高數(shù)課件第四五

使xI，都有Fx)fx).問題：(1)原函數(shù)是否唯一？例sinxcos 若FxfxCFxCfx)的原函數(shù)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函數(shù)，則F(x)G(x)C 證 F(x)G(x)F(x)G(f(x)f(x) FxGx) fx)在區(qū)間I不定積分，記為fx)dx.根據(jù)定義如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)那么F(x)C就是f(x)的不定積分即:dxf(CF(dxf(C 積 分 號 如果F(x)是f(x)的一個原函數(shù)f(x)dxF(x)C例1求x5dxx6x56

xdx 6

f(x1的不定積分x解x>0時(lnx)1x

1dxlnxCxx<0時[ln(x)]1(1)1 1dxln(x)Cx合并上面兩式

1dxln|x|Cx例3設(shè)曲線通過點（1，2），且其上任一點處的 設(shè)曲線方程為yf(x),

dy2x,fx)是2x的一個原函數(shù)2xdxx2C f(x)x2C

函數(shù)f(x)的積分曲線也有無限多示f(x)的一簇積分曲線，而f(x)df(x)dxf(x),F(x)dxF(x)C

d[f(x)dx]fdF(x)F(x)Cx1

實例

x

xdx (啟示能否根據(jù)求 結(jié)論既然積分運算和微分運算是互逆的， kdxkxC(k是常數(shù)xdx x11dxln|x|CxexdxexCaxdx cosxdxsinxCsinxdxcosxCsec2xdxtanxC

csc2xdxcotxC dxarctanx dxarcsinxsecxtanxdxsecxCcscxcotdxcscxCshxdxchxC 例4

5解 xdxx

xdx

x15x C5

x2C 24

4例5dxx3dxx x3

3

3C3xC[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(kfx)dxkfxx（k是常數(shù)，k0)(1)證fx)dxg

fi(x)dx

fi(x)dx ki為常數(shù)且例5求積分

111

11

1

)dx

1

dx2 113arctanx2arcsin111x例6x(1x21x x(1x2

x1x解x(1x2dx

x(1x2)

1x2 1

dx

arctanxln|x|C例72xexdx 2xexdx(2e)xdx C2xex C 1例81cos2

解

dx

dx

dx1tanxC

12cos2x

2cos2 例9：tan2xdx(sec2x1)dxsec2xdxdxtan例10：sin2xdx1cosxdx1(1cosx)dx 1(xsinx)C

11yfx)在點x,fx))處的 dysec2xsin ysec2xsintanxcosxC y(0) Cytanxcosx2原函數(shù)的概念Fxf

xf(x)sgnx x假設(shè)有原函數(shù)F

xC xF(x)C xxC,x但Fx)在x0

fx(內(nèi)不存在原函數(shù)

2、f(x) 3fx的一個原函數(shù)Fxf f(x)dx在幾何上就表示 yF(x)C；4、由F'(x)f( 可知，在積分曲線yF(x)C (C是任意常數(shù))上橫坐標相同的點 5、若f(x)在某區(qū)間上 6、 xdx x7 xx8、(x23x2)dx x9、(x10、

xx(1xx

1)dx dx= x2x1、1x 2、

23x52323、cos2x 4、2

cos2xsin25、(11x

6、

x2sin2

x22

exsinhx和excoshx

ecoshxsinh 6、x5

C；7、 3

2Cx

x22xC 3x 3 x

2x2xC xx

x3

x5

C二、1xarctanxC3、xsinxC4(x2

5(2)2、2x C；ln2ln4.(cotxtanx)C

xC 6、tanxarccotxCxylnxC設(shè)f(u)有原函數(shù)F(u)且u(x)可微dF[(x)]dF(u)FF[(x)]d(x)F[(x)](x)d F[(x)](x)dxFf

dF(u)dF[(x)]F[(x)]C問 cos2xdxsin2xC解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量 令t2x2dxcos2xdx1cos2x2dx1cos 1sintC1sin2xC 定理1f(u)具有原函數(shù)ux)f[(x)](x)dx[f(u)du]u(x) 說明使用 gx)dx化為f[x)]例1求sin2解（一）sin2xdx1sin2xd(2 2cos2x解（二）sin2xdx2sinxcos2sinxd(sinx)sinx

解（三）sin2xdx2sinxcos2cosxd(cosx)cosx

C例2求 321解 dx11

d2x1

d(2x32

32 32 1du1lnf(axf(axb)dx1[fa

C12

32

)C例3求

x(12ln解 dx

d(lnx)1 d(12lnx(12ln

12ln 12ln1

1

1lnu

1ln(12lnx)C

例4

(1

x dxx (1

x11(1x)3dx[ ]d(1(1 (1111

2(1

C21 2(1例5

dxa2

1

dx

1x

dxa aa a21arctanxC 2 1例6

x2

8x解

dx1

x28x

(x4)2

x41

x4

1arctanx4C

33 x42

3 3

例7 11

1exe

e 解1exdx 1e

dx

1

1ex

dx

e

1e

xln(1ex)Cx2例8x2

)ex1dx.解 x

x1x

1,

x

)ex1dxx

xd(x11x1x

C例9求

2x2x2x原式2x3

2x2x2x12x3 22x2x 2x3dx

2x1 2x3d(2x3)1 2x1d(2x 12x3312x13C 例10求

1

dx

1cosxdx1cos2

sin2 sin2

dx

sin2

cotx

sin

C

例11求sin2xcos5sin2xcos5xdxsin2xcos4xd(sinsin2x(1sin2x)2d(sin(sin2x2sin4xsin6x)d(sin1sin3x2sin5x1sin7xC 例12求cos3xcos2cosAcosB1[cosABcosA2cos3xcos2x1(cosxcos5x),2cos3xcos2xdx1(cosxcos521sinx1sin5xC

求csc

tan2

cscxcotx2sinx2sin解（一）cscxdx

dx

xcos

x 2

dtanxx x

22 2 lntan2

cscxcot

)C解（二）cscxdx

sinxsin2

1cos2

ucos

du

111112

211cos11cos1cos2

1uC

secxdxln(secxtan

)C例14設(shè)f(sin2xcos2x,fx). 令usin2

cos2x1f(u)1u,f(u) 2f(x)x1x2C11112arcsinxx例15

dx d4x2arcsin4x2x22x2 arcsinx2

d(arcsinx)ln2

C問題

1x2dx解決方法改變中間變量的設(shè)置方法 令xsintdxcostdt 1x2dxsin5tcos2

f(x)dx

其中x)是x(t)f(x)dx

f[(x)](x)dx[f(u)du]u(x) 1x2例16求 1x2令xatantdxasec2

t, 22 221x1x2

dx

asectsec ln(secttant) aa

x2aax2aa

x2a2 ta 22例17求 4 22解x2sin

t,444sin2

dx2cos

4x2dx2sint

32sin3tcos2tdt32sint(1cos2t)cos232(cos2tcos4t)dcos cost cost) 44x2314x25C 例18求

(a令xasec

dxasecttan1x21x2

dxasecttantdtsecx2a2x2a2ln(secttant)

a2a2x

可令xasina2xx2a2xx2a

可令xatancosh2tsinh2txasinht, xacosht例 dx中,令xasinh dxacoshx2 dxacoshtdt dttx2

x2a2x2a2

xC

說明(3)積分中為了化掉根式是否一定采用 例19 1 tdt 令t 1x2x2t2tdtx5x1

2dx

tt

2t21t52t3tC1(84

3x4 1x2C例20求

1ex1e解令t ext1exlnt2 dx dx

t2 dt

1e11e

t2

t

tttt

C

說明(4當(dāng)分母的階較高時可采用x1.1t1例21求 x(x7 令x1dx1 t dx 1dt tx(x7

t t

2

t2

12t71ln|12t7|C1ln|2x7|1ln|x|C 例22求

x2 令x1dx1t

t1t 11t

t x2

1

1

t2 1

dt2ut21

du

11udu1 1t1

1 21

d(1u)1

1

1111 13

111x1x213

3lx根式 時，可采用令xtlx例23求

x(1 xxt6dx6t dx 6t

6t x(1 x

t3(1t2)dt1t2

1t

dt

1t

6[tarctant]

xarctan

x]C

tanxdxlncos

cotxdxlnsin

secxdxln(secxtan

)xx1cscxdxln(cscxx1

)

a2

dx1arctanxC;

x

1a21a2

dx 1

aa dxaa

dxarcsinx

a2x1x1x2a

dxln(x

x2ax2a求積分xlnxp(lnxd(xlnx)(1ln(xlnx)p(lnx1)dx(xlnx)pd(xln(xlnx)

p

p

1、若fx)dxFxC而ux)f(u)du 2、求 x2a2dx(a0)時，可作變量代 11x

x

dx時可先令x 4、xdx d(1x2 5、e2dx d(1 26、dx d(35lnx7、dx d(arctan3x)；19x21x8、 d 1x21x9、ta2a2x

tdt x.1、

axdx a

；xlnxln(lnx1x1x

4、

exe 5、x 1x3dx 6、sinxcosxdx 1x11x3sinxcos94x7、sinxcosxdx3sinxcos94x9、9x2dx

10、xx64)；xx(1xx(1102arccos

dx 12、

x1 x(1xex)lntan11x

14、cosxsinxdx1、2、

；x 1x(x(x23、 1 2x 4、

2a

In

tann1x

tan5

2、xasect或xacsct

4 6t7、13a

8、 9、a2a2x

tCt10、

)C a二、1、aarcsinx a2x2C；2、lnlnlnxCa 3、 1x2)C 4、arctanexC35、2(1x3)2C 6、3

arctan(sin2x)3(sinx3(sinxcosx)22 2

C994x8、2arcsin C

9)C

x C x6 x)2C12、lnxexln(1xexC102arccos C2

14、(lntanx)2C2三、1、1[arcsinxlnx11x

)]C1x 1xx3、2xln(1 2x)Cx4、3a2+a2

xx(2ax(2ax(2a問題xexdx解決思路利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)uux)和vvx)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)uvuv f(x)dxuvdxuvuvdx,udvuv

uvdxudvuvvduuvuvdx例1求積分xcosxdx解（一）令ucos

xdx1dx2 xcosxdx2cosx2sin解（二）令u cosxdxdsinxxcosxdxxdsinxxsinxsinxsinxcosxC例2求積分x2ex解1選ue v'x2,則：due

uvdxudvuvvduv'dxx2dx1dx3 原式 3

越求越復(fù)雜 ux2 exdxdexx2exdxx2ex2xex2ex2(xexex)C

exdx就考慮設(shè)冪函數(shù)u,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整xcosxdxxexdxx2exdx

例3xarctan解1令uxdvarctanx

uvdxudvuvvdu則dudxv無法進行求解解2令uarctanx xdx

2x x

arctanx

x2

dx

xarctanx

1x 2

1xxarctanx2

1(xarctanx)C.例4求積分x3ln解1令ux3dvln

uvdxudvuvvdu則du3x2vdvlnxdx解uln x3dx 4

無法進行求解 x3lnxdx1x4lnx x3dx1x4lnx1

慮設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)u.使得量變繁、質(zhì)變簡！xlnxdx arccosxdx xarctanxdxxcosxdxxexdxx2exdxupn(xlnxdx arccosxdx xarctanxdx ulnx(或arccos例6exsin

uvdxudvuvvdu sinxdexexsinxexd(sinucosexsinxexcosxdxexsinxcosxdexexsinx(excosxexdcosex(sinx 2

例6exsin

uvdxudvuvvdu解exsinxdxsinxdexexsinxexd(sinexsinxexcos exsinxdxexdcosxexcosxcosxd(exexcosxexcos e

sinxdxx

2(sinxcosx)Ce

cos

(sinxcosx)C2例5sin(ln

uvdxudvuvvduxsin(lnx)

xsin(lnx)xd[sin(lnxcos(lnx)1 xsin(lnx)xcos(lnx)xd[cos(lnsin(lnx[sin(lnx)sin(ln sin(lnx)dxx[sin(lnx)cos(lnx)]C2.

例7

uvdxudvuvvduln(xb) 解：原式＝ln(xb)d1＝ln(xb)1 1 dln(x x x x＝ln(xb)1 1 dxx x x＝ln(xb)1

1 dxx

x

x xxb＝ln(xb) xxbx a分部積分過程：uvdxudvuvvduuvuvdx例8求sec3xdx sec3xdxsecxsec2xdxsecxdtansecxtanxsecxtan2xdxsecxtanxsecx(sec2xsecxtanxsec3xdxsecsecxtanxln|secxtanx|sec3xdx所 sec3xdx1(secxtanxln|secxtanx|)C2例9求exdx令xt2則dx2tdtexdx2tetdt2et(t1)C

x

1)Cxxxexdxexd( x)2 xexxxx xdex xex2exxx xex2exC

1)C

令(xf[(x)](x)dxf f(u)duu(x)v(x)dxu(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x)例10：2xex2dxex2dx2eudux2exdxx2dexx2exexdx2例11求積分e3 x解：令t＝3x，則：xt3dx3t原式＝et3t2dt＝3t2det3t2etet6t3x3t2et6tdet3t2et6tetetdt3t2et3x

6tetet例12：求

2e3x63xe3xe3x(1x2(1x2

1x2

(1x2)dttcostdt(1x2uv'dxudvudvcuvcv例13求積分

e

e解1：選uln(1exdu

1e

dvexdxdeexln(1ex(ex

e1

xdx解2：選u

ln(1

ex),du

eexx

dve

de

e選c1,則：dvd e 1e 1e e

xdx ln(1ex)xe e

1 例13

ex(tgx1sec2x 解：原式＝tgxdexex1sec2xdx＝tgxdexexdtg ＝d(tgxex)＝tgxex若求：ex1sinx 1cos

sin

'

cosx1cosxsinx(cosx)

sin1cosx

1cos

1cos

原式＝sin dex＋exdsinx 1cos 1cos

＝sin exc1cos111111

uvdxudvuvvdu1 1

arctanx

1x2d(arctan1x21x21x21x21x2 arctanx1x2

1x211x2111

xtan1

dx

1tan2

sec2tdtsec1x2ln(secttant)Cln(1x2

1x21 1x21

11x2

28fx)的一個原函數(shù)是ex,求xfx)dx.2xfx)dxxdfx)xfxff(x)dxf(

f(x)dxe 2f(x)2xex2xf(x)dxxf(x)f( 2x2exexC u,v，正確使用分部積uvdxuvexcosexcosxdxexcosxexsinu2sin

1、xsinxdx 2、arcsinxdx 3計算x2lnxdx，可設(shè)u,dv 4、計算excosxdx，可設(shè)u,dv 5、計算x2arctanxdx，可設(shè)u,dv ,dv 2 (ln1、

2、

x3、eaxcosnxdx； 4、e3xdx；xearctanx5、cos(lnx)dx 3dx(1x2)2三、已知sinxfx)xfx)dxx四、設(shè)fx)dxFxCfx)fx)的反f1x)存在，則f1(x)dxxf1(x)Ff1(x)C一、1、xcosxsinxC1x2、xarcsinx1x3、lnx,x2dx cos5、arctanx,x2dx 6、x,exdxx x

sinxxcosxsinxC21[(lnx)33(lnx)26lnx6]Cxeax3、a

(acosnxnsinnx)3

x

x223x2)C5、x[cos(lnxsin(lnxC2 1x 1x

C xex

e

C三、cosx2sinxCxP( axnaxn1 x0xQ(x)b 0x

1b1

x 假定分子與分母之間沒有公因式

nm,是真分式nm,是假分式利用多項式除法,假分式可化成多項式和真分式之和xP(x

axnaxn1 x

b0

1b1

0m10

bm1x

x3x1x x2

x2P( axnaxn1 x bxmbxm1 x01 01(x

(xa)k

x

,其中

,

,,

特殊地：k1,

x（2）分母中若有因式x2px

，其中

4q

M1x(x2px

M2xN2(x2px

Mkxx2px其中MiNi都是常數(shù)(i1,2,k特殊地：k1,

Mx x2px

x x

x25x

(x2)(x

x x x3A(x3)B(x x3(AB)x(3A2B),AB A(3A2B) B6 x 5 x25x x x

2 A

x(

(x x1A(x1)2BxCx(x AB,C取x0,A 取x1,B取x C 1

x(x (x x dx[1 ]dx1dx1 dx x(x1)2 x1 (x1)2 x1 (x1)2ln|x|ln|x1|1C例3求 x2 dxx22x x2 dx(12x2 3 x22x3 2x22x3 x22x 3 x22x x22x1d(x22x3)3 d(x x22x

2 x22xx22x2x2x22x1x22x.1ln(x22x3)3arctanx1C2221例3(12x)(1x2

BxC,12x 1x21A(1x2)(BxC)(121A2Bx2(B2CxCA2BB2C0,A4,B2,C1C

5x (12x)(1x2

12

1 dx2ln(12x)

2

(12x)(1x2

51

512ln(12x)1ln(1x2)1arctanxC

例6

x1e2e3ex解te6x6lnt,dx

6t1 1e2e3e

dx

1t3t2

6 3t3

1 1t26lnt3ln(1t)

d(1t2)

1t

1t6lnt3ln(1t)3ln(1t2)3arctant2 x3ln(1e6) ln(1e3)3arctan(e6)C2

MxN (x2pxq)n

Mx(x2px

x2pxqx

p22

q

x

p2x2pxqt

a2

MxNMt則 q

bN Mx(x2px

dx

(t2a2

dt

(t2a2 Mx(x2px

dx (t2a2

dt

(t2a2

x p2n

Mx x2px Mln(2

pxq)barctanx2 n

Mx2pxq)n

a2a2

(t2a2bIn

In

(x2px

dx

p

( )( ))2(t2a2

1 1

In

(t

2a2

(2n

n1

Mx (x2px,

x

=1

=1arctanx3+Cx6

(x3)2

x dx=1

d(x10x(

(

x10(

1

—x102]d( 1求x41

(x21)(x21)11112x2dx112x212d(x1x(x1)212d(x1xx(x1)2x2

x1arctan x21221

2

x122ln 222x12x

C(x則運算構(gòu)成的函數(shù)稱之．一般記為R(sinx,cosx)2sincos令utan x2arctanu2sincossinx

cosxcos2xsin2x

1tan2

1tan2 2sec2sinsinx1,cosx12,1dx1u22

12

sec22

1tan22

,1u2

R(sinx,cosx)dx

1

1

u2

sin

dx u2u1u21 1 u

du1u2du1 arctanu1ln(1u2)ln|1u|2xln|

x|ln|1

x|C令utan2sin令utan2sinx1,cosx1u21dx21例7解

例8

sin4

解（一）u

x,sinx

,dx

1sin41

dx

1 1 13u23u4u6

3uu

3 3tan 1

x

Ctanx

24 2 2

sinx

dx

1

11sin4

dx

11u2

1

例8例81sin4,utan 3u3uC3 xcotxC例8

sin4

解（三）可以不用萬能置 dx csc2x(1cot2sin4csc2csc2xdxcotcsc2cotx1cot3xC3

d(cot比較以上三種解法,便知萬能置換不一定是最佳方法故三角有理式的計算中先考慮其它,不得已才用萬能置換.例9求積分

解sinAsinB2sinABcosA

dx

dx

4sinxcos21 sinxcos2

1 cos2

4

sin2xcos2xsinxcos2

cos2 sinxdx

dx1 4cos2

cos21

d(cosx)1

dx1

cos2

sin

cos2 4cos

1lntan

1tanxC4axaxncx

R(x,

ax 解決方法1例10求積分1

1xdx解

1x 1xt21xx

xt21

dx

1

t

1x1x

t1t

2t2

21t

1 t

1

21x2t C 1x

1Ct

例11

x1 x

令t6x16t5dt

xxx

dxt

t

dt2t33t26t6ln|t1|Ct1 x1 x1 x16ln(6 無理函數(shù)去根號時取根指數(shù)的最小公倍數(shù)例12求積分

3x3x2x

3x1

2x 3x1 3x1

2x2x

3x1

2x 3x1d(3x1) 2x1d(2x33 332(3x1)29

1(2x1)2C311解法一xtan法二x1,dx1

11111t

t1t11t1tC

1t1t1 ex2

1 sinx

4 sinx

、ln 、

、 （不是整數(shù)等不定積分的原 不定積分習(xí)題2.2.湊湊換換 不定積分習(xí)題注,注 不定積分習(xí)題下列等式中正確的是 f(x)dx]f(x);B.d f(x)dx]f( C.df(x)f(

D.df(x)f(x)Cx(1x(12

xx

xC.2arcsin(2x1) D.arcsin(2x1)Cx 不定積分習(xí)題1 xlnxln(ln dln(lnx)lnln(lnx)lnxln(ln ln(ln11 1x21111x21xln1x 不定積分習(xí)題 ln1xdx1x 1x 解

1x

1x

1x211x21

ln1xdx1

1x 1x1

1x4 1x 不定積分習(xí)題x2sinxdx2sinxdxC3xf(x)dx1x求f1xf(x)11x1x(1

3x2sinf(x)dx

2

dxxsinxx1xx

x xcosxsinxx

dx

Bx

dx其A x3 x x2x dxB ,Cdxx2

x12x

x

x x1 ,B ,C

sindx

,令t ,x ,dx axax . 1 3sin25、7、

cosx2sinx2sinx1x1x

6、8、

x11 x1x13(x1)2(x、 ；

1cosxdx；1

xsin3、

11

4、

sin2cos3 sin5、

(1x82dx 6、1sinxdx3xx3xx x7、

dx 8、(ex1)2dx1111(xa)(b

11、

sinxcosxdx sinxcos

一、1、112；2、-11,1；3、

1 1axt2ax4

dt；5 (x二、122、1

(x1)(xx

C1arctanxC2 (1x)2(1x2 238

x2lnx2

2x 2x

2x1)22arctan(2

1)C2

arctan2tanxC3333tanx55、1arctan C；5 6、x x14 1x1)C

111111 1x x x3 x

21111

C

C2(1x)2 1(1x21x2、(1x21x C3x 4、sin

1ln(secxtanx)C2cos2 x 5 arctan C8(1x86 tan2

8xC,或secxxtanxC

x

C

1xe1xx[lnx11x

1x1x

)2x(arcsinx)2

x1xarcsinx 1x 2 212sin11、1(sinxcosxxxb

ln1 cosxC

C ax0x1x2xn1xnbnn求和曲邊梯形的面積近似為f(i)xinn nnSv(i)tinnSlimv(i)ti0在區(qū)間[ab]內(nèi)插入分點ax0x1x2n n如果當(dāng)0時上述和式的極限存在且極限值與區(qū)間[a

bf(x)dxbnabn

f(f(0b

I

f(f(inbnbaf(x)dxIlim

f

)xi0ib注意）積分值是一定數(shù)，僅與被積函數(shù)及積分bbbaf(x)dxbb

f(t)dt

afbnbaf(x)dxIlim

f

0i

fx)在區(qū)間[ab]fx

,

因因

注意：fx)在[ab可積，則必定有界bnbaf(x)dxIlim

f

)xi4n2例:將lim4n2

0i4n24n24n2

寫成定積分nn解：原式=lim nn

lim 4n2i4n2i

ni 4(in取ii,且00124(in 44x4(i)n

11

0baf(x)dxI0ibaf(x)dxI0inf(i

,x]的長度 1，(i1,2,, xi，(i1,2,

f(i

x2xni

i1

nnnn

n3i

n3 1121

0n6 110

ilimi

11

1 12 2

10i

n6

ii

bf(x)

af(x)dxb

f(x)

fx)dxA因為bf(x)dxlim

[f()]x

nn

A4baf(x)dxb

A2

baf(x)dxb

例2用定積分的幾何意義求1(1x)dx0直角三角形其底邊長及高均為1所以 00

0②0

1262R2x2dxR2x222

yy Ryy R2oRx③2sinxdx

ysin

1

b當(dāng)abafx)dxb 當(dāng)ab時， f(x)dx

f(x)dx.說明在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存

b[f(x)g(x)]dxbf(x)dxbg(x)dx 性質(zhì)

bkf(x)dxkbf(x)dx bf(x)dxcf(x)dxbf(x)dx

b1dxbdxba 性質(zhì)5如果在區(qū)間[ab]f(x)0

a性質(zhì)5如果在區(qū)間[ab]f(x)0

bf(x)dx0a 推論1如果在[ab]f(x)g(x)則bf(x)dxbg(x)dx

bf(x)dxbg(x)dx 推論2|f(x)dx||f(x)|dx b|f(x)|dxbf(x)dxb|f(x)|dx |bf(x)dx|b|f(x)|dx| 間[ab]上的最大值及最小值

bf(x)dxM(ba)abf(x)dxf()(ba)－積分中 a證:由性質(zhì)6m(ba

bf(x)dxM(ba)a m bf(x)dxMbaf() bf(x)dx ba

1比較積分值2exdx和2

0 令f(x)ex

x[2,f(x)

x)dx00

exdx

于是2exdx

dx的值03sin3 f(x)

3sin3x

x[0,0sin3x

1 1

3sin3 3 34 dx4

sin3

dx dx 03sin3 4fx)limfx

tsint

f(t)dt解由積分中值定理知有x,x

tt

f(t)dtsin

f()(x2

t

f(t)dt2limsin

2lim3f()lim1sinsin2sin(nnn

lim1sinsin2sin(n1)sinnn

nlim1

i sin

sin nni

ni1

nn1 n10sinfxgx)在[afxgx)fx)gx)在[afxgx)fx)gx)在[ab]fx

g(x)

x fxgx)fx)gx)在[0,1]7例2

2x2解在[1,2]中插入分點qq2qn1, qiqi1qi1(q i1,2,, nfn

)x

n1x

1qi1(qi

i

inin

qin(q1)n(qni

取qn2即q f(i)xii

11limx(21

1)lim2

1ln11 1)ln 121dxlim 1

limn(2n1)lni 0i1i

nfnf1f2fn nn n

e0lnf(x)dxnfnf1f2fn

nf1 nf1 2fnnf ne

nf1nf1f2fnn n nen1

i

i lnf limlnf enni

n

eni

n指數(shù)上可理解為：lnfx)在[0,1]區(qū)間分割是將[0,1]n等分 i，（i1,2,,

1lnf1

i

0lnf(ni

nnfnf1f2fn1e0lnf(x)dx

b1、函數(shù)f(x) 在a,b上的定積分是積分和的極限即a f(x)dx .b2、定積分的值只與 及 有關(guān)，而與 . .bxa,xbba)b三、利用定積分的定義計算積分axdx，ab)11、1

1x2dx42、 cosxdx22cosxdx2 上水的壓強P是水深h的函數(shù)，且有p9.8h(千米米2)，若 高H3米，寬L2米，求水面與 壓力P（見 圖5-3）. f()x0i f(x),x軸,直線xa,xb之b4、adx二、1(b3a3ba.3三、1(b2a22設(shè)某物體作直線運動，已知速度vv(t)是時間間隔[T1,T2]上t的 續(xù)函數(shù)，且v(t)0，變速直線運動中路程為T2v(t1 v(t)dts(T2)1

s(tv(t xx f(x)dx f(txx如果上限x在區(qū)間[ab]上任意變動，則對于每一個取定的x值，定積分有一個對應(yīng)值，所以它在[a,b]上定義了一個函數(shù)，x記(x) f(t xd數(shù)(x) f(t)dt在[a,b]上具有導(dǎo)數(shù)，且它的d數(shù)是x)

dx

f(t)dt

f(

(axx證xxx

a

f(t(xx)(

(x

f(t)dt

f(tx

xx f(t)dt

f(t)dt

f(t f(t

(xx)(x)

f(t

(xf( [x,x f(),limlimf(

xxx x0 fx)

xf(t)dtfx0,x(

f(

(x)

xdt,

(x)

xdt 2ln

2lnt bx

f(b(x))b'( b

f(t)dt'f(a(x))a'(

a(x b(xa(x

f(t)dt

'fb(x)b(x)

b(x

f(b(x))b'(

f(t)dt'f(a(x))a'(

et求limcos

a(x 0dd12解dxcos12

et2dt

cosxet21

2

12fx)在(,)fx)0.證明x函數(shù)Fx)

tf(tx f(tx

在(0,)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)xd證dx0tf(t)dtxdx

xf(

dxxdxxd

f(t)dtf(xF(x)

xf(

f(t)dtf(x)

tf(t

f(

(xt)f(tx,x00

f(t)dtx

2f(t)dtf(x) (x

f(t)dt(xt)f(t) x(xt)f(t)dt0F(x) (x故Fx)在(0,)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)3fx)在[0,1]fx1.x2x x證令F(x)2x f(x)

F(x)2f(x)Fx)在[0,1]上為單調(diào)增加函數(shù).故至多只有一根1F(0)111F(1)11

f(t)dt

0[1f(t)]dt由零點定理可知Fx)0至少有一根fx)在[ab](ab)f(x)

F(x)

xf(txa(ab)內(nèi)Fx

(x

xf(ta

f(xf(x)f()(x (ax (xa)2ff(x)f()xfx)x數(shù)(x)a f(t)dt就是f(x)在[a,b]上的一個)bf(x)dxF(b)F(a)a證明F(x)是f(x)設(shè)(x)xf(t)dt 則也是f(x)的原函數(shù)axa:由F(a)(a)C及 得CF(a)xb:由F(b)(b)F(a)得(b)F(b)F(a)bf(x)dxF(b)F(a)abaf(x)dxF(b)F(a)F(bbaa bb當(dāng)ab

fx)dxF(bF(a)仍成立 baf(x)dxF(b)F(a)F(bbaa例4求2(2cosxsinx0解

32sinx2sinxcosxx2例5fx)2

0x,

2f(x)dx1 1x2求12解2

f(x)dx

f(x)dx

2f(2在[1,2]上規(guī)定當(dāng)x1fx)5,

02xdx

1

2例6求2

yyyyy2o1 f(x)max{x,x2 2x 0x 0x20

1x

x33x22x3x33x22x33

x2dx

xdx101

1

8181

11 3

2例7

x 當(dāng)x0，1的一個原函數(shù)是ln|xx

8計算曲線ysinx在[0]上與x軸所圍yox面積A0sinyox cosx b例9設(shè)fx)在[ab]連續(xù)且單調(diào)遞增證明abb

f(x)dx2

b b分析:(ab) f(x)dxx

xf(x)dx0(aa)F(b)x

f(x)dx

證

F(x)(ax)f(t)dt2

xF'(x)(ax)f(x) f(t)dt2xf (ax)f(x) f(x) dt x (f(t)f F(b)

即ab

f(x)dx

(x)

f(txb積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)x)fxb

af(x)dxF(b)F xbfx)在[ab]xb

f(t)dt f(u)du是x的函數(shù)還是t與uxb f(t)dt與xb

f(u)du都是xxddxxd

f(t)dtf( dx

f(u)duf(提示：首先要計車所需的時間T然后計算速度v(t時間區(qū)間[0T]上例8提示：首先要計車所需的時間T然后計算速度v(t時間區(qū)間[0T]上0v36km/h361000m/s10m/s0v(t)105t0s2v(t)dt

1t2]210(m) 一、填空題： x 1、 2dx= dx x2、( f(x))dx x dx3、 2

ln(t21)dt 3tx2,0x3t4、 f(x)dx ，其中f(x)

2x,1x25、設(shè)I1cosmxcosnxdxsinmxsin當(dāng)mn時，I1=,I 當(dāng)mn時，I1 6、設(shè)

、當(dāng)mn時，I3= 、當(dāng)mn時，I3= 97、3

x(1 x)dx .3

1xx

. t9、lim . x1yyx)由方程yetdtx0

0costdt0所確定，求 x

(t1),求d2122、設(shè)12y

t2

dx cosxcos(t2)dtdxsin4、設(shè)gx)

x 1xx

，求g(1)21 21

11x1、(x2 2、 203x43x2 3、

x2

4、 sinx (

1(1cost2

2、

0

x x f(t)(xt)dtx

0

f fx)

3tt2t

dt在區(qū)間01上的最1sinx當(dāng)0x時，fx)2x求（x) f(t)dt在(,)內(nèi)的表達式fx)在abfx0xF(x)x

f(t)dt

xf(tx

1F'(x) 2Fx0在ab)3x3x

2fxf

ln(x2 4、6

5、(1)

cos

8、6；

sinx 2t2ln3、(sinxcosxcossin2x)； 2、 3、1

2、13

,30,x32七、(x) (1cosx),0x2x 則bfx)dxx(ta

f[(t

(t當(dāng)時，換元 ②直接對新積分變量 定積分那樣再要把(t)變換成原變量x的函數(shù)，而只要把新變量t的上、下限分別代入(t)然后相減就行了.a

當(dāng)xb時a例1a

a2x2dxa2a2a

dx令xa

2acosta0a20

cos2tdt2

20 sin2t]2 a a2x2 a2a2sin2tacostdxacostdt當(dāng)x0時 當(dāng)xa時t2a

當(dāng)xb時例2

0

xsinxdx解 0

xsinxdx0

cos5xdcosx令cosx

0t5dt1t5dt[1t6]11 cos5xsinxdx cos5xdcosx 1 1[ cosx]2 cos 引進新的積分變量，才改變積分限a

例3計算4x2dx 2x

t21

t3

3(t2 2x

21[1t33t]31[(279)(13)]222

xt21 當(dāng)x0時 當(dāng)x4時2例4：求

a2cos2xb2sin2a2b2,ab00

a2cos2xb2sin212

d(sin2a2(b2a2)sin2 lna2(b2a2)sin2 2(b2a2 2(b2a2

lnb2

1b2

aa2b20 a2cos2xb2sin2 11a202sinxcosxdx

2a2

sin2

2a2當(dāng)a0,b0

2cosxdx

④當(dāng)a0, 原式a2

2a

當(dāng)xb時aa2(x)dxb(x)dxa 計算0

sin3xsin5xdx

x|cosx|dx

2sin

x 2sin0

2

sin2x]2 sin2x] )

sin3xsin5x 3 x) x|cosx|232在[0,]上|cosx|cos 在[,]上|cosx|cos22aaa

f(x)dxaa 因

f(x)dx

f(x)dx0

f

0f(t)dta

f(t)dt0

f(x)dxa f(x)dxa

f(x)dx0a[f(x)0

ff(x)]dx

2f(x)dx20

a[f(x)f(x)]dx00 f(x)dx0a

a[f(x)f(

11111

2x2xcos

1原式1

1112

dx

1111x240

1 1

dx40

1(1x2 40

)dx4

44101x211x24 f(x)dx

f(x)f( sin2

dx

4[sin2

sin2

1e

4 1e

]sin2 ex4

]sin2 4sin0

xdx8

例8：證明1xm(1xndx1xn(1x)mdx 1xm(1x0x1

0(1t)mtndt11xn(1x)mdx0 1)2f(sinx)dx2f(cosx)dx;2)xf(sinx)dx f(sinx)dx 2 （1）x

dx

x0t 22

x t2 2

f(cost)dt

f(cos

x0t（2）設(shè)x dxdt,

xt00xf(sinx)dx(0

0(t)f(sint

f(sint)dt

tf(sint)dt f(sin

xf(sinxf(sinx)dx

2

201 2

sin

dx

d(cos 01

2

201cos2

(

22

x0x0

4f(x2)dx1解：設(shè)x2t則4f(x2)dx2

[tant]0[1et2]2tan11e412

20f(sinx)dx20f(cosx)dx;2)xf(sinx)dx020f(sinx)dxala

f(

al0a0af(x)dx

f(x)dx

lf(x)dx0al

f(

al

lf(x)dx0

al

f(而alfl

tx

af(tl0 af(t0

0f(a

buvdx[uv]bbuvdx budv[uv]bbvdu buvdxbudv[uv]b

bvdu[uv]b

buvdx

例13fx11

x2sin

解t

1xf(x)dx1

1

21x2f(x)111x2df(x)1f(1)11x2f( 2

2f(x)x2sint

dt f(x)

sin

2x

2sinx2

112xsinx2dx11sinx2dx22 2

1(cos1

0In2sin0

xdx0解In2sin0

xdx2sinn1

[cosxsin

0

2cosxdsinn10(n1)0

(n1)0

nIn(n1)In2(n1)Inn

Inn1In2

Inn1n

n1n3 nIn

2sinn0

(n1)(nn(n

(n1)(n3)(n51 n(n2)(n4)(n1)(n3)(n5)2n(n2)(n4)

I0

2 xdx

02dxI102sinxdx(cosx)02I

(n1)(n3)(n5) n(n2)(n4) (n1)(n3)(n5) n(n2)(n4)

n為奇數(shù)(n

(n1)(n3)(n5)02f(sinx)dx02f(cos02f(sinx)dx02f(cos02sinnxdx0(n1)!! (n2,bbaf(x)dx f[(t)](t 1)2f(sinx)dx2f(cosx)dx;2)xf(sinx)dx

f(sinx)dx 2

f(x)dx

f(x)]dx

f(sin

xdx

0[f(x ???5?8?3e4 例10434lnx(1lnlnx(1ln

3 ee

2e

33 a例4a

(axa2 令xxa2xat2

dxacostdtx0t原式 aasinta2(1sin2t

costsint2 sintcos

2

1

sintcost12

2 求

x2解令xsect, t:23 dxtantsectdt

4242

xx 4dt xsec23t3,4

tant x21

tan x2 x2

x

314132 secttan3

3 2

dt3 1、sin( 32、

(1sin3)d 2 2x2dx 20114、21

dx 25、5

1xx31x

dx 5x

2x21、0

sincos3d21

x1x1x1

cosxcos314 14

25、

1cos2xdx

4cos411x1x17、1

(x

x

)dx8、2max{x,x3029、02

x

（ 當(dāng)x022

1

求fx 當(dāng)x01e

f(x)dx

f(ab1xm(1x)ndx0

1xn(1x)mdx1

f(x)dx

0[f(x)f(x)]dx11sin并求 4證明

f(cosx)dx

12

4

3

3、；4 3 3

二、1、1；2

；3、12ln2；4、42 2 22

；6、 7、 8、 9、17；100時,8204時8

2

3；當(dāng)

82 1ln(1e1六、§5.4nbfx)dxlimf(i 0fx在[ab]上

f(x)dx

bf(x)dxa則稱此反常積分收斂否則稱此反常積分發(fā)散bb

f(x)dxbb

bf(x)dxaf(x)dx

0f(x)dx

f(x)dx

f(x)dx bf(x)dxlim limF(b)F(a)limF(x)F(a) 可用如下簡記形式：f(x)dx[F(x)]limF(xF(a)

bb

f(x)dx

F(b)limF(x)f(x)dx[F(x)]limF(x)limF(x)

f(x)dx

bf

f(x)dx

f(x)dx

b

(p0

teptdt

b

btept0 b

p0td

bbp

0e

bepb1epb1 ppp

f(x)dx

bf b

證 p

x1dx

1

x

1

1 p p

1dx

x

1p

11

,p

f(x)dx[F(x)]limF(x)F(a)

例4計算廣義積分

x2sinx

1d1 2sinx

2

x b

1d1

1lim

limcos1cosb 2f(x)dx[F(x)]limF(x)limF(x)

例2計算廣義積分 1x2 解:原式1

1

0

dxlim

bb a1

01

limarctanalimarctanb

2 x x 1x2

dx?

1

dx b

01x2

limln(1b22

即

2bdx發(fā)散1x2

fx在(, fx)dx

f(0

f(

f(

f(0 0f(x)dxa

bf(x)dxb

fx)dx

f(

a

a f(x)dx bf(x)dxlim

f(x)dxb b 點函數(shù)f(x)在(ab]上的反常積分定義為bf(x)dxlim