計(jì)算機(jī)圖形學(xué)4陳永強(qiáng)

計(jì)算機(jī)圖形學(xué)4陳永強(qiáng)2造型技術(shù)基本圖形元素幾何信息與拓?fù)湫畔⒆鴺?biāo)系實(shí)體的定義正則集合運(yùn)算歐拉公式

基本概念3把研究如何在計(jì)算機(jī)中建立恰當(dāng)?shù)哪Ｐ捅硎静煌瑘D形對象的技術(shù)稱為造型技術(shù)。有兩類圖形對象：規(guī)則對象：幾何造型、幾何模型。不規(guī)則對象：過程式模擬?；靖拍睢煨图夹g(shù)4基本概念——基本圖形元素基本圖形元素：圖素或圖元、體素。圖素是指可以用一定的幾何參數(shù)和屬性參數(shù)描述的最基本的圖形輸出元素。在二維圖形系統(tǒng)中將基本圖形元素稱為圖素或圖元，在三維圖形系統(tǒng)中稱為體素?；靖拍睢緢D形元素點(diǎn)，0維線，一維面，二維環(huán)，二維體，三維6圖形信息與非圖形信息圖形信息：點(diǎn)、線、面的位置和幾何尺寸，及相互關(guān)系。非圖形信息：線型、顏色、亮度及模擬分析用的質(zhì)量、比重、體積等數(shù)據(jù)。基本概念——幾何信息與拓?fù)湫畔?圖形信息幾何信息：形體在歐氏空間中的位置和大小。拓?fù)湫畔ⅲ盒误w各分量（點(diǎn)、邊、面）的數(shù)目及其相互間的連接關(guān)系?；靖拍睢獛缀涡畔⑴c拓?fù)湫畔D4.1拓?fù)湫畔?剛體運(yùn)動(dòng)：不改變圖形上任意兩點(diǎn)間的距離，也不改變圖形的幾何性質(zhì)的運(yùn)動(dòng)。拓?fù)溥\(yùn)動(dòng)：允許形體作彈性運(yùn)動(dòng)，即在拓?fù)潢P(guān)系中，對圖形可隨意地伸張扭曲。但圖上各個(gè)點(diǎn)仍為不同的點(diǎn)，決不允許把不同的點(diǎn)合并成一個(gè)點(diǎn)?；靖拍睢獛缀涡畔⑴c拓?fù)湫畔?0建模坐標(biāo)系（MC，ModelingCoordinateSystem），造型坐標(biāo)系，局部坐標(biāo)系用戶坐標(biāo)系（WC，WorldCoordinateSystem），整體坐標(biāo)系，全局坐標(biāo)系觀察坐標(biāo)系（VC，ViewingCoordinateSystem）規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系（NDC，NormalizedDeviceCoordinateSystem）設(shè)備坐標(biāo)系（DC，DeviceCoordinateSystem）基本概念——坐標(biāo)系11基本概念——實(shí)體圖4.2帶有懸掛邊的立方體4.1.4基本概念——實(shí)體三維形體（客觀世界）→正則形體（數(shù)學(xué)）剛性維數(shù)的一致性占據(jù)有限的空間邊界的確定性封閉性13點(diǎn)的鄰域：如果P是點(diǎn)集S的一個(gè)元素，那么點(diǎn)P的以R（R>0）為半徑的鄰域指的是圍繞點(diǎn)P的半徑為R的小球（二維情況下為小圓）。開集的閉包：是指該開集與其所有邊界點(diǎn)的集合并集，本身是一個(gè)閉集。正則集：由內(nèi)部點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集的閉包就是正則集，三維空間的正則集就是正則形體。

基本概念－實(shí)體14基本概念－實(shí)體組成三維物體的點(diǎn)的集合可以分為兩類：內(nèi)點(diǎn)：為點(diǎn)集中的這樣一些點(diǎn)，它們具有完全包含于該點(diǎn)集的充分小的鄰域。邊界點(diǎn)：不具備此性質(zhì)的點(diǎn)集中的點(diǎn)。15基本概念——實(shí)體定義點(diǎn)集的正則運(yùn)算r運(yùn)算為：正則運(yùn)算即為先對物體取內(nèi)點(diǎn)再取閉包的運(yùn)算。r·A稱為A的正則集。16基本概念——實(shí)體圖4.3實(shí)體的例子17圖4.4正則形體基本概念——實(shí)體18正則形體（數(shù)學(xué)）→二維流形→實(shí)體（計(jì)算機(jī)）二維流形指的是對于實(shí)體表面上的任意一點(diǎn)，都可以找到一個(gè)圍繞著它的任意小的鄰域，該鄰域與平面上的一個(gè)圓盤是拓?fù)涞葍r(jià)的?；靖拍睢獙?shí)體圖4.5正則形體19實(shí)體：對于一個(gè)占據(jù)有限空間的正則形體，如果其表面是二維流形，則該正則形體為實(shí)體?；靖拍睢獙?shí)體20有效實(shí)體的封閉性。把能夠產(chǎn)生正則形體的集合運(yùn)算稱為正則集合運(yùn)算?；靖拍睢齽t集合運(yùn)算21圖4.6集合運(yùn)算與正則集合運(yùn)算基本概念——正則集合運(yùn)算正則運(yùn)算方法間接方式：先按照通常集合運(yùn)算求出結(jié)果，然后再用一些規(guī)則加以判斷；基于點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的鄰域概念。直接方式：定義出正則算子的表達(dá)式，直接得出符合正則形體定義的結(jié)果。23圖4.7基于點(diǎn)的鄰域概念生成正則形體基本概念——正則集合運(yùn)算基本概念——正則集合運(yùn)算ACISACIS是美國SpatialTechnology公司推出的三維幾何造型引擎，它集線框、曲面和實(shí)體造型于一體，并允許這三種表示共存于統(tǒng)一的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中，為各種3D造型應(yīng)用的開發(fā)提供了幾何造型平臺(tái)。25基本概念——平面多面體與歐拉公式平面多面體：多面體中最常見的一種，指表面由平面多邊形構(gòu)成的三維物體。歐拉公式證明簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、邊數(shù)E和面數(shù)F滿足如下關(guān)系：V-E+F=2。非簡單多面體需對歐拉公式加以擴(kuò)展。令H表示多面體表面上孔的個(gè)數(shù)，G表示貫穿多面體的孔的個(gè)數(shù)，C表示獨(dú)立的、不相連接的多面體數(shù)，則擴(kuò)展后的歐拉公式為：V-E+F-H=2（C-G）。26基本概念——平面多面體與歐拉公式圖4.9平面多面體與歐拉公式27線框模型早期計(jì)算機(jī)圖形生成技術(shù)，缺陷：第一，模型有二義性；第二，無面信息，易形成無效形體；第三，無曲面輪廓線，不能表示曲面信息。4.2三維形體的表示28實(shí)體模型（實(shí)體造型技術(shù)）實(shí)體模型大致分為三類：邊界表示（B-reps,Boundaryrepresentation）構(gòu)造實(shí)體幾何表示（CSG，ConstructiveSolidGeometry）空間分割（Space-partitioning）表示4.2三維形體的表示29多邊形表面模型掃描表示構(gòu)造實(shí)體幾何法空間位置枚舉表示八叉樹BSP樹OpenGL中的實(shí)體模型函數(shù)三維形體的表示30邊界表示(B-reps)的最普遍方式是多邊形表面模型，它使用一組包圍物體內(nèi)部的平面多邊形，也即平面多面體，來描述實(shí)體。多邊形表面模型圖4.10四面體及其點(diǎn)、邊、面的關(guān)系31多邊形表面模型——數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)幾何信息建立3張表：頂點(diǎn)表、邊表和多邊形表來存儲(chǔ)幾何數(shù)據(jù)。實(shí)體模型中，用多邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)值以及多邊形所在平面方程方式保存實(shí)體單個(gè)表面部分的空間方向信息32多邊形表面模型——數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)拓?fù)湫畔ⅲ阂磉吔Y(jié)構(gòu)表示（WingedEdgesStructure）圖4.11翼邊結(jié)構(gòu)表示33多邊形表面模型——數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)屬性信息用屬性表來存儲(chǔ)多邊形面的屬性，指明物體透明度及表面反射度的參數(shù)和紋理特征等等。34多邊形網(wǎng)格：三維形體的邊界通常用多邊形網(wǎng)格（polygonmesh）的拼接來模擬。例子多邊形表面模型圖4.12三角形帶與四邊形網(wǎng)格35掃描表示法（sweeprepresentation）可以利用簡單的運(yùn)動(dòng)規(guī)則生成有效實(shí)體。

包含兩個(gè)要素一是作掃描運(yùn)動(dòng)的基本圖形（截面）；二是掃描運(yùn)動(dòng)的方式。掃描表示（sweeprepresentation）36構(gòu)造實(shí)體幾何法（CSG）由兩個(gè)實(shí)體間的并、交或差操作生成新的實(shí)體。構(gòu)造實(shí)體幾何法圖4.13構(gòu)造實(shí)體幾何法37在構(gòu)造實(shí)體幾何法中，集合運(yùn)算的實(shí)現(xiàn)過程可以用一棵二叉樹（稱為CSG樹）來描述。樹的葉子是基本體素或是幾何變換參數(shù)；樹的非終端結(jié)點(diǎn)是施加于其子結(jié)點(diǎn)的正則集合算子（正則并、正則交和正則差）或幾何變換的定義。構(gòu)造實(shí)體幾何法38構(gòu)造實(shí)體幾何法圖4.14由CSG樹產(chǎn)生二維形體的實(shí)例39優(yōu)點(diǎn)：如果體素設(shè)置比較齊全，通過集合運(yùn)算就可以構(gòu)造出多種不同的符合需要的實(shí)體。缺點(diǎn)一：集合運(yùn)算的中間結(jié)果難以用簡單的代數(shù)方程表示，求交困難。缺點(diǎn)二：CSG樹不能顯式地表示形體的邊界，因而無法直接顯示CSG樹表示的形體。構(gòu)造實(shí)體幾何法40解決：光線投射算法構(gòu)造實(shí)體幾何法圖4.15光線投射算法(實(shí)體A∪B取ad，實(shí)體A∩B則取cb,實(shí)體A-B則取ab)41空間位置枚舉表示法將包含實(shí)體的空間分割為大小相同、形狀規(guī)則（正方形或立方體）的體素，然后，以體素的集合來表示圖形對象。二維情況，常用二維數(shù)組存放。三維情況下，常用三維數(shù)組p[i][j][k]來存放。空間位置枚舉表示42特點(diǎn)窮舉法，可表示任何實(shí)體。易實(shí)現(xiàn)實(shí)體的集合及體積計(jì)算等。無明確邊界信息，不適合圖形顯示。需大量存儲(chǔ)空間-分割檢索法?？臻g位置枚舉表示43八叉樹（octrees）又稱為分層樹結(jié)構(gòu)，它對空間進(jìn)行自適應(yīng)劃分，采用具有層次結(jié)構(gòu)的八叉樹來表示實(shí)體。對空間位置枚舉表示法的空間分割方法的改進(jìn)，為自適應(yīng)劃分。八叉樹44八叉樹——四叉樹圖4.16二維圖的四叉樹表示45八叉樹圖4.17三維空間分成八個(gè)卦限及其節(jié)點(diǎn)表示46二叉空間分割（BinarySpacePartitioning，BSP）樹方法是一種類似于八叉樹的空間分割方法，它每次將一實(shí)體用任一位置和任一方向的平面分為二部分（不同于八叉樹方法的每次將實(shí)體用平行于笛卡爾坐標(biāo)平面的三個(gè)兩兩垂直的平面分割）。BSP樹47GLUT庫中的多面體函數(shù)OpenGL中的實(shí)體模型函數(shù)函數(shù)說明glutSolidTetrahedron()glutWireTetrahedron()繪制中心位于世界坐標(biāo)系原點(diǎn)的實(shí)心四面體和線框四面體，四面體的半徑為。glutSolidCube(size)glutWireCube(size)繪制中心位于世界坐標(biāo)系原點(diǎn)的實(shí)心立方體和線框立方體，立方體的半徑為size，size是一個(gè)雙精度浮點(diǎn)值。glutSolidOctahedron()glutWireOctahedron()繪制中心位于世界坐標(biāo)系原點(diǎn)的實(shí)心八面體和線框八面體，八面體的半徑為1.0。glutSolidDodecahedron()glutWireDodecahedron()繪制中心位于世界坐標(biāo)系原點(diǎn)的實(shí)心12面體和線框12面體，12面體的半徑為。glutSolidIcosahedron()glutWireIcosahedron()繪制中心位于世界坐標(biāo)系原點(diǎn)的實(shí)心20面體和線框20面體，20面體的半徑為1.0。表4.1GLUT生成規(guī)則多面體的函數(shù)48GLUT庫中的二、三次曲面繪制實(shí)體或線框球面

voidglutSolidSphere/glutWireSphere(GLdoubleradius,GLintslices,GLintstacks);繪制實(shí)體或線框圓錐面

voidglutSolidCone/glutWireCone(GLdoubleradius,GLdoubleheight,GLintslices,GLintstacks);OpenGL中的實(shí)體模型函數(shù)49繪制實(shí)體或線框圓環(huán)

voidglutSolidTorus/glutWireTorus(GLdoubleinnerRadius,GLdoubleouterRadius,GLintslices,GLintstacks);繪制實(shí)體或線框茶壺

voidglutSolidTeapot/glutWireTeapot(GLdoublesize);OpenGL中的實(shí)體模型函數(shù)50GLU二次曲面函數(shù)定義一個(gè)二次曲面

GLUquadricObj*sphere;激活二次曲面繪制器

sphere=gluNewQuadric();指定二次曲面的繪制方式

gluQuadricDrawStyle(sphere,GLU_LINE);OpenGL中的實(shí)體模型函數(shù)51繪制二次曲面

gluSphere(sphere,radius,slices,stacks); gluCylinder(sphere,baseRadius,topRadius,height,slices,stacks)；

gluDisk(sphere,innerRadius,outerRadius,slices,stacks)；

OpenGL中的實(shí)體模型函數(shù)52非規(guī)則對象的表示分形幾何形狀語法粒子系統(tǒng)基于物理的建模數(shù)據(jù)場的可視化53分形幾何物體具有一個(gè)基本特征：無限的自相似性。無限的自相似性是指物體的整體和局部之間細(xì)節(jié)的無限重現(xiàn)。分形幾何(fractalgeometry)54分形物體描述內(nèi)容：分形維數(shù)生成過程分形幾何(fractalgeometry)55分形維數(shù)，又稱分?jǐn)?shù)維數(shù)4=228=23N=KDD=lgN/lgkK為邊長縮小倍數(shù)；N為邊長縮小后產(chǎn)生的新形體個(gè)數(shù)。分形幾何(fractalgeometry)圖4.18分形維數(shù)56生成過程：產(chǎn)生物體局部細(xì)節(jié)的一次重復(fù)操作。確定性自相似幾何構(gòu)造方法中，初始生成元（initiator），生成元（generator）。實(shí)例圖4.19生成過程分形幾何(fractalgeometry)57形狀語法形狀語法（shapegrammars）：給定一組產(chǎn)生式規(guī)則，形狀設(shè)計(jì)者可以在從給定初始物體到最終物體結(jié)構(gòu)的每一次變換中應(yīng)用不同的規(guī)則。產(chǎn)生式規(guī)則可以用具有圖形運(yùn)算能力的數(shù)學(xué)式或其他過程性方法結(jié)合實(shí)現(xiàn)。58粒子系統(tǒng)用于模擬自然景物或模擬其它非規(guī)則形狀物體展示“流體”性質(zhì)的一個(gè)方法是微粒系統(tǒng)（particlesystems）。這一方法尤其擅長描述隨時(shí)間變化的物體。微粒運(yùn)動(dòng)的模擬方式：隨機(jī)過程模擬、運(yùn)動(dòng)路徑模擬、力學(xué)模擬。59基于物理的建模基于物理的建模方法：描述了物體在內(nèi)外力相互作用下的行為。非剛性物體，通常用一組網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)來逼近物體。網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)間取為柔性連接，再考慮貫穿物體網(wǎng)格的力傳遞。60數(shù)據(jù)場的可視化科學(xué)計(jì)算可視化（scientificvisualization）指的是運(yùn)用計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和圖像處理技術(shù)，將科學(xué)計(jì)算過程中及計(jì)算結(jié)果的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為圖形及圖像在屏幕上顯示出來并進(jìn)行交互處理的理論、方法和技術(shù)。61數(shù)據(jù)場的可視化可視化對象，一般是空間離散的三維數(shù)據(jù)。體數(shù)據(jù)第一類算法，先由三維空間數(shù)據(jù)場構(gòu)造中間幾何圖元，再用CG實(shí)現(xiàn)面繪制。第二類算法，體繪制，直接產(chǎn)生屏幕二維圖像。624.4層次模型段與層次模型層次模型的實(shí)現(xiàn)OpenGL中的層次模型63段與層次模型具有邏輯意義的有限個(gè)圖素（或體素）及其附加屬性的集合稱