線性代數(shù)2014版課件第二章

主要內(nèi)容矩陣的定義常用的特殊矩陣第一節(jié)矩陣Matrix由m

n個(gè)數(shù)aij(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n)叫做一個(gè)

m

n矩陣,

一、矩陣的定義排成的m行n列的數(shù)表簡(jiǎn)記為

A＝(aij)mn

或A=(aij

).

二、幾種常用的特殊矩陣

(1)行矩陣和列矩陣只有一行的矩陣稱為行矩陣(也稱為行向量).如A=(a11，a12，···，a1n).如只有一列的矩陣稱為列矩陣(也稱為列向量).

(2)零矩陣

若一個(gè)矩陣的所有元素都為零，則稱這個(gè)矩行數(shù)和列數(shù)相同的矩陣稱為方陣．例如

(3)方陣

引起混淆的情況下，也可記為Ｏ．陣為零矩陣，mn零矩陣記為Ｏmn，在不會(huì)n階方陣都為零的方陣稱為對(duì)角矩陣，主對(duì)角線上的元素不全為零，其余的元素全

(4)對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣常記為A=diag(a11,a22,···,ann).

如主對(duì)角線上的元素全相等的對(duì)角矩陣稱為數(shù)量矩陣.（c為常數(shù)）.例如(5)數(shù)量矩陣

(6)單位矩陣主對(duì)角線上的元素全為1的對(duì)角矩陣稱為單位矩陣,簡(jiǎn)記為E或I.如

(7)三角形矩陣上(下)三角形矩陣.例如主對(duì)角線下(上)方的元素全為零的方陣稱為兩個(gè)矩陣為同型矩陣,并且對(duì)應(yīng)元素相等,即則稱矩陣A與B相等,記作A=B.(8)同型矩陣與矩陣相等兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)相等時(shí),稱為同型矩陣.矩陣的加法主要內(nèi)容數(shù)與矩陣相乘矩陣的乘法第二節(jié)矩陣的運(yùn)算矩陣的轉(zhuǎn)置１、定義一、矩陣的加法設(shè)有兩個(gè)矩陣那么矩陣與的和記作，規(guī)定為說明只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.2、矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律稱為矩陣A的負(fù)矩陣.定義：1、定義二、數(shù)與矩陣相乘設(shè)A,B為同型矩陣,k,

l為常數(shù)，則(1)

k(lA)=(kl)A;(2)

k(A+B)=kA+kB;(3)(k+l)A=kA+lA.矩陣相加與數(shù)乘矩陣統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.2、數(shù)乘運(yùn)算滿足的規(guī)律１、定義并把此乘積記作設(shè)是一個(gè)矩陣，是一個(gè)矩陣，那么規(guī)定矩陣與矩陣的乘積是一個(gè)矩陣，其中說明只有當(dāng)左列數(shù)＝右行數(shù)，兩個(gè)矩陣才能相乘.三、矩陣與矩陣相乘例１例3定義了矩陣的乘法運(yùn)算后,對(duì)于線性方程組若令驗(yàn)證上述線性方程組可寫成如下矩陣形式:AX=b.（1）矩陣乘法不滿足交換律，即：例4

設(shè)則注意：

(2)矩陣的乘法不滿足消去律,即如果

同理AB=CB,BO,不一定能推出A=C.AB=O

，推不出A=

O或者B=O.２、矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律（其中為數(shù)）;設(shè)A為n階方陣，定義則注意定義：例四、矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣,

叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作AT或A′.

1.定義2.轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算規(guī)律

推廣(A1A2···

Ak)T=AkT

···

A2TA1T;(4)(AB)T=BTAT對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等.說明設(shè)A是n階方陣，如果滿足AT=A,則A稱為對(duì)稱矩陣.如果AT=－A,則A稱為反對(duì)稱陣.反對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸互為相反數(shù).且主對(duì)角線的元素全為零.對(duì)