩點之間的距離公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理實力與計算實力，屬于中檔題．15．已知曲線C1的極坐標方程為ρ=6θ，曲線C2的極坐標方程為θ=（p∈R），曲線C1，C2相交于A，B兩點．（Ⅰ）把曲線C1，C2的極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程；（Ⅱ）求弦的長度．考點：簡潔曲線的極坐標方程．專題：計算題．分析：（Ⅰ）利用直角坐標與極坐標間的關(guān)系，即利用ρθ，ρθ，ρ222，進行代換即得曲線C2與曲線C1的直角坐標方程．（Ⅱ）利用直角坐標方程的形式，先求出圓心（3，0）到直線的距離，最終結(jié)合點到直線的距離公式弦的長度．解答：解：（Ⅰ）曲線C2：（p∈R）表示直線，曲線C1：ρ=6θ，即ρ2=6ρθ所以x22=6x即（x﹣3）22=9（Ⅱ）∵圓心（3，0）到直線的距離，3所以弦長．∴弦的長度．點評：本小題主要考查圓和直線的極坐標方程與直角坐標方程的互化，以與利用圓的幾何性質(zhì)計算圓心到直線的距等基本方法，屬于基礎(chǔ)題．16．在直角坐標系中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標系，直線l的極坐標方程為ρ（θ+）=，圓C的參數(shù)方程為，（θ為參數(shù)，r＞0）（Ⅰ）求圓心C的極坐標；（Ⅱ）當r為何值時，圓C上的點到直線l的最大距離為3．考點：簡潔曲線的極坐標方程；直線與圓的位置關(guān)系．專題：計算題．分析：（1）利用兩角差的余弦公式與極坐標與直角坐標的互化公式可得直線l的一般方程；利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，消去θ可得曲線C的一般方程，得出圓心的直角坐標后再化面極坐標即可．（2）由點到直線的距離公式、兩角和的正弦公式，與正弦函數(shù)