新教材人教A版選擇性必修第一冊12空間向量基本定理學(xué)案

第一章空間向量與立體幾何1.2空間向量根本定理學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間向量根本定理及其推論；2.理解空間向量的基底、基向量的概念.二、根底梳理1.空間向量根本定理：假如三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組〔x，y，z〕.使得_______________.2.假如三個(gè)向量a，b，c不共面，那么全部空間向量組成的集合就是.這個(gè)集合可看作由向量a，b，c生成的，我們把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)_________，a，b，c都叫做_________.空間任意三個(gè)_________的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底.3.單位正交基底：假如空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個(gè)基底叫做______________，常用{i，j，k}表示.4.正交分解：把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行________.三、穩(wěn)固練習(xí)是空間的一個(gè)基底，那么肯定可以與向量構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的向量是()A. B. C. D.或2.是空間的一個(gè)基底，向量，.假設(shè)，那么分別為()A. B. C. D.中，假設(shè)是空間的一個(gè)基底，那么以下命題不正確的選項(xiàng)是()A.四點(diǎn)不共線 B.四點(diǎn)共面，但不共線C.四點(diǎn)不共面 D.四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線的起點(diǎn)與終點(diǎn)互不重合且無三點(diǎn)共線，且滿意以下關(guān)系(是空間任一點(diǎn))，那么能使向量成為空間一個(gè)基底的關(guān)系的是()A. B.C. D.中，E，F(xiàn)，G分別在棱，BC，BA上，且滿意，，，O是平面、平面ACE與平面的一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)，那么()

A. B. C. D.中，分別是的中點(diǎn)，以為基底，，那么的值是()A. B. C. D.7.如圖，在四周體中，為的重心，是上一點(diǎn)，，以為基底，那么_________________.為空間的一組基底，且，，，.〔1〕能否以作為空間的一組基底？假設(shè)能，試用這一基底表示；假設(shè)不能，請說明理由.

〔2〕推斷P，A，B，C四點(diǎn)是否共面.9.如圖，在三棱錐中，點(diǎn)G為的重心，點(diǎn)M在PG上，且，過點(diǎn)M任意作一個(gè)平面分別交線段PA，PB，PC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，假設(shè)，，，求證：為定值，并求出該定值.

10.如圖，直三棱柱中，分別為的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求異面直線與所成角的余弦值.

參考答案根底梳理基底；基向量；不共面單位正交基底正交分解穩(wěn)固練習(xí)1.答案：C解析：由于是空間的一個(gè)基底，所以向量不共面，而向量與或共面.故排解選項(xiàng)A，BD.應(yīng)選C.2.答案：A解析：，由空間向量根本定理，得解得3.答案：B解析：選項(xiàng)A對應(yīng)的命題是正確的，假設(shè)四點(diǎn)共線，那么向量共面，構(gòu)不成基底；選項(xiàng)B對應(yīng)的命題是錯(cuò)誤的，假設(shè)四點(diǎn)共面，那么構(gòu)不成基底；選項(xiàng)C對應(yīng)的命題是正確的，假設(shè)四點(diǎn)共面，那么構(gòu)不成基底；選項(xiàng)D對應(yīng)的命題是正確的，假設(shè)有三點(diǎn)共線，那么這四點(diǎn)共面，向量構(gòu)不成基底.4.答案：C解析：A中，由于，所以共面；B中，，但可能，所以四點(diǎn)可能共面；D中，由于，所以四點(diǎn)共面.應(yīng)選C.5.答案：B解析：由于的，又O在平面內(nèi)，所以；同理可得.由O在平面內(nèi)，易得，解得，，所以，應(yīng)選B.6.答案：A解析：，比照，可得.7.答案：解析：連接并延長交于點(diǎn)，連接，那么.8.答案：〔1〕假設(shè)，，共面，那么存在實(shí)數(shù)m，n，使，

即，

所以，方程組無解，所以，，不共面，

因此可以作為空間的一組基底.

令，，，由，

得，

所以

.

〔2〕假設(shè)P，A，B，C四點(diǎn)共面，

那么存在實(shí)數(shù)x，y，z，使，且.

由〔1〕知，但，故P，A，B，C四點(diǎn)不共面.9.答案：連接AG并延長交BC于點(diǎn)H.

由題意，可令作為空間向量的一組基底，

.

連接DM.

由于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，M共面，所以存在唯一的實(shí)數(shù)，

使，即，