種群相互競(jìng)爭(zhēng)模型

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)課題：兩種群相互競(jìng)爭(zhēng)模型如下：x(t)r1x(1xs1y)n1n2y(t)r2y(1s2xy)n1n2其中x（t），y(t)分別是甲乙兩種群`的數(shù)量，r1，r2為它們的固有增長(zhǎng)率，n1，n2為它們的最大容量。s1的含義是，對(duì)于供養(yǎng)甲的資源而言，單位數(shù)量乙（相對(duì)n2）的消耗量為單位數(shù)量甲（相對(duì)n1）消耗的s1倍，對(duì)于s2也可做相應(yīng)的解釋。分析：這里用x(t)表示甲種群在時(shí)刻 t的數(shù)量，即一定區(qū)域內(nèi)的數(shù)量。y(t)表示乙種群在時(shí)刻 t的數(shù)量。假設(shè)甲種群獨(dú)立生活時(shí)的增長(zhǎng)率（固有增長(zhǎng)率）為 r1，則x(t)/x=r1，而種群乙的存在會(huì)使甲的增長(zhǎng)率減小，且甲種群數(shù)量的增長(zhǎng)也會(huì)抑制本身數(shù)量的增長(zhǎng)，即存在種間競(jìng)爭(zhēng)。這里，我們?cè)O(shè)增長(zhǎng)率的一部分減少量和種群乙的數(shù)量與最大容納量的比值成正比，與s1（s1表示最大容納量乙消耗的供養(yǎng)甲的資源是最大容納量甲消耗該資源的 s1倍）成正比。另一部分的減少量和種群甲的數(shù)量與甲的最大容納量的比值成正比。則我們可以得到如下模型：x(t)=r1*x*(1-x/n1-s1*y/n2)精品文檔交流同樣，我們可以得到乙種群在 t時(shí)刻的數(shù)量表達(dá)式：y(t)=r2*y*(1-s2*x/n1-y/n2)如果給定甲、乙種群的初始值，我們就可以知道甲、乙種群數(shù)量隨時(shí)間的演變過程。對(duì)于上述的模型，我們先設(shè)定好參數(shù)以后，就可以用所學(xué)的龍格庫(kù)塔方法及 MATLAB 軟件求其數(shù)值解；問題一：設(shè)r1=r2=1,n1=n1=100,s1=0.5,s2=2,初值x0=y0=10，計(jì)算x(t),y(t)，畫出它們的圖形及相圖 (x,y)，說明時(shí)間 t充分大以后x(t),y(t)的變化趨勢(shì)（人民今天看到的已經(jīng)是自然界長(zhǎng)期演變的結(jié)局）。編寫如下 M文件：function xdot=jingzhong(t,x)r1=1;r2=1;n1=100;n2=100;s1=0.5;s2=2;xdot=diag([r1*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2),r2*(1-s2*x(1)/n1-x(2)/n2)])*x;然后運(yùn)行以下程序：ts=0:0.1:10;x0=[10,10];[t,x]=ode45(@jingzhong,ts,x0);[t,x]plot(t,x),grid,精品文檔交流gtext( '\fontsize{12}x(t)' ),gtext( '\fontsize{12}y(t)' ),pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid,xlabel( 'x' ),ylabel( 'y' )得到10年間甲、乙兩種群數(shù)量變化的圖象為：100908070x(t)605040302010y(t)0123456789100相圖為：精品文檔交流252015y1050203040506070809010010x結(jié)論：當(dāng)t充分大時(shí)，x和y的數(shù)量懸殊變大，最終是一方滅絕，一方繁榮。如上述模型中，甲種群繁榮下去，乙種群很快滅絕。問題二：改變r(jià)1,r2,n1,n2,x0,y0，但s1,s2不變，（或保持s1<1,s2>1），計(jì)算并分析所得結(jié)果；若 s1=1.5(>1)，s2=0.7(<1)再分析結(jié)果，由此你的得到什么結(jié)論，請(qǐng)用各參數(shù)生態(tài)學(xué)上的含義作出解釋。分析：當(dāng)s1,s2不變（或保持s1<1,s2>1）時(shí)精品文檔交流5045 x(t)4035302520151050

y(t)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10當(dāng)s1=1.5(>1)，s2=0.7(<1)時(shí)100908070605040302010

y(t)x(t)00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10當(dāng)s1,s2不變（或保持s1<1,s2>1）時(shí)總有甲種精品文檔交流群繁榮，乙種群滅絕。而當(dāng) s1=1.5(>1)，s2=0.7(<1)時(shí)，有乙種群繁榮，甲種群滅絕。因此我們得到：在兩個(gè)種群的相互競(jìng)爭(zhēng)中 s1，s2是兩個(gè)關(guān)鍵指標(biāo)．從上面對(duì)它們的解釋可知， s1>l，s2<1表示在消耗供養(yǎng)甲的資源中，乙的消耗多于甲，因而對(duì)甲增長(zhǎng)的阻滯作用乙大于甲，即乙的競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)于甲．問題三：實(shí)驗(yàn)當(dāng)s1=0.8(<1),s2=0.7(<1)時(shí)會(huì)有什么樣的結(jié)果：當(dāng)s1=1.5(>1),s2=1.7(>1)時(shí)又會(huì)有什么樣的結(jié)果。能解釋這些結(jié)果嗎？分析：當(dāng)s1=0.8(<1),s2=0.7(<1)時(shí)有如圖：70y(t)60x(t)50403020100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10即甲、乙競(jìng)爭(zhēng)激烈程度加劇，沒有一方有明顯優(yōu)勢(shì)；精品文檔交流當(dāng)s1=1.5(>1),s2=1.7(>1)時(shí)又會(huì)有如圖：8070x(t)60504030y(t)20100 1 2 3 4 5 6 7 8